Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr

Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D, T, SR, JK)

Πίνακες Λειτουργίας & Πίνακες Διέγερσης Οι χαρακτηριστικοί πίνακες λειτουργίας FF μας δίνουν την επόμενη κατάσταση του FF συναρτήσει των τιμών των εισόδων τους. Οι πίνακες διέγερσης FF μας δίνουν τις τιμές που πρέπει να πάρουν οι είσοδοι για να έχουμε μια ορισμένη μετάβαση κατάστασης.

Σχεδίαση Σύγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων

Πίνακες Διέγερσης Οι πίνακες διέγερσης FF μας δίνουν τις τιμές που πρέπει να πάρουν οι είσοδοι για να έχουμε μια ορισμένη μετάβαση κατάστασης.

Διαδικασία Σχεδίασης Η σχεδίαση ακολουθιακών κυκλωμάτων (sequential circuits) είναι πολύπλοκη σε σχέση με αυτή των συνδυαστικών κυκλωμάτων (combinational circuits). Είναι η αντίστροφη διαδικασία της ανάλυσης. Θα δούμε ένα παράδειγμα που μας δίνει μια καλή γεύση της διαδικασίας σχεδίασης...

Βήματα Βήμα Σ1 Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Βήμα Σ2 Προσδιορίζουμε εισόδου των FFs. τις απλοποιημένες συναρτήσεις Βήμα Σ3 Σχεδιάζουμε το λογικό κύκλωμα.

Βήματα Αναλυτικά έχουμε τα εξής στάδια σχεδίασης σύγχρονου ακολουθιακού κυκλώματος: Καταγράφουμε τις προδιαγραφές. Δημιουργούμε ένα διάγραμμα καταστάσεων από τις προδιαγραφές. Μεταφράζουμε το διάγραμμα καταστάσεων σε πίνακα καταστάσεων. Χρησιμοποιούμε χάρτες Karnaugh για να προσδιορίσουμε την σχέση μεταξύ παρούσας και επόμενης κατάστασης. Σχεδιάζουμε το κύκλωμα με πύλες και FFs.

Παράδειγμα Προδιαγραφές Με την χρήση FFs τύπου Τ αρνητικής ακμής πυροδότησης να σχεδιαστεί ΣΑΚ το οποίο να διατρέχει διαδοχικά τις καταστάσεις 0, 1, 3, 2 (κανονική απαρίθμηση).

Παράδειγμα - Λύση Καταλαβαίνουμε ότι το κύκλωμά μας θα πρέπει να αποτελείται από δύο FFs τύπου Τ, αφού σε όλες τις περιπτώσεις αυτό θα πρέπει να διατρέχει τις καταστάσεις 0, 1, 3, 2. Στη γενική περίπτωση κυκλώματος που αποτελείται από 2 n δυνατές καταστάσεις, έχουμε συνολικά n FFs. 2 n = 4 = 2 2 καταστάσεις n = 2 FFs Επομένως, αρχίζουμε τη σχεδίαση ακολουθώντας τα βήματα σχεδίασης ΣΑΚ.

Παράδειγμα - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Με την χρήση FFs τύπου Τ αρνητικής ακμής πυροδότησης, να σχεδιαστεί ΣΑΚ το οποίο να διατρέχει διαδοχικά τις καταστάσεις 0, 1, 3, 2.

Παράδειγμα - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Τα τμήματα της παρούσας και επόμενης κατάστασης βρίσκονται απ' ευθείας από το διάγραμμα καταστάσεων.

Παράδειγμα - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Το τρίτο τμήμα όμως του πίνακα καταστάσεων, το οποίο περιέχει τις αντίστοιχες τιμές της εισόδου Τ των FFs, συμπληρώνεται γραμμή προς γραμμή με την βοήθεια του πίνακα διέγερσης για το Τ FF.

Παράδειγμα - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Από το τρίτο τμήμα του πίνακα καταστάσεων μπορούμε άμεσα να πούμε ότι για την συγκεκριμένη περίπτωση η είσοδος Τ 1 = Q 1 Q 0 + Q 1 Q 0, αφού γι' αυτούς τους συνδυασμούς της παρούσας κατάστασης το Τ 1 =1. Ομοίως, η είσοδος Τ 0 = Q 1 Q 0 + Q 1 Q 0, αφού γι' αυτούς τους συνδυασμούς της παρούσας κατάστασης το Τ 0 =1.

Παράδειγμα - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Παρατηρούμε οτι σε αυτό το παράδειγμα δεν χρειάζεται να γίνουν οι χάρτες Karnaugh, καθώς οι απλοποιήσεις είναι εύκολες... Τ 1 = Q 1 Q 0 + Q 1 Q 0 = Q 1 Q 0 Τ 0 = Q 1 Q 0 + Q 1 Q 0 = Q 1 ʘ Q 0 = (Q 1 Q 0 ) = Τ 1

Παράδειγμα - Λύση Βήμα Σ3: Σχεδιάζουμε το λογικό κύκλωμα. Γνωρίζοντας πλέον τις συναρτήσεις της κάθε εισόδου των FFs, προχωρούμε στην τελική σχεδίαση του λογικού κυκλώματος.

Άσκηση 1 Προδιαγραφές Με την χρήση FFs τύπου D θετικής ακμής πυροδότησης να σχεδιαστεί ΣΑΚ το οποίο να "περνά" από τις καταστάσεις 0, 1, 2, 3 (κανονική απαρίθμηση) ή 0, 1, 3, 2 (απαρίθμηση σύμφωνα με τον κώδικα Gray) ανάλογα με το αν η είσοδος X είναι 0 ή 1 αντίστοιχα.

Άσκηση 1 - Λύση Καταλαβαίνουμε ότι το κύκλωμά μας θα πρέπει να αποτελείται από δύο FFs τύπου D, αφού και στις δύο περιπτώσεις αυτό θα πρέπει να διατρέχει τις καταστάσεις 0, 1, 2, 3 αλλά με διαφορετική σειρά. Στη γενική περίπτωση κυκλώματος που αποτελείται από 2 n δυνατές καταστάσεις, έχουμε συνολικά n FFs. 2 n = 4 = 2 2 καταστάσεις n = 2 FFs Επομένως, αρχίζουμε τη σχεδίαση ακολουθώντας τα βήματα σχεδίασης ΣΑΚ.

Άσκηση 1 - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Με την χρήση FFs τύπου D θετικής ακμής πυροδότησης να σχεδιαστεί ΣΑΚ το οποίο να "περνά" από τις καταστάσεις 0, 1, 2, 3 (κανονική απαρίθμηση) ή 0, 1, 3, 2 (απαρίθμηση σύμφωνα με τον κώδικα Gray) ανάλογα με το αν η είσοδος X είναι 0 ή 1 αντίστοιχα.

Άσκηση 1 - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Τα τμήματα της παρούσας και επόμενης κατάστασης βρίσκονται απ' ευθείας από το διάγραμμα καταστάσεων.

Άσκηση 1 - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Το τρίτο τμήμα όμως του πίνακα καταστάσεων, το οποίο περιέχει τις αντίστοιχες τιμές της εισόδου D των FFs, συμπληρώνεται γραμμή προς γραμμή με την βοήθεια του πίνακα διέγερσης για το D FF.

Άσκηση 1 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Από το τρίτο τμήμα του πίνακα καταστάσεων μπορούμε άμεσα να πούμε ότι για την συγκεκριμένη περίπτωση η είσοδος D 1 = Χ Q 1 Q 0 + Χ Q 1 Q 0 + ΧQ 1 Q 0 + ΧQ 1 Q 0, αφού γι' αυτούς τους συνδυασμούς της παρούσας κατάστασης το D 1 =1. Ομοίως, η είσοδος D 0 = Χ Q 1 Q 0 + Χ Q 1 Q 0 + ΧQ 1 Q 0 + ΧQ 1 Q 0, αφού γι' αυτούς τους συνδυασμούς της παρούσας κατάστασης το D 0 =1.

Άσκηση 1 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Οι συναρτήσεις που μόλις προσδιορίσαμε είναι σωστές, δεν είναι όμως και οι πλέον απλοποιημένες! Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας χάρτες Karnaugh, για κάθε μια είσοδο των FFs χωριστά, με βάση τον πίνακα καταστάσεων.

Άσκηση 1 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Για κάθε είσοδο φτιάχνουμε διαφορετικό χάρτη Karnaugh. D 1

Άσκηση 1 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Για κάθε είσοδο φτιάχνουμε διαφορετικό χάρτη Karnaugh. D 0

Άσκηση 1 - Λύση Βήμα Σ3: Σχεδιάζουμε το λογικό κύκλωμα. Γνωρίζοντας πλέον τις συναρτήσεις της κάθε εισόδου των FFs, προχωρούμε στην τελική σχεδίαση του λογικού κυκλώματος.

Άσκηση 2 Προδιαγραφές Με την χρήση FFs τύπου JK θετικής ακμής πυροδότησης να σχεδιάσετε σύγχρονο ακολουθιακό κύκλωμα το οποίο να διατρέχει τις καταστάσεις 0, 4, 6, 3, 1, 0, 4, 6,...

Άσκηση 2 - Λύση Καταλαβαίνουμε ότι το κύκλωμά μας θα πρέπει να αποτελείται από τρία FFs τύπου JK, αφού σε όλες τις περιπτώσεις αυτό θα πρέπει να διατρέχει τις καταστάσεις 0, 4, 6, 3, 1, 0, 4, 6,... Στη γενική περίπτωση κυκλώματος που αποτελείται από 2 n δυνατές καταστάσεις, έχουμε συνολικά n FFs. 2 n = 5 καταστάσεις n = 3 FFs Επομένως, αρχίζουμε τη σχεδίαση ακολουθώντας τα βήματα σχεδίασης ΣΑΚ.

Άσκηση 2 - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Με την χρήση FFs τύπου JK θετικής ακμής πυροδότησης να σχεδιάσετε σύγχρονο ακολουθιακό κύκλωμα το οποίο να διατρέχει τις καταστάσεις 0, 4, 6, 3, 1, 0, 4, 6,... Υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων, υποθέτοντας ότι όλες οι καταστάσεις που δεν ανήκουν στη ζητούμενη αλληλουχία, οδηγούν στην κατάσταση 000.

Άσκηση 2 - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Τα τμήματα της παρούσας και επόμενης κατάστασης βρίσκονται απ' ευθείας από το διάγραμμα καταστάσεων.

Άσκηση 2 - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Το τρίτο τμήμα όμως του πίνακα καταστάσεων, το οποίο περιέχει τις αντίστοιχες τιμές των εισόδων J, K των FFs, συμπληρώνεται γραμμή προς γραμμή με την βοήθεια του πίνακα διέγερσης για το JK FF.

Άσκηση 2 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Από το τρίτο τμήμα του πίνακα καταστάσεων μπορούμε άμεσα να πούμε ότι για την συγκεκριμένη περίπτωση ισχύει (θεωρώντας πάντοτε ότι X=0): J Α = Q Α Q Β Q C Κ Α = Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C J Β = Q Α Q Β Q C Κ Β = Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C J C = Q Α Q Β Q C Κ C = Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C

Άσκηση 2 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Οι συναρτήσεις που μόλις προσδιορίσαμε είναι σωστές, δεν είναι όμως και οι πλέον απλές, αφού δεν αξιοποιήσαμε τις συνθήκες αδιαφορίας! Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας χάρτες Karnaugh, για κάθε μια είσοδο των FFs χωριστά, με βάση τον πίνακα καταστάσεων.

Άσκηση 2 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs.

Άσκηση 2 - Λύση Βήμα Σ3: Σχεδιάζουμε το λογικό κύκλωμα. Γνωρίζοντας πλέον τις συναρτήσεις της κάθε εισόδου των FFs, προχωρούμε στην τελική σχεδίαση του λογικού κυκλώματος...με logisim

Άσκηση 3 Προδιαγραφές Με την χρήση FFs τύπου D αρνητικής ακμής πυροδότησης να σχεδιάσετε σύγχρονο ακολουθιακό κύκλωμα το οποίο να διατρέχει τις καταστάσεις 0,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,...

Άσκηση 3 - Λύση Καταλαβαίνουμε ότι το κύκλωμά μας θα πρέπει να αποτελείται από τρία FFs τύπου D, αφού σε όλες τις περιπτώσεις αυτό θα πρέπει να διατρέχει τις καταστάσεις 0,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,... Στη γενική περίπτωση κυκλώματος που αποτελείται από 2 n δυνατές καταστάσεις, έχουμε συνολικά n FFs. 2 n = 8 = 2 3 καταστάσεις n = 3 FFs Επομένως, αρχίζουμε τη σχεδίαση ακολουθώντας τα βήματα σχεδίασης ΣΑΚ.

Άσκηση 3 - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Με την χρήση FFs τύπου D αρνητικής ακμής πυροδότησης να σχεδιάσετε σύγχρονο ακολουθιακό κύκλωμα το οποίο να διατρέχει τις καταστάσεις 0,1,2,3,4,5,6,7,0,1,2,...

Άσκηση 3 - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Τα τμήματα της παρούσας και της επόμενης κατάστασης βρίσκονται απ' ευθείας από το διάγραμμα καταστάσεων.

Άσκηση 3 - Λύση Βήμα Σ1: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος και από αυτό υπολογίζουμε τον πίνακα καταστάσεων. Το τρίτο τμήμα όμως του πίνακα καταστάσεων, το οποίο περιέχει τις αντίστοιχες τιμές της εισόδου D των FFs, συμπληρώνεται γραμμή προς γραμμή με την βοήθεια του πίνακα διέγερσης για το D FF. Παρατήρηση για τα D FFs: Οι είσοδοι των D FFs του πίνακα καταστάσεων παρατηρούμε ότι είναι ίδιες με την επόμενη κατάσταση Q t+1 του πίνακα διέγερσης.

Άσκηση 3 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Από το τρίτο τμήμα του πίνακα καταστάσεων μπορούμε άμεσα να πούμε ότι για την συγκεκριμένη περίπτωση ισχύει : D Α = Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C D Β = Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C D C = Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C + Q Α Q Β Q C

Άσκηση 3 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs. Οι συναρτήσεις που μόλις προσδιορίσαμε είναι σωστές, δεν είναι όμως και οι πλέον απλοποιημένες! Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας χάρτες Karnaugh, για κάθε μια είσοδο των FFs χωριστά, με βάση τον πίνακα καταστάσεων.

Άσκηση 3 - Λύση Βήμα Σ2: Προσδιορίζουμε τις απλοποιημένες συναρτήσεις εισόδου των FFs.

Άσκηση 3 - Λύση Βήμα Σ3: Σχεδιάζουμε το λογικό κύκλωμα. Γνωρίζοντας πλέον τις συναρτήσεις της κάθε εισόδου των FFs, προχωρούμε στην τελική σχεδίαση του λογικού κυκλώματος.

Άσκηση 4 Το ακολουθιακό κύκλωμα με δύο D flip flops Α και Β και ένα input X έχει τις εξής ιδιότητες. Για Χ = 0, η κατάσταση του κυκλώματος παραμένει η ίδια. Για Χ = 1, το κύκλωμα ακολουθεί τις καταστάσεις από 00 σε 10 σε 11 σε 01 και πίσω σε 00 και επαναλαμβάνεται. Ποιες εξισώσεις εκφράζουν το πιο πάνω κύκλωμα; Επιλέξτε την σωστή απάντηση.

Άσκηση 4 a) D A = AB + AX + B X D B = AX + BX b) D A = AB + AX + B X D B = A X + BX c) D A = AB + B X D B = AX + BX d) D A = AB + AX + B X D B = AX + BX

Άσκηση 4 Λύση Με βάση την περιγραφή του κυκλώματος οδηγούμαστε στην κατασκευή του πιο κάτω διαγράμματος καταστάσεων:

Άσκηση 4 Λύση Με βάση την περιγραφή του κυκλώματος οδηγούμαστε στην κατασκευή του πιο κάτω πίνακα καταστάσεων:

Άσκηση 4 Λύση Από τον πίνακα διέγερσης του D FF υπολογίζουμε τις τιμές των εισόδων:

Άσκηση 4 Λύση Από τον πίνακα διέγερσης του D FF υπολογίζουμε τις τιμές των εισόδων: D Α = X AB + X AB + XA B + XAB D Β = X A B + X AB + XAB + XAB

Άσκηση 4 Λύση Κατασκευάζουμε τους χάρτες Karnaugh για κάθε είσοδο: Τελικά προκύπτουν οι δύο παρακάτω εξισώσεις: Σωστή Απάντηση: a

Συμπεράσματα Διάγραμμα Ανάλυσης και Σχεδίασης ΣΑΚ

Συμπεράσματα Οι πίνακες λειτουργίας των FFs είναι απαραίτητοι για την ανάλυση των ΣΑΚ, ενώ οι πίνακες διέγερσης των FFs απαιτούνται για την σχεδίαση των ΣΑΚ. Ο πίνακας καταστάσεων ενός ΣΑΚ αποτελείται από 2 n+m γραμμές (δυνατές περιπτώσεις), όπου n το πλήθος των FFs του κυκλώματος και m ο αριθμός των εξωτερικών εισόδων αυτού. Ο τύπος πυροδότησης των FFs δεν παίζει ρόλο στην ανάλυση ή σχεδίαση ενός ΣΑΚ.

Συμπεράσματα Σημαντική Παρατήρηση στη σχεδίαση ΣΑΚ: Όταν μας δίνεται ένα σύνολο από καταστάσεις που διατρέχει ένα FF και θέλουμε να βρούμε το σύνολο των FFs που θα χρησιμοποιήσουμε, αυτό που παρατηρούμε δεν είναι μόνο το πόσες διαφορετικές καταστάσεις διατρέχει ένα FF, αλλά και τον μεγαλύτερο αριθμό από την ακολουθία των καταστάσεων που μας έχει δοθεί. Προκειμένου να καλύψουμε όλες τις δυνατές καταστάσεις χρησιμοποιούμε τόσα FFs όσα χρειάζονται να καλυφθούν και οι ενδιάμεσες καταστάσεις που δεν αναφέρονται στην ακολουθία που μας έχει δοθεί.

Συμπεράσματα Σημαντική Παρατήρηση στη σχεδίαση ΣΑΚ: Παράδειγμα 1: Έστω ότι ένα FF διατρέχει ακολουθιακά τις καταστάσεις 0, 1, 2, 3, 0, 1 Οι καταστάσεις που διατρέχει σύμφωνα με τον τύπο είναι 2 n = 4 καταστάσεις n = 2 FFs Χρησιμοποιώντας 2 FFs καλύπτουμε όλες τις δυνατές καταστάσεις. Επομένως το σύνολο των FFs είναι 2.

Συμπεράσματα Σημαντική Παρατήρηση στη σχεδίαση ΣΑΚ: Παράδειγμα 2: Έστω ότι ένα FF διατρέχει ακολουθιακά τις καταστάσεις 0, 1, 3, 7, 0, 1, Ενώ οι καταστάσεις που διατρέχει σύμφωνα με τον τύπο είναι 2 n = 4 καταστάσεις n = 2 FFs Χρησιμοποιώντας μόνο 2 FFs δεν καλύπτουμε όλες τις δυνατές ενδιάμεσες καταστάσεις. Επομένως, το σύνολο των FFs που θα χρησιμοποιήσουμε είναι 3 και όχι 2 (όπως στο παράδειγμα της προηγούμενης διαφάνειας).

Συμπεράσματα Σημαντική Παρατήρηση στη σχεδίαση ΣΑΚ: Παράδειγμα 3: Έστω ότι ένα FF διατρέχει ακολουθιακά τις καταστάσεις 0, 1, 3, 7, 2, 0, 1, Οι καταστάσεις που διατρέχει σύμφωνα με τον τύπο είναι 2 n = 5 καταστάσεις n = 3 FFs Χρησιμοποιώντας 3 FFs καλύπτουμε όλες τις δυνατές ενδιάμεσες καταστάσεις. Επομένως, το σύνολο των FFs είναι 3.