.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες : ηµ ω + συν ω εφω συνω ΣΧΟΛΙΑ. Χρησιµότητα των τύπων : Ξέρω έναν τριγωνοµετρικό αριθµό και βρίσκω τους άλλους Αποδεικνύω τριγωνοµετρικές ταυτότητες. Ο τύπος ηµ ω + συν ω : Από τον τύπο αυτό βρίσκουµε και πρέπει να θυµόµαστε ότι ηµ ω συν ω συν ω ηµ ω 3. Μέθοδος : Για να αποδείξουµε µία τριγωνοµετρική ταυτότητα ή ξεκινάµε από το ένα µέλος και µετά από κατάλληλη επεξεργασία φτάνουµε στο άλλο ή επεξεργαζόµαστε ολόκληρη την ταυτότητα και φτάνουµε σε κάποια που ισχύει. Στα πλαίσια της όποιας επεξεργασίας : Όταν έχουµε εφαπτοµένες και θέλουµε ηµιτονοσυνηµίτονα κάνουµε την αντικατάσταση εφ ηµ συν Όταν έχουµε ηµίτονα και θέλουµε συνηµίτονα κάνουµε την αντικατάσταση ηµ ω συν ω Όταν έχουµε συνηµίτονα και θέλουµε ηµίτονα κάνουµε την αντικατάσταση συν ω ηµ ω
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες. α) Αν ηµ ω 0 τότε συν ω Σ β) Για κάθε γωνία ω ισχύει συν ω ηµ ω Λ γ) Αν 3 και συνω τότε εφω 3 Σ δ) Υπάρχει γωνία ω τέτοια ώστε και συνω 3 Λ ε) Αν συνω 0 τότε Λ στ) εφ0 ο ο ηµ0 ο συν70 Σ ζ) ηµ 3 ο + συν ο Σ α) Αν ηµ ω 0 ο τύπος ηµ ω + συν ω γίνεται συν ω. Πρόταση σωστή β) Είναι συν ω ηµ ω. Πρόταση λάθος γ) εφω συνω δ) 3 3. Πρόταση σωστή ηµ ω + συν ω άρα + 3 6 + 9 6 0 Πρόταση λάθος 6 ε) Αν συνω 0 ο τύπος ηµ ω + συν ω γίνεται ηµ ω οπότε ± Πρόταση λάθος στ) ο ο ηµ0 ηµ0 ο ο συν70 συν0 εφ0ο Πρόταση σωστή ζ) ηµ 3 ο + συν ο ηµ 3 ο + ( συν3 ο ) ηµ 3 ο + συν 3 ο Πρόταση σωστή
3. α) Αν 3 και 0ο < ω < 90 ο, να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας ω. β) Αν συνω και 90 ο < ω < 80 ο, να υπολογιστούν οι υπόλοιποι 3 τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας ω. γ) Αν εφω και 90 ο < ω < 80 ο, να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας ω α) συν ω ηµ 3 ω 9 6 7 6 Άρα συνω εφω συνω β) 7 3 7 ή συνω 7 ηµ ω συν ω 3 3 7 69 69 και επειδή 0 ο < ω < 90 ο, είναι συνω Άρα 3 ή 3 και επειδή 90ο < ω < 80 ο, είναι 3 εφω συνω 3 3 γ) εφω άρα συνω οπότε συνω () Ο τύπος ηµ ω + συν ω γίνεται ( συνω) + συν ω συν ω + συν ω συν ω Σχόλιο 7 συν ω συνω ± Η () δίνει ( ) και επειδή 90 ο < ω < 80 ο είναι συνω
3. Αν 3 και 90ο < ω < 80 ο να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α 3συνω + εφω συνωεφω συν ω ηµ 3 ω 9 6 Άρα συνω ή συνω εφω συνω Α 3 3 3συνω + εφω συνωεφω 3 και επειδή 90 ο < ω < 80 ο, είναι συνω 3 3 + 3 6 + 0 6 7. Να αποδείξετε ότι ηµ x συν x συν x ηµ x ηµ x συν x συν x συν x συν x ηµ x συν x ηµ x ( ηµ x) ηµ x + ηµ x ηµ x Σχόλιο 3. Αν συνx 0 και 0 ο < x < 90 ο, να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x. συνx 0 άρα συνx () Ο τύπος ηµ x + συν x γίνεται ηµ x + ( ) ηµ x ± Η () δίνει συνx, και επειδή 0 ο < x < 90 ο, θα είναι τότε εφx συνx
6. Να δείξετε ότι συν ω + ηµ ω i (ηµα + συν α) + 8ηµασυνα συν ω + ηµ ω (συν ω + ηµ ω) i (ηµα + συν α) ηµ α + 8ηµασυνα + συν α ( ηµ α + συν α) + 8 ηµα συνα + 8 ηµα συνα + 8ηµασυνα Σχόλιο 3 7. Να δείξετε ότι (συν θ + 3ηµθ) + (ηµθ 3συνθ) 3 (συν θ + 3ηµθ) + (ηµθ 3συνθ) συν θ + 30ηµθσυνθ + 9 ηµ θ + ηµ θ 30ηµθσυνθ + 9 συν θ 3συν θ + 3 ηµ θ 3(συν θ + ηµ θ) 3 8. Αν x ηµθ και y συνθ δείξτε ότι x + y 6 i xηµθ + y συνθ x + y (ηµθ) + (συνθ) 6ηµ θ + 6 συν θ 6( ηµ θ + συν θ) 6 i xηµθ + y συνθ ηµθ ηµθ + συνθσυνθ ηµ θ + συν θ ( ηµ θ + συν θ)
6 9. Να αποδείξετε ότι ηµ θ +συνθ συν θ +συνθ ηµ θ +συνθ συνθ ii ) ηµθ συνθ +συνθ ηµθ ( συνθ)( + συνθ) +συνθ συνθ i ηµθ +συνθ ηµθ( συνθ) (+συνθ)( συνθ) ηµθ( συνθ) συν θ ηµθ( συνθ) συνθ ηµ θ ηµθ 0. Να αποδείξετε ότι ηµ ο + συν 6 ο ii ) ηµ ( ο + x) + συν (6 ο x) ο, 6 ο παραπληρωµατικές άρα ίσα ηµίτονα ηµ ο + συν 6 ο ηµ 6 ο + συν 6 ο ( ισχύει ηµ ο ηµ6 ο ) i Είναι ( o + x) + (6 o x) o + x + 6 o x 80 o Άρα ηµ( o + x ) ηµ(6 o x ) Οπότε ηµ ( ο + x) + συν (6 ο x) ηµ (6 o x) + συν (6 ο x)
7. Να αποδείξετε ότι + εφω + συνω i εφ ω( ηµ ω) ηµ ω εφω ii συν ω + εφ ω + ηµ ω iν) ηµ ω + ηµ ω εφ ω εφ ω συν ω + εφω εφω i εφ ω( ηµ ω) + συνω συνω συνω + συνω συνω συνω ηµ ω συν ω συν ω ηµ ω ii συν ω + εφ ω + ηµ ω (συν ω + ηµ ω) + εφ ω + εφ ηµ ω ω + συν ω συν ω + ηµ ω συν ω συνω + + συνω + συν ω iν) ηµ ω + ηµ ω εφ ω ηµ ω ( + εφ ω) ηµ ηµ ω ω + συν ω ηµ συν ω + ηµ ω ω ηµ ω συν ω συν ω ηµ ω συν ω εφ ω. Να αποδείξετε ότι ηµ ω συν ω ηµ ω i ηµ x + συν x ηµ xσυν x ii συνx + συνx συνx ν) + συνx + + συνx εφ x iν) συν x + εφ x
8 ηµ ω συν ω (ηµ ω συν ω)( ηµ ω + συν ω) (ηµ ω συν ω) ηµ ω συν ω ηµ ω ( ηµ ω) ηµ ω + ηµ ω ηµ ω i ηµ x + ii συν x συν x + ηµ x ηµ xσυν x ηµ xσυν x συνx + συνx ηµ x συνx + συν x συνx ηµ x+συν x συνx iν) εφ x + εφ x ν) ηµ x συν x ηµ x + συν x συν x ηµ x συν x συν x + ηµ x συν x συν x ηµ x συνx συν x ( συν x) συν x + συν x συν x + συνx + + συνx ( + συνx) ( + συνx) + ηµ x ( + συνx) + συνx + συν x + ηµ x + συνx + ( + συνx) ( + συνx) + συνx ( + συνx) ( + συνx) ( + συνx)
9 3. Να αποδείξετε ότι α) εφ 0 ο συν 0 ο + συν 0 ο β) ηµ0 ο ηµ0 ο συν0 ο συν0 ο γ) ηµ(80 ο x)συνx εφ(80 ο x) ηµ x α) εφ 0 ο συν 0 ο + συν 0 ο εφ 0 ο συν 0 ο + ( συν0 ο ) β) εφ 0 ο συν 0 ο +συν 0 ο o ηµ 0 o συν 0 συν 0 ο + συν 0 ο ηµ 0 ο + συν 0 ο ηµ0 ο ηµ0 ο συν0 ο συν0 ο ηµ0 ο ηµ0 ο συν0 ο ( συν0 ο ) * ηµ 0 ο + συν 0 ο * ισχύουν ηµ0 ο ηµ0 ο και συν0 ο συν0 ο γ) ηµ(80 ο x)συνx εφ(80 ο x) ηµ(80 ο x)συνx o ηµ(80 x) o συν(80 x) συνx ηµ x συνx. Αν είναι x ρηµθσυνφ, y ρηµθηµφ και z ρσυνθ δείξτε ότι x + y + z ρ x + y + z (ρηµθσυνφ) + (ρηµθηµφ) + (ρσυνθ) ρ ηµ θσυν φ + ρ ηµ θηµ φ + ρ συν θ ρ ηµ θ(συν φ + ηµ φ ) + ρ συν θ ρ ηµ θ + ρ συν θ ρ (ηµ θ+ συν θ) ρ
0. Αν ηµθ λ + λ ηµ θ + συν θ άρα και συνθ λ λ να βρείτε τις τιµές του λ. λ+ λ + λ λ µε λ (λ+ ) λ + (λ ) (λ ) λ + λ 0 λ(λ + ) 0 άρα λ 0 ή λ δεκτές και οι δύο