Δυναμική συστημάτων πολλών σωμάτων

Περιγραφή της κίνησης πιο ρεαλιστικών «σωμάτων»(=συστημάτων), π.χ. ηκίνησηατόμωνενός αερίου, η κίνηση των νεφών, των θραυσμάτων σώματος μετά από έκρηξη αλλά και της Γης Σελήνης Ηλίου ή ενός στερεού σώματος κ.τ.λ. Όπως θα περιμέναμε, πρέπει να γράψουμε τις εξισώσεις κίνησης (Νόμος του Νεύτωνα) για κάθε σώμα και να επιλύσουμε το συνολικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Στην διαδικασία επίλυσης, ο χειρισμός των εξισώσεων οδηγεί σε ποσότητες που χαρακτηρίζουν ολόκληρο το σύστημα των σωμάτων. Τις ποσότητες αυτές είναι χρήσιμο να τις εισαγάγουμε ως χαρακτηριστικά μεγέθη (π.χ. Ορμή Συστήματος) μαζί με έννοιες όπως το Κέντρο Μάζας (Κ. Μ.), ή την διάκριση των δυνάμεων σε εξωτερικές και εσωτερικές κ.τ.λ. Έτσι, ό,τι μελετήσαμε μέχρι τώρα για Ορμή, Στροφορμή και Ενέργεια υλικού σημείου επεκτείνεται για συστήματα σωμάτων σε συνδυασμό με την εισαγωγή των νέων εννοιών. Η κίνηση μπορεί λοιπόν να μελετηθεί στο (αδρανειακό) σύστημα αναφοράς εργαστηρίου (Lσύστημα) ή στο C σύστημα αναφοράς (σύστημα κέντρου μάζας, όπου τοποθετούμε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς στο κέντρο μάζας του συστήματος). Το σύστημα αναφοράς Κ.Μ., από την απειρία των συστημάτων αναφοράς που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, έχει χαρακτηριστικά που απλοποιούν τις εξισώσεις μας. Έτσι, συνήθως οι πειραματικές μετρήσεις γίνονται στο πρώτο (L) αλλά, συνήθως, οι εξισώσεις είναι απλούστερες για επίλυση στο δεύτερο (C). Η περίπτωση που εξετάζουμε είναι γενικότερη από το στερεό σώμα όπου ισχύουν όλαόσα συζητηθούν εδώ αλλά σε απλούστερη μορφή αφού έχουμε σταθερή απόσταση μεταξύ των στοιχειωδώνμαζών ώ που το αποτελούν. 1/14

/14 υ 3 m 3 r 3 x z υ 1 m 1 r 1 r υ m y Ορμή συστήματος (ορισμός) Το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους ορμών των σωμάτων που το αποτελούν: p= p =m υ m υ +m υ +... Κέντρο μάζας συστήματος i 1 1 3 3 Ένα «φανταστικό» σημείο με διάνυσμα θέσης r c που προκύπτει ως «σταθμισμένος διανυσματικός μέσος όρος των θέσεων» (βάρη στάθμισης είναι οι μάζες): m r m r r i i i i m1 r1 m r +m3 r 3 +... c= m 1+m +m 3+... m i M dri mi mi υi drc dt p υ c = Τι ταχύτητα έχει το Κ.Μ.; Παράγωγος του r c dt = M M M Το κέντρο μάζας είναι λοιπόν ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη συνολική μάζα M του συστήματος και ορμή ίση με την ορμή του συστήματος, κινείται δε με την ταχύτητα υ c που προκύπτει από p/m. Παρατήρηση: Ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς τοποθετημένο στο κέντρο μάζας του συστήματος (C σύστημα αναφοράς), εξ ορισμού, η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι 0 και συνεπώς η ορμή του συστήματος ως προς το C σύστημα είναι πάντοτε 0 (σύστημα αναφορά μηδενικής ορμής).

F Δυναμική συστημάτων πολλών σωμάτων S 1 σύστημα σωμάτων, i=1 έως Ν1 S σύστημα σωμάτων, j=1 έως Ν S1 S 1 ext ext Εσωτερικές και Εξωτερικές δυνάμεις Έστω δύο αλληλεπιδρώντα συστήματα σωμάτων S 1 και S ενώ η ένωσή τους, S 1 +S, αποτελεί απομονωμένο σύστημα σωμάτων. Ηορμήp του συστήματος είναι σταθερή και 3/14 dps1 dps p= p i + pj ps1 ps σταθ. ps1 ps i j dt dt dp dp F dt dt λόγω των αλληλεπιδράσεων του με το περιβάλλον του. Εστιάζοντας στο ένα σύστημα,(διώχνοντας τους δείκτες S): Εξωτερική είναι η δύναμη που ασκείται σε ένα σύστημα dp dυc Fext M Mac dt dt Το κέντρο μάζας κινείται σαν ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη συνολική μάζα M του συστήματος κάτω από τη δράση της εξωτερικής δύναμης F ext. (Για αυτό «δικαιούμαστε» να μελετάμε την κίνηση στερεών σωμάτων μέσω της κίνησης του Κ.Μ. τους (όταν δεν μας ενδιαφέρει η περιστροφή τους ως προς το Κ.Μ. τους)).

Εσωτερικές και Εξωτερικές δυνάμεις (συνέχεια) 4/14 F 13 m 1 Πως συνδέεται όμως η «εξωτερική δύναμη στο σύστημα» με τις δυνάμεις που ασκούνται στα μέλη του συστήματος; F 1 F 3 dp F 1 dp dp3 F 31 1F1 F13 F F1F3 m 3 F 1 dt dt dt F 3 dp d(p1 p p ) dp1 dp dp3 F F F F F 1 dt dt dt dt dt F F F 3 31 3 1 3 ext F 3 m Εσωτερικές δυνάμεις: Οι δυνάμεις που περιγράφουν τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωμάτων του συστήματος. Συμβολισμός: F F ij ηδύναμηπουασκείταιστοσώμαi από το σώμα j. Από δράση αντίδραση θα έχουμε F ij = F ji. Θα θεωρούμε στα επόμενα ότι είναι δυνάμεις συντηρητικές και ασκούνται στον άξονα που ενώνει τις μάζες. Η συνισταμένη τους (ανάζεύγη και συνολική) είναι 0. Εξωτερικές δυνάμεις: Οι δυνάμεις F i που ασκούνται στα σώματα του συστήματος λόγω της αλληλεπίδρασής τους με το περιβάλλον του συστήματος. (Ήπιοαναλυτικά, ηεξωτερικήδύναμηf i είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα λόγω των αλληλεπιδράσεων του με κάθε ένα σώμα εξωτερικό προς το σύστημα). Η συνισταμένη όλων των F i είναι η εξωτερική δύναμη του συστήματος F ext.

Σύστημα δύο σωμάτων και ανηγμένη μάζα Θεωρούμε ένα απομονωμένο σύστημα δύο σωμάτων. Ο νόμος του Νεύτωνα για κάθε σώμα: υ 1 m 1 F 1 υ F 1 dp dυ F dp dυ F1 F1 F F1 dt dt m dt dt m m 1 1 1 1 1 Αφαιρώ κατά μέλη (κίνηση της m 1 ως προς την m ): m 1 1 d(υ υ ) dυ F F 1 1 1 a F F 1 1 1 1 1 1 1 dt dt m1 m m1 m μ 1 1 1 m m μ= μ m m m m 1 μ a F 1 1 Ανηγμένη μάζα, μ 5/14 Στο σύστημα των δύο σωμάτων η σχετική κίνηση των δύο μαζών κάτω από την αμοιβαία τους αλληλεπίδραση είναι ισοδύναμη με την κίνηση σε αδρανειακό σύστημα μίας μόνον μάζας ίσης με την ανηγμένη μάζα τους που κινείται κάτω από τη δράση δύναμης ίσης με αυτήν λόγω της αμοιβαίας αλληλεπίδρασής τους. «πρόβλημα δύο σωμάτων πρόβλημα ενός σώματος» Εάν η m >> m 1 τότε 1/m << 1/m 1, οπότε: 1 1 1 1 μ μ m m m 1 1 Τότε όμως το Κ.Μ. συμπίπτει με τη θέση της m και η m 1 κινείται γύρω από την m. Αλλιώς τα δύο σώματα κινούνται «γύρω» από το κέντρο μάζας τους. m 1

Σύστημα δύο σωμάτων και ανηγμένη μάζα (συνέχεια) 6/14 Και πως συνδέονται τα μεγέθη της σχετικής κίνησης με τα αντίστοιχα στο C σύστημα; Γνωρίζω: F 1 υ 1 m m υ m υ 1 1 1 υ c = m m 1 F 1 m υ m υ m (υ -υ ) m 1 1 1 υ1,c υ1υc υ1 υ m m m m m m F 1 υ F 1 m 1 υ... υ1,c m m m 1 1 1 1 p =p +p 0 F Φυσικά η ολική ορμή στο C σύστημα θα είναι μηδέν αφού: m m m p m υ =μυ 1 1,c 1 1 1 c 1,c,c m m m 1 p m υ =μυ μυ 1,c 1 1 1 1

Κίνηση συστήματος δύο σωμάτων στο πεδίο βαρύτητας Το σύστημα δεν είναι πια απομονωμένο. Αλλά: dp dυ F dp dυ F1 F m g g F1 m g g dt dt m dt dt m 1 1 1 1 1 1 Αφαιρώ κατά μέλη και καταλήγω και πάλι στην ίδια εξίσωση με πριν: μ a F 1 1 Οπότε μπορώ να μελετήσω ανεξάρτητα την κίνηση του ενός σώματος ως προς το άλλο (και ως προς το Κ.Μ.) και ανεξάρτητα την κίνηση του Κ.Μ. και να συνδυάσω τα αποτελέσματα. Κίνηση συστήματος Γης Σελήνης στο πεδίο βαρύτητας του Ήλιου dpγης mγης mηλίου dυγης FΓης-Σελήνης mηλίου F ˆ ˆ Γης-Σελήνης G u G u Γης-Ηλίου dt r dt m r Ήλίου-Γης Γης Ηλίου-Γης Σελήνης-Γης Σελήνης-Ήλιου Ήλιου-Σελήνης Ηλίου-Σελήνης Σελήνης Γης-Ηλίου dpσελήνης mσελήνης mηλίου dυσελήνης FΣελήνης-Γης mήλιου F G uˆ G uˆ dt r dt m r Σελήνης-Ηλίου 7/14 Στην προσέγγιση όπου η απόσταση Γης Σελήνης είναι πολύ μικρότερη από τις αποστάσεις των σωμάτωναπότονήλιοώστεr Γης Ηλίου r Σελήνης Ηλίου (οπότε και u Γης Ήλιου u Σελήνης Ήλιου ), τότε μπορώ να χρησιμοποιήσω την προηγούμενη ανάλυση. Αρκετά καλή προσέγγιση αφού:r Γης Σελήνη ~0.38. 10 6 km και r Γης Ηλίου ~150. 10 6 km, λόγος ~400

8/14 Παράδειγμα Βλήμα μάζας m εκτελεί πλάγια βολή με αρχική ταχύτητα υ ο και γωνία φ ενώ θεωρούμε αμελητέα την τριβή με τον αέρα. Στο μέγιστο ύψος εκρήγνυται σε δύο κομμάτια ίσων μαζών όπου, αμέσως μετά την έκρηξη, το ένα έχει ταχύτητα κατακόρυφη προς τα πάνω με μέτρο υ 1,ο. Να μελετηθεί η κίνηση του άλλου κομματιού με χρήση της έννοιας του Κ.Μ. y υ ο υ 1,ο υ (t)=? Γνωρίζουμε όλα τα χαρακτηριστικά της κίνησης του βλήματος (αρχή εξαμήνου): υ x =υ οx, υ y =υ οy gtκαι x=υ οx t, y=υ οy t 0.5 g t και y max = υ οy/(g) για x(y max )=υ οx υ οy /g φ Η έκρηξη εμπλέκει μόνον εσωτερικές δυνάμεις και η υ οx x κίνηση γίνεται στο βαρυτικό πεδίο της Γης (βλ. διαφ. 7) οπότε το Κ.Μ. θα συνεχίσει να κινείται όπως το βλήμα Ως προς το κέντρο μάζας του συστήματος η ορμή αν δεν είχε συμβεί η έκρηξη. Άρα οι παραπάνω σχέσεις είναι 0 και τα σώματα έχουν ταχύτητες: περιγράφουν ράφο τηνκίνηση ίηητου Κ.Μ. -m/ υ1,c p υ1,c υ1 υc υ,c υ υc υ υ,c υc υ1,c υ c (υ1 -υ c) υc 1,c p,c 0 υ,c = m/ υ υ +υ 1 c Το πρώτο σώμα όμως θα εκτελέσει από τη θέση του μεγίστου κατακόρυφη βολή προς τα πάνω άρα κατά y: υ 1 =υ 1,ο g(t υ οy /g), ενώ κατά x δεν αλλάζει η θέση του. Αντικαθιστώντας υπολογίζουμε την υ (t) (ολοκληρώστε τις πράξεις και προχωρήστε αναλόγως για τις θέσεις).

Στροφορμή συστήματος σωμάτων 9/14 Το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους στροφορμών των σωμάτων που το αποτελούν. L= L =r p +r p +...= m (r υ ) m (r υ )... i 1 1 1 1 1 Πως μεταβάλλεται η στροφορμή του συστήματος; Λύνουμε για δύο σώματα χωρίς βλάβη της γενικότητας. Οι εσωτερικές δυνάμεις, όπως είπαμε, θεωρούμε ότι ασκούνται μεταξύ των σωμάτων στον άξονα που ενώνει τα σώματα. υ 0 (F 1+F 1) υ 0 (F 1+F ) dl dl1 dl d(r p 1 1) d(r p 1 1) drd 1 dp drd dp = + = + p + r + p + r 1 1 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dl (r -r ) F +r F +r F r F +r F +r F r F +r F τ dt 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ext dl dt τext τ

Στροφορμή συστήματος σωμάτων (συνέχεια) Σχέση στροφορμής εκφρασμένης στο στο L και στο C σύστημα αναφοράς (για σώματα χωρίς βλάβη της γενικότητας): p=m υ =m (υ +υ )= p +m υ L=r1p 1 rp και p =...= p,c+m υc 1 1 1 1 1,c c 1,c 1 c r=r r=r r 1 1,c rc,c c L=r1 p1 rp ( r1,c r c) (p 1,c+m1υ c) (r,c r c) (p,c+mυ c) 1,c 1,c 1,c 1 c c 1,c c 1 c,c,c,c c c,c c c 0 10/14 (r p r m υ r p r m υ ) (r p r m υ r p r m υ ) r p r p r (p +p )+(m r m r ) υ (m +m ) r υ 1,c 1,c,c,c c 1,c,c 1 1,c,c c 1 c c r p r p r pll r p 1,c 1,c,c,c c c c Η στροφορμή L (στο L σύστημα) ισούται με το άθροισμα της «εσωτερικής στροφορμής Lc» (στροφορμή στοc σύστημα) και της στροφορμήςτου Κ.Μ. του συστήματος (στο L σύστημα). 0 dl dl d(r p) dl dr dp dl dl dt dt dt dt dt dt dt dt c c c c c p rc rc Fext dl τ ext r F+r F 1 1 (r 1,c r) F+(r c 1,c r) F c dt dl =r F+r F r (F+F ) τ +r F dt 1,c 1,c c 1 ext,c c ext 0 dl dt c τ ext,c

Κινητική Ενέργεια συστήματος (ορισμός): Ενέργεια συστήματος σωμάτων E= 1 mυ 1 m υ 1 m υ k 1 1 i i Όταν το σύστημα περνά από την κατάσταση Α στην Β, για κάθε ένα σώμα γνωρίζω ότι: E =E -E = 1 m υ 1 m υ W W +W E E =E -E 1 1 = m υ m υ W W +W k,1 k,1,b k,1,a 1 1,B 1 1,A 1,(A B) 1,ext,(A B) 1,int,(A B) k, k,,b k,,a,b,a,(a B),ext,(A B),int,(A B) E=E -E =W W +W και συνεπώς για το σύστημα : k k,b k,a (AB) ext,(ab) int,(ab) B W = F dr + F dr B όπου: B B B B A W A int,(ab) = F1 dr 1+ F1 dr F1 d(r1 r ) F1 dr1 ext,(a B) 1 1 A A A A Το έργο των εσωτερικών δυνάμεων είναι συνάρτηση μόνον των σχετικών μετατοπίσεων των σωμάτων και εφόσον θεωρούμε τις δυνάμεις συντηρητικές τότε μπορεί να οριστεί η Εσωτερική Δυναμική Ενέργεια Ε p,int (r 1, ) του συστήματος που είναι ανεξάρτητη του συστήματος αναφοράς. B W = F dr =E E int,(a B) A 1 1 p,int,a p,int,b E -E =W +(E E ) (E +E )-(E +E )=W U -U =W 11/14 k,b k,a ext,(ab) p,int,a p,int,b k,b p,int,b k,a p,int,a ext,(ab) B A ext,(ab) Η κανονική ενέργεια U είναι το άθροισμα της εσωτερικής δυναμικής ενέργειας (ανεξάρτητη συστήματος αναφοράς) και της κινητικής ενέργειας (που εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς), ενώ η μεταβολή της ισούται με το έργο των εξωτερικών δυνάμεων (διατηρείται αν δεν υπάρχουν). 1 U=E k+e p,int m υ E i i p,int,j pint U=W ext(a B) ό ύ

Ενέργεια συστήματος σωμάτων (συνέχεια) S 1 απομονωμένο σύστημα σωμάτων με K.E. U 1 S απομονωμένο σύστημα σωμάτων με K.E. U U=E +E 1/14 S 1 + S απομονωμένο σύστημα σωμάτων με K.E. U=U 1+U, ΔU=0 k p,int Υπενθύμιση: Γενικά U 1+U U 1 +U Εάν και η κινητική ενέργεια εκφραστεί στο C σύστημα (δηλαδή οι ταχύτητες εκφραστούν στο σύστημα Κ.Μ. και ονομάζεται και Εσωτερική Κινητική Ενέργεια Ε k,c Ε k,int ), τότε μιλάμε για την Εσωτερική (Κανονική) Ενέργεια U int : U =E +E int k,int ki p,int Τέλος, εάν και οι εξωτερικές δυνάμεις είναι συντηρητικές, υπάρχει δηλαδή συνάρτηση δυναμικού Ε p,ext ώστε: W E -E ext,(ab) p,ext,a p,ext,β τότε μπορούμε να ορίσουμε την Ολική Ενέργεια Ε ολ. η οποία αναγκαστικά διατηρείται: E ολ. =E k +Ep,int Ep,ext U+E p,ext, Eολ. 0 Στα πλαίσια του μαθήματος ουσιαστικά αναφερόμαστε στην Μηχανική Ενέργεια, αλλά ο όρος ενέργεια απαντάται στο σύνολο των φυσικών φαινομένων (και όχι μόνον!) με διάφορα ονόματα: Μηχανική Ενέργεια, Θερμική Ενέργεια (Θερμότητα), Ηλεκτρική Ενέργεια, Χημική Ενέργεια, Ακουστική Ενέργεια, Μαγνητική Ενέργεια, Ενέργεια Ακτινοβολίας (Η/Μ ακτινοβολία, φως), Μάζα (E=mc²), Σκοτεινή Ενέργεια

Κρούσεις 13/14 m 1, υ 1 m, υ p+p=p p ' ' 1 1 m 1, υ 1 m, υ Απομονωμένο σύστημα Ε ολ. =U=σταθ. E +E E +E ' ' k p,int k p,int Q=0 Ελαστική, η Ε k (και η Ε p,int ) του συστήματος διατηρείται Q=0 μη Ελαστική, η Ε k (και η Ε p,int ) του συστήματος δεν διατηρείται: Q>0 εξώθερμη, μέρος της Ε p,int γίνεται κινητική ενέργεια Q<0 ενδόθερμη, η Ε p,int αυξάνει σε βάρος της κινητικής ενέργειας Η ανταλλαγή ορμής ή/και ενέργειας κατά την αλληλεπίδραση σωμάτων που βρίσκονται «κοντά». ά Κλίμακα χώρου και αντίστοιχα χρόνου: κρούση έχουμε για μπάλες μπιλιάρδου ή για αυτοκίνητα, αλλά και για κομήτη με τον Ήλιο. Στην τελευταία περίπτωση εμείς είμαστε εντός του χώρου της κρούσης και παρακολουθούμε την εξέλιξή της. Συνήθως το σύστημα είναι (ή μπορούμε να το θεωρήσουμε) απομονωμένο και γνωρίζουμε την κατάσταση πριν και μετά την κρούση συνάγουμε συμπεράσματα για τις διαδικασίες της κρούσης (CER!), ή γνωρίζουμε την κατάσταση πριν και τις διαδικασίες της κρούσεις προβλέπουμε την κατάσταση μετά την κρούση. Οιμάζεςμπορείναείναιίδιεςπρινκαιμετάαλλάμπορείκαινα αλλάζουν, π.χ. σεχημικήήπυρηνικήαντίδρασηm 1 AB, m C και m 1A, m BC. Εάν οι μάζες/σωμάτια δεν αλλάζουν συνήθως περιγράφεται ως σκέδαση. Ορίζοντας μία ποσότητα ενέργειας Q ως: ΔΕ k = ΔΕ p,int,(το Q όπως και η Ε p,int ανεξάρτητη του συστήματος αναφοράς) μπορούμε να χαρακτηρίσουμε την κρούση: p p p p = + +Q m m m m ' ' 1 1 ' ' 1 1

Κρούσεις (αντιδράσεις σύλληψης) 14/14 m 1, υ 1 π.χ. ένα νετρόνιο συλλαμβάνεται από έναν πυρήνα Υδρογόνου και σχηματίζει Δευτέριο ή δύο πλαστικά σώματα συγκρούονται και συνεχίζουν μετά ως ένα νέο σώμα (συσσωμάτωμα). Πόσο είναι το Q στις περιπτώσεις αυτές; m 1,+m, υ 3 =υ c Θεωρούμε το σύστημα απομονωμένο: άρα υ c =σταθ. και ίση με την ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται: m υ m υ υ = m m 1 1 m, υ c 1 σταθ. Q=E E 1 (m +m ) υ ( 1 m υ 1 m υ ) 1 μυ ' k k 1 c 1 1 1 Q 0 ενδόθερμη (η Ε p,int αυξάνει σε βάρος της κινητικής ενέργειας) Παρατήρηση: προηγούμενα στα συστήματα μεταβλητής μάζας και προκειμένου να εξαγάγουμε την μορφή του νόμου του Νεύτωνα για σώμα αυξανόμενης μάζας, είχαμε παρατηρήσει ότι ουσιαστικά έχουμε μια συνεχή αλληλουχία α πλαστικών κρούσεων. Είχαμε τονίσει δε ότι το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας ΔΕΝ πρέπει να χρησιμοποιείται διότι νωρίτερα για την απόδειξή του θεωρήσαμε σταθερή τη μάζα του σώματος. Παραπάνω φαίνεται καθαρά το γιατί από ενεργειακή άποψη: ηδιαδικασίαείναιενδόθερμηκαιανεφαρμόσουμετοθμκεγιατομηχανικό σύστημα παραλείπουμε ουσιαστικά την ενέργεια Q, γεγονός που οδηγεί σε λανθασμένα αποτελέσματα.