ΘΕΜΑ 1 ο ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΑΘΗΝΩΝ 016 i. Να αποδείξετε την προσεταιριστική ιδιότητα ( α β) γ α( β γ) =, όπου α,β,γ N και να την αναπαραστήσετε γεωμετρικά με ένα δικό σας παράδειγμα κατάλληλο για παιδιά δημοτικού σχολείου. ii. Αναφέρετε δύο παραγείγματα για να δείξετε στους μαθητές στην τάξη πως χρησιμοποιείται αυτή η ιδιότητα. i. Θεωρία από το βιβλίο: Γ. Δημάκος Κ. Μπρουχούτας Μεθοδολογία Λύσης Αριθμητικών Προβλημάτων Κεφάλαιο ο, Σελ. 60 61. ii. Παράδειγμα 1 ο Ας θεωρήσουμε ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις 30, 40, 50 εκατοστά. Γνωρίζουμε ότι ό όγκος του κουτιού είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος του. Δηλαδή: Όγκος = Ε Ύψος βάσης ( ) = 30 40 50 = 100 50 = 60.000 κ.εκ. Στρέφοντας κατάλληλα το κουτί έτσι ώστε η βάση να έχει διαστάσεις 40 και 50 εκ. Τώρα ο όγκος του κουτιού είναι: Όγκος = Ε Ύψος βάσης ( 40 50) 30 30 ( 40 50) = = = 30 000 = 60.000 κ.εκ. Επιμέλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 1
ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΑΘΗΝΩΝ 016 Έχουμε δείξει ότι: ( 30 40) 50 = 30 ( 40 50) Παράδειγμα ο Τοποθετούμε από 4 χαρτονομίσματα των 10 σε φακέλους και συμπληρώνεται το ποσό: ( 4 10) = 40 = 80 Εναλλακτικά τοποθετούμε σε 4 φακέλους από χαρτονομίσματα των 10 και συμπληρώνεται το ποσό: 4 ( 10 ) = 4 0 = 80 και έτσι δείξαμε ότι: ( 4 10) = 4 ( 10 ) Επιμέλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ.
ΘΕΜΑ ο ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΑΘΗΝΩΝ 016 Έχετε στη διαθεσή σας 1.78 κυβάκια. i. Να αναφέρετε έναν τρόπο με τον οποίο θα διδάξετε την αξία θέσης ψηφίου αναπαριστώντας τον αριθμό αυτό με τα κυβάκια. ii. Να αναπαραστήσετε τον ίδιο αριθμό στο επταδικό σύστημα αρίθμησης. i. Με τα 1.78 κυβάκια που διαθέτουμε ακολουθούμε τα επόμενα βήματα. Βήμα 1 ο. Ομαδοποιούμε σε 17 δεκάδες τα 1.70 κυβάκια και περισσεύουν 8 κυβάκια, μονάδες. Βήμα ο. Ομαδοποιούμε τις 10 δεκάδες σε 1 εκατοντάδες και έχουν μείνει 7 δεκάδες και 8 μονάδες. Βήμα 3 ο. Ομαδοποιούμε τις 1 εκατοντάδες σε 1 χιλιάδα και μένουν εκατοντάδες, 7 δεκάδες και 8 μονάδες. Έτσι οι 178 μονάδες κυβάκια που σχηματίζουν τον αριθμό 1.78 έχουν ομαδοποιηθεί σε 1 χιλιάδα, εκατοντάδες, 7 δεκάδες και 8 μονάδες. Έτσι ο αριθμός 178 έχει εκφραστεί με τη βοήθεια δυνάμεων του 10 με τον συντελεστή της η κάθε μία όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι συντελεστές αυτοί σχηματίζουν τον αριθμό. Έχουμε δηλαδή: 3 1 0 1.78 = 1 10 + 10 + 7 10 + 8 10 Επιμέλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 3
ii. ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΑΘΗΝΩΝ 016 Μετατρέπουμε τώρα τον αριθμό 1.78 στο επταδικό σύστημα αρίθμησης. 1.78 = 7 18 + 4 ( ) ( ) = 7 7 6 + 4 = 7 6 + 4 = 7 7 3 + 5 + 4 3 = 7 3 + 7 5 + 4 3 1 0 = 3 7 + 5 7 + 0 7 + 4 7 Οι συντελεστές των δυνάμεων του 7 σχηματίζουν τον αριθμό στο επταδικό σύστημα αρίθμησης. Επομένως είναι: ( 178) = ( 3504) 10 7 Η σχηματική αναπαράσταση με τα κυβάκια έχει ως εξής: Με τα 1.78 κυβάκια που διαθέτουμε αναπαραστήσουμε τον αριθμό στο επταδικό σύστημα ακολουθώντας τα επόμενα βήματα. Βήμα 1 ο. Ομαδοποιούμε σε 18 επτάδες τα 170 κυβάκια και περισσεύουν 4 κυβάκια, μονάδες. Βήμα ο. Ομαδοποιούμε τις 18 επτάδες σε 6 ακριβώς ομάδες με 7 = 49 κυβάκια η κάθε μία και έχουν μείνει και 4 μονάδες. Βήμα 3 ο. Ομαδοποιούμε τις 6 ομάδες των 49 μονάδων σε 3 ομάδες 3 των 7 = 343 μονάδων η κάθε μία και μένουν 5 ομάδες των 49 μονάδων και 4 μονάδες. Έτσι οι 1.78 μονάδες κυβάκια σχηματίζουμε 3 ομάδες με 3 7 = 343 μονάδες η κάθε μία, 5 ομάδες των 7 = 49 μονάδων η κάθε μία, 0 ομάδες των 7 μονάδων η κάθε μία και 4 απλές μονάδες. Στην επόμενη σελίδα ακολουθεί η σχηματική αναπαράσταση. Επιμέλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 4
ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΑΘΗΝΩΝ 016 ΘΕΜΑ 3 ο Σε ένα κατάστημα ηλεκτρικών ειδών οι 3 τηλεοράσεις κοστίζουν όσο 4 tablets και τα 5 tablets όσο τα 3 κινητά.αν αγοράσει κάποιος 5 τεμάχια από το κάθε είδος θα πληρώσει 9.000 ευρώ.να βρείτε πόσο κοστίζει η μία τηλεόραση, το ένα tablet, και το ένα κινητό. Να προτείνετε έναν τρόπο λύσης κατάλληλο για μαθητές Ε τάξης του δημοτικού σχολείου. (Τα μοντέλα κάθε είδους είναι τα ίδια). 4 tablets κοστίζουν όσο 3 τηλεοράσεις. 5 tablets κοστίζουν όσο 3 κινητά. Προσθέτοντας έχουμε ότι: 9 tablets κοστίζουν όσο 3 τηλεοράσεις και 3 κινητά μαζί. Διαιρώντας με το 3 έχουμε ότι: Επιμέλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 5
ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΑΘΗΝΩΝ 016 3 tablets κοστίζουν όσο 1 τηλεόραση και 1 κινητό μαζί. (1) Όμως: 5 tablets, 5 τηλεοράσεις και 5 κινητά μαζί κοστίζουν 9.000. Διαιρώντας με το 5 έχουμε: 1 tablet, 1 τηλεόραση και 1 κινητό μαζί κοστίζουν 9.000: 5 = 1.800. Αντικαθιστώντας τη 1 τηλεόραση και το 1 κινητό, από το συμπέρασμα (1), με 3 tablets έχουμε ότι: 4 tablets κοστίζουν 1.800, οπότε: 1 tablet κοστίζει 1.800: 4 = 450 3 τηλεοράσεις κοστίζουν όσο 4 tablets δηλαδή 4 450 = 1.800, οπότε: 1 τηλεόραση κοστίζει 1.800: 3 = 600. 3 κινητά κοστίζουν όσο 5 tablets, δηλαδή 5 450 =.50, οπότε: 1 κινητό κοστίζει.50: 3 = 750. ΘΕΜΑ 4 ο Να γράψετε τον αριθμό 101 ως άθροισμα με προσθετέους τους αριθμούς, 7, 4 και 10, έτσι ώστε καθένας από αυτούς να μην χρησιμοποιηθεί περισσότερες από 3, 5, 4 και 7 φορές αντίστοιχα. Ξεκινώντας από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο από τους αριθμούς 10, 4, 7 και με διάφορους συνδυασμούς καταλήγουμε στον: 1.01 = 5 10 + 3 4 + 3 7 + Επιμέλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 6