ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγσορ Υποθέζεων Ολνκαηεπώλπκν: ΑΜ:. Όλνκα Παηξόο:... Ηκεξνκελία: Παπακαλώ μη γπάθεηε ζηα παπακάηω ηεηπάγωνα Μέρος Ι Μέρος ΙΙ ύνολο Σ Λ -- 1 2 3 4 5 ΜΕΡΟ Ι (κέγηζηνο αξηζκόο κνλάδσλ: 40) Σηιρ επόμενερ δέκα επωηήζειρ διαλέξηε μια από ηιρ πένηε επιλογέρ πος δίνονηαι. Κάθε ζωζηή επιλογή παίπνει ηέζζεπιρ (4) μονάδερ. Για κάθε λανθαζμένη επιλογή αφαιρείται μία (1) μονάδα. 1. Σε έλαλ έιεγρν απιώλ ππνζέζεσλ ηεο κνξθήο Η 0 : θ = θ 0 έλαληη ηεο Η 1 : θ = θ 1 ην ζθάικα ηύπνπ Ι είλαη ίζν κε ηελ πηζαλόηεηα α. απόξξηςεο ηεο H 0 όηαλ ηζρύεη θ = θ 0. β. απόξξηςεο ηεο H 0 όηαλ ηζρύεη θ = θ 1. γ. απνδνρήο ηεο H 0 όηαλ ηζρύεη θ = θ 0. δ. απνδνρήο ηεο H 0 όηαλ ηζρύεη θ = θ 1. ε. απόξξηςεο ηεο H 0 όηαλ ηζρύεη θ = θ 0 ή θ = θ 1. 2. Σε έλαλ έιεγρν ππνζέζεσλ ηεο κνξθήο Η 0 : θ = θ 0 έλαληη ηεο Η 1 : θ > θ 0 ε ηζρύο ηνπ α. είλαη κηα ζπλάξηεζε ηνπ θ ε νπνία νξίδεηαη γηα θάζε θ θ 0. β. είλαη κηα ζπλάξηεζε ηνπ θ ε νπνία νξίδεηαη γηα θάζε θ >θ 0. γ. ηζνύηαη κε ηελ πηζαλόηεηα απνδνρήο ηεο H 0 όηαλ ηζρύεη θ = θ 0. δ. ηζνύηαη κε ηελ πηζαλόηεηα απόξξηςεο ηεο H 0 όηαλ ηζρύεη θ = θ 0. ε. ηζνύηαη κε ηελ πηζαλόηεηα απνδνρήο ηεο H 0 όηαλ ηζρύεη θ < θ 0. 3. Σε έλαλ έιεγρν ππνζέζεσλ ηεο κνξθήο Η 0 : θ Θ 0 έλαληη ηεο Η 1 : θ Θ 1 γηα ηα ππνζύλνια Θ 0, Θ 1 ηνπ παξακεηξηθνύ ρώξνπ Θ ζα πξέπεη λα ηζρύεη πάληνηε α. Θ 0 Θ 1 = Θ β. Θ 0 Θ 1 = γ. Θ 0 Θ 1 = Θ δ. Θ 0 Θ 1 = ε. Θ 0 Θ 1 Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγχος Υποθέζεων Σελίδα 1 από 9
4. Σε έλαλ έιεγρν ππνζέζεσλ κε απιή κεδεληθή ππόζεζε H 0, γηα ηνλ θαζνξηζκό ηεο πεξηνρήο απόξξηςεο Κ (θξίζηκεο πεξηνρήο) ρξεζηκνπνηείηαη ε ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε Τ=Τ(Υ). Αλ ε Κ είλαη ηεο κνξθήο K: T > z a θαη ζπκβνιίζνπκε κε t T(x) ηελ ηηκή πνπ ιακβάλεη ε ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε Τ=Τ(Υ) γηα έλα ζπγθεθξηκέλν δείγκα x, ηόηε ην p-value ηνπ ειέγρνπ ζα δίλεηαη από ηνλ ηύπν α. 1 Φ( t). β. Φ (t). γ. Φ ( t ) δ. Φ z ) ε. Φ( z ) ( a 1 a 5. Σε έλα ζηαηηζηηθό έιεγρν ππνζέζεσλ, γηα λα ππνινγίζνπκε ην p-value είλαη αλαγθαίν α. λα έρνπκε νξίζεη ην επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο ηνπ ειέγρνπ θαη ην επηζπκεηό ζθάικα ηύπνπ ΙΙ. β. λα έρνπκε νξίζεη ην επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο ηνπ ειέγρνπ. γ. λα έρνπκε νξίζεη ην επηζπκεηό ζθάικα ηύπνπ ΙΙ. δ. λα έρνπκε βξεη ηε κνξθή ηεο θξίζηκεο πεξηνρήο θαη λα έρνπκε ζπιιέμεη θαηάιιεια δεδνκέλα από ηνλ πιεζπζκό γηα ηνλ νπνίν καο ελδηαθέξεη λα πξαγκαηνπνηήζνπκε ηνλ έιεγρν. ε. ηζρύνπλ όια ηα παξαπάλσ. 6. Σε έλα ζηαηηζηηθό έιεγρν ππνζέζεσλ ην p-value ηνπ ειέγρνπ γηα έλα ζπγθεθξηκέλν δείγκα είλαη ίζν κε 0.005. Τόηε α. ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 1%. β. ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5%. γ. ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 10%. δ. ε κεδεληθή ππόζεζε δελ απνξξίπηεηαη ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 0.1%. ε. ηζρύνπλ όια ηα παξαπάλσ. 7. Αλ ζε έλα ζηαηηζηηθό έιεγρν ππνζέζεσλ ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη γηα επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5%, ηόηε α. απνξξίπηεηαη θαη γηα επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 1%. β. απνξξίπηεηαη θαη γηα επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 10%. γ. γηα επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 7% δελ απνξξίπηεηαη δ. γηα επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 0.1 % δελ απνξξίπηεηαη ε. ηζρύνπλ όια ηα παξαπάλσ. 8. Με βάζε έλα ηπραίν δείγκα Φ 1,Φ 2,,Φ ν από ηελ θαηαλνκή N(μ,1) ζέινπκε λα πξνβνύκε ζηνλ έιεγρν ηεο απιήο κεδεληθήο ππόζεζεο H 0 : μ = 1 έλαληη ηεο απιήο ελαιιαθηηθήο H 1 : μ = 2. Γηα ηνλ θαζνξηζκό ηεο πεξηνρήο απόξξηςεο Κ (θξίζηκεο πεξηνρήο) ρξεζηκνπνηείηαη ε ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε Τ=Τ(Υ)= X 2 θαη κηα θξίζηκε πεξηνρή Κ ηεο κνξθήο K : T c. Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγχος Υποθέζεων Σελίδα 2 από 9
Αλ ζέινπκε λα επηηύρνπκε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α, ε ηηκή ηεο ζηαζεξάο c ζα πξέπεη λα επηιεγεί ίζε κε α. c za. β. z a z a c. γ. c 1 δ. c z a / 2 ε. c z a 1 9. Τν θξηηήξην ηνπ γεληθεπκέλνπ ιόγνπ πηζαλνθαλεηώλ α. ρξεζηκνπνηείηαη όηαλ ζέινπκε λα ειέγμνπκε ακθίπιεπξεο ππνζέζεηο ηεο κνξθήο Η 0 : θ = θ 0 έλαληη ηεο Η 1 : θ θ 0 αιιά δελ νδεγεί πάληα ζε νκνηόκνξθα ηζρπξόηαηνπο ειέγρνπο (θαλόλεο απόθαζεο). β. ρξεζηκνπνηείηαη όηαλ ζέινπκε λα ειέγμνπκε απιέο ππνζέζεηο ηεο κνξθήο Η 0 : θ = θ 0 έλαληη ηεο Η 1 : θ = θ 1 θαη νδεγεί πάληα ζε ηζρπξόηαηνπο ειέγρνπο (θαλόλεο απόθαζεο). γ. ρξεζηκνπνηείηαη όηαλ ζέινπκε λα ειέγμνπκε κνλόπιεπξεο ππνζέζεηο ηεο κνξθήο Η 0 : θ θ 0 έλαληη ηεο Η 1 : θ > θ 0 αιιά δελ νδεγεί πάληα ζε νκνηόκνξθα ηζρπξόηαηνπο ειέγρνπο (θαλόλεο απόθαζεο). δ. ρξεζηκνπνηείηαη όηαλ ζέινπκε λα ειέγμνπκε κνλόπιεπξεο ππνζέζεηο ηεο κνξθήο Η 0 : θ θ 0 έλαληη ηεο Η 1 : θ > θ 0 θαη νδεγεί πάληα ζε νκνηόκνξθα ηζρπξόηαηνπο ειέγρνπο (θαλόλεο απόθαζεο). ε. ρξεζηκνπνηείηαη όηαλ ζέινπκε λα ειέγμνπκε ακθίπιεπξεο ππνζέζεηο ηεο κνξθήο Η 0 : θ = θ 0 έλαληη ηεο Η 1 : θ θ 0 θαη νδεγεί πάληα ζε νκνηόκνξθα ηζρπξόηαηνπο ειέγρνπο (θαλόλεο απόθαζεο). 10. Γηα ηελ ειεγρνζπλάξηεζε ή θξίλνπζα ζπλάξηεζε (X), Υ = (Φ 1, Φ 2,, Φ ν ) γηα ηνλ έιεγρν ηεο Η 0 έλαληη ηεο Η 1 α. ηζρύεη όηη (X) πηζαλόηεηα κε απόξξηςεο ηεο Η 0. β. ηζρύεη όηη P ζθάικα ηύπνπ ΙΙ) E( ( X) H ). ( 0 γ. ηζρύεη όηη ) E( ( X) H ). ( 0 δ. ηζρύεη όηη P( Απόξξηςε ηεο H0) E( ( X) ). ε. ηζρύνπλ όια ηα παξαπάλσ. Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγχος Υποθέζεων Σελίδα 3 από 9
ΜΕΡΟ ΙΙ (κέγηζηνο αξηζκόο κνλάδσλ: 80) Απανηήζηε ζηα επόμενα ηέζζεπα (4) θέμαηα αιηιολογώνηαρ ηιρ απανηήζειρ ζαρ. Κάθε θέμα παίπνει 20 μονάδερ. Πποζπαθήζηε να μη σπηζιμοποιήζεηε πεπιζζόηεπο σώπο από αςηόν πος δίνεηαι ζε κάθε θέμα. 1. Έζησ Φ 1, Φ 2,, Φ ν έλα ηπραίν δείγκα από ηελ θαηαλνκή κε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο 1 f ( x; ) x, x (0, 1). όπνπ 0 είλαη κηα άγλσζηε παξάκεηξνο. α. Να δεηρζεί όηη ε f ( x; ) αλήθεη ζηελ εθζεηηθή νηθνγέλεηα θαηαλνκώλ θαη όηη 1 E (log X ), 1 V (log X ). 2 β. Να βξεζεί ε κνξθή ηεο θξίζηκεο πεξηνρήο ηνπ νκνηόκνξθα ηζρπξόηαηνπ έιεγρνπ γηα ηελ ππόζεζε Η 0 : θ = θ 0 έλαληη ηεο Η 1 : θ > θ 0. γ. Να βξεζεί ε θξίζηκε πεξηνρή γηα έιεγρν ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α, ζηελ πεξίπησζε πνπ ην κέγεζνο ν ηνπ δείγκαηνο είλαη αξθεηά κεγάιν ώζηε λα κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην θεληξηθό νξηαθό ζεώξεκα. Λύζη: α. β. Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγχος Υποθέζεων Σελίδα 4 από 9
γ. 2. Γηα λα ζπγθξίλνπκε ηελ επίδξαζε δπν ιηπαζκάησλ, έζησ Α θαη Β, δηελεξγήζακε ην εμήο πείξακα. Χξεζηκνπνηήζακε ην ιίπαζκα Α ζε 10 αγξνύο θαη ην ιίπαζκα Β ζε 10 άιινπο αγξνύο θαη θαηαγξάςακε ηελ παξαγσγή ηνπο (θξνληίδνληαο όινη νη αγξνί λα είλαη όκνηνη θαη ε παξαγσγή ηνπο λα κελ επεξεάδεηαη από άιινπο παξάγνληεο). Σηνλ δηπιαλό πίλαθα θαίλνληαη ηα δεδνκέλα πνπ ζπγθεληξώζεθαλ. α. Να ειέγμεηε ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5% αλ ε δηαζπνξά ηεο παξαγσγήο ησλ αγξώλ ζηνπο νπνίνπο ρξεζηκνπνηήζεθε ην ιίπαζκα Α είλαη ίζε κε ηε δηαζπνξά ηεο παξαγσγήο ησλ αγξώλ ζηνπο νπνίνπο ρξεζηκνπνηήζεθε ην ιίπαζκα Β. β. Μπνξνύκε λα δερζνύκε, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5% όηη ηα δύν ιηπάζκαηα έρνπλ ηελ ίδηα απνηειεζκαηηθόηεηα ζηελ παξαγσγή; Λύζη: α. Αγξόο Παξαγσγή Α Β 1 21 16 2 18 20 3 16 19 4 25 16 5 23 19 6 22 20 7 19 16 8 17 19 9 19 16 10 20 19 γ. Μπνξνύκε λα δερζνύκε, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5% όηη ην ιίπαζκα Α είλαη πην απνηειεζκαηηθό από ην ιίπαζκα Β; Θεσξήζηε όηη ε παξαγσγή ησλ αγξώλ αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή. Δίλεηαη όηη F (0.025) 9,9 4 θαη P ( T 1.917 T ~ t18) 0.9643 Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγχος Υποθέζεων Σελίδα 5 από 9
β. γ. Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγχος Υποθέζεων Σελίδα 6 από 9
3. Οη ρξόλνη ζπλαξκνιόγεζεο ελόο πξντόληνο από δύν ζπγθεθξηκέλνπο εξγάηεο αθνινπζνύλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή κε ηππηθή απόθιηζε ίζε κε 49. Μεηξώληαο ζε ηπραία επηιεγκέλεο ρξνληθέο ζηηγκέο ηνπο ρξόλνπο ζπλαξκνιόγεζεο (ζε min) ησλ δύν απηώλ εξγαηώλ πήξακε ηηο ηηκέο Λύζη: α. 234, 102, 234, 174, 188, 107, 173, 172 θαη 105, 194, 77, 33, 159, 150, 167, 127, 169, 166 αληίζηνηρα. Μπνξνύκε ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 λα πνύκε όηη α. ν πξώηνο εξγάηεο έρεη κέζν ρξόλν ζπλαξκνιόγεζεο ηνπ πξντόληνο κεγαιύηεξν από 160 min; β. νη δύν εξγάηεο έρνπλ δηαθνξεηηθή απόδνζε; γ. ν πξώηνο εξγάηεο ζπλαξκνινγεί ην πξντόλ 90 ιεπηά αξγόηεξα από ην δεύηεξν; Δίλεηαη όηη 1) 0.84, z 1.96, t (0.05) 1.89, t (0.025) 2.36, t (0.05) 1.73, t (0.025) 2. 10. ( 0.025 7 7 17 17 β. Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγχος Υποθέζεων Σελίδα 7 από 9
γ. 4. Επηιέγνληαο ηπραία 500 πξντόληα από κία γξακκή παξαγσγήο Α, βξέζεθαλ 40 ειαηησκαηηθά, ελώ επηιέγνληαο ηπραία 400 πξντόληα από κία άιιε γξακκή παξαγσγήο Β, βξέζεθαλ 18 ειαηησκαηηθά. α. Μπνξνύκε λα ηζρπξηζηνύκε, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5% όηη ην πνζνζηό ησλ ειαηησκαηηθώλ πξντόλησλ πνπ παξάγεη ε γξακκή παξαγσγήο Α είλαη δηαθνξεηηθό από 6%; β. Μπνξνύκε λα ηζρπξηζηνύκε, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5% όηη ην πνζνζηό ησλ ειαηησκαηηθώλ πξντόλησλ πνπ παξάγεη ε γξακκή παξαγσγήο Β είλαη δηαθνξεηηθό από 6%; γ. Με βάζε ηα δύν δείγκαηα πνπ ζπγθεληξώζακε κπνξνύκε λα ηζρπξηζηνύκε, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5%, όηη ηα πνζνζηά ησλ ειαηησκαηηθώλ πξντόλησλ πνπ παξάγνπλ νη δύν γξακκέο παξαγσγήο Α θαη Β δηαθέξνπλ; Να ζρνιηαζηνύλ ηα ηξία ζπκπεξάζκαηα. Λύζη: α. Δίλεηαη όηη 188). 0.97, z 1. 96. ( 0. 025 Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγχος Υποθέζεων Σελίδα 8 από 9
β. γ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΣΤΥΙΑ Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγχος Υποθέζεων Σελίδα 9 από 9