( ) = ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές

Παράδειγµα 1 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 1 Θεωρήστε την κίνηση ενός σώματος,μάζας m σε ελκτικό δυναμικό: V r ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές (α) Σχεδιάστε το για μικρές και μεγάλες τιμές της στροφορμής,, και περιγράψτε τα είδη των κινήσεων που μπορούν να συμβούν q Κεντρικό δυναμικό: σταθ. E 1 m!r + και mr ke r a 1 m!r + Ø Εξέταση της συμπεριφοράς του για οριακές περιπτώσεις: r 0 mr ke r a ενώ ke r a 0 mr r 0 ελαττώνεται πιο αργά από τον όρο mr Ø Έλεγχος της συμπεριφοράς του ανάμεσα στα αυτά όρια d dr 0 mr 3 + k a e r a 0 r 3 e r a a mk r 3 e r a C ke r a ( r) C( ) a όπου: mk

Παράδειγµα 1(α) r 3 e r a C όπου: C a mk Ø Εξέταση της συμπεριφοράς της C() για διάφορες τιμές του h( r) h( r) r 3 e r a ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 Έστω: C( 1 ) C Θεωρούμε διάφορες τιμές για διάφορα C() ( ) C dh ( 3 ) ( r) e r a 3r e r a r 3 3 r r 0 dr a a r e a r 0 r 0 r 3a r r 0 r + r d dr Για: 1 > > 3 0 r δεν υπάρχει ακρότατο Για: υπάρχει ένα σημείο τομής ( r 3a) 0 Για: 3 υπάρχουν δυο σημεία τομής 0 r r +,r r παρουσιάζει ελάχιστο για r - και μέγιστο για r + r r r r +

Παράδειγµα 1(α) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 3 Ø Ανάλογα με την ενέργεια και πιθανόν τις αρχικές συνθήκες έχουμε διαφοροποιήσεις στο είδος κίνησης μεγάλο r 0 Ε r > r 0 μή φραγμένη r < r 0 απαγορευμένη E < 0 απαγορευμένη r r 0 r A r 1 μικρό r r r B r + r C Ε 1 Ε Ε 3 r (i) (ii) E E 1 > 0 > μή φραγμένη για r > r 0 0 < E E < μή φραγμένη για r > r C φραγμένη για r A < r < r B απαγορευμένη για και r Β < r < r C r < r Α (iii) < E E 3 < 0 φραγμένη για r 1 < r < r (iv) (v) απαγορευμένη για E r < r 1 r > r r σταθερή κυκλική E r + ασταθής κυκλική

Παράδειγµα 1(β) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 4 (β) Βρείτε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν τα a, k, m, για να υπάρχει σταθερή κυκλική τροχιά Ø Για κυκλική τροχιά ακτίνας r dv * eff r * θα πρέπει: 0 και E r * dr d r * Ø Για να είναι ευσταθής η κυκλική τροχιά θα πρέπει επιπλέον: dr d r * d r d r * 3 4 k a e r m r * Ø Θα πρέπει: 0 * a 0 r * m r * 3 + k a e r > 0 3 d d r * > 0 dr dr m r * * a 3 r * 3 k a e r m r * 3 e r* a a 4 k a e r * a (1) 3 mk * a > 0 k a e r* a m r * d r ( r * ) k a k a 3 a e r* a e r* r 1 * a 3 r 1 k * * a a e r a > 0 αλλά k, a >0 οπότε: k a > 0 a e r* Άρα : 3 r * 1 a > 0 3 r * > 1 a r* < 3a 3 (1) > 0 k * a e r a

Παράδειγµα 1(γ) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 5 (γ) Ποια η συχνότητα των μικρών ταλαντώσεων για την κυκλική τροχιά ακτίνας R και πως συγκρίνεται με την περίοδο της κυκλικής τροχιάς; Η διαταραγμένη κυκλική τροχιά είναι κλειστή; Ø Η περιόδος περιστροφής για την κυκλική τροχιά είναι: mr!θ! θ mr π T Ø Αν αυτή η τροχιά διαταραχθεί τότε: mr T πmr περ r t Ø H Lagrangian για την τροχιά αυτή θα γίνει: ( R + δ r) ( R) + ( R)δ r + 1 V eff R + δ r( t) Ø Αναπτύσουμε κατά Tayor το δυναμικό γύρω από το R ( R)δ r + 0( δ r 3 ) L 1 mδ!r ( R) σταθερός όρος και δεν παίξει ρόλο στην δυναμική ( R) 0 συνθήκη για κυκλική τροχιά Επομένως: ( R + δ r) 1 V eff ( R)δ r ( R + δ r)

Παράδειγµα 1(γ) Ø H Lagrangian για την διαταραγμένη κυκλική τροχιά γίνεται: L 1 mδ!r 1 V eff Ø Η εξίσωση κίνησης δίνεται από την εξίσωση Euer Lagrange: d dr L δ!r L δ r ( R)δ r ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 6 mδ!! r ( R)δ r δ!! r V eff R m δ r Eξίσωση αρμονικού ταλαντωτή Ø Η περίοδος ταλάντωσης της διαταραγμένης τροχιάς είναι: ω π T R m T π m R Ø Βρήκαμε στο (β) ερώτημα ότι: ( R) 0 R 3 e R a a mk e R a a ( R) mr 4 Αλλά T περ πmr 3 R a (A) ( R) 3 mr k 4 a e R a mkr 3 Αντικατάσταση στην (Α): T πmr επομένως: T ταλ. T περ. 1 3 R a ( R) m ( R) 3 mr k a 4 a mkr 3 1 3 R a

Παράδειγµα 1(γ) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 7 Ø Η διαταραγμένη κυκλική τροχιά είναι κλειστή αν για ακεραίους n 1, n n 1 T ταλ. n T περ. n 1 T περ. 1 3 R a n T περ. n 1 1 3 R a n n 1 n 3 R a n 1 n 3 R a Για παράδειγμα αν n 1 1 και n τότε: R a 3 1 R a 11 4 Ø Εν γένει για να είναι κλειστή η τροχιά θα πρέπει ο λόγος των δυο περιόδων να είναι ρητός αριθμός

Παράδειγµα ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 8 Ένας πλανήτης μάζας m, περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από αστέρα μάζας M (M>>m). Λόγω μιας έκρηξης supernova, ο αστέρας χάνει το 0% της αρχικής του μάζας. Η έκρηξη είναι σφαιρικά συμμετρική, και το δυναμικό εξακολουθεί να είναι Keperian. Η έκρηξη και η απώλεια μάζας του αστέρα είναι στιγμιαία (α) Ποια η ενέργεια και στροφορμή του συστήματος πριν/μετά την έκρηξη Ø Σφαιρικά συμμετρική έκρηξη, το δυναμικό εξακολουθεί να είναι Keperian V GMm r Πριν την έκρηξη V GMm Μετά την έκρηξη V n k r G M m V n 4 r 5 GMm r k r r Ø H ποσότητα που διατηρείται είναι η στροφορμή Κεντρικά δυναμικά και μή ύπαρξη εξωτερικών δυνάμεων V n 4 5 V n const Ø H ενέργεια του συστήματος δεν διατηρείται (υπάρχει απώλεια μάζας) M >> m µ Mm M + m m CM συμπίπτει με τον αστέρα έστω ακίνητος

Παράδειγµα (α) Έστω R η ακτίνα της αρχικής κυκλικής τροχιάς: E T + V 1 µυ GMm E 1 r mυ GMm R E n T n + V n 1 µυ n 4 GMm E n 1 5 r mυ n 4 GMm 5 R ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 9 (1) (Ε πριν την έκρηξη) () (Ε μετά την έκρηξη) (πλανήτης στην ίδια θέση) Ø Η ταχύτητα, υ, του πλανήτη λόγω της περιστροφής του, άρα λόγω µυr n µυ n R n µυr µυ n R υ υ n µr υ υ n mr Ø Λόγω της αρχικής κυκλικής τροχιάς: d dr rr 0 d dr (3) µr + GmM r mr + GmM 0 3 R mr GmM Gm RM m GRM (4) 3 R * Θα μπορούσαμε να πάρουμε το ίδιο από: F κεντρ. F g mυ Από (3) και (4): υ υ n m GMR mr υ υ n GM R (5) R G Mm R 0

Παράδειγµα (α-β) Αντικαθιστούμε στις (1) και (): E mgm R GMm R E GMm R E n mgm R 4GMm 5R E 3mGM n 10R (β) Να βρεθεί η εκκεντρότητα της νέας τροχιάς του πλανήτη Ø Εξίσωση εκκεντρότητας: E k R E n 3k 10R e 1+ E n n 1+ E n n µk n mk n ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 10 Αρνητική ενέργεια φραγμένη νέα τροχιά Αντικατάσταση της E n, n, k από το ερώτημα (α) δίνει: 3k e 10R 3 k 1+ m 4 e 1 5 R 5 k m 16 e 1 15 5 k 16mkR e 1 15m GMR 16mkR e 1 15m GM 16mGMm e 1 15 16 e 1 16 e 1 4 έλλειψη

Παράδειγµα (γ) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 11 (γ) Να βρεθούν τα σημεία καμπής της νέας τροχιάς συναρτήσει του R Ø Πρέπει να βρούμε το περιήλιο (πιο κοντινό σημείο) και το αφήλιο (πιο απομακρυνσμένο σημείο) της ελλειπτικής τροχιάς. Δηλαδή r min και r max r a k max a( 1+ e) r min a 1 e και ενώ ο μεγάλος ημιάξονας E Αντικαθιστούμε για τις τιμές της e, Ε και k της νέας τροχιάς 4 a k n a 5 k E n 3 a 4R k 3 r min a( 1 e) r max a 1+ e 10 R r min 4R 3 1 1 4 r 4R max 3 1+ 1 4 r R min r 5R max 3 Ο μικρός ημιάξονας της έλλειψης δίνεται από την σχέση: b a ( 1 e ) b 16R 9 1 1 16 b 15R 9 b 15R 3

Παράδειγµα (δ) ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 1 (δ) Να γίνει το σχήμα της παλιάς και νέας τροχιάς του πλανήτη με όλα τα χαρακτηριστικά που περιγράφουν την τροχιά αφήλιο σημείο έκρηξης b 15R 3 a 4R 3 R αστέρας περιήλιο ae R 3

Παράδειγµα 3 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 13 Δυο σώματα μάζας m 1 και m έλκονται μεταξύ του βάση ενός λογαριθμικού δυναμικού της μορφής: U ( r) U 0 n( r a) (α) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί το ενεργό δυναμικό U ( r) U 0 n( r a) και εφόσον τα σώματα έλκονται τότε U 0 > 0 Η ενέργεια του συστήματος είναι: E 1 µ!r + µr +U n r 0 a Όλες οι ποσότητες είναι θετικές - r 0 τότε U eff r τότε U µr 0 ενώ U U 0 n r a Επομένως r

Παράδειγµα 3(β-γ) (β) Να βρεθεί η ακτίνα και η περίοδος της κυκλικής τροχιάς Για να έχουμε κυκλική τροχιά θα πρέπει: U eff µr +U n r 0 a du eff dr!θ π T µr T π µr 0 0 T π µ du eff ( r) dr 0 µr 0 3 + U 0 r 0 0 r 0 U 0 µ ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 14 U 0 µ T π U 0 R κυκλικής τροχιάς Τ κυκλικής τροχιάς (γ) Για μικρές αποκλίσεις από την κυκλική τροχιά να γραφεί: r(t)r 0 +η(t) Να γραφεί η εξίσωση κίνησης υποθέτοντας ότι η(t) μικρή ποσότητα L T U 1 µ!r + µ Η εξίσωση κίνησης θα είναι: 1 r 0 r η + 3 3 4 0 r η + 0 η 3 0 U 0 n r 0 a + 1 n 1 r 0 r η + 0 η 3 0 d L dt!r L µ!! η + η U 0 r r + 3 4 0 µr 0 µ!! η + ηω 0 ω U 0 0 r + 3 * Οι όροι γραμμικοί ως προς η απαλείφονται αφού du 0 eff ( r) 0 dr µr 0 4

Παράδειγµα 3(δ) Η λύση της εξίσωσης: µ!! η + ηω 0 είναι: η t Acos ω 0 t (δ) Να βρεθεί η γεωμετρική εξίσωση της διαταραχής [η(φ)], και αν η τροχιά είναι κλειστή η t Acos ω 0 t + δ ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 15 + δ Η λύση της εξίσωσης είναι: και για ευκολία θέτουμε δ0 Μπορούμε να γράψουμε: t θ!θ οπότε η λύση γίνεται: η t Για να δούμε αν η τροχιά είναι κλειστή, εξετάζουμε αν: το οποίο είναι ισοδύναμο με την συνθήκη: η t 0 Για t 0: η( t 0) A Για t T 0 : η( T 0 ) Acos U 0 r 0 + 3 µr 0 4 π U 0 θ Acos ω 0!θ η( θ 0) η( θ π ) η( t T 0 ) N U 0 U 0 r 0 + 3 µr 0 4 Πρέπει να ισούται με π N για να είναι περιοδική Το δεξί μέλος δεν είναι ακέραιος αριθμός και άρα η τροχιά δεν είναι κλειστή

Παράδειγµα 4 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 16 Δορυφόρος κινείται σε ελειπτική τροχιά με περίοδο T, εκκεντρότητα, e, και μεγάλο ημιάξονα α. Να δειχθεί ότι η μέγιστη ακτινική ταχύτητα του δορυφόρου είναι!r max πae T 0 1 e Ø Η ενέργεια του δορυφόρου είναι: E 1 m!r + ( r) όπου Ø Η ενέργεια διατηρείται, και επομένως:!r!r max όταν: r min dv Ø Αλλά eff ( r) όταν 0 dr d 0 dr µr + GMm 0 3 r µr GMm r Ø Αντικαθιστούμε στην εξίσωση του : G M m 4 m 4 G M m 3 m GMm Ø Αντικατάσταση στην εξίσωση του ενέργειας:!r max E m min GMm (1)!r max m E + G M m 3!r GMm max µr GMm r min m GMm G M m 3 1+ E G M m 3

Παράδειγµα 4!r max GMm 1+ E G M m 3 Ø Από τον ορισμό της εμβαδικής ταχύτητας: da dt m ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 17 T 0 Σε μια περίδο, Τ 0, το εμβαδό που καλύπτεται είναι: A πab T 0 πab ( m) T πmab (Α) 0 Η εκκεντρότητα της έλειψης δίνεται από την σχέση: e 1+ E αλλά k GMm οπότε: e 1+ E G M m 3 Ø Χρησιμοποιώντας τις (Α) και (Β) έχουμε: (Β) mk A da dt!r max GMm 1+ E G M m 3!r max GMm e!r max egmt 0 πmab T 0 πab Ø Ο μικρός ημιάξονας της έλειψης δίνεται από b a 1 e Ø Ο 3 ος νόμος του Keper: T 0 4π a 3 GM GM 4π a 3 T 0 πae Ø Αντικατάσταση των (Δ) και (Ε) στην (Γ):!r max T 0 1 e (Γ) (Δ) (E)

Παράδειγµα 5 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 18 Σώμα μάζας m κινείται στην επιφάνεια ενός παραβολοειδούς, η εξίσωση του οποίου σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι r 4az. Αν το σώμα είναι κάτω από μια βαρυτητική δύναμη, να δειχθεί ότι η συχνότητα των μικρών ταλαντώσεων ως προς μια κυκλική τροχιά ακτίνας είναι Ø Η Lagrangian του συστήματος είναι: L T V m (!r + r!θ +!z ) mgz Ø Οι εξισώσεις κίνησης: ω g a + z 0 ρ 4az 0 Ø Από την εξίσωση του δεσμού: r 4az r!r 4a!z!z r!r a H Lagrangian γίνεται: L m!r + r!θ + r!r a mg r 4a d dt d dt L θ! L θ d dt L!r m!! r + m 4a L r d dt m!! r + m 4a ( r!r ) mr ( mr!θ ) 0 mr!θ const d dt m r 4 + m r!r! θ ( r!r ) mr!θ + m r!r 4a mgr a 4a mgr a (A) mr (A) m r + r!r 3 4a gr a!! r 1 4a d dt ( r!r ) 0

Παράδειγµα 5 m r + r!r 3 4a gr a!! r 1 4a d dt ( r!r ) 0 (A) αλλά ρ 4az 0 ρ 4az 0 const!ρ!! ρ 0 Επομένως γυρνώντας και πάλι στην εξίσωση κίνησης (A): m gρ 4 am r + r!r 3 4a gr a!! r 1 4a d dt ( r!r ) 0 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 19 m ρ 3 gρ a 0 ρ 4 a m g m gρ 4 gρ 4 ar + r!r 3 4a gr a!! r 1 4a a d dt ( r!r ) 0 gρ 4 ar + r!r 3 4a gr a!! r r!! r 4a r!r a 0 gρ 4 ar + r!r 3 4a gr a!! r 1+ r 4a r!r a 0 gρ 4 ar r!r 3 4a gr a!! r 1+ r 4a 0 (Β)

gρ Παράδειγµα 5 4 ar r!r 3 4a gr a!! r 1+ r 4a 0 Για μικρές αποκλίσεις από την κυκλική τροχιά ρ: r t Από ανάπτυγμα Tayor r ρ + η Ισχύει επίσης ότι!r!η και!! r!! η Αντικατάσταση στην διαφορική εξίσωση δίνει: gρ 4 a ( ρ 3η ) ρ 4 ω g a ( ρ + η )!η 4a Προσεγγιστικά, ο όρος g( ρ 3η ) a g ( ρ + η ) a 1+ ρ 4a ω g ω a 1+ 4az 0 4a ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 0 ρ + η( t) με η<<ρ ρ + ηρ και r 3 ( ρ 3η ) ρ 3 g ( ρ + η ) a!! η 1+ ρ + ηρ 4a 0 ( ρ + η)!η 0 όπως και ο όρος ( ηρ )!! η 0!! η 1+ ρ 4a 0 4gρη a!! η 1+ ρ 4a 0!! η 1+ ρ 4a + η g a 0 Εξίσωση ταλαντωτή g ( a + z 0 ) ω g a + z 0

Παράδειγµα 6 Ø Η στροφορμή του σώματος είναι:! r! p ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 1 Δ! p p 0 ˆr Σώμα κινούμενο σε ελειπτική τροχιά δέχεται ώθηση, καθώς βρίσκεται στο περιήλιο της τροχιάς. Ποια η τελική τροχιά του σώματος Ø Η ώθηση που δέχεται είναι ακτινική: Δ! p p 0 ˆr const Ø Η ενέργεια του συστήματος αλλάζει: ΔE Δp m ΔE p 0 m Ø Η εκκεντρότητα της τροχιάς δίνεται από: e 1+ E e f 1+ E f 4mk e f 1+ ( E i + ΔE) 4mk e f 1+ E i e i 4mk 4mk + p 0 e 4m k f e i + Ø O μεγάλος ημιάξονας της ελειπτικής τροχιάς δίνεται από: a mk 1 e a i mk 1 e i a f a f 1 e i mk a i 1 e a 1 e f a i i f 1 e a 1 e f a i i f 1 e i ( p 0 mk) 1 e f ( 1 e i )a i ( 1 e i )a i a f 1 e i p 0 mk 1 e i p ( 0 mk)a i 1 e i ( mk) a f p 0 mk

Παράδειγµα 6 ΦΥΣ 11 - Διαλ.15 a f ( 1 e i )a i 1 e i p ( 0 mk)a i 1 e i a f a f ( 1 e i )a i ( 1 e i ) 1 ( p 0 mk)a i Ø H νέα έλειψη θα περιγράφεται από την εξίσωση: r f ( θ ) 1 mk 1 e f cos θ + δ a i 1 ( p 0 mk)a i p 0 ˆr p f p i δ r i ( θ ) r f ( θ ) Ø H διαφορά φάσης, δ, προσδιορίζεται με το να θέσουμε: r i ( π ) r f ( π ) εφόσον ξέρουμε ότι στο περιήλιο οι τροχιές συμπίπτουν r f ( π ) r i ( π ) 1 mk 1+ e f cos δ 1 mk 1+ e i [ ] cos δ e i e f