Δύο υλικά σηµεία µετατοπίζονται επί των ορθογώ νιων αξόνων Ox, Oy µε σταθερές ταχύτητες! v 1

Δύο υλικά σηµεία µετατοπίζονται επί των ορθογώ νιων αξόνων Ox, Oy µε σταθερές ταχύτητες v 1 και v αποµακρυνό µενα από το σηµείο O. Eάν την χρονική στιγµή t= τα υλικά σηµεία βρίσκονται στις δεδοµένες θέσεις A, B των αξόνων Ox και Oy αντι στοίχως να δείξετε τα εξής: i) η κίνηση του µέσου M της ευθείας που ενώνει κάθε στιγµή τα δύο υλικά σηµεία είναι ευθύγραµµη και ii) η ταχύτητα του µέσου M έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: v M = v 1 + v / ΛYΣH: i) Έστω A, B οι θέσεις των δύο υλικών σηµείων κατά την χρονική στιγµή t (σxήµα 1). Tότε θα ισχύουν οι σχέσεις: A A = v 1 t και B B = v t Aπό το µέσο M της A B φέρουµε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy. Aυτή θα τέµνει την AB στο µέσον της Λ και θα ισχύει: M = A A/ = v 1 t/ Σχήµα 1 Eξάλλου η εκ του Λ παράλληλη προς τον άξονα Ox τέµνει την AB στο µέσον

της M και θα ισχύει: M = B B/ = v t/ Aπό το σκιασµένο ορθογώνιο τρίγωνο M ΛM έχουµε για την γωνία φ την σχέ ση: = M = v t/ AM v 1 t/ = v (1) v 1 Δηλαδή η γωνία φ είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι η ευθεία M M έχει σταθερή διεύθυνση στο επίπεδο των αξόνων Ox, Oy. Άρα η κίνηση του µέσου M της µετακινούµενης ευθείας AB είναι ευθύγραµµη κατά µήκος µιας ευθείας που διέρχεται από το µέσον M της σταθερής ευθείας A B και σχήµατίζει γωνία φ µε τον άξονα Oy, που ικανοποιεί την σχέση (1). ii) Eφαρµόζοντας στο σκιασµένο τρίγωνο M ΛM το θεώρηµα του Πυθαγόρα παίρνουµε την σχέση: M M = (M ) + (M) = (v 1 t/) + (v t/) = t v 1 + v / () H σχέση () εγγυάται ότι η ευθύγραµµη κίνηση του M είναι οµαλή µε ταχύτητα v M, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί την σχέση: v M = v 1 + v / Aπό το κέντρο του δαπέδου ενός οχήµατος, το οποίο κινείται πάνω σε οριζόντιο δρόµο µε σταθερή επιτάχυνση a, εκσφενδονίζεται ένα σφαιρίδιο µε σχετική ταχύτητα v ως προς το όχηµα, η οποία είναι κατακόρυφη µε φορά προς τα πάνω. Eάν η τρο χιά που διαγράφει το σφαιρίδιο ως προς το όχηµα, δεν συναντά την οροφή του, να βρεθεί το ελάχιστο µήκος του οχήµατος ώστε το σφαιρί διο να πέσει στο δάπεδο. ΛYΣH: Eξετάζουµε την σχετική κίνηση του σφαιριδίου ως προς το δάπεδο του οχήµατος. H σχετική επιτάχυνση του σφαιριδίου ως προς το όχηµα, κατά την διεύθυνση του οριζόντιου άξονα Ox είναι: a (x) = - a = - a (1) H σχετική επιτάχυνση του σφαιριδίου ως προς το δάπεδο του οχήµατος, κατά την διεύθυνση του κατακόρυφου άξονα Oy είναι: a (y) = g + = g Έτσι οι σχετικές µετατοπίσεις x και y του σφαιριδίου σε χρόνο t, κατά τους άξονες Ox και Oy αντιστοίχως θα είναι: ()

x = a (x) t / (1) x = at / (3) y = v t - a (y) t / () y = v t - gt / (4) Σχήµα Aς υποθέσουµε ότι το σφαιρίδιο πέφτοντας, συναντά το δάπεδο του οχήµατος στο σηµείο M. Tότε πρέπει για το σηµείο αυτό να ισχύουν οι σχέσεις: x M L/ y M = (3) t / L/ (4) = vt - gt / at L t = v /g 4av /g L L min = 4av /g όπου L min το ζητούµενο ελάχιστο µήκος του οχήµατος. O µηχανοδηγός ενός σιδηροδρόµου A, που κινεί ται ευθύγραµµα και οµαλά, αντιλαµβάνεται σε απόσταση L µπροστά του ένα άλλο σιδηρόδροµο B, ο οποίος κινείται µε ταχύτητα v κατά την ίδια φορά µε τον A. Tότε ο µηχανοδηγός θέτει σε λειτουργία τα φρένα µε αποτέλεσµα ο σιδηρόδροµος A να αποκτήσει σταθερή επιβ ράδυνση a, ενώ ο σιδηρόδροµος B εξακολουθεί να κινείται µε σταθε ρή ταχύτητα. Nα βρεθεί η ελάχιστη τιµή της ταχύτητας του A, ώστε να µη συγκρουσθούν οι δύο σιδηρόδροµοι. Για την τιµή αυτή της ταχύτητας να σχεδιάσετε στο ίδιο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων τις γρα φικές παραστάσεις των µετατοπίσεων των δύο σιδηροδρόµων, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Nα λάβετε ως αρχή µέτρησης τoυ χρόνoυ τη στιγµή που ο µηχανοδηγός του σιδηρόδροµου A θέτει σε λειτουργία τα φρένα. ΛYΣH: 1ος τρόπος Θεωρούµε ως αρχή µέτρησης των µετατοπίσεων, κατά µήκος της διεύθυνσης κίνησης των δύο σιδηροδρόµων, την θέση O 1 του µηχανοδηγού του σιδηρόδροµου A την στιγµή t= που αυτός θέτει σε λειτουρ γία τα φρένα του. Tότε οι αλγεβρικές τιµές των µετατοπίσεων x A και x B των σιδηροδρόµων A και B αντιστοίχως την χρoνική στιγµή t, θα είναι:

x B = L + v t x A = v 1 t - at / (1) Oι δύο αµαξοστοιχίες συγκρούονται εφ όσον ισχύει: x A =x B (1) v 1 t - at / = L + v t at - (v 1 - v )t + L = () Σχήµα 3 H σχέση () είναι εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς t και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσά της να είναι µη αρνητική, οπότε θα ισχύει: 4(v 1 - v ) - 8aL (v 1 - v ) al (3) Παρατηρούµε ακόµη ότι, το γινόµενο των ριζών της () είναι ίσο µε L/a, δηλαδή θετικό, που σηµαίνει ότι οι ρίζες της είναι οµόσηµες και για να έχουν φυσική σηµασία πρέπει να είναι θετικές, δηλαδή το άθροισµα τους πρέπει να είναι θετικό, οπότε θα ισχύει: (v 1 - v )/ a > v 1 - v > (4) H σχέση (4) κατανοείται και από το γεγονός ότι, αν v >v 1 η συνάντηση των δύο αµαξοστοιχιών θα ήτο αδύνατη. Συνδυάζοντας εξάλλου τις σχέσεις (3), (4) έχου µε: v 1 - v al v 1 v + al (5) Mε βάση τα παραπάνω παρατηρουµε τα εξής: α. Όταν v 1 >v + al οι αµαξοστοιχίες θα συγκρουσθούν την χρονική στιγµή t 1 που είναι η µικρότερη ρίζα της (). β. Oταν v 1 =v + al, τότε η () έχει µια διπλή ρίζα t * για την οποία ισχύει: t * = (v 1 - v ) a = v + al - v + a = L a H ταχύτητα του σιδηροδρόµου A την χρονική στιγµή t * είναι: v * = v 1 - at * = v + al - a L/a v * = v Δηλαδή την χρονική στιγµή t * η αρχή του A θα έλθει σε επαφή µε το τέλος του

B και στην συνέχεια οι δύο σιδηρόδροµοι θα αποµακρύνονται, αφού η µεν ταχύ τητα του B θα παραµένει σταθερή, ενώ του A θα µειώνεται. Άρα η ζητούµενη ελάχιστη ταχύτητα του A, για την οποία δεν συµβαίνει σύγκρουση των δύο σιδηροδρόµων είναι: v 1(min) = v + al (5) Σχήµα 4 γ. Όταν συµβαίνει v 1 < v + al οι δύο σιδηρόδροµοι δεν θα συγκρουσθούν. Oι γραφικές παραστάσεις των σχέσεων (1), για τις τρεις περιπτώσεις που αναφέρ θηκαν πιο πάνω, φαίνονται στο σχήµα (4). ος τρόπος Για να είναι δυνατή η σύγκρουση των δύο σιδηροδρόµων πρέπει κατ αρχή να ισχύει v 1 >v, οπότε µε την προϋπόθεση αυτή η σχετική ταχύτητα v του σιδηροδρόµου A ως προς τον B την στιγµή t= θα έχει την φορά της v 1 και µέτρο v 1 -v. Eξάλλου η σχετική επιτάχυνση a του A ως προς τον B είναι: a = a A - = a δηλαδή η a είναι αντίρροπη της v που σηµαίνει ότι, η σχετική κίνηση του σιδηρόδροµου A ως προς τον B είναι οµαλά επιβραδυνόµενη µε επιβράδυνση a και αρχική ταχύτητα v, οπότε η µέγιστη σχετική µετατόπιση του A ως προς τον B θα είναι: s (max) = v / a = (v 1 - v ) / a (6) Για να µην συγκρούονται οι δύο σιδηρόδροµοι πρέπει: (6) s (max) L (v 1 - v ) / a L (v 1 - v ) al v 1 - v al v 1 v + al Tο ίσο αντιστοιχεί σε οριακή σύγκρουση (επαφή) των δύο σιδηροδρόµων, ενώ η σχέση v 1 < v + al εξασφαλίζει την µη σύγκρουσή τους.

Ένα υλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο των ορθο γώνιων αξόνων Ox, Oy, έτσι ώστε οι συντεταγµένες του x και y να µεταβάλλονται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε τις σχέσεις: x = µt y = t όπου α, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. Eάν r είναι η διανυσµα τική µονάδα της επιβατικής ακτίνας του υλικού σηµείου κατά µια τυχαία χρονική στιγµή, να δείξετε ότι η επιτάχυνση a του σηµείου κατά τη στιγµή αυτή, δίνεται από την σχέση: a = - r ΛYΣH: Aπό τις δεδοµένες σχέσεις (1) έχουµε: x = µ t y = t (+) x + y = r = () δηλαδή το µέτρο της επιβατικής ακτίνας r του υλικού σηµείου είναι σταθερό και ίσο µε α. Aυτό σηµαίνει ότι, το υλικό σηµείο εκτελεί κυκλική κίνηση µε κέντρο την αρχή O των αξόνων και ακτίνα α. Eξάλλου από τις σχέσεις (1) µε διπλή παραγώγιση ως προς τον χρόνο t έχουµε: (1) v x v y = dx/dt = t = dy/dt = -µt a x = - x a y = - y ' ( a x = - x i a y = - y j Σχήµα 5 a = dv /dt = - x x µt a y = dv y /dt = - t (+) ' ( a x + a y = - (x i + y j ) a = - ( x + y ) = - r a = - r r a = - r (3)

όπου i, j οι διανυσµατικές µονάδες των αξόνων Ox και Oy αντιστοίχως. Από την (3) προκύπτει ότι η επιτάχυνση a του υλικού σηµείου έχει ακτινική διεύθυνση, µε φορά προς το κέντρο O της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει το υλικό σηµείο, δηλαδή η a ταυτίζεται µε την κεντροµόλο επιτάχυνση του υλι κού σηµείου, που σηµαίνει ότι η επιτρόχια επιτάχυνσή του είναι µηδέν. Έτσι το υλικό σηµείο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση. Yλικό σηµείο εκτελεί επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση a. Eάν r, v είναι η επιβατική του ακτίνα και η ταχύτητά του κατά την χρονική στιγµή t=, να δείξετε τις σχέσεις: r = r + ( v + v )t/ και v = v + a ( r + r ) όπου r, v η επιβατική ακτίνα και η ταχύτητα του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t. ΛYΣH: i) Eπειδή η επιτάχυνση a του υλικού σηµείου είναι σταθερή, η µετατόπιση του s σε χρόνο t, ως προς την αρχική του θέση A δίνεται από την διανυσµατική σχέση: s = v t + a t / (1) Eξάλλου εάν r, r είναι οι διανυσµατικές ακτίνες του υλικού σηµείου, ως προς την αρχή O του συστήµατος συντεταγµένων, κατά την χρονική στιγµή µηδέν και t αντιστοίχως, τότε θα έχουµε: s = r + r οπότε η σχέση (1) γράφεται: r - r = v + a t/ Όµως ισχύει: v = v + a t, οπότε η () γράφεται: ( ) t Σχήµα 6 r = r + ( v + a t)t/ ()

r = r + ( v + v - v )t/ r = r + ( v + v )t/ (3) ii) Iσχύει η διανυσµατική ταυτότητα: v = ( v v ) = ( v + a t) ( v + a t) v = ( v v ) + ( v a t) + ( v a t) + ( a t a t) v = v + ( v a t) + ( a a )t v = v + a ( v t + a t ) v = v + a ( v t + a (1) t /) v = v + a s v = v + a ( r + r ) Ένα υλικό σηµείο κινείται ευθύγραµµα, η δε εξί σωση κίνησής του έχει την µορφή: x = x (-e -t + e -t ) (1) όπου x και λ θετικές και σταθερές ποσότητες. Nα δείξετε ότι κατά µια χρονική στιγµή η ταχύτητά του γίνεται µέγιστη και να βρεθεί η µέγιστη αυτή τιµή. ΛYΣH: H αλγεβρική τιµή της ταχύτητας v του υλικού σηµείου προκύπτει µε παραγώγιση της σχέσεως (1), ως προς το χρόνο t, οπότε θα έχουµε: v = dx/dt = x e -t - x e -t () Θέτουµε e -λt =z, οπότε η () γράφεται: v = x z - x z x z - x z + v = (3) H (3) είναι εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς z και οι ρίζες της πρέπει να είναι πραγµατικές, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσά της να είναι µη αρνητική, οπότε θα ισχύει: 4 x - 8x v x v v x / v max = x / (4) Tότε όµως η (3) θα έχει µια διπλή ρίζα z * = x /4x = 1/ e -t * = 1/ - λt * = - ln t * = ln/ (5)

Δηλαδή υπάρχει χρονική στιγµή που το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου γίνεται µέγιστο και η στιγµή αυτή καθορίζεται από την σχέση (5). Ένα υλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο δύο ορθο γώνιων αξόνων Ox, Oy, ώστε οι συντεταγµένες του x και y να µετα βάλλονται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε τις σχέσεις: x = e -t y = 3e -t (1) όπου α και λ θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Nα καθορισθεί το είδος κίνησης του υλικού σηµείου. ii) Nα βρεθεί η ταχύτητά του κατά την χρονική στιγµή t * =1/λ. ΛYΣH: Aπαλοίφοντας τον χρόνο t µεταξύ των σχέσεων (1) έχουµε: x / = e -t y / 3 = e -t x / = y / 3 y = 3x () δηλαδή η τροχιά του υλικού σηµείου είναι µία ευθεία γραµµή, η οποία για t + τείνει στην αρχή O αξόνων (σχ. 7). Oι αλγεβρικές τιµές των συνιστωσών v x και v y της ταχύτητας του υλικού σηµείου, θα προκύψουν µε παραγώγιση των σχέσεων (1) ως προς τον χρόνο t, οπότε θα έχουµε: Σχήµα 7 v x = dx/dt = -e -t v y = dy/dt = - 3e -t v x = -x v y = -y (3) Παραγωγίζοντας τις σχέσεις (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τις αλγεβρικές τιµές των συνιστωσών a x και a y της επιτάχυνσης a του υλικού σηµείου, οπότε θα έχουµε:

a x a y = dv x /dt = - (dx/dt) = dv y /dt = - (dy/dt) a = -v x x a y = -v y a x = - v x a y = - v y (+ ) a x + a y = -( v x + v y ) a = - v (4) H σχέση (4) δηλώνει ότι, η επιτάχυνση a του υλικού σηµείου είναι κάθε στιγµή αντίρροπη της ταχύτητάς του v, δηλαδή το υλικό σηµείο εκτελεί µη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση. Kατά την χρονική στιγµή t=1/λ για τις αλγεβρικές τιµές v χ και v y έχουµε: v x = -e -t = -e -1 = -/e v y = - 3e -t = - 3e -1 = - 3/e (5) Tο µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου κατά την χρονική αυτή στιγµή είναι: v = v x + v y (5) v = (-/e) + (- 3/e) v = 4 /e = /e Ένα υλικό σηµείο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση διαγράφοντας περιφέρεια ακτίνας R µε γωνιακή ταχύτητα. i) Nα εκφράσετε το µέτρο της επιβατικής ακτίνας r του υλικού ση µείου ως προς ένα σταθερό σηµείο O της περιφέρειας που διαγράφει, σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να σχεδιάσετε την γραφική παράστα ση της σχέσεως που θα βρείτε. ii) Nα εκφράσετε τον ρυθµό µεταβολής του µέτρου της r σε συνάρτη ση µε τον χρόνο και να σχεδιάσετε το διάγραµµα της συνάρτησης που θα βρείτε. ΛYΣH: i) Λαµβάνουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που το υλικό σηµείο βρίσκεται στην θέση O και συµβολίζουµε µε θ την γωνία που σχηµατίζει η επιβατική του ακτίνα r µε την διάµετρο OA κατά την χρονική στιγµή t (σχή µα 8). Tο µέτρο του διανύσµατος r θα προκύψει από το ορθογώνιο τρίγωνο OMA, από το οποίο παίρνουµε την σχέση: R=(OA)συνθ r=rσυνθ (1) Όµως το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας του υλικού σηµείου ικανοποιεί την σχέση: = /t = (-)/t - = t = / -t/ ()

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουµε: r = R - t = Rµ t (3) Aπό την (3) προκύπτει ότι το µέτρο της επιβατικής ακτίνας r µεταβάλλεται ηµι τονικά µε τον χρόνο, µε περίοδο διπλάσια της περιόδου T=π/ω του κινούµε νου υλικού σηµείου. H γραφική παράσταση της (3) για το χρονικό διάστηµα [,T] είναι η καµπύλη (α) του σχήµατος (9). Σχήµα 8 Σχήµα 9 ii) Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t έχουµε: dr dt = R t = R t (4) H (4) εφκράζει ότι ο ρυθµός µεταβολής dr/dt του µέτρου της επιβατικής ακτί νας r είναι συνηµιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου µε περίοδο T, η δε γραφι κή της παράσταση στο διάστηµα [,T] είναι η καµπύλη (β) του σχήµατος (9). Ένα υλικό σηµείο µετατοπίζεται κατά µήκος του άξονα x x µε επιτάχυνση, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε την µετατόπισή του x σύµφωνα µε την σχέση: a = a e -x όπου a, κ θετικές και σταθερές ποσότητες. Eάν κατά την χρονική στιγµή t= το υλικό σηµείο βρίσκεται στην αρχή O του άξονα x x και έχει µηδενική ταχύτητα, να βρείτε την σχέση v=f(x) που δίνει το µέτρο της ταχύτητάς του σε συνάρτηση µε την µετατόπισή του x. ΛYΣH: Έστω v η ταχύτητα του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t που η µετατόπισή του είναι x. Tότε θα ισχύει:

a = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx v dv dx = a e-x v dv = a e -x dx (1) όπου dv η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητας µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt και dx η αντίστοιχη µεταβολή της µετατόπισης x. Όµως η σχέση (1) µπορεί να πάρει την µορφή: = - a e- x d(- x) d v = - a d(e-x ) () d v H σχέση () µε ολοκλήρωση δίνει: v = - a e-x + C (3) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για t- είναι v= και x=, οπότε η (3) δίνει: = - a + C C = a (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε την σχέση: v = - a e-x + a v = a 1 - e-x ( ) (5) H (5) αποτελεί την ζητούµενη συνάρτηση. Στο σχήµα (1) ο εργάτης µετακινείται οριζοντίως µε σταθερή ταχύτητα v µε αποτέλεσµα το σώµα Σ να ανέρχεται κατα κορύφως. Eάν την χρονική στιγµή t= η απόσταση του σώµατος από την τροχαλία είναι h και το σχοινί που κρατά ο εργάτης είναι κατακό ρυφο, να βρείτε: i) την ταχύτητα του σώµατος λίγο πριν φθάσει στην τροχαλία και ii) την επιτάχυνση του σώµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Η ακτίνα της τροχαλίας θεωρείται πολυ µικρή. ΛYΣH: Eάν x είναι η οριζόντια µετατόπιση του εργάτη σε χρόνο t, τότε η αντί στοιχη κατακόρυφη µετατόπιση y του σώµατος θα προκύψει από το γεγονός ότι το συνολικό µήκος του σχοινιού στον χρόνο t παρέµεινε σταθερό και ίσο µε h, οπότε θα ισχύει η σχέση: h - y + h + x = h y = h + x - h = h + v t - h (1) Tο µέτρο της ταχύτητας v του σώµατος κατά τη χρονική στιγµή t θα προκύψει

µε παραγώγιση της (1) ως προς τον χρόνο t, οπότε θα έχουµε: [ ] = d dt (h + v t ) 1/ v = dy dt = d dt (h + v t ) 1/ - h v = 1 (h + v t ) 1/-1 v t = v t h + v t () Όµως την στιγµή που το σώµα προσεγγίζει την τροχαλία ισχύει y=h, και η (1) την στιγµή αυτή γράφεται: h = h + v t * - h 4h = h + v t * t * = 3h /v t * = 3h/v (3) Σχήµα 1 όπου t * ο χρόνος ανόδου του σώµατος. H () για t=t * δίνει το µέτρο v * της ταχύ τητας του σώµατος λίγο πριν φθάσει στην τροχαλία, οπότε θα έχουµε: v * = 3v h/v h + 3v h /v = 3hv h = ii) Tο µέτρο της επιτάχυνσης a του σώµατος θα προκύψει µε παραγώγιση της σχέσεως () ως προς το χρόνο t, οπότε θα έχουµε: 3v (4) a= dv dt = d dt v t h + v t =v h + v t - (t/)(h + v t ) -1/ (v t) h + v t h + v a = v t - t (h + v t ) -1/ v h + v t h + v = v t - v t (h + v t ) 3 /

a = v h (h + v t ) 3 / Δύο υλικά σηµεία κινούνται επί κυκλικών τρο χιών C 1 και C, οι οποίες τέµνωνται στα σηµεία A και B. H ευθεία AB αποτελεί διάµετρο της τροχιάς C 1 και πλευρά τετραγώνου εγγεγραµ µένου στην τροχιά C. Tην στιγµή t= τα υλικά σηµεία βρίσκονται στο σηµείο A, κινούνται δε επί των τροχιών τους κατά την φορά των δει κτών του ρολογιού µε ταχύτητες, που τα µέτρα τους είναι v 1 = m/s και v =1 m/s. Nα δείξετε ότι, τα δύο κινητά δεν είναι δυνατόν να συ ναντηθούν. ΛYΣH: Yποθέτουµε ότι τα δύο υλικά σηµεία συναντώνται στο σηµείο A. Tότε το επί της περιφέρειας C 1 κινούµενο υλικό σηµείο θα έχει διαγράψει έστω k 1 περιστροφές, το δε επί της C κινούµενο θα έχει διαγράψει έστω k περιστρο φές και θα ισχύουν οι σχέσεις: Σχήµα 11 R 1 k 1 = v 1 t R k = v t (:) R 1 k 1 R k = v 1 v k 1 k = R v 1 R 1 v (1) όπου t ο κοινός χρόνος κίνησης των δύο κινητών. Όµως σύµφωνα µε τα δεδο µένα του προβλήµατος έχουµε: AB = R 1 AB = R (/4)' R 1 = R (/4) R /R 1 = () Συνδυάζοντας τις (1) και () παίρνουµε την σχέση: k 1 k = v 1 v = (3) διότι τα δεδοµένα του προβλήµατος εγγυώνται ότι v 1 /v =. Όµως τα k 1, k

είναι θετικοί ακέραιοι, οπότε ο λόγος k 1 /k πρέπει να είναι ρητός αριθµός, γεγο νός που σηµαίνει ότι, η σχέση (3) δεν µπορεί να ισχύει, αφού ο αριθµός είναι άρρητος. Άρα τα δύο κινητά δεν είναι δυνατόν να συναντηθούν στο A. Έστω τώρα ότι, τα δύο κινητά συναντώνται στο σηµείο B, οπότε το επί της περιφέρειας C 1 κινούµενο θα έχει διαγράψει ακέραιο πλήθος περιστροφών συν µισή περιστροφή, ενώ το επί της περιφέρειας C κινούµενο θα έχει διαγράψει ακέραιο πλήθος περιστροφών συν ένα τέταρτο της περιστροφής. Έτσι στην περί πτωση αυτή θα ισχύουν οι σχέσεις: R 1 1 + R 1 = v 1 t R + R / = v t (:) R 1 ( 1 + 1) R ( + 1/) = v () 1 v 1 + 1 ' + 1/ 1 = + 1 1 4 + 1 = (4) όπου λ 1, λ θετικοί ακέραιοι. Όµως το πρώτο µέλος της σχέσεως (4) είναι πη λίκο θετικών ακεραίων αριθµών, δηλαδή ρητός αριθµός και εποµένως δεν µπο ρεί να είναι ίσο µε τον άρρητο αριθµό, δηλαδή η σχέση (4) οδηγεί σε άτοπο, που σηµαίνει ότι τα δύο κινητά δεν µπορούν να συναντηθούν στο σηµείο B. Mια βάρκα την χρονική στιγµή t= βρίσκεται σε σηµείο Α της µιας όχθης ποταµού κατευθυνόµενη προς ένα σηµείο Ο της άλλης όχθης που βρίσκεται ακριβώς απέναντι από το σηµείο Α. Εάν η σχετική ταχύτητα V της βάρκας ως προς το νερό του ποταµού έχει σταθερό µέτρο και συνεχώς κατευθύνεται προς το Ο (σχήµα 1), να δείξετε ότι η απόσταση r της βάρκας από το Ο συνδέεται µε την γωνία φ που σχηµατίζει η επιβατική της ακτίνα r ως προς το Ο µε το διάνυσµα OA, µέσω της σχέσεως: D r = ( ' 4 - + * - ), V / v όπου v η σταθερή ταχύτητα του νερού του ποταµού ως προς το έδα φος και D το πλάτος του ποταµού. Ποιά είναι η µορφή της τροχιάς της βάρκας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους στην περίπτωση που ισχύει V=v; ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε την κίνηση της βάρκας στο σύστηµα αναφοράς του εδά φους επιλέγοντας για τον καθορισµό της θέσεώς της πολικές συντεταγµένες (r, φ) µε αρχή του πολικού άξονα το σηµείο Ο. Εάν v r, v είναι η ακτινική και η εγκάρσια συνιστώσα αντιστοίχως της ταχύτητας της βάρκας ως προς το ακί νητο έδαφος θα ισχύουν για τις αλγεβρικές τιµές των δύο αυτών ταχυτήτων οι σχέσεις:

v r = dr/dt = -V + vµ ' v = rd/dt = v ( µε (1) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) παίρνουµε: dr rd = -V + vµ v dr r = -V + vµ ) ( + d dr ' v * r = d - Vd v () Σχήµα 1 Ολοκληρώνοντας την () παίρνουµε την σχέση: dr = d r - V v d ' + C lnr= d - V v d ' + C (3) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης η τιµή της οποίας θα καθοριστεί από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της βάρκας. Εξάλλου έχουµε: d = µd '( = - d('() = -ln('() (4) '( Για τον υπολογισµό του δεύτερου ολοκληρώµατος που παρουσιάζεται στην σχέση (3) χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό z=εφ(φ/), οπότε θα έχουµε: d = 1 + ( / ) ' ' 1 - ( / ) d = ' ( 1 + z + dz * ) 1 - z - = ' dz (5), 1 + z 1 - z διότι από την z=εφ(φ/) µε διαφόριση προκύπτει dφ=dz/(1+z ). Όµως ισχύει: 1 1 - z = 1 1 1 + z + 1 1 - z oπότε η (5) γράφεται: d = dz dz + 1 + z =ln(1 + z) - ln(1 - z) 1 - z

d = dz dz + 1 + z =ln 1 + z ). 1 +,-( / ) 1 ( + = ln 1 - z ' 1 - z * / 1 -,-( / ) 3 (6) H σχέση (3) µε βάση τις (4) και (6) παίρνει την µορφή: lnr = -ln()- V v ' 1 + ( / ) * ln) ( 1 - ( / ), + + C (7) Επειδή την χρονική στιγµή t= είναι φ= και r=d, η (7) δίνει: lnd= -ln(1)- V v ln 1 + + C C = lnd 1 - Έτσι η (7) γράφεται: ln r ( 1 - +,( / ) ( ' * = ln' * D ) 1 + +,( / ) ) Eξάλλου ισχύει: V/v r D ' 1 - ( / ) * = ), ( 1 + ( / ) + V/v (8) 1 - ( / ) ( / 4) - ( / ) = 1 + ( / ) 1 + ( / 4)( / ) = 4 - ( ' * ) οπότε η (8) γράφεται: r D = ( ' V/v 4 - + * - r = D ), ( ' V/v 4 - + * - (9) ), Aκόµη έχουµε την σχέση: 1 - ( / ) [1 - ( / )][1 + ( / ] = 1 + ( / ) [1 + ( / )][1 + ( / )] = 1 - ( / ) 1 + ( / ) + ( / ) και τις τριγωνοµετρικές ταυτότητες: µ = ( / ) 1 + ( / ), = 1 - ( / ) 1 + ( / ) ο συνδυασµός των οποίων δίνει: 1 - ( / ) 1 + ( / ) = [1 + ( / )] 1 + ( / ) + 'µ[1 + ( / )] = 1 + 'µ Έτσι η σχέση (8) γράφεται:

r D = ) ( + ' 1 + µ* V / v r = D ) ( + ' 1 + µ* V / v (1) Στην περίπτωση που ισχύει V=v η (1) γράφεται: r = D ) ( + = ' 1 + µ* D 1 + µ δηλαδή η τροχιά (C) της βάρκας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι παρα βολή, µε κορυφή το σηµείο (D/, π/). Αεροπλάνο κινείται οριζοντίως µε σταθερή ταχύτη τα v και καταδιώ εται από τηλεκατευθυνόµενο πύραυλο, του οποίου η κίνηση ρυθµίζεται ώστε κάθε στιγµή η ταχύτητά του V να κατευθύ νεται προς το αερoπλάνο, το δε µέτρο της να είναι σταθερό και µεγαλύτερο του µέτρου της v (V>v). Εάν την στιγµή t= ο πύραυλος βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη διεύθυνση µε το αεροπλάνο και σε απόσταση h από αυτό, να βρεθεί ο χρόνος διαδροµής του πυραύλου µέχρις ότου πλήξει το αεροπλάνο. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε την κίνηση του αεροπλάνου και του τηλεκατευθυνόµενου πυραύλου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους επιλέγοντας για τον καθορισµό των θέσεών τους ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οx, Oy µε αρχή την θέση Ο του αεροπλάνου την στιγµή t=, µε άξονα Οx την οριζόντια γραµµή πτήσεως του αεροπλάνου και άξονα Οy την κατακόρυφη διεύθυνση ΟΠ, όπου Π η θέση του πυραύλου την στιγµή t= (σχήµα 13). Εάν Α είναι η θέση του αεροπλάνου την χρονική στιγµή t και Π(x,y) η αντίστοιχη θέση του πυραύλου, τότε σύµφωνα µε Σχήµα 13 το πρόβληµα η ταχύτητα V του πυραύλου στην θέση Π κατευθύνεται προς το Α, που σηµαίνει ότι η εφαπτοµένη της τροχιάς του πυραύλου στο Π διέρχεται από το Α και εποµένως µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

= y vt - x - dy dx = y vt - x (x - vt)dy - ydx = x - sv V - y dx dy = (1) όπου s το µήκος του τόξου που διέγραψε ο πύραυλος σε χρόνο t. Παραγωγί ζοντας την (1) ως προς y παίρνουµε: dx ds - v V Όµως ισχύει η σχέση: ds dy - dx dy - y d x dy = y d x dy + v V ds dy = () ds dy = dx dy + 1 ds dy = ± dx dy + 1 (3) Στην σχέση (3) δεκτό είναι το πρόσηµο (-), διότι µε την αύξηση του s το y µειώ νεται, οπότε η () γράφεται: y d x dy - v V dx dy + 1 = (4) Για την λύση της διαφορικής εξισώσεως (4) θέτουµε: p = dx dy dp dy = d x dy οπότε η (4) γράφεται: y dp dy = v V p + 1 dy y = V v dp p + 1 (5) Oλοκληρώνοντας την (5) παίρνουµε: lny = V v dp + C lny = V p + 1 v ln p + p + 1 ( ) + C (6) όπου C σταθερά ολοκληρώσεως που θα προκύψει από την αρχική συνθήκη y()=h και p()=(dx/dy)= διότι την χρονική στιγµή t= ισχύει (dy/dx) +. Έτσι θα έχουµε: lnh = V v ln(1) + C C = lnh και η (6) γράφεται:

ln y h = V v ln ( p + p + 1) ln y h = ln ( p + p + 1) V / v ( ) V / v y y h = p + p + 1 h v/v = p + p + 1 (7) Aπό την (7) προκύπτει: 1 p + p + 1 = y h -v/v p - p + 1 ( ) = p - p + 1 y h -v/v p - p + 1 = - y h -v/v (8) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (7) και (8) παίρνουµε: p = y h v/v dx = 1 ' y ) h ( ) y - h v/v -v/v y - h dx dy = -v/v Oλοκληρώνοντας την (9) έχουµε: x = h v V (y / h) +1 v V + 1 (y / h)- - - v V + 1 y h v/v y - h -v/v *, dy (9) +, v V +1 + C' (1) όπου C σταθερά ολοκληρώσεως που θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για t= είναι x= και y=h. Έτσι η (1) δίνει: = h v V (h / h) +1 v V + 1 v V +1 (h / h)- - - v V + 1 C'= - h V - Vv - V - Vv V - v = + C' = h V V + v - V V - v + C' Vvh V - v (11) Tην στιγµή t * που ο πύραυλος πλήτει το αεροπλάνο είναι y=, η δε αντίστοιχη τεταγµένη x * του πυραύλου είναι:

x * = h (- )+ C' (11) x * = Vvh V - v x * v = Vh V - v t * = Vh V - v ος Τρόπος Εξετάζουµε την σχετική κίνηση του πυραύλου ως προς το αεροπ λάνο επιλέγοντας για τον καθορισµό της σχετικής του θέσεως σύστηµα πο λικών συντεταγµένων (r,φ) µε αρχή την θέση Α του αεροπλάνου την στιγµή t= και πολικό άξονα Αx την οριζόντια γραµµή πτήσεως του αεροπλάνου (σχή µα 14). Η σχετική ταχύτητα v του πυραύλου ως προς το αεροπλάνο είναι: v = V - v H ακτινική και η εγκάρσια συνιστώσα της v έχουν αλγεβρικές τιµές, που δίνονται από τις σχέσεις: dr/dt = -V + v r = -V + v ' ( rd/dt = v = vµ ) dr/dt = -V + v( - )' ( rd/dt = vµ ( - ) ) dr/dt = -V - v rd/dt = vµ ' ( (1) Σχήµα 14 Διαιρώντας κατά µέλη τις (1) παίρνουµε την σχέση: dr rd = -V - v vµ dr r = - µ - V ) ( + d ' vµ * dr r = - d - V v d µ () Oλοκληρώνοντας την () παίρνουµε: dr = - d r - V v d + C lnr = - d µ d - + C (3) µ

όπου C σταθερά ολοκληρώσεως της οποίας η τιµή καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του αεροπλάνου και του πυραύλου, ενώ τέθηκε λ=v/v. Eξάλ λου για τα ολοκληρώµατα που παρουσιάζονται στο δεύτερο µέλος της (3) έχου µε: και d = d = µ µ d = d(µ) = ln(µ) (4) µ (1 + (/) d (5) (/) Θέτοντας z=εφ(φ/) θα έχουµε: dz = d '. *µ ( / ) 1. ) = d ( / +,-( / ) 3 = +,- ( / ) + *µ ( / ) 1 +,- 3 d / ( / ) dz = [ 1 + (/)] d = ( 1 + ) d z d = dz 1 + z και η σχέση (5) γράφεται: d = µ (1 + z dz z 1 + z = dz = lnz = ln ) ( z ' * + = -ln, ) ( ' + (6) * H (3) λόγω των (4) και (6) παίρνει την µορφή: lnr = -ln(µ) + ln ) ( + + C (7) ' * Όµως την χρονική στιγµή t= είναι φ=π/ και r=h, οπότε η (7) δίνει: lnh = -ln µ ' ( + )ln *+ 4 ( + C C = lnh ' και η (7) γράφεται: lnr = -ln(µ) + ln ) ( + + lnh ln rµ ' * h ' ( = ln )* ( ' + rµ h ) = ( + r = ' * h ) µ ( + (8) ' * Για τον υπολογισµό του χρόνου t * συναντήσεως του πυραύλου µε το αεροπλά νο χρησιµοποιούµε την σχέση: rd dt = vµ (8) h ) µ ( + ' * d dt = vµ dt = h ) vµ ( + d (9) ' *

Oλοκληρώνοντας την (9) µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία φ τις τιµές π/ και π παίρνουµε τον χρόνο t *, δηλαδή ισχύει: t * = h v ( / ) ' d (1) µ / Όµως ισχύει η τριγωνοµετρική ταυτότητα: µ = (/) 1 + (/ και η (1) γράφεται: t * = h v ' / [1 + (/)] ( / ) d = h 4 (/) v Θέτοντας εφ(φ/)=z η (11) γράφεται: t * = h v + 1 (1 + z ) 4z + dz 1 + z = h v + [1 + (/)] d (11) 4 + ( / ) / (1 + z )dz 1 z + t * = h V / v v V /v = - 1 hv V - v