Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 2 Στρατηγικές για τη μέθοδο της Επίλυσης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Απόδειξη 1. {p, q} 2. {p, q} 3. { p,q} 4. { p, q} 5. {p} 1,2 6. { p} 3,4 7. {} 5,6 Page 3 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Απόδειξη με χρήση της μεθόδου των δύο δακτύλων Page 4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007...Συνέχεια... Page 5 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Στρατηγικές Στρατηγικές Απαλοιφής (περιορισμοί στις προτασιακές μορφές) Απαλοιφή των ίδιων προτάσεων Απαλοιφή Καθαρών Ατομικών Τύπων Απαλοιφή Ταυτολογιών Απαλοιφή Υπαγωγής Page 6 Στρατηγικές Περιορισμού (περιορισμοί στη διαδικασία παραγωγής) Περιορισμός μοναδιαίας μορφής Περιορισμός Εισόδου Γραμμικός Περιορισμός Σύνολο Περιορισμού Υποστήριξης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Απαλοιφή των ίδιων προτάσεων Μεταθεώρημα: Υπάρχει απόδειξη του άτοπου στο Δ με επίλυση αν και μόνο αν υπάρχει απόδειξη του άτοπου σε Δ στο οποίο δεν εμφανίζεται μια προτασιακή μορφή δύο φορές. Page 7 Συνεπώς: μην προσθέτετε προτασιακές μορφές οι οποίες ήδη υπάρχουν. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Απόδειξη με Απαλοιφή των ίδιων προτάσεων 1. {p, q} 2. {p, q} 3. { p,q} 4. { p, q} 5. {p} 1,2 6. {q} 1,3 7. { q, q } 2,3 8. { p, p } 2,3 9. { q, q } 1,4 10. { q } 2,4 11. { p } 3,4 12. {} 6,10 Page 8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Kίνητρο για Απαλοιφή Ταυτολογίας 1. {p,q} Υπόθεση 2. {p, p} Υπόθεση 3. {p,q} 1,2 Page 9 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Απαλοιφή Ταυτολογίας Μια ταυτολογία είναι μια προτασιακή μορφή με συμπληρωματικούς ατομικούς τύπους Page 10 {p, p} {p, r, s, t, p} {p(a,x), p(a,x)} Μεταθεώρημα: Υπάρχει απόδειξη του άτοπου στο Δ με επίλυση αν και μόνο αν υπάρχει απόδειξη του άτοπου σε Δ στο οποίο δεν εμφανίζονται ταυτότητες. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Απόδειξη με απαλοιφή ταυτολογιών και απαλοιφή των ίδιων προτάσεων Page 11 1. {p, q} 2. {p, q} 3. { p,q} 4. { p, q} 5. {p} 1,2 6. {q} 1,3 7. { q } 2,4 8. { p } 3,4 9. {} 6,7 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σημείωση Η ακόλουθη δεν είναι ταυτολογία Page 12 {p(x), p(a)} Αιτιολογία: {p(x), p(a)} {p(a)} { p(b)} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Κίνητρο για Υπαγωγή 1. {p,q} Υπόθεση 2. {p,q,r} Υπόθεση 3. {q,r} Υπόθεση 4. { p} Υπόθεση 5. { q} Υπόθεση 6. { r} Υπόθεση Page 13 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Προτασιακή Υπαγωγή Μια προτασιακή μορφή Φ υπάγει την Ψ αν και μόνο αν η Φ είναι υποσύνολο της Ψ. Page 14 Παράδειγμα: {p,q} υπάγει την {p,q,r,s} Θεώρημα: Υπάρχει απόδειξη του άτοπου στο Δ με επίλυση αν και μόνο αν υπάρχει απόδειξη του άτοπου σε Δ με προτασιακή υπαγωγή. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σημείωση Η επίλυση δύο προτασιακών μορφών μερικές φορές παράγει μια νέα μορφή που υπάγει μια από τις γονικές μορφές. Page 15 1. {p} Υπόθεση 2. { r, q} Yπόθεση 3. {r} Yπόθεση 4. { r, p, q} Yπόθεση 5. { q, r} 1,4 6. { r} 2,5 7. {} 3,6 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σχεσιακή Υπαγωγή Μια σχεσιακή προτασιακή μορφή Φ υπάγει μια Ψ αν και μόνο αν υπάρχει μια λίστα αντικατάστασης σ που όταν εφαρμοστεί στη Φ παράγει την μορφή Φσ που είναι υποσύνολο της Ψ. Page 16 { p(a,b), q(c)} { p(x,y)} Διότι: { p(x,y)}{ {Χ a, Υ b} = { p(a,b)} { p(a,b), q(c)} Μεταθεώρημα: Υπάρχει απόδειξη του άτοπου στο Δ με επίλυση αν και μόνο αν υπάρχει απόδειξη του άτοπου σε Δ με υπαγωγή. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σημείωση Μη παράδειγμα { p(x,b), q(x)} { p(a,y)} Page 17 Διότι: { p(x,b), q(x)} { p(a,y)} {p(b,b)} { q(b) } Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα για την Απαλοιφή Καθαρών Ατομικών Τύπων Page 18 1. {p,q} Υπόθεση 2. { p,r} Υπόθεση 3. { q,r} Υπόθεση 4. { q,s} Υπόθεση 5. { r} Στόχος ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Απαλοιφή Καθαρών Ατομικών Τύπων Ένας ατομικός τύπος σε μια βάση δεδομένων είναι καθαρός αν και μόνο αν δεν υπάρχει συμπληρωματική εμφάνιση του τύπου αυτού στο Δ. Page 19 Μεταθεώρημα: Υπάρχει απόδειξη του άτοπου στο Δ με επίλυση αν και μόνο αν υπάρχει απόδειξη του άτοπου σε Δ με απαλοιφή των μορφών όπου εμφανίζονται καθαροί τύποι. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σημείωση Η απαλοιφή μιας μορφής με καθαρό τύπο μπορεί να δημιουργήσει νέους καθαρούς τύπους και νέες μορφές με καθαρούς ατομικούς τύπους. Page 20 1. {p,q} p q 2. { p, r} p r 3. { q,r} q r 4. { q,s,t} q s t 5. { r} r 6. { t} t ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Στρατηγικές Στρατηγικές Απαλοιφής (περιορισμοί στις προτασιακές μορφές) Απαλοιφή των ίδιων προτάσεων Απαλοιφή Καθαρών Ατομικών Τύπων Απαλοιφή Ταυτολογιών Απαλοιφή Υπαγωγής Page 21 Στρατηγικές Περιορισμού (περιορισμοί στη διαδικασία παραγωγής) Περιορισμός μοναδιαίας μορφής Περιορισμός Εισόδου Γραμμικός Περιορισμός Σύνολο Περιορισμού Υποστήριξης Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Περιορισμός μοναδιαίας μορφής Μια μοναδιαία μορφή είναι μια προτασιακή μορφή που περιέχει ένα μόνο ατομικό τύπο. Page 22 Παραδείγματα: {p} { p} Μη παραδείγματα: {} {p(x), q(a)} Μοναδιαία επίλυση καλείται εφαρμογή του κανόνα της επίλυσης όπου τουλάχιστον μια από τις γονικές μορφές είναι μοναδιαία. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Page 23 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Μη-πληρότητα της μοναδιαίας επίλυσης Page 24 1. {p,q} p q 2. {p, q} p q 3. { p,q} p q 4. { p, q} p q ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Περιορισμός Εισόδου Με βάση τον περιορισμό αυτό τουλάχιστον ένας από τις γονικές μορφές είναι μέλος της αρχικής βάσης (υπόθεση ή στόχος) Θεώρημα: Η επίλυση με τον περιορισμό εισόδου δεν είναι πλήρης 1. {p,q} p q 2. {p, q} p q 3. { p,q} p q 4. { p, q } p q Στην περίπτωση της προτασιακής λογικής, οι γονικές μορφές της κενής πρότασης πρέπει να είναι και οι δύο μοναδιαίες μορφές. Page 25 Η επίλυση με τον περιορισμό εισόδου και τον περιορισμό μοναδιαίας μορφής «δουλεύουν» ακριβλως στις ίδιες περιπτώσεις. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Κίνητρο για Γραμμικό Περιορισμό 1. {p,q} p q 2. {p, q} p q 3. { p,q} p q 4. { p, q} p q 5. {p} 1,2 6. { p} 3,4 7. {} 5,6 Page 26 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Γραμμική Επίλυση Κατά τη γραμμική επίλυση μια από τις γονικές μορφές είναι μορφή εισόδου (υπόθεση ή στόχος) ή γονέας της άλλης μορφής. Page 27 Μεταθεώρημα: Η γραμμική επίλυση είναι πλήρης! Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Λάθος Παράδειγμα 1. {p,q} 2. {p, q} 3. { p,q} 4. { p, q} 5. {p} 1,2 6. { p} 3,4 7. {} 5,6 Page 28 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ορθό Παράδειγμα 1. {p,q} 2. {p, q} 3. { p,q} 4. { p, q} 5. {p} 1,2 6. {q} 3,5 7. { p} 4,6 8. {} 5,7 Page 29 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Διαισθητική Εξήγηση του Συνόλου Υποστήριξης Page 30 Σε πολλές εφαρμογές, υπάρχουν υποθέσεις που είναι γνωστό ότι είναι ικανοποιήσιμες. Η μη-ικανοποιησιμότητα προέρχεται από ένα υποσύνολο (συνήθως από την άρνηση του συμπεράσματος). Ιδέα: Απόφυγε να εφαρμόσεις την επίλυση μεταξύ των υποθέσεων. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Περιορισμός Συνόλου Υποστήριξης Διαίρεσε το Δ σε δεδομένα υποστήριξης και προϋπάρχοντα δεδομένα με τέτοιο τρόπο ώστε τα προϋπάρχοντα δεδομένα είναι γνωστό ότι είναι ικανοποιήσιμα. Τυπικά το σύνολο υποστήριξης είναι σύνολο από προτασιακές μορφές που προέρχονται από το στόχο. Κάθε νέο συμπέρασμα προστίθεται στο σύνολο υποστήριξης. Page 31 Η επίλυση με χρήση του συνόλου υποστήριξης είναι αυτή όπουσε κάθε βήμα εμπλέκεται μια μορφή από το σύνολο υποστήριξης. Η επίλυση με το σύνολο υποστήριξης είναι πλήρης! Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Συνδυασμός στρατηγικών Ολες οι παραπάνω στρατηγικές μπορούν να συνδυαστούν μεταξύ τους δίχως απώλεια πληρότητας. Page 32 Όμως αυτό δεν ισχύει για όλες τις στρατηγικές: Κάποιες στρατηγικές δεν συνδυάζονται καλά με άλλες, Ακόμα και η απαλοιφή ταυτολογίας δεν είναι «αθώα». Ας είμαστε προσεκτικοί εκεί έξω. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος