ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω ένα ηµιτονοειδές σήµα µε τη ϕάση του, Θ, να αποτελεί τυχαία µεταβλητή, ως Xt = A cosπf c t + Θ µε A, f c, σταθερές και Θ οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή στο διάστηµα π, π]. Άρα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής είναι f Θ θ = { π, 0, αλλού π θ π Αυτό σηµαίνει ότι η τυχαία µεταβλητή Θ είναι εξίσου πιθανό να λάβει οποιαδήποτε τιµή στο διάστηµα π, π]. Κάθε τιµή του Θ αντιστοιχεί σε ένα δείγµα πραγµατοποίηση της στοχαστικής διαδικασίας Xt. Βρείτε την αυτοσυσχέτιση R xx τ. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Xt είναι R xx τ = EXt + τxt] 3 = EA cosπf c t + πf c τ + Θ cosπf c t + Θ] 4 = A = A = A Ecos4πf ct + πf c τ + Θ] + A Ecosπf cτ] 5 + π π f Θ θ cos4πf c t + πf c τ + θdθ + A cosπf cτ 6 π cos4πf ct + πf c τ + θdθ + A cosπf cτ 7 = 0 + A cosπf cτ 8 = A cosπf cτ 9 Ασκηση. Εστω ένα δείγµα πραγµατοποίηση της τυχαίας διαδικασίας Xt η οποία αποτελείται από µια τυχαία ακολουθία δυαδικών συµβόλων και 0. Ας ϑεωρήσουµε τις ακόλουθες υποθέσεις :. Τα σύµβολα και 0 αναπαρίστανται από παλµούς µε πλάτος +A και A, και διάρκεια T δευτερόλεπτα.. Οι παλµοί δεν είναι συγχρονισµένοι, άρα η ϑετική χρονική στιγµή έναρξης t d του πρώτου παλµού είναι ισοπί- ϑανο να συµβεί οποτεδήποτε µεταξύ των χρονικών στιγµών 0 και T δευτερολέπτων. ηλαδή, το t d µπορεί να µοντελοποιηθεί ως µια οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή T d, µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { f Td t d = T, 0 t d T 0, αλλού 0
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 05-6/Λυµένες Ασκήσεις 3. Κατά ένα οποιοδήποτε χρονικό διάστηµα n T < t t d < nt, όπου n ακέραιος, η παρουσία ενός ή ενός 0 καθορίζεται από τη ϱίψη ενός δίκαιου νοµίσµατος. ηλ. αν το αποτέλεσµα είναι κορώνα, ϑα έχουµε ένα, ενώ αν το αποτέλεσµα είναι γράµµατα, τότε ϑα έχουµε ένα 0. Αυτά τα δυο σύµβολα είναι ισοπίθανα να συµβούν, και η παρουσία ενός ή ενός 0 σε οποιοδήποτε διάστηµα είναι ανεξάρτητη από όλα τα υπόλοιπα διαστήµατα. Υπολογίστε τη µέση τιµή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας. Αφού τα πλάτη ±A συµβαίνουν µε ίση πιθανότητα είναι δηλ. ισοπίθανα, συνεπάγεται άµεσα ότι η µέση τιµή της τυχαίας διαδικασίας είναι µηδέν, άρα EXt] = 0, t. Για να ϐρούµε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R X t, t i, xt A 0 t -A t d Σχήµα : Πραγµατοποίηση τυχαίας διαδικασίας για ένα τυχαίο δυαδικό σήµα. πρέπει να εκτιµήσουµε την ποσότητα EXt Xt i ], όπου Xt, Xt i είναι τυχαίες µεταβλητές που προέρχονται από την παρατήρηση της τυχαίας διαδικασίας Xt τις χρονικές στιγµές t, t i αντίστοιχα. Ας ϑεωρήσουµε πρώτα την περίπτωση t t i > T Υπό αυτή τη συνθήκη, οι τυχαίες µεταβλητές Xt και Xt i συµβαίνουν σε διαφορετικούς παλµούς, και άρα είναι ανεξάρτητες. Τότε ϑα έχουµε EXt Xt i ] = EXt ]EXt i ] = 0, t t i > T Ας ϑεωροήσουµε τώρα την περίπτωση που t t i < T,µε t = 0 και t i < t. Σε µια τέτοια κατάσταση, παρατηρούµε στο Σχήµα ότι οι τυχαίες µεταβλητές Xt και Xt i συµβαίνουν σε διάστηµα όπου λαµβάνει χώρα ο ίδιος παλµός, αν και µόνον αν η καθυστέρηση t d ικανοποιεί τη συνθήκη t d < T t t i εδοµένου λοιπόν αυτού, µπορούµε να ορίσουµε τη δεσµευµένη µέση τιµή { A EXt Xt i t d ] =, t d < T t t i 0, αλλού Μπορούµε να πάρουµε τη µέση τιµή EXt Xt i ] αθροίζοντας την παραπάνω δεσµευµένη µέση τιµή για κάθε t d,
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 05-6/Λυµένες Ασκήσεις 3 άρα EXt Xt i ] = = T t t i 0 T t t i A A f Td t d dt d 0 T dt d 3 = A t t i, t t i < T 4 T Με όµοιο συλλογισµό για οποιαδήποτε άλλη τιµή του t, συµπεραίνουµε ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός τυχαίου δυαδικού σήµατος, που µια πραγµατοποίησή του ϕαίνεται στο Σχήµα, εξαρτάται µόνο από τη χρονική διαφορά t t i = τ, δηλ. R x τ = A τ, τ < T 5 T και µηδέν για τ T. Άρα η διαδικασία είναι στάσιµη, ενώ η αυτοσυσχέτιση είναι το γνωστό µας τριγωνικό σήµα διάρκειας T και µεγίστου πλάτους A. Ασκηση 3. Συνεχίζοντας την προηγούµενη άσκηση, δείξαµε ότι η αυτοσυσχέτιση της τυχαίας διαδικασίας Xt είναι { A R x τ = τ T, τ < T 0, αλλού 6 Βρείτε τη Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος της διαδικασίας. Η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος, που είναι ο µετασχ. Fourier της αυτοσυσχέτισης, ϑα είναι Φ x f = F {A trit/t } = A T sinc ft 7 Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να γενικευθεί ως ακολούθως : παρατηρήστε ότι η Φασµατική Πυκνότητα Ενέργειας δηλ. το τετράγωνο του µέτρου του µετασχ. Fourier ενός τετραγωνικού παλµού gt πλάτους A και διάρκειας T δίνεται από τη σχέση Φ g f = A T sinc ft 8 Ετσι, µπορούµε να γράψουµε ότι η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος Φ x f µιας τυχαίας δυαδικής διαδικασίας µε σύµβολα και 0, τα οποία αναπαρίστανται µε παλµούς gt και gt, αντίστοιχα, ισούται µε τη Φασµατική Πυκνότητα Ενέργειας του παλµού gt, διά τη διάρκεια του συµβόλου T. Ασκηση 4. Θεωρήστε µια τυχαία διαδικασία Xt και µια άλλη, Y t, οι οποίες έχουν και οι δυο µέση τιµή µηδέν, και είναι στάσιµες. Θεωρήστε τώρα την τυχαία διαδικασία Zt ως Βρείτε τη Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος της Zt. Zt = Xt + Y t 9 Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Zt είναι R z t i, t = EZt i Zt ] = EXt i + Y t i Xt + Y t ] = EXt i Xt ] + EXt i Y t ] + EY t i Xt ] + EY t i Y t ] = R x t i, t + R xy t i, t + R yx t i, t + R y t i, t 3 0
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 05-6/Λυµένες Ασκήσεις 4 Ορίζοντας τ = t i t, έχουµε R z τ = R x τ + R xy τ + R yx τ + R y τ 4 όταν οι τυχαίες διαδικασίες Xt, Y t είναι επίσης από κοινού στάσιµες. Αν κάνουµε µετασχ. Fourier και στα δυο µέλη, έχουµε Φ z f = Φ x f + Φ xy f + Φ yx f + Φ y f 5 Βλέπουµε ότι οι ιαφασµατικές Πυκνότητες Ισχύος Φ xy f και Φ yx f αντιστοιχούν σε ϕασµατικές συνιστώσες που προστίθενται στις Φασµατικές Πυκνότητες Ισχύος των επιµέρους τυχαίων διαδικασιών Xt και Y t. Άρα, εν γένει, η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος ενός αθροίσµατος στάσιµων τυχαίων διαδικασιών µε µηδενική µέση τιµή δεν είναι απαραίτητα το άθροισµα των επιµέρους Φασµατικών Πυκνοτήτων Ισχύος τους. Αν όµως οι τυχαίες διαδικασίες είναι ασυσχέτιστες µεταξύ τους, οι ιαφασµατικές Πυκνότητες Ισχύος Φ xy f, Φ yx f είναι µηδέν δείξτε το!, και έτσι έχουµε Φ Z f = Φ x f + Φ y f 6 όταν Xt, Y t ασυσχέτιστες. Ασκηση 5. Στο µάθηµα αναφέραµε συχνά µια τυχαία δυαδική ακολουθία συµβόλων και 0, τα οποία αναπαρίστανται µε παλµούς πλάτους και 0, αντίστοιχα, και διαρκούν T b δευτερόλεπτα το καθένα. είξαµε χωρίς απόδειξη ότι η αυτοσυσχέτιση µιας τέτοιας διαδικασίας είναι R x t = σx t + µ x 7 T b και άρα η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος είναι Ας δούµε αναλυτικά εδώ πως προκύπτουν οι παραπάνω σχέσεις. Φ x f = µ xδf + σ xt b sinc ft b 8 Εστω ότι τα σύµβολα είναι ισοπίθανα και ότι η έναρξη της διαδικασίας t d είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή T d στο διάστηµα 0, T b ], όπως στις προηγούµενες ασκήσεις. Εστω οι τυχαίες µεταβλητές Xt και Xt + τ, οι οποίες συµβαίνουν σε διαφορετικούς παλµούς αν τ > T b, οπότε και είναι ανεξάρτητες. Άρα EXtXt + τ] = EXt]EXt + τ], τ > T b 9 Τα σύµβολα, άρα και οι παλµοί, είναι ισοπίθανα γεγονότα. Άρα EXt] = EXt + τ] = 30 δηλ. R x τ = EXt]EXt + τ] = = 4 3 Για τ T b, οι τυχαίες µεταβλητές συµβαίνουν στον ίδιο παλµό, µόνο αν t d < T b τ. Τότε Ετσι, έχουµε τη δεσµευµένη µέση τιµή EXtXt + τ] = + 0 = EXtXt + τ t d ] =, t d < T b τ 4, αλλού 3 33
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 05-6/Λυµένες Ασκήσεις 5 Αθροίζοντας για κάθε πιθανή τιµή του t d, έχουµε R x τ = Tb τ Εύκολα τώρα προκύπτει ότι η Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος είναι 0 Tb dt d + dt d = τ + T b T b τ 4T b 4 T b 4, τ < T b 34 Φ x f = 4 δf + T b 4 sinc ft b 35 Παρατηρήστε ότι για ισοπίθανη εµφάνιση των συµβόλων και 0, η τυχαία διαδικασία έχει µέση τιµή µ x = EXt] = 36 και άρα µ x = 4 37 ενώ η τυπική απόκλιση της διαδικασίας, σ x, είναι σ x = EX t] µ x = R x 0 µ x = 4 = 4 38 Ασκηση 6. Αποδείξτε τις δύο ακόλουθες ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης : αʹ Αν Xt έχει σταθερή συνιστώσα ίση µε Α, τότε η R x τ ϑα έχει µια σταθερή συνιστώσα ίση µε A. ϐʹ Αν Xt έχει µια ηµιτονοειδή συνιστώσα, τότε η R x t ϑα έχει επίσης µια ηµιτονοειδή συνιστώσα της ίδιας συχνότητας. αʹ Εστω Xt = A + Y t, όπου Α σταθερά και Y t µια τυχαία διαδικασία µε µέση τιµή 0. Είναι : R x τ = EXt + τxt] = EA + Y t + τa + Y t] = = EA + AY t + AY t + τ + Y t + τy t] = = A + AEY t] + AEY t + τ] + EY t + τy t] = A + R y t ϐʹ Εστω Xt = A cosπft + θ + Zt, µε A cosπft + θ η ηµιτονοειδής συνιστώσα της Xt και θ µια τυχαία ϕάση. Είναι : R x τ = EXt + τxt] = EA cosπft + πfτ + θ cosπft + θ] + EZt + τa cosπft + θ] + EA cosπft + πfτ + θzt] + EZt + τzt] = = A cos πfτ + R τ + E...] + E...]
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 05-6/Λυµένες Ασκήσεις 6 Ασκηση 7. Εστω µια στάσιµη µε την ευρεία έννοια διαδικασία Xt µε Φ x f, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα. Φ x f -5f 0-3f 0 -f 0 0 -f 0 3f 0 5f 0 f Σχήµα : Φασµατική Πυκνότητα Ισχύς. Να ϐρεθεί η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R x τ της Xt. Είναι- Αλλιώς : f 4f0 f + 4f0 f Φ x f = rect + rect + rect f 0 f 0 f 0 F R x τ = f 0 sincf 0 τe jπ4f 0τ + f 0 sincf 0 τe jπ4f 0τ + f 0 sincf 0 τ = = f 0 sincf 0 τe jπ4f 0τ + e jπ4f 0τ + 4f 0 sincf 0 τ = = f 0 sincf 0 τ cosπ4f 0 τ + 4f 0 sincf 0 τ = = 4f 0 sincf 0 τ cosπ4f 0 τ + = = 4f 0 sincf 0 τ cos 4πf 0 τ = = 8f 0 sincf 0 τ cos 4πf 0 τ f f F Φ x f = rect rect + rect 0f 0 6f 0 f 0 F R x τ = 0f 0 sinc0f 0 τ 6f 0 sinc6f 0 τ + f 0 sincf 0 τ = = 0f 0 sinc0f 0 τ 6f 0 sinc6f 0 τ + 4f 0 sincf 0 τ Ασκηση 8. Εστω τυχαία διαδικασία Xt που δίνεται από την : Xt = A cosωt + θ όπου ω και θ είσαι σταθερές και Α είναι τυχαία µεταβλητή. Να διερευνηθεί αν η Xt είναι στάσιµη µε την ευρεία έννοια WSS. Είναι EXt] = EA cosωt + θ] = cosωt + θea]
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 05-6/Λυµένες Ασκήσεις 7 Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι η EXt] δεν είναι σταθερή εκτός αν EA] = 0. Επίσης, ] R x t, t + τ = EXtXt + τ] = E A cosωt + θ cos ωt + τ + θ = cos ωτ + cosωt + θ + ωτ]ea ] Βλέπουµε ότι η αυτοσυσχέτιση της Xt δεν είναι συνάρτηση µόνο της χρονικής διαφοράς τ, άρα η διεργασία δεν είναι WSS. Ασκηση 9. Εστω η τυχαία διαδικασία Y t = AXt cosω c t + θ, µε Xt τυχαία διαδικασία, στάσιµη, µε EXt] = 0, αυτοσυσχέτιση R x τ και ϕάσµα ισχύος Φ x f. Το πλάτος Α και η συχνότητα ω c είναι σταθερές, και η ϕάση θ είναι τυχαία µεταβλητή µε οµοιόµορφη κατανοµή στο 0, π. Αν Xt και θ είναι ανεξάρτητες, να ϐρεθεί : αʹ EY t] ϐʹ R y τ γʹ Φ y f αʹ EY t] = EAXt cosω c t + θ] ανεξ. = AEXt] Ecosω c t + θ] = 0, επειδή Xt, θ ανεξάρτητες. ϐʹ ] R y τ = EY ty t + τ] = E A XtXt + τ cosω c t + θ cos ω c t + τ + θ = = A EXtXt + τ]ecosω cτ + cosω c t + ω c τ + θ] = = A R xτ cosω c τ = R y τ. Επειδή η µέση τιµή είναι σταθερή και η αυτοσυσχέτιση της Y t εξαρτάται µόνο από τη χρονική διαφορά τ, η Y t είναι στάσιµη µε την ευρεία έννοια WSS. γʹ Είναι Φ y f = F {R y τ} = A F {R xτ cos ω c τ} = = A F {R xτ} F {cosω c τ} = A Φ xf = A 4 Φ xf f c + A 4 Φ xf + f c δf f c + c δf + f = Ασκηση 0. Να δείξετε ότι αν η Xt είναι στάσιµη µε την ευρεία έννοια WSS, τότε : E Xt + τ Xt] ] = R xx 0 R xx τ] όπου R xx τ είναι η αυτοσυσχέτιση της Xt.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 05-6/Λυµένες Ασκήσεις 8 Είναι E Xt + τ Xt] ] = EX t + τ Xt + τxt + X t] = Γνωρίζουµε ότι EXt + τxt] = R x τ. Για τ = 0, έχουµε ότι = EX t + τ] EXt + τxt] + EX t] 39 R x 0 = EX t] 40 Η 39 = 40 ] E Xt + τ Xt] = R x 0 R x τ + R x 0 = R x 0 R x τ = R x 0 R x τ Ασκηση. ύο τυχαίες διαδικασίες Xt, Y t δίνονται από τις σχέσεις : Xt = A cosωt + θ Y t = A sinωt + θ όπου Α και ω είναι σταθερές και θ είναι τυχαία µεταβλητή, οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο 0, π. στατιστική ετεροσυσχέτιση των Xt, Y t, και να δειχθεί ότι : Να ϐρεθεί η R xy τ = R yx τ Είναι R xy t, t + τ = EXtY t + τ] = ] = E A cosωt + θ sin ωt + τ + θ = Επίσης = A Esinωt + ωτ + θ sin ωτ] = = A sin ωτ = R xyτ 4 Από 4, 4 ϐλέπουµε ότι ισχύει R xy τ = R yx τ. R yx t, t + τ = EY txt + τ] = ] = E A sinωt + θ cos ωt + τ + θ = = A Esinωt + ωτ + θ + sin ωτ] = = A sin ωτ = R yxτ 4 Ασκηση. Εστω η τυχαία διαδικασία xt = A cosω t + φ, µε φ τυχαία µεταβλητή οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο π, pi. Τα A, ω ϑεωρούνται δεδοµένα σταθερά. αʹ Ν.δ.ο. η xt είναι στάσιµη ης τάξης. ϐʹ Ν.δ.ο. η xt είναι εργοδική.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 05-6/Λυµένες Ασκήσεις 9 γʹ Ποια είναι η ϕασµατική πυκνότητα ισχύος της διαδικασίας ; αʹ Για να είναι στάσιµη ης τάξης, πρέπει να ισχύουν : Ext] = c R και R x t, t = R x t t = R x τ Είναι Ext] = π = π A cosω t + φ π dφ = A 0 = 0 π A cosω t + φ dφ = π γιατί Επίσης, π π cosα + xdx = cos α sin π = 0 Rt, t = Ext xt ] = E A cosω t + φ = = A Ecosω t + φ cosω t + φ ] = A E ] A cosω t + φ = ] ] cos ω t t + E cos ω t + t + φ = t t = τ = A cosω τ = R x τ Άρα η διαδικασία είναι στάσιµη ης τάξης. ϐʹ Για να είναι εργοδική, πρέπει T x = lim xtdt = Ext] = 0 και φ τ = lim T T T T T T T xtxt + τdt = R x τ = A cosω τ Είναι T x = lim xtdt = lim T T T T T A = lim T T = ] T A sinω t + φ ω T T cos φ sin ω = ω sin ω T = A ω T cos φ A cos φ lim T = sin A cos φ lim T T lim sincf T = 0 T ω T = ω Εντελώς ανάλογα, και µε χρήση της αποδεικνύεται ότι : θ + φ θ φ sin θ sin φ = cos sin φ x τ = A cosω τ
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 05-6/Λυµένες Ασκήσεις 0 γʹ Η ϕασµατική πυκνότητα ισχύος είναι Φ x f = F {φ τ} = F {R x τ} = { A } = F cosω τ = A F {cosω τ} = = A δf f + δf + f = = A δf f + δf + f 4