ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΦΑΣΗΣ PLL Του Καθηγητή Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας. Εισαγωγή Στο προηγούμενο μάθημα - εισήγηση ασχοληθήκαμε με τους ταλαντωτές VO. Εξετάσαμε τις βασικές δομές και τα χαρακτηριστικά τους. Στις περισσότερες εφαρμογές, όπως για παράδειγμα στη σύνθεση συχνότητας, θα συναντήσουμε τους ταλαντωτές VOs ενταγμένους σε διατάξεις ελέγχου της φάσης και της συχνότητας τους. Αυτές οι διατάξεις θα μας απασχολήσουν σε αυτό το άρθρο. Ο βρόχος ελέγχου φάσης, γνωστός στην βιβλιογραφία με τον όρο PLL (Phase Loop Locked) είναι διάταξη αυτομάτου ελέγχου που επιτρέπει την σύγκριση και τον συγχρονισμό της φάσης και της συχνότητας του σήματος εξόδου ενός ταλαντωτή VO με την φάση και την συχνότητα κάποιου ταλαντωτή αναφοράς. Η διάταξη του βρόχου φάσης εμφανίζεται στο γενικό διάγραμμα του σχήματος, όπου διακρίνουμε: Τον ταλαντωτή VO, τον ταλαντωτή αναφοράς και δύο ακόμα υποσύνολα με τον όρο συγκριτή φάσης και φίλτρο. (y a ) Συγκριτής V Φάσης Φίλτρο (y ) VO V 2 Εξοδος Σχήμα : Γενικό διάγραμμα του βρόχου ελέγχου φάσης - PLL 2. Ποιοτική ερμηνεία της λειτουργίας του βρόχου κλειδώματος φάσης Με βάση το σχήμα, που συχνά θα το συναντήσουμε με άλλες παραλλαγές, θα διατυπωθούν οι εξισώσεις λειτουργίας της διάταξης και θα διερευνηθούν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες επιτυγχάνεται ο έλεχγος της φάσης του ταλαντωτή VO.
Η πλήρης μαθηματική ανάλυση δεν είναι εύκολο πρόβλημα. Πριν την αναλυτική μαθηματική παρουσίαση θα επιχειρήσουμε μια περιγραφική / ποιοτική ανάλυση λειτουργίας του PLL, η οποία θα βοηθήσει στην κατανόηση της λειτουργίας του. Ας υποθέσουμε ότι έως την χρονική στιγμή t = το σήμα ελέγχου V 2 δεν έχει εφαρμοστεί στην είσοδο του VO. Αρχικά λοιπόν δεν υπάρχει καμιά σχέση μεταξύ των φάσεων του σήματος αναφοράς και του του σήματος του VO που σημειώνονται αντίστοιχα ως y α και y ο και για απλοποίηση τα θεωρούμε ημιτονικά. y α = Αcos(ω α t + θ α ) () y ο = Βcos(ω ο t + θ ο ) (2) Οι αρχικές φάσεις θ α και θ ο εξαρτώνται από την επιλογή του χρόνου έναρξης της μέτρησης. Τα σήματα δεν είναι σύγχρονα και οι κυκλικές συχνότητες των σημάτων ω α και ω ο διαφέρουν. Εάν ο συγκριτής φάσης έχει ημιτονική χαρακτηριστική (λεπτομέρειες θα δούμε σε επόμενη παράγραφο) η τάση εξόδου του συγκριτή που εφαρμόζεται (t=) μέσω του φίλτρου στην είσοδο του VO είναι: V =V 2 = K cos[(ω α ω ο )t + (θ α θ ο )] (3) Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα διαπιστώνεται ότι το σήμα του VO καθίσταται σύγχρονο με το σήμα αναφοράς, δηλαδή ω α = ω ο. Έτσι γράφεται: y o = cos(ω α t + φ ο ) (4) Με άλλα λόγια με την έναρξη του φαινομένου το μέγεθος θ ο εξελίχθηκε ως γραμμική συνάρτηση του χρόνου: θ ο = (ω α ω ο )t + φ ο (5) Στην είσοδο του VO αποκαταστάθηκε συνεχής τάση, με τιμή: V 2 = V = K cos(θ α φ ο ) (6) Εξάλλου η στιγμιαία κυκλική συχνότητα (ω) του VO είναι ευθέως ανάλογη της τάσης ελέγχου V 2. Δηλαδή: ω = d(ω ο t + θ ο )/dt = ω ο + K o V 2, (7) Άρα: dθ ο / dt = Κ ο V 2 (8) Κ ο είναι η κλίση του ταλαντωτή VO, που μετριέται σε rad/(sec.volt) ή Hz /V. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5), (6) και (8) λαμβάνουμε:
ω α - ω ο = Κ ο Κ cos(θ α φ ο ) από όπου τελικά απορρέει: φ ο = θ α arccos[(ω α ω ο )/Κ ο Κ ] (9) Η συνεχής τάση στην έξοδο του συγκριτή φάσεων και στην είσοδο του VO (το φίλτρο δεν αλλοιώνει την συνεχή τάση) προσδιορίζεται και από την σχέση (): V = V 2 = (ω α ω ο ) / Κ ο () Συνοψίζοντας την λειτουργία της διάταξης PLL, αρχικά οι συχνότητες του ταλαντωτή αναφοράς και του VO είναι διαφορετικές. Στην συνέχεια με την λειτουργία της διάταξης, στην είσοδο του VO αποκαθίσταται συνεχής τάση (σχέση ) και η συχνότητα του εξισώνεται με την συχνότητα αναφοράς. Έχει επικρατήσει η ορολογία ο βρόχος φάσης κλείδωσε ή η συχνότηττα του VO κλείδωσε στην τιμή της συχνότητας αναφοράς. Μεταξυ των δύο σημάτων (αναφοράς και VO) αποκαθίσταται τελικά μια διαφορά φάσης που προσδιορίζεται από την σχέση (9). Είναι ακριβώς αυτή η διαφορά φάσης των δύο σημάτων που προσδιορίζει την τελική τάση λειτουργίας στην είσοδο του VO. Κάποιες παρατηρήσεις που απορρέουν ήδη από την διερεύνηση της σχέσης (9) θα διευκολύνουν την κατανόηση συμπερασμάτων που θα προκύψουν από την αυστηρή μαθηματική ανάλυση στην συνέχεια. Αν η διαφορά των συχνοτήτων ω α και ω ο είναι μικρή (όταν ο βρόχος δεν είναι κλειδωμένος) συγκρινόμενη με το γινόμενο Κ ο Κ, δηλαδή: ω α - ω ο << Κ ο Κ τότε η διαφορά των τελικών φάσεων είναι: θ α φ ο π/2 Η ισότητα ισχύει όταν ω α - ω ο =. Δηλαδή σε αυτή την περίπτωση ο VO κλειδώνει με διαφορά φάσης π/2 σε σχέση με το σήμα αναφοράς. Πρέπει να παρατηρήσουμε επίσης ότι αν αυτή η διαφορά φάσης ενσωματωθεί στις αρχικές σχέσεις των σημάτων, δηλαδή αν θεωρήσουμε: y α = Αsin(ω α t + θ α ) () y ο = Βcos(ω ο t + θ ο ) οι σχέσεις που προσδιορίζουν την τελική διαφορά φάσης και την τάση στην είσοδο του VO, όταν ο βρόχος κλειδώσει, γίνονται αντίστοιχα: θ α φ ο = arcsin[(ω α ω ο )/Κ Κ 2 ] (2) V = V 2 = K sin(θ α - φ ο ) (3) Αν η διαφορά θ α φ ο είναι μικρή τότε η σχέση (3) απλοποιείται:
V = V 2 K (θ α - φ ο ) (4) Η σχέση (4) υποδηλώνει γραμμική λειτουργία του συγκριτή. Με βάση αυτή την σχέση το μέγεθος K μετριέται σε Volt/rad. Το γινόμενο Κ ο Κ = Κ καλείται κέρδος ανοικτού βρόχου. Συνεχίζοντας την διερεύνηση της σχέσης (9) (ή της σχέσης 2) έχουμε άμεσα συμπεράσματα για τις συνθήκες λειτουργίας και κλειδώματος του βρόχου PLL. Η σχέση (9) ισχύει όταν ο βρόχος έχει κλειδώσει. Ας υποθέσουμε ότι με κάποιο τρόπο και αργό ρυθμό για να μην προκληθούν παρασιτικές μεταβατικές καταστάσεις - η συχνότητα αναφοράς απομακρύνεται από την τιμή της συχνότητας του VO. Όταν η διαφορά ω α ω ο γίνει μεγαλύτερη του γινομένου K o K, η εξίσωση (9) δεν έχει λύση ως προς το φ ο ώστε να υπάρχει συγχρονισμός και ο βρόχος ξεκλειδώνει. Ο VO αποκτά την συχνότητα ηρεμίας του και η τάση V γίνεται εναλλασσόμενη. Από φυσική άποψη αυτό σημαίνει ότι ο συγκριτής φάσης αδυνατεί να δώσει την συνεχή τάση που είναι απαραίτητη για τον συγχρονισμό του βρόχου (είναι εκτός δυναμικής). Οι τιμές της συχνότητας αναφοράς για τις οποίες εμφανίζεται το φαινόμενο εξαρτώνται από τον τύπο του συγκριτή που χρησιμοποιείται. Για τον συγκριτή φάσης με ημιτονική συμπεριφορά, που χρησιμοποιήσαμε στην ποιοτική μελέτη της προηγούμενης παραγράφου, η περιοχή συγχρονισμού του PLL, που ορίζεται ως η ζώνη συχνοτήτων μέσα στην οποία διατηρείται ο συγχρονισμός αν η συχνότητα αναφοράς ολισθήσει με αργό ρυθμό από την αρχική συχνότητα κλειδώματος του βρόχου είναι: ω α ω ο < Κ (Κ = Κ Κ 2 ) ή -Κ < ω α ω ο < Κ άρα: ω ο - Κ < ω α < ω ο + Κ (5) 3. Υποσύνολα του βρόχου PLL 3. Γενική παρουσίαση Πάντα με αναφορά το γενικό σχήμα () παρατηρούμε ότι ο βρόχος PLL περιλαμβάνει από τα εξής υποσύνολα: - Τον ταλαντωτή VO: Στους ταλαντωτές VO αφιερώσαμε προηγούμενο άρθρο. Γνωρίσαμε βασικές δομές, αρμονικών VOs και πολυδονητών VOs και περιγράφηκαν αναλυτικά τα χαρακτηριστικά και οι δομές τους. Εδώ δεν θα μας απασχολήσουν πάλι. Απλά όπου χρειαστεί θα δοθούν συμπληρωματικά χαρακτηριστικά στοιχεία, ιδιαίτερα στην παράγραφο συνθεση συχνότητας και στα παραδείγματα που θα ακολουθήσουν. - Τον ταλαντωτή αναφοράς: Ο ταλαντωτής αναφοράς επιβάλλει την συχνότητα σύγκρισης στην λειτουργία του PLL. Οφείλει να είναι ταλαντωτής με μεγάλη
σταθερότητα. Στις περισσότερες εφαρμογές των PLLs σαν ταλαντωτής αναφοράς αξιοποιείται κύκλωμα με κρύσταλλο. Ούτε η ανάλυση αυτών των κυκλωμάτων θα μας απαασχολήσει στο παρόν άρθρο. - Ο συγκριτής φάσεων: Η χαρακτηριστική της λειτουργίας αυτού του κυκλώματος προσδιορίζει ουσιαστικά τα χαρακτηριστικά και την ποιότητα λειτουργίας του βρόχου κλειδώματος φάσης. Στην επόμενη παράγραφο θα μελετηθούν λεπτομερώς τα βασικότερα κυκλώματα που χρησιμοποιούνται. - Το φίλτρο: Πρόκειται για χαμηλοπερατο φίλτρο. Η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου υπεισέρχεται στις εξισώσεις λειτουργίας του PLL και επηρεάζει σημαντικά την λειτουργία της διάταξης μέσω των παραμέτρων που εισάγει. Τα φίλτρα που χρησιμοποιούνται είναι πρώτου ή δεύτερου βαθμού και συνήθως πρόκειται για παθητικά φίλτρα ή απλές δομές ενεργών φίλτρων. Θα μελετηθούν σε επόμενες παραγράφους οι βασικότερες δομές. 3.2 Συγκριτής φάσης Με τον όρο συγκριτής φάσης, οριοθετείται το κύκλωμα που συγκρίνει την φάση του σήματος αναφοράς (y α ) με την φάση του σήματος εξόδου (y ο ) του VO και προσδιορίζει την τάση ελέγχου του. Διακρίνουμε κυκλώματα σύγκρισης με ημιτονική χαρακτηριστική που προορίζονται για σύγκριση φάσης ημιτονικών σημάτων, όπως αυτό που ήδη χρησιμοποιήσαμε και ψηφιακά κυκλώματα σύγκρισης φάσης που προορίζονται για σήματα τετραγωνικής κυματομορφής. Τα τελευταία μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για ημιτονικά σήματα με την προϋπόθεση ότι έχουν υποστεί νωρίτερα δυνατό ψαλιδισμό και έχουν ουσιαστικά αποκτήσει τετραγωνική κυματομορφή. 3.2. Ημιτονικός συγκριτής φάσης Στην παράγραφο 2, όπου μας απασχόλησε εισαγωγικά η ποιοτική μελέτη του βρόχου PLL, στηριχθήκαμε σε ημιτονικό συγκριτή. Πρόκειται ουσιαστικά για ένα ιδανικό πολλαπλασιαστή ημιτονικών σημάτων (σχήμα 2) του οποίου την λειτουργία συνοψίζουμε στην συνέχεια. E k:v - X V E 2 Σχήμα 2: Συγκριτής φάσεων ημιτονικής χαρακτηριστικής
Ας θεωρήσουμε τα σήματα εισόδου του πολλαπλασιαστή: Ε = Ε ο cos(ω ο t + φ ο ) και Ε 2 = Ε ο2 cos(ω ο t + φ ο2 ) Στην έξοδο, αν η σταθερά πολλαπλασιασμού είναι k (V - ), έχουμε: V = (ke E 2 /2) [cos(φ ο φ ο2 ) + cos(2ω ο t + φ ο + φ ο2 )] Σε συνδυασμό με το χαμηλοδιαβατό φίλτρο λαμβάνουμε τελικά: V = V o cosφ (6) όπου V o = ke E 2 /2 και φ = φ ο - φ ο2 η διαφορά φάσης των δύο σημάτων. Στο σχήμα (3) αποδίδεται η ημιτονική χαρακτηριστική λειτουργίας του συγκριτή. V V o π/2 π 3π/2 2π φ -V o Σχήμα 3: Χαρακτηριστική λειτουργίας του ημιτονικού συγκριτή Η ευαισθησία του συγκριτή ορίζεται από την σχέση: Κ = dv/dφ και μετριέται σε Volt/rad. Είναι προφανές ότι στην περίπτωση του ημιτονικού συγκριτή φάσεων η ευαισθησία του κυκλώματος δεν είναι σταθερή. Πολλές παραλλαγές κυκλωμάτων πολλαπλασιαστών μπορούν να προταθούν. Με διόδους υλοποιούνται κυκλώματα πολλαπλασιασμού γνωστά με τον όρο συμμετρικοί διαμορφωτές ή διαμορφωτές δακτυλίου. Σήμερα υπάρχουν και χρησιμοποιούνται ευρύτατα κυκλώματα πολλαπλασιαστών με τελεστικούς ενισχυτές. Σε άλλο άρθρο θα ασχοληθούμε με αυτά. 3.2.2 Συγκριτής φάσης με πύλη ΕxclusiveOR Το γνωστό ψηφιακό κύκλωμα αποκλειστικό είτε ή πύλη ΧΟR ακολουθούμενη από χαμηλοδιαβατό φίλτρο που ολοκληρώνει το σήμα εξόδου της πύλης συμπεριφέρεται
ως συγκριτής φάσης δύο σημάτων με τετραγωνική κυματομορφή. Στο σχήμα (4) δίνεται το σύμβολο, ο πίνακας αληθείας της πύλης XOR και το διάγραμμα καταστάσεων λειτουργίας της. Α Β A = = Σχήμα 4: Η πύλη XOR και η λειτουργίας της Με βάση το διάγραμμα καταστάσεων της πύλης είναι εύκολο να χαράξουμε το σήμα στην έξοδο της όταν στην είσοδό της εφαρμόζονται δύο σήματα Α και Β, με κυκλικό λόγο 5% και τυχαία διαφορά φάσης, όπως φαίνεται στο σχήμα 5. A τ Τ/2 Τ Σχήμα 5: Λειτουργία της πύλης για τυχαία σήματα εισόδου A και με κυκλικό λόγο 5%. Αν τ η καθυστέρηση που αντιπροσωπεύει την διαφορά φάσης φ μεταξύ των δύο σημάτων και Τ η περίοδος των σημάτων τότε: (t) =V cc όταν < t < τ και (T/2) < t < (T/2) + τ (V cc η τάση τροφοδοσίας της πύλης) Μετά την ολοκλήρωση του σήματος (t) έχουμε: τ V = (/T) (t)dt = 2(/T) V cc dt = 2 V cc (τ/τ)
Αντιστοιχόντας στη καθυστέρηση τ την γωνία φ και στην περίοδο Τ την γωνία 2π τότε: V = 2V cc φ / 2π = V cc φ /π = (V cc /π).φ (7) Ο συγκριτής εμφανίζεται γραμμικός σε περιοχή φάσεων από (, π). Για μεγαλύτερες διαφορές, οι τιμές επαναλαμβάνονται, η απόκρισή του είναι περιοδική (σχήμα 6). V V cc V cc /2 π/2 π 2π φ Σχήμα 6: Η απόκριση λειτουργίας συγκριτή φάσεων με πύλη XOR. Η ευαισθησία Κ του συγκριτή εξαρτάται από την τάση τροφοδοσίας και είναι σταθερή σε όλη την περιοχή: Κ = V cc / π (Volt/rad) (8) Στην περίπτωση που η πύλη έχει διπλή τροφοδοσία (-V cc /2 και V cc /2), η αποδίδεται στο σχήμα (7). V απόκριση V cc /2 π/2 π 2π -V cc /2 Σχήμα 7: Καμπύλη απόκρισης του συγκριτή με διπλή τροφοδοσία.
Στο σχήμα 8 παρουσιάζεται γραφικά το αποτέλεσμα στην έξοδο του συγκριτή άν τα εφαρμοζόμενα σήματα δεν έχουν κυκλικό λόγο 5%. Δίνονται για επιβεβαίωση του γεγονότος ότι ο συγκριτής με πύλη XOR δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί αν τα σήματα δεν έχουν κυκλικό λόγο 5%. A Σχήμα 8: Λανθασμένη λειτουργία του συγκριτή φάσεων στην περίπτωση που ο κυκλικός λόγος των σημάτων δεν είναι 5%. 3.2.3 Συγκριτής φάσης πλήρους διαστήματος (, 2π) Ο συγκριτής αυτού του είδους στηρίζεται στην χρήση ενός Flip-flop RS του οποίου η έξοδος αλλάζει κατάσταση, όταν στις εισόδους του εναλλασσονται αποκλειστικά συνδυασμοί τιμών και (σχήμα 9). A A Σχήμα 9: Λειτουργία του Flip-flop RS.
Για να μήν υπάρχει πρόβλημα με τον κυκλικό λόγο των κυματομορφών εισόδου τα σήματα πριν εφαρμοστούν στο Flip-flop διαφορίζονται και μετατρέπονται σε πολύ στενούς παλμούς (pics), όπως φαίνεται στην διάταξη του σχήματος () A d dt d dt Flip-Flop (t) Σχήμα : Συγκριτής φάσεων με Flip-flop RS. Η διαφορά φάσης των δύο σημάτων εκφράζεται με την χρονική μετατόπιση των μικρών παλμών στην είσοδο του Flip-flop. Στην έξοδο του Flip-flop ο κυκλικός λόγος του σήματος που δημιουργείται περιέχει την πληροφορία της διαφοράς φάσης των αρχικών σημάτων. Έστω τ η χρονική διαφορά των παλμών εισόδου και Τ η περίοδος. Μετά την ολοκλήρωση του σήματος εξόδου του Flip-flop έχουμε: τ V = (/T) (t)dt = (/T) V cc dt = V cc (τ/τ) (V cc η τάση τροφοδοσίας) Αντιστοιχόντας στους χρόνους τις γωνίες τ φ και Τ 2π λαμβάνουμε: V = (V cc /2π). φ (9) V Vcc Vcc/2 π 2π φ
Σχήμα : Η απόκριση του συγκριτή με Flip-flop στο διάστημα (,2π). Η σχέση είναι γραμμική στο πλήρες διάστημα (, 2π) (σχήμα ) και θυμίζει πριονωτή τάση. Η ευαισθησία του συγκριτή αυτού του είδους είναι: Κ = V cc /2π (2) Αν η τροφοδοσία της διάταξης είναι συμμετρική με V cc /2 και V cc /2 η χαρακτηριστική δίνεται στο σχήμα 2. V +Vcc/2 -Vcc/2 π 2π 3π φ Σχήμα 2: Η χαρακτηριστική του συγκριτή (,2π) με συμμετρική τροφοδοσία. 3.2.4 Συγκριτής φάσεων τριών καταστάσεων εξόδου Ο συγκριτής αυτού του τύπου είναι πιό πολύπλοκος και απαιτεί τουλάχιστον συνδυασμό από δύο frip-flop D. Η λειτουργία του συγχρονίζεται αποκλειστικά στα ανοδικά μέτωπα των σημάτων εισόδου και για αυτό το κύκλωμα λειτουργεί ανεξάρτητα της τιμής του κυκλικού λόγου των σημάτων. Στο σχήμα 3 φαίνεται η διάταξη αυτού του συγκριτή φάσεων που διαθέτει έξοδο τριών καταστάσεων. Το χρονοδιάγραμμα της λειτουργίας του αποδίδεται στο σχήμα 4.
A R R UP P R DOWN N Σχήμα 3: Συγκριτής φάσεων τριών καταστάσεων A Σχήμα 4: Χρονοδιάγραμμα λειτουργίας. Χωρίς να υπεισέλθουμε λεπτομερώς στο διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος (θα ξεστράτιζε εντελώς η παρούσα μελέτη), στο σχήμα 4 παρατηρούμε ότι το κύκλωμα ανιχνεύει την θετική ή αρνητική διαφορά φάσης των σημάτων εισόδου (καθυστέρηση) συγχρονιζόμενο στα ανοδικά μέτωπα των παλμών, δίνοντας θετικό ή αρνητικό παλμό εξόδου αντίστοιχα. Τον υπόλοιπο χρόνο η έξοδος μεταπίπτει σε κατάσταση υψηλής αντίστασης (tri-state). Αποδεικνύεται ότι η ευαισθησία του συγκριτή αυτού του είδους είναι: K = V cc / 4π (2)
4. Μαθηματική ανάλυση του βρόχου φάσης 4. Γενικές παρατηρήσεις Έως τώρα εξετάσαμε ποιοτικά την λειτουργία του βρόχου φάσης και γνωρίσαμε τα υποσύνολα που υπεισέρχονται στην λειτουργία του. Για να γνωρίσουμε τα χαρακτηριστικά λειτουργίας του PLL, με βάση τις παραμέτρους που επιβάλλουν τα διάφορα στοιχεία, πρέπει να διατυπώσουμε τις εξισώσεις λειτουργίας του. Όπως σε όλα τα συστήματα αυτομάτου ελέγχου έτσι και στην περίπτωση του βρόχου φάσης η λειτουργία περιγράφεται από διαφορική εξίσωση. Αν ληφθεί υπόψη ότι τουλάχιστον ο συγκριτής φάσης που χρησιμοποιείται δεν έχει γραμμική απόκριση (σχήματα 3,7 και 2) για οποιαδήποτε τιμή της διαφοράς φάσης των σημάτων, η μαθηματική ανάλυση οδηγεί σε μη γραμμική διαφορική εξίσωση και η επίλυση του προβλήματος δεν είναι τόσο εύκολη. Διαπιστώσαμε επίσης ότι στην έξοδο του συγκριτή φάσης η τάση είναι για διαφορά φάσης π/2 στην περίπτωση ημιτονικής ή τριγωνικής χαρακτηριστικής (σχήματα 3 και 7) και για διαφορά φάσης π στην περίπτωση της πριονωτής χαρακτηριστικής του σχήματος 2. Αν αυτές οι διαφορές φάσεων ενσωματωθούν κατά περίπτωση στα σήματα εισόδου του συγκριτή θα προκύψει ότι η χαρακτηριστική του κάθε συγκριτή είναι συμμετρική ως προς το των αξόνων. Αυτό σημαίνει μετατόπιση της χαρακτηριστικής επί του άξονα κατά την αντίστοιχη φάση. Αποτέλεσμα αυτής της πρακτικής είναι ότι για την στατική λειτουργία του PLL η τάση εξόδου του συγκριτή εμφανίζεται να είναι μηδέν για μηδενική διαφορά φάσης των σημάτων (σχήμα 5). Αυτό διευκολύνει πολύ την μαθηματική ανάλυση που προκύπτει, βεβαίως όμως στα τελικά αποτελέσματα πρέπει κατά περίπτωση να ληφθεί διορθωτικά υπόψη αυτή η μετατόπιση φάσης της χαρακτηριστικής. V Vcc/2 -π -π/2 π/2 π φ -Vcc/2 Σχήμα 5: Απόκριση κυκλώματος σύγκρισης με μετατόπιση φάσης (συμμετρική απόκριση).
Με αυτή την λογική η οποιαδήποτε χαρακτηριστική σύγκρισης, κατά την διατύπωση των εξισώσεων λειτουργίας, θεωρείται γραμμική και ανεξάρτητη της δομής του συγκριτή γύρω από το σημείο λειτουργίας και εκφράζεται από την σχέση: V = K.φ (22) όπου φ η διαφορά φάσης των σημάτων του ταλαντωτή αναφοράς και του VO. 4.2 Εξίσωση λειτουργίας του βρόχου Για την διατύπωση της χρονικής εξίσωσης λειτουργίας του βρόχου θεωρούμε πάλι το γενικό σχήμα (). Τα σήματα των ταλαντωτών αναφοράς και VO γράφονται: y α (t) = Αsin[ωt + φ α (t)] και y ο (t) = Αsin[ωt + φ ο (t)] (23) Τα σήματα y α και y o δεν έχουν απαραίτητα την ίδια συχνότητα ω όπως κακώς μπορεί να νοηθεί από τις σχέσεις (23). Η διαφορά συχνότητας ενσωματώνεται στις χρονικές συναρτήσεις φάσεων φ α (t) και φ o (t) που συνοδεύουν τα σήματα. Ισχύουν: V (t) = K [φ α (t) φ ο (t)] V 2 (t) = V (t) * f(t) dφ ο (t) / dt = K o.v 2 (t) [λειτουργία του συγκριτή φάσεων] [f(t) η χρονική συνάρτηση των φίλτρων και * το σύμβολο της συνέλιξης.] [λειτουργία του VO] Ο συνδυασμός των προηγούμενων σχέσεων οδηγεί στην εξίσωση (24): dφ ο (t)/dt = K o K [φ α (t) φ ο (t)] * f(t) (24) Η επίλυση της εξίσωσης (24) και η διερεύνησή της επιχειρείται μέσα από τον μετασχηματισμό Fourier. (jω).φ ο (ω) = Κ.[Φ α (ω) Φ ο (ω)].f(jω) (25) όπου F(jω) η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου και Κ = Κ Κ 2 το κέρδος ανοικτού βρόχου. Από την σχέση (25) προκύπτει: Φ ο (jω) / Φ α (jω) = K.F(jω) / [jω + Κ.F(jω)] = Η(jω) (26) Η σχέση (26) καλείται συνάρτηση μεταφοράς του βρόχου ελέγχου φάσης. Η διαφορά φ(t) = φ α (t) φ ο (t) είναι το στιγμιαίο σφάλμα φάσης του βρόχου.
Ο μετασχηματισμός Fourier του σφάλματος φάσης είναι: Φ(jω) = Φ α (jω) Φ ο (jω) Εύκολα διαπιστώνεται ότι: Φ(jω) / Φ α (jω) = (jω) / [jω + K.F(jω)] = Η(jω) (27) Η σχέση (27) είναι η συνάρτηση σφάλματος του βρόχου. Η διερεύνηση των σχέσεων (26) και (27) θα γίνει αφού μελετηθούν οι δομές των φίλτρων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν και διατυπωθούν οι ακριβείς εξισώσεις κατά περίπτωση. Αυτά θα μας απασχολήσουν στο επόμενο άρθρο μας, όπου θα δοθούν και εφαρμογές.