Περιγραφή του σχεδίου Είναι πιθανώς το ευρύτερα χρησιμοποιούμενο και πλέον χρήσιμο πειραματικό σχέδιο Εκμεταλλεύεται την συγκέντρωση των επεμβάσεων σε ομάδες. Κάθε ομάδα (που ονομάζεται και επανάληψη) περιλαμβάνει μία τουλάχιστον επανάληψη κάθε επέμβασης Οι ομάδες αυτές θα πρέπει να είναι κατά το δυνατό περισσότερο ομοιογενείς Σκοπός της τοποθέτησης των επεμβάσεων κατά ομάδες είναι η μεγιστοποίηση της παραλλακτικότητας μεταξύ των ομάδων και η ελαχιστοποίηση της παραλλακτικότητας μέσα στις ομάδες
Διαδικασία τυχαιοποίησης Η τυχαιοποίηση γίνεται ξεχωριστά σε κάθε ομάδα Παράδειγμα τυχαιοποίησης Κάθε επέμβαση έχει την ίδια πιθανότητα να καταλάβει ένα πειραματικό τεμάχιο μέσα σε μία ομάδα Κάθε επέμβαση θα πρέπει να εμφανίζεται (τουλάχιστον μία φορά) σε κάθε ομάδα Τέσσερις δόσεις αζωτούχου λιπάσματος σε τρεις επαναλήψεις Επανάληψη 1 Επανάληψη Επανάληψη 3 A D C B B A D C A B C D Α 0kg N/ha B 50kg N/ha C 100 kg N/ha D 150kg N/ha
Mέγεθος, θέση και σχήμα ομάδων Στόχος: η μεγιστοποίηση της παραλλακτικότητας μεταξύ των ομάδων Kριτήρια επιλογής - μεταβολή ομοιογένειας προς μία κατεύθυνση: η μεγαλύτερη διάσταση των ομάδων κάθετα προς την κατεύθυνση της μεταβολής - ισοδύναμη μεταβολή της ομοιογένειας προς δύο κατευθύνσεις: α) τετράγωνες ομάδες, β) χρήση άλλων σχεδίων (ΛΤ), γ) τεχνικές συνδιακύμανσης - όταν η μεταβολή της ομοιογένειας δεν είναι προβλέψιμη χρησιμοποιούνται τετράγωνες ομάδες - μπορεί να απαιτηθεί η χρήση ομάδων με ακανόνιστο σχήμα ή και η τοποθέτησή τους σε διαφορετικές τοποθεσίες υπό τον όρο ότι αυτές δε διαφέρουν πολύ μεταξύ τους
Γόνιμο Η διάταξη των ομάδων ως προς την κατεύθυνση της αλλαγής Ομάδα Ι ΙΙ Λιγότερο γόνιμο ΙΙΙ
Η διάταξη των ομάδων σε σχέση με τα χαρακτηριστικά του σταθμού X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
Πλεονεκτήματα του ΤΠΟ 1. Εάν η ομαδοποίηση είναι επιτυχής μπορεί να μειώσει το πειραματικό σφάλμα και να αυξήσει την ευαισθησία του πειράματος. Αυξάνεται ο κύκλος εφαρμογών των αποτελεσμάτων όταν οι διάφορες ομάδες τοποθετούνται σε διαφορετικές τοποθεσίες 3. Η ανάλυση είναι σχετικά απλή 4. Ολόκληρες επεμβάσεις ή ομάδες μπορούν να εξαιρεθούν από την ανάλυση Μειονεκτήματα του ΤΠΟ 1. Αν λείπουν τιμές, είναι λιγότερο αποτελεσματικό από το ΕΤΣ ενώ και η ανάλυση γίνεται πιο περίπλοκη. Οι ΒΕ του σφάλματος είναι λιγότεροι από ότι στο ΕΤΣ (πρόβλημα εάν υπάρχει μικρός αριθμός επεμβάσεων) 3. Ο αριθμός των επεμβάσεων δεν μπορεί να υπερβεί τις 15 έως 0 διότι αυξάνεται η ανομοιογένεια μέσα στην ομάδα και επομένως το πειραματικό σφάλμα
Η διαίρεση του πειραματικού αγρού σε τέσσερις ομάδες. Κάθε ομάδα αποτελείται από έξι πειραματικά τεμάχια Κατεύθυνση υγρασίας Ομάδα Ι Ομάδα ΙΙ Ομάδα ΙΙΙ Ομάδα ΙV
Η αρίθμηση των πειραματικών τεμαχίων και η τυχαία διάταξη των έξι πειραματικών επεμβάσεων στην πρώτη ομάδα 1 4 Δ 5 Γ 3 Ε 6 Α Β Ομάδα Ι ΣΤ
1 4 Μια διάταξη στο χωράφι του πειράματος που έχει έξι επεμβάσεις (Α,Β,Γ,Δ,Ε,ΣΤ) σε τέσσερις ομάδες 7 10 13 16 19 Δ Γ Γ Ε Γ Δ Β Ε 5 8 11 14 17 0 3 Ε Α Β Α ΣΤ Ε Δ Γ 3 6 9 1 15 18 1 4 Β ΣΤ Δ ΣΤ Β Α Α ΣΤ Ομάδα Ι Ομάδα ΙΙ Ομάδα ΙΙΙ Ομάδα ΙV
Υποθετική διάταξη του ίδιου πειράματος του παραδείγματος σύμφωνα με το εντελώς τυχαιοποιημένο σχέδιο 1 4 7 10 13 16 19 Δ Δ ΣΤ Α Α Β Β Ε 5 8 11 14 17 0 3 Δ Β Ε Ε Γ Γ ΣΤ ΣΤ 3 6 9 1 15 18 1 4 Γ ΣΤ Β Α Δ Ε Γ Α
Το Γραμμικό Πρότυπο Γραμμικό πρότυπο για το είναι Σχέδιο ΤΠΟ : Y µ + + β + t i j ε όπου Y µ τ ι β j ε j-στή παρατήρηση της i-στής επέμβασης ο μ.ο. του πληθυσμού η επίδραση της i-στής επέμβασης η επίδραση της j-στής ομάδας τυχαίο σφάλμα ε Ν (0, σ e ) τ i 0 b β j j 1 0 Μπορούμε να εκτιμήσουμε την σ από τους μ.ο. υπολογίζοντας το Μέσο Τετράγωνο (ή διακύμανση) των Επεμβάσεων (ΜΤε) Μπορούμε να εκτιμήσουμε την σ από τις ατομικές παρατηρήσεις υπολογίζοντας το Μέσο Τετράγωνο (ή διακύμανση) του Σφάλματος (ΜΤυ)
Προϋποθέσεις της ANOVA 1. Τα πειραματικά σφάλματα είναι τυχαία, ανεξάρτητα και ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέσο όρο μηδέν και κοινή διακύμανση (δηλ. οι διακυμάνσεις μέσα σε κάθε επέμβαση είναι ομοιογενείς) ε Ν (0, σ e ). Η επίδραση της i-επέμβασης στην j-ομάδα ακολουθεί κανονική κατανομή. Ο αριθμός των κατανομών αυτών ισούται με ab 3. Οι διακυμάνσεις των πληθυσμών αυτών είναι ίσες ή ομοιογενείς. Η ιδιότητα αυτή λέγεται ομοσκεδαστικότητα 4. Δεν υφίσταται αλληλεπίδραση της επέμβασης με την ομάδα. Η ιδιότητα αυτή λέγεται αθροιστικότητα Πρότυπο Αθροιστικό Πολλλαπλασιαστικό Log Επανάληψη Ομάδα 1 1 1 Eπέμβαση 1 10 0 10 0 1,00 1,30 Eπέμβαση 30 40 30 60 1,48 1,78 +10 από επαν 1 σε * από επαν 1 σε επαν Η λογαριθμική μετατροπή
Κατάτμηση Αθροίσματος Τετραγώνων Τα συστατικά του προτύπου ξαναγραφούν ως εξής: Y µ + + β + t i j ε μπορούν να µ ως Y.. τ ως Y i. Y.. ι β j ως Υ. j Y.. ε _ Y Y i. Υ. j Y.. ως + Οπότε τελικά: a b i 1 j 1 a b a b ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y b Y. i Y.. + a Y. j Y.. + Y Y. i Y. j + Y.. Ή απλούστερα:.. i 1 j 1 i 1 j 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y b Y i. Y.. a Y. j Y.. + Y Y i. Y. j Y.... + +
Ανάλυση της παραλλακτικότητας (ANOVA) Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ Άθροισμα Τετραγώνων Μέσο Τετράγωνο Αναμενόμενο Μέσο Τετράγωνο F Επεμβάσεις a-1 ATa b a ( Yi. Y.. ) i 1 ATα MTα ( α 1) * σ e + bσ a MTa MTυ Ομάδες b-1 ATb a b ( Y. j Y.. ) j 1 MT ATb b ( b 1) σ + e aσ b MTb MTυ Υπόλοιπο (a-1)(b-1) ATυ a b ( Y Y. i Y. j + Y.. ) i 1 j 1 MTυ ATυ ( α 1)( β 1) σ e Σύνολο ab-1 ATσ a b ( Y Y.. ) i 1 j 1
Παράδειγμα Aπόδοση μιας ποικιλίας ρυζιού σε 6 πυκνότητες σποράς Ποσότητα σπόρου σποράς (kgr/ha) Επανάληψη Eπανάληψη Ομάδες 5 50 75 100 15 150 Y. j 1 5,1 5,3 5,3 5, 4,8 5,3 31,0 5,4 6,0 5,7 4,8 4,8 4,5 31, 3 5,3 4,7 5,5 5,0 4,4 4,9 9,8 4 4,7 4,3 4,7 4,4 4,7 4,0 6,9 Y 0,5 0,3 1, 19,4 18,7 18,8 118,9 i. Y 105,35 104,67 11,9 94,44 87,53 89,16 564,07 594,07 1. Διαμόρφωση της υπόθεσης:. Y ΔΟ na 118.9 66 4 * 4.. ab 589.050 H 0 : μ 1 μ μ 3 μ 4 μ 5 μ 6 H 1 : τουλάχιστον ένας μ.ο. διαφέρει από τους υπόλοιπους
Παράδειγμα (Συνέχεια) 3. Ποσότητα σπόρου σποράς (kgr/ha) Επανάληψη Eπανάληψη 5 50 75 100 15 150 Y. j 1 5,1 5,3 5,3 5, 4,8 5,3 31,0 5,4 6,0 5,7 4,8 4,8 4,5 31, 3 5,3 4,7 5,5 5,0 4,4 4,9 9,8 4 4,7 4,3 4,7 4,4 4,7 4,0 6,9 Y i. 0,5 0,3 1, 19,4 18,7 18,8 118,9 Y 105,35 104,67 11,9 94,44 87,53 89,16 564,07 ATσ ( 5.1 + 5.4 + 5.3 +... + 4.0 ) 5. 0 Y ΔΟ ΔΟ 594,07 Y. j 31.0 + 31. + 9.8 + 6.9 4. ATb ΔΟ 1, 965 6 ΔΟ a 5. Y 0.5 0.3 1. 19,4 18,7 18,8 i + + + + + ATα ΔΟ 4 ΔΟ b. 1.675 1,
Παράδειγμα (Συνέχεια) Ποσότητα σπόρου σποράς (kgr/ha) Επανάληψη Eπανάληψη 5 50 75 100 15 150 Y. j 1 5,1 5,3 5,3 5, 4,8 5,3 31,0 5,4 6,0 5,7 4,8 4,8 4,5 31, 3 5,3 4,7 5,5 5,0 4,4 4,9 9,8 4 4,7 4,3 4,7 4,4 4,7 4,0 6,9 Y i. 0,5 0,3 1, 19,4 18,7 18,8 118,9 Y 105,35 104,67 11,9 94,44 87,53 89,16 564,07 6. ΑΤυ ΑΤσ ΑΤb ATε 1,7875 7. Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ ΑΤ ΜΤ ΘΜΤ F Ομάδα b 1 3 1.9650 0.6550 σ e + 6 σ a 5,495** Επέμβαση a 1 5 1.675 0.535 σ e + 4 σ b,17 Σφάλμα (b 1)( a 1) 15 1.7875 0.119 σ e Σύνολο ab 1 3 5.000
Παράδειγμα (Συνέχεια) Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ ΑΤ ΜΤ ΘΜΤ F Ομάδα b b-13 1 3 1.9650 0.6550 σ e + 6 σ a 5,495** Επέμβαση a a-15 1 5 1.675 0.535 σ e + 4 σ b,17 Σφάλμα (b 1)( a 1) (b-1) (a-1)15 15 1.7875 0.119 σ e Σύνολο ab 1 3 5.000 8. F α; ΒΕ επεμβάσεων, ΒΕ υπολοίπου F 0.05 ; 5.15.90 F 0.01 ; 5.15 4.56 F α; ΒΕ ομάδων, ΒΕ υπολοίπου F 0.05 ; 3.15 3.9 F 0.01 ; 3.15 5.4 9. Εξαγωγή συμπερασμάτων Επειδή το F.17 < F πιν. δεν απορρίπτεται η H 0 στο α 0.05 και 0.01 s 0.119 10. % ΣΠ * 100 % ΣΠ *100 6.97% 4.95 Y
Παράδειγμα (Συνέχεια) 11. Υπολογισμός της Ελάχιστης Σημαντικής Διαφοράς (ΕΣΔ) Εφόσον δεν απορρίφθηκε η Η 0, δεν προχωρούμε σε περαιτέρω συγκρίσεις μεταξύ των επεμβάσεων. Εάν όμως από τη δοκιμασία του F δεν είχε απορριφθεί η H 0, τότε θα προχωρούσαμε στις συγκρίσεις αυτές με συνηθέστερο τρόπο αυτόν της ΕΣΔ που ουσιαστικά είναι μία μορφή δοκιμασίας του t και προέρχεται από τον τύπο για την εύρεση της σημαντικότητας μιας διαφοράς δύο μ.ο. επεμβάσεων ΕΣΔ ΜΤ b n 131. ( 0119. ) 4 υ Επεμβάσεων 0 t 05.. 0 76 H ΕΣΔ θα πρέπει να χρησιμοποιείται για τη σύγκριση γειτονικών μ.ο. σε μία σειρά μ.ο. που έχουν καταταγεί κατά μέγεθος
Απώλεια παρατηρήσεων Για κάθε παρατήρηση που λείπει χάνεται ένας ΒΕ από το σύνολο Η τιμή της παρατήρησης που λείπει υπολογίζεται ως : Y ( by. + ay. Y.. ) j ( b 1)( a 1) i Όπου : b ο αριθμός των ομάδων α ο αριθμός των επεμβάσεων Υ. j το σύνολο των τιμών της ομάδας από όπου λείπει η παρατήρηση Υ i. το σύνολο των τιμών της επέμβασης από όπου λείπει η παρατήρηση Υ.. το σύνολο των τιμών του πειράματος
Απώλεια παρατηρήσεων Παράδειγμα Α. Δεδομένα και ανάλυση χωρίς απώλεια παρατήρησης Επεμβάσεις Επανάληψη Ομάδες Α B C D Y. j 1 9 11 3 7 30 8 13 5 10 36 3 7 1 8 4 31 Y 4 36 16 1 97 i. Ανάλυση Παραλλακτικότητας Πηγή ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Παραλλακτικότητας Επεμβάσεις Επέμβαση 3 7,50 4,083 4,898* Επανάληψη Ομάδες 5,167,584 0,56 Σφάλμα 6 9,500 4,917 Σύνολο 11 106,917
Απώλεια παρατηρήσεων Παράδειγμα Β. Δεδομένα με απώλεια μίας παρατήρησης (Υ 3 ) Επεμβάσεις Αρχικά Δεδομένα Υπολογισμός τιμής που λείπει Y Ομάδες Α B C D Y. j 1 9 11 3 7 30 8 13 10 31 3 7 1 8 4 31 Y 4 36 11 1 97 9 i. ( by + ay Y.. ). j i. ( b 1)( a 1) [( 3*31) + ( 4*11) 9] ( 3 1)( 4 1) 7.5 Επεμβάσεις Τελικά Δεδομένα Επανάληψη Α B C D Y. j 1 9 11 3 7 30 8 13 7,5 10 38,5 3 7 1 8 4 31 Y 4 36 18,5 1 99,5 97 i.
Απώλεια παρατηρήσεων Παράδειγμα (Συνέχεια) Β. Ανάλυση με απώλεια μίας παρατήρησης (Υ 3 ) Ανάλυση Παραλλακτικότητας Πηγή ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Παραλλακτικότητας Επεμβάσεις 3 60,063 0,01 3,765 Ομάδες 10,79 5,396 1,03 Σφάλμα 5 6,375 5,75 Σύνολο 10 97,9 Σχόλια Η χρήση της τιμής που υπολογίστηκε δε βελτιώνει την ακρίβεια ούτε παρέχει πρόσθετη πληροφορία. Απλώς διευκολύνει την ανάλυση των υπολοίπων δεδομένων Το ΜΤ του Σφάλματος είναι το ελάχιστο όταν υπολογίζεται η τιμή που λείπει όπως προαναφέρθηκε Το ΑΤ του συνόλου και των ομάδων είναι μεροληπτικές τιμές. Αμερόληπτες εκτιμήσεις μπορούν να υπολογισθούν μόνο με ανάλυση συνδιακύμανσης
Υπολογισμός Ελάχιστης Σημαντικής Διαφοράς (ΕΣΔ) Χρειάζεται να υπολογιστούν δύο ΕΣΔ : 1. ΕΣΔ για σύγκριση επεμβάσεων με πλήρεις παρατηρήσεις ΕΣΔ Επεμβάσεων ΜΤυ ( 5.75 ) 0 t 05. 571. b n 3 4.81. ΕΣΔ για σύγκριση της επέμβασης στην οποία λείπει η παρατήρηση με άλλες πλήρεις επεμβάσεις ΕΣΔ Επεμβάσεων t0. 05 s b + b a ( b 1)( a 1) 4.571 5.75 + 5.567 3 3( 3 1)( 4 1)
H δοκιμασία του F για τις ομάδες Συνήθως δε μελετούμε την επίδραση των ομάδων. Σε κάθε περίπτωση, απαιτείται προσεκτική ερμηνεία : Εάν η τιμή του F είναι σημαντική, αποτελεί ένδειξη ότι αυξήθηκε η ακρίβεια του πειράματος σε σχέση με το ΕΤΣ Θα πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί όταν οι επιδράσεις των ομάδων είναι μεγάλες, διότι αυτό μπορεί να οφείλεται σε ετερογένεια των Σφαλμάτων Εάν οι επιδράσεις των ομάδων είναι μικρές ή το ΤΠΟ δεν κατόρθωσε να μειώσει το πειραματικό σφάλμα ή οι πειραματικές μονάδες ήταν εξαρχής ομοιογενείς