ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m από το Ο και κινείται κατά µήκος του περιτρεφόµενου άξονα Ο µε χετική ταχύτητα υ =1m/s και µε κατεύθυνη προς το κέντρο Ο, να βρεθούν και να χεδιατούν το O υ χήµα τα διανύµατα α) της κοριολείου δύναµης β) της φυγόκεντρης δύναµης και γ) της απόλυτης ταχύτητας Είναι υ = υi, r = ri α) F = mω υ = mωk ( υ i) = mωυ ( k i) j c = Fϕ = mω ( ω r) = mω rk ( k i) = β) 1 = mω rk j = mω r( i) = i 4 γ) υa = υ + ω r + υ Όµως είναι υ = και έχουµε 1 υa = ωk ri υi = ωr j + υi = j i O υ υ a F φ F c Υλικό ηµείο αφήνεται να πέει χωρίς τριβές µέα ε ωλήνα, ο οποίος είναι παράλληλος του κατακόρυφου άξονα Ωζ ε απόταη a από αυτόν και περιτρέφεται γύρω του µε ταθερή γωνιακή ταχύτητα ω (α) Να βρεθεί η εξίωη της κίνηης του υλικού ηµείου και η αντίδραη που ακεί ο ωλήνας το ώµα (β) Αν ο ωλήνας περιτρέφεται µε επιταχυνόµενη γωνιακή ταχύτητα ( ω ) γύρω από τον ίδιο άξονα, θα επιδράει κάποια επιπλέον δύναµη το ώµα και, αν ναι, ποιά; ζ Ω ω α O Σ g Ορίζουµε το χετικό ύτηµα O όπως το χήµα Η εξίωη που περιγράφει την χετική κίνηη είναι η mγ = F mγo mω ( ω r) mω υ m ω r ( 1) Το υλικό ηµείο κινείται πάνω τον άξονα O άρα r = k, υ = r = k, γ = r= k Επίης
F = mgk + R i + R j όπου R η αντίδραη του ωλήνα η οποία έχει δύο µόνο υνιτώες (δεν υπάρχει αντίδραη κατά τον άξονα Ο) Η αρχή του υτήµατος υντεταγµένων Ο κινείται ε κυκλική τροχιά ακτίνας a, άρα γo = ω ( ω a) = ωk ( ωk ai) = ω ai Επίης ω r και ω υ Άρα η φυγόκεντρος ( m ω ω r) και η κοριόλειος δύναµη m ω υ µηδενίζονται Το ίδιο έχουµε για την δύναµη Euler ω r = αφού ω = Αντικαθιτώντας τα παραπάνω, η εξίωη (1) µας δίνει m k = mgk + R i + R j + mω ai δηλαδή = g R = m a R = (εξι κινηης), ω, Αν ω = ωk τότε και πάλι η δύναµη Euler m ω r µηδενίζεται και άρα δεν επηρεάζεται η κίνηη Βέβαια επειδή το ω αυξάνει η αντίδραη του δεµού επίης αυξάνει Υλικό ηµείο µάζας m µπορεί να κινείται χωρίς τριβή µέα ε οριζόντιο ωλήνα ο οποίος περιτρέφεται µε ταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από ηµείο Ο του ωλήνα Το υλικό ηµείο βρίκεται το ένα άκρο ελατηρίου (που βρίκεται µέα το ωλήνα) φυικού µήκους και ταθεράς l = mω Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ταθερά υνδεδεµένο το ηµείο Ο k Αν για t = το υλικό ηµείο βρίκεται ε απόταη l από το Ο και έχει ταχύτητα ίη µε µηδέν (ως προς το ωλήνα), να βρεθεί η κίνηη του υλικού ηµείου και οι αντιδράεις του ωλήνα Έτω ΟXYZ αδρανειακό ύτηµα αξόνων, και Ο περιτρεφόµενο (µη αδρανειακό) ύτηµα µε µοναδιαία διανύµατα, ˆj,kˆ όπως φαίνονται το χήµα Τα δύο υτήµατα υντεταγµένων ταυτίζονται για t = Y kl, O Ÿ, Z m Χ ωt Η διαφορική εξίωη της κίνηης του ηµείου είναι: mγ = F mγ mω ( ω r) m ω r mω u
όπου ˆ ˆ ˆ r = i + j+ k, u = + j ˆ + kˆ, γ j ˆ kˆ = + +, ω = ω ˆk, και = = = = = = Υπολογίζουµε τους όρους που εµφανίζονται την παραπάνω εξίωη Επειδή οι αρχές των δύο υτηµάτων υντεταγµένων ταυτίζονται έχουµε γ = Επειδή η γωνιακή ταχύτητα είναι ταθερή έχουµε ω = m ω r = Η δύναµη F είναι το άθροιµα του βάρους B = mgkˆ, της αντίδραης R = R ˆj+ R kˆ και της δύναµης του ελατηρίου F = k( l ) i Έχουµε ω r = ω = ωj ˆ Επίης ω u = ω = ω ˆj 1 ˆ ω ( ω r) = ω = ω οπότε ω Αντικαθιτώντας όλες αυτές τις χέεις την αρχική διαφορική εξίωη και παίρνοντας τις υνιτώες των διανυµάτων τους άξονες,,, καταλήγουµε τις ακόλουθες εξιώεις m = k( l ) + mω, m = = R mω, m = = mg + R Από την πρώτη παίρνουµε k kl k= mω ω = + ω = ω l m m Η λύη της οµογενούς + ω =, έχει τη µορφή = Acos( ωt) + Bsin( ωt), ενώ ψάχνοντας για µια µερική λύη της µη οµογενούς της µορφής = C βρίκουµε C = l Εποµένως η γενική λύη είναι η = Acos( ωt) + Bsin( ωt) + l, όπου οι ταθερές AB, καθορίζονται από τις αρχικές υνθήκες Γνωρίζουµε ότι για t = έχουµε = l, = Βάζοντας αυτές τις ιότητες τις χέεις = Acos( ωt) + Bsin( ωt) + l και = Aω sin( ωt) + Bωcos( ωt), βρίκουµε A= l και B =, οπότε η λύη είναι: = lcos( ωt) + l Από τη δεύτερη διαφορική εξίωη βρίκουµε R = mω = mωl ωsin( ωt) R = mω l sin( ωt) = kl sin( ωt), ενώ η τρίτη µας δίνει R = mg
4 Υλικό ηµείο Σ είναι υποχρεωµένο να κινείται υπό την επίδραη του βάρους του πάνω ε λείο επίπεδο Π που περιτρέφεται µε ταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον οριζόντιο άξονα O Ορίτε κατάλληλο χετικό ύτηµα ως προς το επίπεδο (να γίνει το χήµα) και βρείτε τις διαφορικές εξιώεις της κίνηης και την αντίδραη R του επιπέδου Έτω ΟXYZ αδρανειακό ύτηµα αξόνων, και Ο περιτρεφόµενο (µη αδρανειακό) ύτηµα µε µοναδιαία διανύµατα, ˆj, kˆ όπως φαίνονται το χήµα Τα δύο υτήµατα υντεταγµένων ταυτίζονται για t = Z R Ο Σ ωt Y, X B ωt Η διαφορική εξίωη της κίνηης του Σ είναι: mγ = F mγ mω ( ω r) m ω r mω u όπου r = + j ˆ, u = + j ˆ ˆ ˆ, γ = i + j, ω = ωî Υπολογίζουµε τους όρους που εµφανίζονται την παραπάνω εξίωη Επειδή οι αρχές των δύο υτηµάτων υντεταγµένων ταυτίζονται έχουµε γ = Επειδή η γωνιακή ταχύτητα είναι ταθερή έχουµε ω = m ω r = Η δύναµη F είναι το άθροιµα του βάρους B = mg[cos( ωt) kˆ + sin( ωt) ˆj ] και της αντίδραης R = Rkˆ Έχουµε ω r = ω = ωkˆ οπότε ω ( ω r) = ω = ω j ˆ ω Επίης ω u = ω = ω kˆ
Αντικαθιτώντας όλες αυτές τις χέεις την αρχική διαφορική εξίωη και παίρνοντας τις υνιτώες των διανυµάτων τους άξονες,,, καταλήγουµε τις ακόλουθες εξιώεις m =, m = mg ωt + mω sin( ), m = = mg cos( ωt) mω + R Οι δύο πρώτες διαφορικές εξιώεις περιγράφουν την κίνηη το επίπεδο Η τρίτη εξίωη µας δίνει την αντίδραη του επιπέδου R = mg cos( ωt) + mω 5 Υλικό ηµείο µάζας m εκτοξεύεται µε αρχική ταχύτητα υ πάνω ε επίπεδο εφαπτόµενο της επιφάνειας της Γης, ε γεωγραφικό πλάτος φ το βόρειο ηµιφαίριο, και µε κατεύθυνη από βορρά προς νότο α) Να βρεθεί για t= η κοριόλειος δύναµη που ακείται το ώµα λόγω της περιτροφής της Γης µε γωνιακή ταχύτητα ω β) Να βρεθεί η απόκλιη της τροχιάς προς τα δυτικά λόγω της περιτροφής της Γης αν θεωρήουµε ότι ω και ϕ ταθ α) Στο χετικό ύτηµα Ο που ορίζουµε την επιφάνεια της Γης ο άξονας Ο έχει διεύθυνη από βορρά προς νότο και ο άξονας O από δυτικά προς τα ανατολικά Επίης, ο άξονας O χηµατίζει γωνία ψ=9 ο -φ ως προς τον άξονα περιτροφής, δηλαδή το διάνυµα ω θα είναι ω = ωcosϕi + ωsinϕk Για t= είναι υ = υ i και άρα η κοριόλειος δύναµη θα είναι Fc = mω υ = mωυ sinϕ j (1) ηλαδή η κοριόλειος δύναµη έχει αρχικά κατεύθυνη από τα ανατολικά προς τα δυτικά β) Το ώµα κινείται µε = και =, οπότε οι εξιώεις για τη κίνηη το επίπεδο O θα είναι = ω sin ϕ (α) = ωsinϕ ( β) () Ολοκληρώνοντας την ()α έχουµε () = υ () = = ω sinϕ+ c = ωsinϕ+ υ () Αντικαθιτώντας την () την ()β παίρνουµε την εξίωη που περιγράφει την απόκλιη κατά τη διεύθυνη του άξονα O = ωsinϕυ 4ω sin ϕ Άρα για ω =, και () = () =, θα πάρουµε = ωsinϕυ = ωsin ϕυt ( t) = ωsinϕυ t (4) Η (4) δίνει την απόκλιη της τροχιάς µε το χρόνο και το πρόηµο «µείον» δηλώνει ότι η απόκλιη είναι προς τα δυτικά
6 α) Κοντά την επιφάνεια της περιτρεφόµενης Γης η χετική επιτάχυνη ως προς ένα παρατηρητή Ο πάνω τη Γη δίνεται από τη χέη γ = g ω υ Περιγράψτε ένα κατάλληλο χετικό ύτηµα υντεταγµένων O και βρείτε τις εξιώεις κίνηης αν το Ο βρίκεται ε γεωγραφικό πλάτος φ το βόρειο ηµιφαίριο β) Πάνω από τον παρατηρητή Ο, αφήνεται ( υ () = ) να πέει υλικό ηµείο είξτε 1 ότι, καθώς πέφτει, αποκλίνει προς την ανατολή κατά απόταη cos ωgt ϕ (να αγνοηθούν όροι τάξεως ω ) α) Θεωρούµε το χετικό ύτηµα υντεταγµένων O του χήµατος Στο ύτηµα αυτό έχουµε γ = i + j+ k, υ = i + j+ k, g = gk και ω = ωcosϕi + ωsinϕj Επίης ω υ = ( ωcosϕi + ωsin ϕk) ( i + j + k) = ω sinϕj ωcosϕk ωsinϕi + ωcosϕ j και αντικαθιτώντας την εξίωη γ = g ω υ βρίκουµε i + j + k = gk+ ωsinϕ i ( ωsinϕ + ωcos ϕ ) j + ωcosϕ k ή = ω sin ϕ ( α), = ωcosϕ ωsin ϕ ( β), = g+ ωcos ϕ ( γ) (5) β) Οι εξιώεις κίνηης είναι οι (5)α-γ µε αρχικές υνθήκες () = () =, () = h () = () = () = Η απόκλιη προς την ανατολή εκφράζεται µε την υνιτώα Ολοκληρώνοντας µια φορά τις (5)α και (5)γ βρίκουµε = ω sin ϕ, = gt+ ωcosϕ (6) Αντικαθιτώντας τις (6) την (5)β βρίκουµε = ω gtcosϕ 4ω cos ϕ 4ω sin ϕ και αφού ω, = ω gtcosϕ (7) Ολοκληρώνοντας την (7), και αντικαθιτώντας τις αυθαίρετες ταθερές µε µηδέν, λόγω των αρχικών υνθηκών, βρίκουµε το ζητούµενο αποτέλεµα 1 = ω gtcosϕ = ωgt cosϕ = ωgt cosϕ
7 Υλικό ηµείο µάζας m αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα από ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης α) Να αποδειχτεί ότι η απόκλιη του ηµείου από την κατακόρυφο προς Ανατολάς 1 δίνεται από την χέη = ωgt cosϕ, όπου φ το γεωγραφικό πλάτος του τόπου και ω η γωνιακή ταχύτητα περιτροφής της Γης β) Να αποδειχτεί ότι η παραπάνω απόκλιη εκφράζεται υναρτήει του ύψους υπό ωcosϕ / την µορφή = h g * Να ορίετε το ύτηµα υντεταγµένων που θα χρηιµοποιήετε Επειδή ω<<1 να αγνοηθούν οι όροι τάξεως ω Θεωρούµε ένα µη αδρανειακό ύτηµα υντεταγµένων µε αρχή ένα ηµείο Ο της επιφάνειας της Γης και µε άξονες Ο (προς τον νότο) Ο (προς ανατολάς) και Ο κατακόρυφο ως προς την επιφάνεια της Γης το ηµείο Ο Στο ύτηµα αυτό η κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη του οµογενούς πεδίου βαρύτητας δίνεται από τις εξιώεις = ω sin ϕ (1) = ωcosϕ ωsin ϕ () = g+ ωcos ϕ () Με αρχικές υνθήκες () = () =, () = h, () = () = () = α) Η ζητούµενη απόκλιη είναι αυτή κατά τον άξονα (1) = ωsin ϕ+ c, (4) όπου c= λόγω αρχικών υνθηκών (=, = ) () = gt+ ωcos ϕ+ c, (5) όπου c= λόγω αρχικών υνθηκών (t=,=, = ) Αντικαθιτούµε τις (4) και (5) την () και βρίκουµε, θέτοντας ω =, = ωcos ϕ( gt) 4ω cos ϕ 4ω sin ϕ = (ωgcos ϕ) t 1 = ωgcosϕt + c1 = ωgcosϕt + ct 1 + c όπου c 1 =, c = λόγω αρχικών υνθηκών (t=, =,=) Άρα 1 = ωgt cos ϕ (6) β) Αντικαθιτώντας την (6) την (5) έχουµε 1 = gt+ ω gcos ϕt gt = gt + h (6)
h Άρα το ώµα πέφτει την επιφάνεια της Γης (=) ε χρόνο t = g ωcosϕ Αντικαθιτώντας το χρόνο πτώης την (6) βρίκουµε = h g / 8 Πολεµικό αεροπλάνο µάζας 8 τόνων (8 kg) κινείται από βορρά προς νότο ε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ = 6 ο µε ταχύτητα υ = 8 km/h ε χαµηλό ύψος ( ) Ορίτε κατάλληλο ύτηµα υντεταγµένων πάνω τη Γη (κάντε χήµα και περιγράψτε το) και βρείτε την κοριόλειο δύναµη που ακείται το αεροπλάνο και την κατεύθυνή της (Υπόδειξη: βρείτε τη χέη που δίνει την κοριόλειο ως υνάρτηη της µάζας, του πλάτους, της ταχύτητας και της γωνιακής ταχύτητας περιτροφής της Γης και τη υνέχεια προδιορίτε την αριθµητική τιµή της δύναµης) α) Στο χετικό ύτηµα Ο που ορίζουµε την επιφάνεια της Γης ο άξονας Ο έχει διεύθυνη από βορρά προς νότο και ο άξονας O από δυτικά προς τα ανατολικά Επίης, ο άξονας O χηµατίζει γωνία ψ=9 ο -φ ως προς τον άξονα περιτροφής, δηλαδή το διάνυµα ω θα είναι ω = ωcosϕi + ωsinϕk Για t= είναι υ = υ i και άρα η κοριόλειος δύναµη θα είναι Fc = mω υ = mωυ sinϕ j (8) ηλαδή η κοριόλειος δύναµη έχει αρχικά κατεύθυνη από τα ανατολικά προς τα δυτικά Βάζοντας τις δοθείες τιµές τον παραπάνω τύπο και ω = π /(846sec) βρίκουµε Fc = 4N