Κεφάλαιο 8: Υπολογιστικές Μεθοδολογίες σε Πλέγματα

Κεφάλαιο 8: Υπολογιστικές Μεθοδολογίες σε Πλέγματα H θεωρία πλεγμάτων προέκυψε ως παραπροϊόν μιας προσπάθειας για μαθηματική τυποποίηση της προτασιακής λογικής του Αριστοτέλη Συγκεκριμένα, στο πρώτο μισό του 19 ου αιώνα η προσπάθεια του George Boole για τυποποίηση της προτασιακής λογικής κατέληξε στην εισαγωγή της άλγεβρας Boole Η μελέτη αξιωμάτων της άλγεβρας Boole προς το τέλος του 19 ου αιώνα οδήγησε τους Peirce και Schröder στην έννοια του (μαθηματικού) πλέγματος ανεξάρτητα, η έρευνα του Dedekind πάνω σε ιδεώδη αλγεβρικών αριθμών (ideals of algebraic numbers) οδήγησε και αυτή στην εισαγωγή της έννοιας του (μαθηματικού) πλέγματος (Grätzer, 2003) Τις επόμενες δεκαετίες δημοσιεύονταν αποσπασματικά αποτελέσματα της θεωρίας πλεγμάτων, συχνά σε εχθρικό κλίμα, το οποίο συντηρούσαν μαθηματικοί κύκλοι της εποχής Με τη συστηματική δουλειά του Birkhoff (1967) τη δεκαετία του 1930 στο πανεπιστήμιο Harvard της Βοστώνης ξεκίνησε η γενική ανάπτυξη της θεωρίας πλεγμάτων και, τελικά, η ανάδειξή της σε διακριτό πεδίο των μαθηματικών Ο Birkhoff έδειξε ότι η θεωρία πλεγμάτων ενοποιούσε μέχρι τούδε ασυσχέτιστα μαθηματικά πεδία, όπως η γραμμική άλγεβρα, η λογική, η θεωρία πιθανοτήτων κά Σημαντική συμβολή στη θεμελίωση της θεωρίας πλεγμάτων είχαν διάφοροι μαθηματικοί ή/και λογικιστές (logicians), όπως οι: Jónsson, Kurosh Malcev, Ore, von Neumann και Tarski (Rota, 1997) Ο υπολογισμός σε πλέγματα σήμερα αποτελεί μια τάση στην ΥΝ, όπως εξηγήθηκε στην Εισαγωγή στο Μέρος-ΙΙΙ Σημειώστε ότι ο ενοποιητικός χαρακτήρας της θεωρίας πλεγμάτων στην ΥΝ έχει αναγνωριστεί αποσπασματικά από διάφορους ερευνητές (Bloch & Maitre, 1995 Maragos, 2005 Nachtegael & Kerre, 2001) Αυτό το κεφάλαιο σκιαγραφεί τρεις επιστημονικές μεθοδολογίες (paradigms) υπολογισμού σε πλέγματα που περιλαμβάνουν τις #1 Λογική και Συλλογιστική, #2 Τυποποιημένη Ανάλυση Εννοιών και #3 Μαθηματική Μορφολογία Συγκεκριμένα, οι μεθοδολογίες #1 και #2 βασίζονται στο σημασιολογικό ορισμό πλέγματος και κάνουν χρήση της δυαδικής σχέσης μερική διάταξη, ενώ η μεθοδολογία #3 βασίζεται στον αλγεβρικό ορισμό πλέγματος και κάνει χρήση των δυαδικών πράξεων συνένωση και διατομή 81 Λογική και Συλλογιστική Πλέγματα έχουν χρησιμοποιηθεί σε διάφορες μελέτες της λογικής (Birkhoff & von Neumann, 1936 Edmonds, 1980 Gaines, 1978 Halmos & Givant, 1998) Περαιτέρω, ενδιαφέρουσα γενίκευση της έννοιας του ασαφούς συνόλου αποτελεί η έννοια Π-ασαφές σύνολο (L-fuzzy set) (Goguen, 1967) Συγκεκριμένα, η συνάρτηση βαθμού συμμετοχής ενός Π-ασαφούς συνόλου απεικονίζει το σύνολο αναφοράς σε ένα γενικό πλήρες πλέγμα, αντί να το απεικονίζει αποκλειστικά στο πλήρες πλέγμα κλειστό διάστημα [0,1] Η προαναφερθείσα ιδέα επεκτείνεται τόσο στη λογική, όσο και στη συλλογιστική (reasoning), με τη συνάρτηση αλήθειας μιας πρότασης να λαμβάνει τιμές σε ένα πλήρες πλέγμα για αποτελεσματικότερη αναπαράσταση της αμφιβολίας Τελικά, η προτασιακή λογική που έτσι προκύπτει ονομάζεται Π-προτασιακή λογική (Xu κά, 2003) Στη συνέχεια συνοψίζουμε και επεκτείνουμε αποτελέσματα του Κεφαλαίου 2 σχετικά με συνεπαγωγές 811 Ασαφείς συνεπαγωγές Βασικές έννοιες, ορισμοί Υπενθυμίζεται ότι στην κλασική (δίτιμη) λογική, οι τιμές αληθείας της συνεπαγωγής ( ) επαληθεύουν τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας 0 1 0 1 1 1 0 1 Πίνακας 81 Πίνακας αλήθειας της κλασικής (δίτιμης) συνεπαγωγής ( ) Ο παραπάνω πίνακας περιγράφεται στο διμελές σύνολο 0,1 με τον τύπο: a b a b Η κλασική συνεπαγωγή ( ) μπορεί να ερμηνευτεί ως μία δυαδική πράξη με τιμές αλήθειας στο σύνολο 0,1 0,1 Περαιτέρω, η ασαφής λογική επεκτείνει το σύνολο των τιμών αλήθειας στο διάστημα 8-1

και, συνεπώς, η συνεπαγωγή επεκτείνεται σε μία δυαδική πράξη στο διάστημα 0,1 Δηλαδή, ασαφής συνεπαγωγή είναι μία απεικόνιση: I : 0,1 0,1 0,1, που ικανοποιεί τον παραπάνω πίνακα της κλασικής συνεπαγωγής, όταν το διάστημα 0,1 περιοριστεί στο διμελές σύνολο 0,1 Η επέκταση της κλασικής συνεπαγωγής a b a b, στην ασαφή λογική, είναι: IS a, b S na, b,, 0,1 ab (81) όπου S, T και n, συμβολίζουν τ-συννόρμα (ασαφή διάζευξη), τ-νόρμα (ασαφή σύζευξη) και ασαφή άρνηση, αντίστοιχα Οι S και T είναι δυαδικές σε σχέση με την n, δηλ ικανοποιούν τους νόμους De Morgan Επιπλέον, επειδή ο τύπος a b a b, μπορεί να γραφεί στη δίτιμη λογική ως: και και x a x b, ab, 0,1 a b max 0,1 a b a a b, ab, 0,1 οι αντίστοιχες επεκτάσεις στην ασαφή λογική είναι, sup 0,1, I a b x T a x b,, 0,1 R IQL a, b S na, T a, b,, 0,1 ab (82) ab (83) Οι ασαφείς συνεπαγωγές που προκύπτουν από την Εξ(81) αναφέρονται ως S συνεπαγωγές, αυτές που προκύπτουν από την Εξ(82) αναφέρονται ως R-συνεπαγωγές, ενώ αυτές που προκύπτουν από την Εξ(83) αναφέρονται ως QL συνεπαγωγές Εκτός των παραπάνω τριών ασαφών συνεπαγωγών, που είναι οι επικρατέστερες στη βιβλιογραφία, σημειώστε ότι έχουν οριστεί και άλλες ασαφείς συνεπαγωγές Γενικεύσεις ιδιοτήτων της κλασικής συνεπαγωγής οδηγούν στις ακόλουθες ιδιότητες, οι οποίες συχνά εκλαμβάνονται ως λογικά αξιώματα των ασαφών συνεπαγωγών A1,, a b I a x I b x Δηλαδή, η τιμή αλήθειας των ασαφών συνεπαγωγών αυξάνει, καθώς η τιμή αλήθειας των υποθέσεων φθίνει a b I x, a I x, b Δηλαδή, η τιμή αλήθειας των ασαφών συνεπαγωγών αυξάνει, καθώς η τιμή A2 αλήθειας των συμπερασμάτων αυξάνει I 0, a 1 Δηλαδή, η ψευδής πρόταση συνεπάγεται οτιδήποτε A3 A4 I 1, b b Ουδετερότητα της αληθούς πρότασης A5 I a, a 1 Δηλαδή, οι ασαφείς συνεπαγωγές είναι αληθείς όταν οι τιμές αλήθειας του αιτίου και του επακόλουθου είναι ίσες,,,, A6 I a I b x I b I a x Αυτή είναι μια γενίκευση της ισοδυναμίας b a x, η οποία ισχύει στη κλασική συνεπαγωγή A7 I a, b 1 εάν και μόνο εάν a a b x και b Δηλαδή, οι ασαφείς συνεπαγωγές είναι αληθείς, εάν και μόνο εάν το επακόλουθο είναι τουλάχιστον τόσο αληθές, όσο και το αίτιο I a, b I n b, n a για μια ασαφή άρνηση n Δηλαδή, οι ασαφείς συνεπαγωγές είναι εξίσου A8 αληθείς, όταν οι αρνήσεις του αιτίου και του επακόλουθου εναλλαχθούν A9 Η I είναι μια συνεχής συνάρτηση Η ιδιότητα αυτή εξασφαλίζει ότι μικρές αλλαγές στις τιμές αλήθειας του αιτίου ή του επακόλουθου, δεν επιφέρουν μεγάλες αλλαγές στις τιμές αλήθειας των ασαφών συνεπαγωγών 8-2

Τα αξιώματα Α1 Α9 δεν είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, πχ τα A3 και A5 προκύπτουν από το A7, όχι όμως το αντίστροφο Μια ασαφής συνεπαγωγή δεν ικανοποιεί πάντα όλα τα αξιώματα Α1 Α9 Όταν όμως μια ασαφής συνεπαγωγή ικανοποιεί όλα τα αξιώματα Α1 Α9, ικανοποιεί επίσης και το ακόλουθο θεώρημα Θεώρημα Smets και Magrez Μια συνάρτηση : 0,1 0,1 0,1 I ικανοποιεί τα αξιώματα A1 - A9 των ασαφών συνεπαγωγών για μια ασαφή άρνηση n, αν και μόνο αν υπάρχει μία γνησίως αύξουσα συνεχής : 0,1 0, f 0 0 Τότε ισχύουν: συνάρτηση f, με ( 1) I a, b f f 1 f a f b,, 0,1 na f 1 f 1 f a, a 0,1 ab και Εκτός του προαναφερθέντος ορισμού της ασαφούς συνεπαγωγής, ο οποίος είναι ο επικρατέστερος στη βιβλιογραφία, αναφέρουμε και τον ακόλουθο εναλλακτικό ορισμό: Ορισμός Fodor και Roubens Ασαφής συνεπαγωγή είναι μια απεικόνιση: I : 0,1 0,1 0,1, που ικανοποιεί το λογικό πίνακα της κλασικής συνεπαγωγής, όταν το επιπλέον, 0,1 ab ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: (i),, (ii),, (iii) I0, a 1 (iv) Ia,1 1 (v) I 1,0 0 a b I a x I b x a b I x a I x b 0,1 περιορίζεται στο 0,1 και 812 Άλγεβρα Συνεπαγωγών Πλέγματος Έστω ( L,,, O, I ) ένα πλήρες πλέγμα με ελάχιστο και μέγιστο στοιχείο O και I, αντίστοιχα, έστω μια συνάρτηση δυϊκού ισομορφισμού, και έστω μια συνάρτηση : L L L Η επτάδα ( L,,,,, O, I ) καλείται άλγεβρα συνεπαγωγών πλέγματος (lattice implication algebra), εάν ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες για κάθε x, y, z L : (Ι 1 ) x ( y z) y ( x z ) (Ι 2 ) x x I (Ι 3 ) x y y x (Ι 4 ) Εάν x y y x I τότε x y (Ι 5 ) ( x y) y ( y x) x (L 1 ) ( x y) z ( x z) ( y z ) (L 2 ) ( x y) z ( x z) ( y z ) Ακολουθούν τρία παραδείγματα άλγεβρας συνεπαγωγών πλέγματος Παράδειγμα 1 Έστω ( L,,, ) ένα πλέγμα Boole Για κάθε x, yl όρισε είναι μια άλγεβρα συνεπαγωγών πλέγματος x y x y Τότε, η τετράδα ( L,,, ) 8-3

Παράδειγμα 2 Έστω L [0,1], με πράξεις,, και να ορίζονται για κάθε x, y, z L ως εξής: x y max{ x, y }, x y min{ x, y }, x 1x και x y min{ x,1 x y } Τότε, η επτάδα ([0,1],,,,,0,1) είναι μια άλγεβρα συνεπαγωγών πλέγματος, γνωστή και ως άλγεβρα του Łukasiewicz πάνω στο διάστημα [0, 1] Παράδειγμα 3 Έστω L { a i 1,2,, n }, με πράξεις,, και να ορίζονται για κάθε 1 j, k n ως εξής: i a j ak a max{ j, k}, j k min{ j, k} a a a, ( j ) nj1 a a και a j ak a min{ njk, n} Τότε, η επτάδα ( L,,,,, a1, a n ) είναι μια άλγεβρα συνεπαγωγών πλέγματος, είναι μια άλγεβρα του Łukasiewicz πάνω στην πεπερασμένη αλυσίδα a 1,a 2,,a n Έστω ( L,,,,, O, I ) μια άλγεβρα συνεπαγωγών πλέγματος Τότε, για κάθε x, y, z L ενδεικτικά αναφέρουμε τις ακόλουθες ιδιότητες: (1) Εάν I x I τότε x I (2) I x x, x O x (3) O x I, x I I (4) ( x y) y x y (5) x yεάν και μόνο εάν x y I (6) (( x y) y) y x y (7) ( x y) x ( y x) y (8) Εάν x y τότε x z y z και z x z y (9) ( x y) (( y z) ( x z)) I Στο πλαίσιο της Π-προτασιακής λογικής ιδιαίτερη έμφαση έχει δοθεί στην αρχή της ανάλυσης (resolution principle) με σκοπό μια αυτοματοποιημένη συλλογιστική (automated reasoning) (βλ αυτοποιημένη αποδεικτική διαδικασία) σε εφαρμογές όπου η αμφιβολία αναπαρίσταται με λογικές τιμές μέσα σε ένα γενικό πλήρες πλέγμα 82 Τυποποιημένη Ανάλυση Εννοιών Ως τυποποιημένα συμφραζόμενα (formal context) ορίζουμε μια τριάδα (G, M, I), η οποία περιλαμβάνει δύο σύνολα G και M καθώς και δυαδική σχέση I μεταξύ των G και M Τα στοιχεία του G καλούνται αντικείμενα (objects), ενώ τα στοιχεία του M καλούνται γνωρίσματα (attributes) Για να εκφράσουμε συμβολικά ότι ένα αντικείμενο g έχει σχέση I με ένα γνώρισμα m, γράφουμε gim ή (g,m)i και λέμε ότι «το αντικείμενο g έχει το γνώρισμα m» Για ένα σύνολο AG αντικειμένων ορίζουμε: Α = {mm gim για όλα τα ga} δηλαδή Α είναι το σύνολο όλων των κοινών γνωρισμάτων των στοιχείων του A Αντίστοιχα, για ένα σύνολο BM αντικειμένων ορίζουμε: B = {gg gim για όλα τα mb} δηλαδή B είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων με γνωρίσματα στο B Ως τυποποιημένη έννοια (formal concept), ή απλώς έννοια, μέσα σε μια τριάδα (G, M, I) τυποποιημένων συμφραζόμενων ορίζουμε ένα ζεύγος (A,B) με AG, BM, Α=B και B=A 8-4

Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των τυποποιημένων εννοιών σε μια τριάδα τυποποιημένων συμφραζόμενων αποτελεί ένα πλήρες πλέγμα (Ganter & Wille, 1999) Η τυποποιημένη ανάλυση εννοιών (ΤΑΕ) (formal concept analysis (FCA)) είναι μια επιστημονική μεθοδολογία που συνήθως μελετά έναν πίνακα συμφραζόμενων, πχ ένα ερωτηματολόγιο ή μια βάση δεδομένων, με σκοπό να υπολογίσει ένα πλέγμα τυποποιημένων εννοιών Το ακόλουθο παράδειγμα είναι ενδεικτικό της ΤΑΕ Παράδειγμα 4 Για τον Πίνακα 82 τυποποιημένων συμφραζόμενων μπορούν να υπολογιστούν οι 19 τυποποιημένες έννοιες που παρουσιάζονται στο Σχήμα 81 Γνωρίσματα a b c d e f g h i 1 Βδέλλα 2 Τσιπούρα 3 Βάτραχος 4 Σκύλος 5 Ρύζι 6 Καλαμιά 7 Φασολιά 8 Αραβόσιτος Πίνακας 82 Πίνακας συμφραζόμενων αναφορικά με έναν αριθμό ζωντανών οργανισμών με τα ακόλουθα γνωρίσματα: a: «χρειάζεται νερό για να ζήσει», b: «ζει μέσα στο νερό», c: «ζει πάνω στο έδαφος», d: «χρειάζεται χλωροφύλλη για να τραφεί», e: «δύο φύλλα σπόρων», f: «ένα φύλλο σπόρων», g: «αυτόνομη κίνηση», h: «έχει μέλη», i: «θηλαστικό» a 123 45678 acgh acg hi 4 agh 34 ag 234 abcgh 1234 23 3 abg 123 abgh ac 34 678 abc 36 acde 12 356 acd 678 7 ab acdf ad 5678 568 68 abcdf 6 adf abdf 56 abcde fghi Σχήμα 81 Πλέγμα εννοιών που υπολογίστηκε από τον πίνακα στο Σχήμα 81 Σημειώστε ότι έχουν προταθεί διάφοροι αλγόριθμοι υπολογισμού πλεγμάτων τυποποιημένων εννοιών στην ΤΑΕ (Caro-Contreras & Mendez-Vazquez, 2013) Επίσης, έχουν προταθεί επεκτάσεις της ΤΑΕ στην ΥΝ (Belohlavek, 2000) Εφαρμογές της ΤΑΕ συχνά προτείνονται για ανάκτηση (retrieval) πληροφοριών σε βάσεις δεδομένων (data bases) (Carpineto & Romano, 1996 Priss, 2000) Επιπλέον δημοφιλείς είναι εφαρμογές περιλαμβάνουν οντολογίες (Formica, 2006) 8-5

83 Μαθηματική Μορφολογία Η μαθηματική μορφολογία (MM) (mathematical morphology (MM)) μελετά και σχεδιάζει τεχνικές ανάλυσης και επεξεργασίας γεωμετρικών δομών Προτάθηκε από τους Matheron (1975) και Serra (1982), οι οποίοι ανέπτυξαν ένα σύνολο μαθηματικών εργαλείων για επεξεργασία εικόνων, θεωρώντας τις εικόνες ως σύνολα γεωμετρικών μορφών και χρησιμοποιώντας εκτεταμένα την θεωρία πλεγμάτων για ανάλυση Αρχικά η ΜΜ χρησιμοποιήθηκε για την ανάλυση δυαδικών εικόνων (σύνολα σημείων) με τη χρήση πράξεων συνόλων (Dougherty & Sinha, 1995) Για την εφαρμογή της ΜΜ σε εικόνες αποχρώσεων του γκρι, οι πράξεις συνόλων γενικεύτηκαν με την υιοθέτηση των πράξεων ένωση, τομή και εγκλεισμός στη βάση της θεωρίας πλεγμάτων (Bloch κά, 2007) Συγκεκριμένα, η εφαρμογή τεχνικών ΜΜ τυπικά μεθοδεύεται κάνοντας χρήση ενός δισδιάστατου δομικού στοιχείου (structure element), το οποίο σαρώνει μια ψηφιακή εικόνα εφαρμόζοντας τους τελεστές: διαστολή (dilation), διάβρωση (erosion), άνοιγμα (opening) και κλείσιμο (closing), με σκοπό να απομακρύνει θόρυβο από την εικόνα ή/και να ταυτοποιήσει ενδιαφέροντα πρότυπα (patterns) πάνω στην εικόνα Σημειώστε ότι δοθέντων δύο πλήρων πλεγμάτων (L, ) και (M, ), οι τελεστές διάβρωση ε : LM και διαστολή δ: LM ορίζονται αντίστοιχα ως εξής: ( M) (M) και ( M) (M), όπου ε(μ) και δ(μ) συμβολίζουν τα σύνολα {ε(α) αμ} και {δ(α) αμ} αντίστοιχα 831 Μορφολογικές Λειτουργίες σε Επεξεργασία Εικόνων n Έστω E ένα μη κενό σύνολο και 2 το δυναμοσύνολο του E και η δυαδική σχέση εγκλεισμού Το ζεύγος 2, είναι ένα πλήρες πλέγμα Boole (Meyer, 1991) Μία πράξη συνόλων είναι κάθε απεικόνιση από το Καρτεσιανό γινόμενο 2, στον εαυτό του για κάποιο Ν{1,2, } Άν X, Y 2, τότε οι πράξεις c X Y, X Y, X\ Y και X είναι οι συνηθισμένες συνολοθεωρητικές πράξεις της ένωσης, τομής, διαφοράς και συμπληρωματικότητας, αντίστοιχα Έστω h E και X, B E Τότε το σύνολο h t : είναι η μετατόπιση (translation) του X κατά h, ενώ το σύνολο X x : x X X x h x X είναι το ανάστροφο του X Οι περισσότερες μορφολογικές πράξεις σε σύνολα προκύπτουν από το συνδυασμό των πράξεων συνόλων με τις βασικές πράξεις της διαστολής και της διάβρωσης, oι οποίες προκύπτουν κατά Minkowski ως εξής: X B X (84) bb bb b X B X b (85) Σε μορφολογικές εφαρμογές επεξεργασίας εικόνας το X αντιστοιχεί σε μία εικόνα, το B είναι το δομικό στοιχείο, ενώ το αποτέλεσμα των πράξεων X B, X B είναι μετασχηματισμένες εικόνες Οι B P E ως εξής: πράξεις διαστολή και διάβρωση αντίστοιχα ορίζονται με τη χρήση του δομικού στοιχείου B X B (86) B X B (87) Σημειώστε ότι οι πράξεις διαστολή και διάβρωση είναι δυϊκά συμπληρωματικές Συγκεκριμένα, η διαστολή ενός συνόλου ισοδυναμεί με τη διάβρωση του συμπληρώματος του συνόλου, με δομικό στοιχείο το ανάστροφο δομικό στοιχείο, όπως περιγράφεται από τις παρακάτω εξισώσεις: c c t X B X B (88) c c t X B X B (89) 8-6

Στην πράξη η διαστολή διογκώνει ένα αντικείμενο στην εικόνα, μειώνει το υπόβαθρο και παραμορφώνει τις κυρτές γωνίες του αντικειμένου Αντίθετα, η διάβρωση μειώνει το αντικείμενο, ενισχύει το υπόβαθρο και παραμορφώνει τις κοίλες γωνίες του αντικειμένου Οι πράξεις της διαστολής και διάβρωσης υπάρχουν για κάθε μορφολογικό τελεστή, με κυριότερους αυτούς του ανοίγματος και του κλεισίματος Οι δύο τελευταίοι τελεστές ορίζονται αντίστοιχα ως εξής: X B= X B B (810) X B= X B B (811) Η πράξη του ανοίγματος αφαιρεί τα στενά μέρη του αντικειμένου και παραμορφώνει τις κυρτές γωνίες ενός αντικειμένου στην εικόνα, ενώ το κλείσιμο γεμίζει τα στενά τμήματα του φόντου και παραμορφώνει τις κοίλες γωνίες ενός αντικειμένου στην εικόνα Μια βασική ιδιότητα των πράξεων άνοιγμα και κλείσιμο είναι ότι, αν εφαρμοστούν επαναληπτικά, δεν επιφέρουν περαιτέρω αλλαγές μετά την πρώτη εφαρμογή τους Δηλαδή: X B B= X B (812) X B B= X B (813) 832 Μορφολογικά Φίλτρα Οι μορφολογικές πράξεις της διαστολής, της διάβρωσης, του ανοίγματος και του κλεισίματος εφαρμόζονται με τη μορφή φίλτρων για την απομάκρυνση θορύβου από εικόνες, τη βελτίωση της ποιότητας εικόνων, την εξαγωγή χαρακτηριστικών από εικόνες, κα Συγκεκριμένα, το άνοιγμα μπορεί να φιλτράρει το θετικό θόρυβο, δηλ να αφαιρέσει τα θορυβώδη μέρη του αντικειμένου, συνήθως μικρά τμήματα Από την άλλη πλευρά το κλείσιμο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αφαίρεση του αρνητικού θορύβου, δηλ να προσθέσει στο αντικείμενο θορυβώδη μέρη του φόντου, συνήθως μικρές τρύπες Με την εφαρμογή ανοίγματος και κλεισίματος προκύπτουν τα ακόλουθα φίλτρα: (1) άνοιγμα ακολουθούμενο από κλείσιμο, (2) κλείσιμο ακολουθούμενο από άνοιγμα, (3) άνοιγμα ακολουθούμενο από κλείσιμο και μετά άνοιγμα και (4) κλείσιμο ακολουθούμενο από άνοιγμα και μετά κλείσιμο Στη βιβλιογραφία έχουν αποσπασματικά προταθεί τεχνικές σχεδίασης μορφολογικών φίλτρων, όπως τα φίλτρα συντεταγμένης λογικής (coordinate logical filter) (Mertzios & Tsirikolias, 1998) και τα φίλτρα αμοιβάδας (amoeba filter) (Lerallut κά, 2007) Συγκεκριμένα, η πρώτη κατηγορία φίλτρων αποτελεί μία εναλλακτική μορφή μορφολογικών φίλτρων που μπορούν να υπολογιστούν γρήγορα, ενώ η δεύτερη κατηγορία φίλτρων χαρακτηρίζεται από την ευέλικτη χρήση δομικών στοιχείων μεταβλητού μεγέθους 833 Επεκτάσεις Τεχνικές ΜΜ έχουν επεκταθεί και πέραν της επεξεργασίας εικόνων Για παράδειγμα, το ανατροφοδοτούμενο ΤΝΔ Hopfield (βλ Κεφάλαιο 1) συχνά παρουσιάζεται ως μια τεχνική της ΜΜ Άλλες τεχνικές ΜΜ επιχειρούν να αντικαταστήσουν τη χρονοβόρα πράξη του πολλαπλασιασμού με την πολύ ταχύτερη πράξη της διατομής (βλ min) μεταξύ δύο αριθμών Επιπλέον, κατ αντιστοιχία με την έννοια γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα έχει μελετηθεί η έννοια ανεξάρτητα στοιχεία πλέγματος, ώστε να διευκολύνεται η μαθηματική ανάλυση και σχεδίαση σε εφαρμογές ΤΝΔ, επεξεργασίας σημάτων κά (Ritter & Gader, 2006 Ritter & Urcid, 2003 Ritter & Wilson, 2000) 84 Συγκριτικά Σχόλια Από τις τρεις μεθοδολογίες χρήσης μαθηματικών πλεγμάτων που παρουσιάστηκαν σ αυτό το κεφάλαιο, η ΜΜ προς το παρόν έχει την μεγαλύτερη συνάφεια με την ΥΝ Για παράδειγμα, έχουν προταθεί διάφορα ΤΝΔ στο πλαίσιο της ΜΜ (Pessoa & Maragos, 2000 Sussner & Graña, 2003 Yang & Maragos, 1995) Όπως επισημάνθηκε στην αρχή αυτού του κεφαλαίου, από τη μια μεριά, τόσο η Λογική /Συλλογιστική, όσο και η Τυποποιημένη Ανάλυση Εννοιών βασίζονται στο σημασιολογικό ορισμό πλέγματος και κάνουν χρήση κυρίως της δυαδικής σχέσης μερική διάταξη ενώ από την άλλη μεριά, η Μαθηματική Μορφολογία βασίζεται στον αλγεβρικό ορισμό πλέγματος και κάνει χρήση κυρίως των δυαδικών πράξεων συνένωση και διατομή Η χρήση της θεωρίας πλεγμάτων που προτείνεται στο κεφάλαιο 7 αυτού του βιβλίου δίνει έμφαση στο σημασιολογικό ορισμό πλέγματος Επιπλέον, σημαντικές διαφορές της χρήσης της θεωρίας πλεγμάτων που προτείνεται σ αυτό το βιβλίο είναι οι εξής: 1) εδώ μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν πλέγματα μηαριθμήσιμης πληθικότητας και 2) η χρήση συναρτήσεων θετικής τιμοδότησης εδώ είναι κρίσιμη 8-7

81) Δίνεται ο βαθμός διάταξης ab, ab, =1 αν α=b=0 Ερωτήσεις Κατανόησης και Ασκήσεις vb v a b, α[0,1], b(0,1] Θέτουμε v(x)=x και ορίζουμε (α) Να δείξετε ότι o είναι μια ασαφής συνεπαγωγή (με τον κλασικό ορισμό) (β) Εξετάστε αν o είναι μια ασαφής συνεπαγωγή σύμφωνα με τον ορισμό Fodor & Roubens (γ) Ποια από τα λογικά αξιώματα των ασαφών συνεπαγωγών ικανοποιεί o ; (δ) Αν o δεν ικανοποιεί κάποιο (κάποια) από τα λογικά αξιώματα, τότε βρείτε για ποια α,b[0,1] ισχύει η ισότητα 82) Στη βιβλιογραφία παρουσιάζονται ασαφείς συνεπαγωγές που ικανοποιούν τα παρακάτω λογικά αξιώματα (όπου I ασαφής συνεπαγωγή και α,b,c[0,1]): I a, b, c I a, b, I a, c 1 2 I a, b, I na, b b 3 I 05, b, I 05, b b 4 I a, I b, c I a, b, c b Βρείτε ποια από τα παραπάνω λογικά αξιώματα ικανοποιεί ο βαθμός διάταξης ab, a b Αν ο δεν ικανοποιεί κάποιο/κάποια από αυτά, τότε βρείτε κατάλληλα α,b,c[0,1], ώστε να ισχύει η ισότητα b ab,, όπου α,b[0,1] και τον οποίο (χάριν απλότητας) θα a b συμβολίζουμε a b a, b Εξετάστε αν ο ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: 83) Δίνεται ο βαθμός διάταξης 1 a b c = a c b c 2 a b c a c b c 3 a b c a c b c 4 a b c a c b c 84) Δίνεται ο βαθμός διάταξης, σχέσεις: 1 1 2 3 a a a a a, αν a1 a1 a2 a3 a n 1, αν a1 2 1 2 2 3 n1 a b a b, α,b[0,1] Να δείξετε ότι ισχύουν οι παρακάτω n n n n a και n περιττός, a και n άρτιος a a a a a a 1, αν a1 a 85) Για τον βαθμό διάταξης της Άσκησης 84 να δείξετε ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: 1 a,0 0, αν ( 01, ] 2 a,1 1 για κάθε a 0,1 3 ab, 1, αν a b 0 ή b 1 4 a, b, c,, a b c, α,b,c 0,1 5 a, a, b = a, a, b, αν a b 6 a, a, b b, αν a b 7 a, b b για κάθε ab, 0,1 n n 8-8

86) Έστω ab, b a b παρακάτω σχέσεις:,, 1 a b a b για κάθε ab, 0,1 2 a, a a για κάθε a 0,1 3 a, a a για κάθε a 0,1 4 a, b a, αν a b vb 87) Δίνεται ο βαθμός διάταξης ab, va b, α,b[0,1] και η κλασική άρνηση x =1-x Να δείξετε ότι ισχύουν οι, όπου v μια θετικότιμη συνάρτηση τιμοδότησης + v : RR 0 Αν στη θέση της v θέσουμε μια άλλη θετικότιμη συνάρτηση τιμοδότησης, θα αλλάξουν οι σχέσεις =,, στις ιδιότητες του στις Ασκήσεις 81 86; Δικαιολογήστε την απάντησή σας 88) Ένας άλλος βαθμός διάταξης που προτείνεται είναι ο ab, και ab, v a b v a, αν (0,1], a b [0,1] 1, αν α=b=0 Δικαιολογήστε γιατί ο αναμένεται να ικανοποιεί τις ίδιες ιδιότητες με τον 89) Να αναπτυχθεί κώδικας σε MATLAB που να υλοποιεί τις πράξεις της διαστολής, και διάβρωσης για τυχαίο δομικό στοιχείο τετράγωνου σχήματος 810) Να αναπτυχθεί κώδικας σε MATLAB που να υλοποιεί τις πράξεις του ανοίγματος, και κλεισίματος για τυχαίο δομικό στοιχείο κυκλικού σχήματος 811) Να αναπτυχθεί κώδικας σε MATLAB που να υλοποιεί τα τέσσερα μορφολογικά φίλτρα της παραγράφου 832 για τυχαίο δομικό στοιχείο τετραγωνικού σχήματος Να εφαρμόσετε τα προκύπτοντα φίλτρα για την απομάκρυνση Γκαουσιανού θορύβου από μία τυχαία εικόνα Ποια είναι τα αποτελέσματα φιλτραρίσματος του κάθε φίλτρου; Βιβλιογραφία Belohlavek, R (2000) Representation of concept lattices by birectional associative memories Neural Computation, 12(10), 2279-2290 Birkhoff, G (1967) Lattice Theory (Colloquium Publications 25) Providence, RI: American Mathematical Society Birkhoff, G & von Neumann, J (1936) The logic of quantum mechanics Annals of Mathematics, 37(4), 823-843 Bloch, I & Maitre, H (1995) Fuzzy mathematical morphologies: a comparative study Pattern Recognition, 28(9), 1341-1387 Bloch, I, Heijmans, H & Ronse, C (2007) Mathematical morphology In M Aiello, I Pratt-Hartmann & J van Benthem (Eds), Handbook of Spatial Logics (pp 857-944) Heidelberg, Germany: Springer Caro-Contreras, DE & Mendez-Vazquez, A (2013) Computing the concept lattice using dendritical neural networks In M Ojeda-Aciego & J Outrata (Eds), CLA (pp 131-152) University of La Rochelle, France: Laboratory L3i Carpineto, C & Romano, G (1996) A lattice conceptual clustering system and its application to browsing retrieval Machine Learning, 24(2), 95-122 Dougherty, ER & Sinha, D (1995) Computational gray-scale mathematical morphology on lattices (a comparator-based image algebra) part II: image operators Real-Time Imaging, 1, 283-295 Edmonds, EA (1980) Lattice fuzzy logics Intl J Man-Machine Studies, 13(4), 455-465 Formica, A (2006) Ontology-based concept similarity in Formal Concept Analysis Information Sciences, 176(18), 2624 2641 8-9

Gaines, BR (1978) Fuzzy and probability uncertainty logics Information and Control, 38, 154-169 Ganter, B & Wille, R (1999) Formal Concept Analysis Heidelberg, Germany: Springer Goguen, JA (1967) L-fuzzy sets Journal of Mathematical Analysis and Applications, 18(1), 145-174 Grätzer, G (2003) General Lattice Theory Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag AG Halmos, P & Givant, S (1998) Logic as Algebra (The Dolciani Mathematical Expositions 21) Washington, DC: The Mathematical Association of America Lerallut, R, Decencière, É & Meyer, F (2007) Image filtering using morphological amoebas Image and Vision Computing, 25(4), 395-404 Maragos, P (2005) Lattice image processing: a unification of morphological and fuzzy algebraic systems J Math Imaging and Vision, 22(2-3), 333-353 Matheron, G (1975) Random Sets and Integral Geometry New York, NY: Wiley & Sons Mertzios, BG & Tsirikolias, K (1998) Coordinate logic filters and their applications in image processing and pattern recognition Circuits, Systems, and Signal Processing, 17(4), 517-538 Meyer, F (1991) Un algorithme optimal pour la ligne de partage des eaux 8ème Congrès de Reconnaissance des formes et Intelligence Artificielle 2, Lyon, France, 847-857 Nachtegael, M & Kerre, EE (2001) Connections between binary, gray-scale and fuzzy mathematical morphologies Fuzzy Sets and Systems, 124(1), 73-85 Pessoa, LFC & Maragos, P (2000) Neural networks with hybrid morphological /rank /linear nodes: a unifying framework with applications to handwritten character recognition Pattern Recognition, 33(6), 945-960 Priss, U (2000) Lattice-based information retrieval Knowledge Organization, 27(3), 132-142 Ritter, GX & Gader, PD (2006) Fixed Points of Lattice Transforms and Lattice Associative Memories In P Hawkes (Ed), Advances in Imaging and Electron Physics, 144 (pp 165-242) Amsterdam, The Netherlands: Elsevier Ritter, GX & Urcid, G (2003) Lattice algebra approach to single-neuron computation IEEE Transactions on Neural Networks, 14(2), 282-295 Ritter, GX & Wilson, JN (2000) Handbook of Computer Vision Algorithms in Image Algebra (2 nd ed) Boca Raton, FL: CRC Press Rota GC (1997) The many lives of lattice theory Notices of the American Mathematical Society, 44(11), 1440-1445 Serra, J (1982) Image Analysis and Mathematical Morphology London, UK: Academic Press Sussner, P & Graña, M (Eds) (2003) Special Issue on: Morphological Neural Networks J Math Imaging and Vision, 19(2), 79-80 Xu, Y, Ruan, D, Qin, K & Liu, J (2003) Lattice-Valued Logic (Studies in Fuzziness and Soft Computing 132) Heidelberg, Germany: Springer Yang, P-F & Maragos, P (1995) Min-max classifiers: learnability, design and application Pattern Recognition, 28(6), 879-899 8-10