ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 010-11 Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Τα φροντιστήρια γίνονται κάθε Δευτέρα 1100-100 και κάθε Τρίτη 0900-1100 Υπεύθυνος φροντιστηρίων: Σταύρος Αναστασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

11 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 1 Στην Κλασική Μηχανική, η δομή του χωρο-χρόνου χαρακτηρίζεται από την αφινικότητά της, τη γραμμικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δομή του χώρου Διευκρινίστε τι σημαίνουν από μαθηματική άποψη αυτά τα χαρακτηριστικά Στην Κλασική Μηχανική, σε αντίθεση με τη θεωρία Σχετικότητας, δεν υφίσταται μετρική στο χωρο-χρόνο που να έχει φυσικό νόημα και να προσμετρά συγχρόνως χωρικές αποστάσεις και χρονικά διαστήματα Διευκρινίστε αυτή την παρατήρηση Διευκρινίστε την αλγεβρική δομή του συνόλου των μεταφορών στο χωρο-χρόνο διαμέσου των οποίων πραγματοποιείται η μετάβαση από ένα γεγονός σε άλλο και την ισομορφική ταύτισή του με τον πραγματικό διανυσματικό χώρο 4 4 Διευκρινίστε τις 10 παραμέτρους που υπεισέρχονται στη γαλιλαϊκή ομάδα μετασχηματισμών του κλασικού χωρο-χρόνου Ποιο είναι το ουδέτερο στοιχείο αυτής της ομάδας και πως διατυπώνεται το αντίστροφο στοιχείο ενός οποιουδήποτε στοιχείου της; Διαπιστώστε την μη αντιμεταθετικότητά της και εξετάστε αν διαθέτει αντιμεταθετικές υποομάδες 5 Αποδείξτε ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί του κλασικού χωρο-χρόνου διατηρούν την ορθοκανονικότητα και τον προσανατολισμό των βάσεων στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Για ποιο λόγο στους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς δεν υπεισέρχονται όλοι οι ορθογώνιοι μετασχηματισμοί του χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων ; 6 Ανάμεσα στους ακόλουθους μετασχηματισμούς του χωρο-χρόνου εντοπίστε εκείνους που ανήκουν στη γαλιλαϊκή ομάδα και προσδιορίστε τις τιμές των παραμέτρων τους: 0 0 1 v 1 1 1 1 0 1 0 v 1 0 0 v 0 0 0 1 t t t 0 1 0 v 1 1 1 1 0 0 1 v 1 0 0 v 0 0 0 1 t t t 1/ / / v 1 1 1 1 / 1/ / v / / 1/ v 0 0 0 1 t t t / / 1/ v 1 1 1 1 1/ / / v / 1/ / v 0 0 0 1 t t t / 0 / v 1 1 1 1 0 1 0 v / 0 / v 0 0 0 1 t t t / / 1/ v 1 1 1 1 / 1/ / v 1/ / / v 0 0 0 1 t t t

7 Προσδιορίστε τη χωρική απόσταση των γεγονότων a (1,1,1, 0) και b (1,0,0,0) του χωρο-χρόνου και τη γωνία τους στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Κατόπιν, προσδιορίστε τη χωρική απόσταση και τη γωνία των αντίστοιχων γεγονότων που προκύπτουν από τον ακόλουθο χωρο-χρονικό μετασχηματισμό: 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 t 0 t 8 Ερμηνεύστε γεωμετρικά τους μετασχηματισμούς που ορίζονται στην κανονική βάση του χώρου των ταυτόχρονων γεγονότων με τους ακόλουθους πίνακες: cs sin 0 sin cs 0 0 0 1 1 0 0 cs 0 sin 0 cs sin sin 0 cs 0 sin cs 0 1 0 9 Αποδείξτε ότι κάθε μετασχηματισμός χωρικής στροφής, σε κατάλληλη ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου, εκφράζεται ως εξής: 1 cs sin 01 sin cs 0 0 0 1 Συμπεράνατε ότι κάθε γαλιλαϊκός μετασχηματισμός, με επιλογή κατάλληλης βάσης στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, εκφράζεται ως εξής: cs sin 0 v t 1 1 01 01 sin cs 0 v0t 0 0 0 1 v0t 0 10 Μας πληροφορούν ότι ένας γαλιλαϊκός μετασχηματισμός ορίζει μηδενική χωρική και χρονική μεταφορά, αδρανειακή κίνηση με ταχύτητα μοναδιαίου μέτρου στον άξονα του διανύσματος (1,1,1) και χωρική στροφή γύρω από αυτό τον άξονα γωνίας π/ και ότι τα αριθμητικά αυτά δεδομένα είναι εκφρασμένα στην ευκλείδεια βάση του χώρου Ζητάμε να προσδιορίσετε στην ευκλείδεια βάση τα αριθμητικά στοιχεία που υπεισέρχονται στην έκφραση αυτού του μετασχηματισμού: 1 1 0 0 0 1 t t

11 Μας ζητούν να προσδιορίσουμε τον άξονα και τη γωνία της χωρικής στροφής που υπεισέρχεται στο γαλιλαϊκό μετασχηματισμό ο οποίος, όταν τα αριθμητικά του στοιχεία διατυπωθούν στην ευκλείδεια βάση του χώρου, εκφράζεται ως εξής: 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 t 0 0 0 1 t 0 1 Εξετάστε αν υπάρχει γαλιλαϊκός μετασχηματισμός του οποίου η δράση στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων μετασχηματίζει το ευκλείδειο σύστημα αξόνων στο σύστημα αξόνων που είναι επικεντρωμένο στο σημείο (1,1,1) και ορίζεται από τα διανύσματα e 1 (,,1), e (,1,), e (1,, ) 1 Αποδείξτε ότι κάθε μετασχηματισμός χωρικής στροφής, γύρω από έναν άξονα μοναδιαίου διανύσματος =( 1,, ) κατά γωνία, εκφράζεται στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου ως εξής: S (1 cs ) cs (1 cs ) (sin ) (1 cs ) (sin ) 1 1 1 (e 1,e,e ) (1 cs ) 1 (sin ) (1 cs ) cs (1 cs ) (sin ) 1 (1 cs ) 1 (sin ) (1 cs ) (sin ) 1 (1cs ) cs 14 Αποδείξτε ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί δεν επηρεάζουν την καμπυλότητα και τη στρέψη των κινήσεων στον ευκλείδειο χώρο 15 Αποδείξτε ότι η αναπαραμέτρηση του χρονικού άξονα δεν επηρεάζει την καμπυλότητα και τη στρέψη των κινήσεων στον ευκλείδειο χώρο 16 Αποδείξτε ότι κάθε κίνηση μη μηδενιζόμενης ταχύτητας με κατάλληλη αναπαραμέτρηση του χρονικού άξονα ανάγεται σε κίνηση ταχύτητας μοναδιαίου μέτρου 17 Αποδείξτε ότι οι τροχιές μηδενικής στρέψης είναι επίπεδες και οι τροχιές μηδενικής καμπυλότητας είναι ευθύγραμμες 18 Προσδιορίστε τη συνάρτηση () t έτσι ώστε η τροχιά της ακόλουθης κίνησης να είναι επίπεδη: () t cs, t sin, t () t 19 Διαπιστώστε ότι η τροχιά της ακόλουθης κίνησης είναι επίπεδη: :, 4 () t cs,1 t sin t, cst 5 5

0 Διαπιστώστε ότι η τροχιά της κίνησης: :[-, ], () 1cs, sin, sin / t t t t, εξελίσσεται στην τομή μιας σφαιρικής και μιας κυλινδρικής επιφάνειας και προσδιορίστε την καμπυλότητα και τη στρέψη της 1 Διαπιστώστε ότι η τροχιά της κίνησης: :, () e t cs, e t sin, e t t t t, εξελίσσεται στην επιφάνεια ενός κώνου και προσδιορίστε την προβολή της στο οριζόντιο επίπεδο του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς Ποια είναι η σχέση της καμπυλότητάς της με την καμπυλότητα της προβολής της; Διαπιστώστε ότι η καμπυλότητα της τροχιάς της ακόλουθης κίνησης μηδενίζεται μόνο τη χρονική στιγμή t 0 : όπου :, () t t, h(), t h( t ) ht () 0 όταν t 0 και 1/ t ht () e όταν t 0 Αποδείξτε ότι οι τροχιές σταθερής μη μηδενικής καμπυλότητας και σταθερής στρέψης είναι κυκλικές ελικοειδείς στον ευκλείδειο χώρο 4 Αποδείξτε ότι οι τροχιές των οποίων η καμπυλότητα και η στρέψη είναι μη μηδενικές με σταθερό λόγο είναι ελικοειδείς στον ευκλείδειο χώρο 5 Από τις ακόλουθες κινήσεις προσδιορίστε εκείνες που είναι ελικοειδείς: () t ch t, sh t, t, () t t t, t, t t, t (), t t, t /, (),,1 t t t t t t 6 Ποιες δυνάμεις μπορούν να προκαλέσουν τις κινήσεις που αναφέρονται στην προηγούμενη άσκηση όταν ασκηθούν σε ένα υλικό σημείο μοναδιαίας μάζας; 7 Σε ένα υλικό σημείο μοναδιαίας μάζας ασκείται δύναμη που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: F(,, ) (,,0) 1 1 Εξετάστε αν υπάρχει αρχική θέση και αρχική ταχύτητα έτσι ώστε το υλικό σημείο να εξελιχθεί σε κυκλική ελικοειδή τροχιά καμπυλότητας κ=1/5 και στρέψης τ=/5

8 Προσδιορίστε τις τροχιές που μπορεί να διαγράψει ένα υλικό σημείο μοναδιαίας μάζας υπό την επίδραση της δύναμης: F(,, ) (,,0) 1 1 9 Προσδιορίστε τις τροχιές που μπορεί να διαγράψει ένα υλικό σημείο μοναδιαίας μάζας υπό την επίδραση της δύναμης: F(,, ) (,,0) 1 1 0 Προσδιορίστε τις τροχιές που μπορεί να διαγράψει ένα υλικό σημείο μοναδιαίας μάζας υπό την επίδραση της δύναμης: F(,, ) (,,0) 1 1 1 Η κλάση των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς που εισάγεται από την αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου είναι μοναδική; Τι επίπτωση έχει σε αυτή την κλάση μια χρονική ή χωρική μεταφορά ή χωρική στροφή προερχόμενη από την ομάδα του Γαλιλαίου; Τι επίπτωση έχουν οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί στη θεμελιώδη εξίσωση που εισάγεται από την αρχή του ντετερμινισμού του Νεύτωνα; Ποια θα ήταν η επίπτωση των ορθογώνιων μετασχηματισμών; Αν ίσχυε η αντίληψη του Αριστοτέλη σύμφωνα με την οποία η ταχύτητα είναι ανάλογη της δύναμης, θα μπορούσε τότε να ισχύει η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου; 4 Ποιες από τις θεμελιώδεις αρχές της Κλασικής Μηχανικής δεν θα ίσχυαν σε ένα κόσμο διαφορετικό από τον δικό μας όπου θα ίσχυε ο νόμος: k d F( ) m, k 1 ή k ; k dt 5 Από τη θεμελιώδη εξίσωση του Νεύτωνα προκύπτει ότι αν σε ένα υλικό σημείο δεν ασκείται δύναμη τότε η επιτάχυνσή του είναι μηδενική, άρα η ταχύτητά του είναι σταθερή Αυτό σημαίνει ότι ο 1 ος νόμος του Νεύτωνα αποτελεί πόρισμα του ου νόμου; 6 Ο ος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να υποκατασταθεί από την αρχή διατήρησης της ορμής; Αν δεν ίσχυε η αρχή διατήρησης της ορμής θα μπορούσε να ισχύει ο 1 ος νόμος του Νεύτωνα; 7 Σχολιάστε τον ισχυρισμό ότι η χωρική ομογένεια υποδηλώνει την αρχή διατήρησης της ορμής και η χωρική ισοτροπία την αρχή διατήρησης της στροφορμής;

8 Ένα υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στον ευκλείδειο χώρο Πώς καταγράφεται η κίνησή του σε ένα σύστημα αναφοράς που εκτελεί ευθύγραμμη επιταχυνόμενη κίνηση ως προς το ευκλείδειο σύστημα αναφοράς; 9 Ένα υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στον ευκλείδειο χώρο Πώς καταγράφεται η κίνησή του σε ένα σύστημα αναφοράς που εκτελεί περιστροφική κίνηση ως προς το ευκλείδειο σύστημα αναφοράς διατηρώντας την αρχή του ταυτισμένη με την αρχή του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς και έχοντας γωνιακή ταχύτητα () t (0,0,1) ; Ποια διαφορά θα διαπιστωθεί αν () t (0,0,) t ; 40 Ένα υλικό σημείο εκτελεί ελικοειδή κίνηση καταγεγραμμένη στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς ως εξής: (t) (cs t, sin t, t), t 0 Ένας παρατηρητής είναι τοποθετημένος σε ένα σύστημα αναφοράς του οποίου η αρχή, σε κάθε χρονική στιγμή, ταυτίζεται με την προβολή του υλικού σημείου στο οριζόντιο επίπεδο του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς και οι άξονές του παραμένουν παράλληλοι με τους αντίστοιχους ευκλείδειους άξονες Πώς αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής αυτός την κίνηση του υλικού σημείου και πώς καταγράφεται στο σύστημα αναφοράς του η δύναμη που προκαλεί την κίνηση; 41 Εξετάστε τα ερωτήματα της προηγούμενης άσκησης θεωρώντας ότι η τροχιά του υλικού σημείου εξελίσσεται σε μια κωνική επιφάνεια και καταγράφεται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς ως εξής: t t t t () e cs, t e sin t, e, t 0 4 Προσδιορίστε τη φυγόκεντρο δύναμη που ασκείται σε μάζα 1000kg τοποθετημένη σε γεωγραφικό πλάτος 60 ο στην επιφάνεια της γης Η φυγόκεντρος δύναμη είναι εντονότερη στον ισημερινό ή σε κάποιον από τους πόλους της γης; 4 Λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση της δύναμης Crilis προσδιορίστε την τελική απόκλιση στην πτώση μιας πέτρας η οποία αφέθηκε να πέσει σε πηγάδι βάθους 500 μέτρων σε ένα τόπο που βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος 60 ο Ποια θα ήταν η απόκλιση αν το πηγάδι βρίσκεται στον ισημερινό ή σε έναν πόλο της γης; 44 Ένα υλικό σημείο που κινείται σε τροχιά μη μηδενικής καμπυλότητας θα μπορούσε σε δεδομένη χρονική στιγμή ή σε δεδομένο χρονικό διάστημα να έχει μηδενική στροφορμή ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου ; 45 Πότε η στροφορμή ενός συστήματος υλικών σημείων ταυτίζεται με την ιδιοστροφορμή του; Θα μπορούσε η στροφορμή να μεταβάλλεται και η ιδιοστροφορμή να παραμένει σταθερή;

46 Αν η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα υλικών σημείων είναι μηδενική ως προς το αδρανειακό του κέντρο, θα είναι όπωσδήποτε μηδενική και ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου ; 47 Προσδιορίστε την έκφραση της ιδιοστροφορμής δυο υλικών σημείων που κινούνται ομαλά σε μια περιφέρεια γνωρίζοντας ότι το αδρανειακό τους κέντρο μένει αμετακίνητο στο κέντρο της 48 Δυο υλικά σημεία μοναδιαίας μάζας διαγράφουν ομόκεντρες κυκλικές τροχιές με ομόρροπες ταχύτητες σταθερού μέτρου έτσι ώστε το αδρανειακό τους κέντρο να διαγράφει ομόκεντρο κύκλο Ποια σχέση πληρούν τα μέτρα των ταχυτήτων τους; Αν το υλικό σημείο που διαγράφει την εσωτερική κυκλική τροχιά έχει ταχύτητα μοναδιαίου μέτρου, προσδιορίστε την κινητική ενέργεια του συστήματός τους και την κινητική ενέργεια του αδρανειακού του κέντρου Επίσης, προσδιορίστε την ιδιοστροφορμή του συστήματός τους και την ολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων ως προς το αδρανειακό του κέντρο Προσδιορίστε την στροφορμή του συστήματός τους ως προς το κέντρο των κυκλικών τροχιών το οποίο μπορείτε να το θεωρήσετε τοποθετημένο στην αρχή του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς Διερευνήστε την περίπτωση αντίρροπης κίνησης των υλικών σημείων 49 Δυο υλικά σημεία μοναδιαίας μάζας κινούνται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και σε κάθε χρονική στιγμή η θέση τους εντοπίζεται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς αντίστοιχα ως εξής: () t cs,sin t t, t ( t) cs( t), sin( t), t

Προσδιορίστε την τροχιά του αδρανειακού τους κέντρου, την ιδιοστροφορμή τους και τη συνολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο και ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου Ποια είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος των δυο υλικών σημείων και σε τι διαφέρει από την κινητική ενέργεια του αδρανειακού τους κέντρου όταν αυτό θεωρηθεί ως υλικό σημείο στο οποίο συμπυκνώνεται η μάζα του συστήματός τους; 50 Τρία υλικά σημεία μοναδιαίας μάζας κινούνται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και οι τροχιές τους καταγράφονται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς με τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης: t t t r() 1 t e cs,e t sin t,e r() t t t t t e cs,e sin,0 t t t t t r() e cs( ),e sin( ),0 Προσδιορίστε την κίνηση του αδρανειακού τους κέντρου, την ιδιοστροφορμή τους και τη συνολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο και ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου Ποια είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος των τριών υλικών σημείων και ποια είναι η διαφορά της από την κινητική ενέργεια του αδρανειακού τους κέντρου όταν αυτό θεωρηθεί ως υλικό σημείο στο οποίο συμπυκνώνεται η μάζα του συστήματός τους;