Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι η συμπεριφορά των λύσεων ενός δυναμικού συστήματος ẋ = f (x) κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας x 0, καθορίζεται από το γραμμικό τμήμα Df (x 0 ) x του διανυσματικού πεδίου στο σημείο αυτό, βλ. τον ορισμό 12.4.6 στο Παράρτημα. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman Ενα αυτόνομο μη γραμμικό δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις (5.0.2) τις οποίες επαναλαμβάνουμε εδώ ẋ = f (x, y), ẏ = g (x, y). (6.1.1) Εν γένει ένα μη γραμμικό σύστημα έχει περισσότερα από ένα κρίσιμα σημεία. Εστω (α, β) ένα τέτοιο σημείο, δηλαδή f(α, β) = 0, g(α, β) = 0. Υποθέτουμε ως συνήθως ότι οι f και g έχουν συνεχείς παραγώγους σε μία περιοχή του (α, β) οπότε αναπτύσσοντας κατά Taylor γύρω από το σημείο ισορροπίας θα έχουμε f (x, y) = f (α, β) + f f (x α) + (y β) + O (2), x y g (x, y) = g (α, β) + g g (x α) + (y β) + O (2), x y όπου O (2) περιέχουν όρους ανώτερης τάξης, δηλαδή ξεκινούν με όρους που περιέχουν τα μονώνυμα (x α) 2, (y β) 2 και (x α) (y β). Οι παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο (α, β). Φυσικά στο σημείο ισορροπίας ισχύει 117

118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ f (α, β) = 0 = g(α, β), κατά συνέπεια θα έχουμε ẋ = f f (x α) + (y β) + O (2), x y ẏ = g g (x α) + (y β) + O (2). x y Εισάγοντας τώρα νέες συντεταγμένες (ουσιωδώς μετακινώντας την αρχή των αξόνων) το σύστημα γράφεται ως u 1 = x α, u 2 = y β, u 1 = au 1 + bu 2 + O (2), u 2 = cu 1 + du 2 + O (2), όπου οι αριθμοί a, b, c, d είναι αντίστοιχα οι μερικές παράγωγοι f/ x, f/ y, g/ x, g/ y υπολογισμένες στο (α, β). Λέμε ότι το γραμμικό σύστημα u 1 = au 1 + bu 2, u 2 = cu 1 + du 2, αποτελεί την τοπική γραμμικοποίηση του (6.1.1) στο κρίσιμο σημείο (α, β). Το γραμμικό σύστημα γράφεται και ως u = Au, με A = f x g x f y g y (α,β) Επομένως ο πίνακας A ισούται με τον πίνακα Jacobi υπολογισμένο στο σημείο (α, β). Κοντά στο σημείο ισορροπίας οι όροι O (2) είναι μικρές διορθώσεις στο γραμμικό σύστημα. Επαναλαμβάνουμε σε διανυσματική γλώσσα όσα είπαμε πιο πάνω. Θεωρούμε το μη γραμμικό σύστημα. ẋ = f (x) (6.1.2) όπου x R 2 και το διανυσματικό πεδίο f είναι τουλάχιστον κλάσης C 1 στο πεδίο ορισμού του. Εστω x 0 ένα σημείο ισορροπίας, δηλαδή f (x 0 ) = 0. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι x 0 = 0, διαφορετικά μετακινούμε την αρχή των αξόνων στο x 0. Το γραμμικοποιημένο σύστημα του (6.1.2) είναι το γραμμικό σύστημα ẋ = Ax, A = Df(0). (6.1.3)

6.1. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ HARTMAN-GROBMAN 119 Οπως θα δούμε ο πίνακας Jacobi A = Df(0) παίζει ουσιώδη ρόλο στη μελέτη της συμπεριφοράς του συστήματος κοντά στο σημείο ισορροπίας. Η σημασία της γραμμικοποίησης έγκειται στο γεγονός ότι μπορούμε να αναλύσουμε την τοπική συμπεριφορά ενός μη γραμμικού συστήματος κοντά στα σημεία ισορροπίας του από την μελέτη του αντίστοιχου γραμμικού συστήματος. Θεώρημα 6.1.1 (Hartman-Grobman). Εστω ότι το σύστημα ẋ = f (x) έχει σημείο ισορροπίας στην αρχή x = 0. Αν ο πίνακας A = Df(0) δεν έχει ιδιοτιμές με μηδενικό πραγματικό μέρος, τότε σε μία περιοχή της αρχής των αξόνων τα πορτραίτα φάσεων των δύο συστημάτων, δηλαδή των ẋ = f (x) και ẋ = Ax είναι ποιοτικώς ισοδύναμα. Σχήμα 6.1: Πορτραίτο φάσεων του γραμμικοποιημένου συστήματος και του μή γραμμικού συστήματος. Οι τροχιές παραμορφώνονται, αλλά η ποιοτική τους συμπεριφορά είναι ίδια. Σημειώνουμε ότι οι διαχωρίζουσες ευθείες του γραμμικού συστήματος είναι διαχωρίζουσες καμπύλες στο μή γραμμικό σύστημα. Ακριβέστερη διατύπωση του θεωρήματος θα δούμε αμέσως μετά. Ο όρος ποιοτικώς ισοδύναμα σημαίνει χονδρικά ότι η φύση των σημείων ισορροπίας είναι ίδια και η φορά των τροχιών είναι ίδια στην περιοχή του μηδενός. Για παράδειγμα αν οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι αρνητικές, τότε το σημείο 0 είναι ευσταθής κόμβος και για το μη γραμμικό σύστημα. Αν το σημείο 0 είναι σαγματοειδές για το γραμμικοποιημένο σύστημα, παραμένει σαγματοειδές και για το μη γραμμικό σύστημα. Υπό την έννοια αυτή οι τροχιές του συστήματος ẋ = Ax κοντά στην αρχή μπορούν να παραμορφωθούν κατά συνεχή τρόπο για να δώσουν τις τροχιές του συστήματος ẋ = f (x), Σχήμα 6.1.

120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ Παράδειγμα 6.1.1. Το μη γραμμικό σύστημα ẋ = x y, ẏ = 1 xy, (6.1.4) έχει δύο σημεία ισορροπίας ( 1, 1) και (1, 1). Ο πίνακας Jacobi είναι 1 1 J (x, y) =, y x επομένως στα σημεία ισορροπίας θα έχουμε 1 1 J ( 1, 1) =, J (1, 1) = 1 1 1 1 1 1. Οι ιδιοτιμές του J ( 1, 1) είναι 1 ± i, δηλαδή το ( 1, 1) είναι ασταθής εστία με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού. Οι ιδιοτιμές του J (1, 1) είναι ± 2, άρα το (1, 1) είναι σαγματοειδές σημείο. Οι τροχιές που πλησιάζουν ή απομακρύνονται από το (1, 1) έχουν την κατεύθυνση των ιδιοδιανυσμάτων του J (1, 1) που είναι 1 ± 2, 1 T. Με τις πληροφορίες αυτές σχεδιάστηκε το πορτραίτο φάσεων, Σχήμα 6.2. Το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι για την ποιοτική περιγραφή y 2 1 0 x 1 2 2 1 0 1 2 Σχήμα 6.2: Πορτραίτο φάσεων του συστήματος ( 6.1.4) βασισμένο στη γραμμικοποίησή του. του πορτραίτου φάσεων ενός διδιάστατου συστήματος αρκεί η ανάλυση του γραμμικοποιημένου συστήματος στα σημεία ισορροπίας και η εφαρμογή του Θεωρήματος Hartman-Grobman.

6.1. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ HARTMAN-GROBMAN 121 6.1.1 Πολικές συντεταγμένες Πολλές φορές η επίλυση ενός μη γραμμικού συστήματος απλοποιείται αν εισάγουμε πολικές συντεταγμένες, x = r cos θ, y = r sin θ ή r 2 = x 2 + y 2, θ = tan 1 y x. Παραγωγίζοντας ως προς t προκύπτει rṙ = xẋ + yẏ, r 2 θ = xẏ yẋ. Αντικαθιστούμε τα ẋ και ẏ από τις (6.1.1) και καταλήγουμε σε ένα σύστημα της μορφής ṙ = F (r, θ), θ = G (r, θ). Παράδειγμα 6.1.2. Το σύστημα ẋ = y + x x 3 xy 2, ẏ = x + y y 3 x 2 y, σε πολικές συντεταγμένες παίρνει τη μορφή ṙ = r 1 r 2, θ = 1. Παρατηρούμε ότι η αρχή είναι κρίσιμο σημείο. Η εξίσωση θ = 1 σημαίνει ότι το διάνυσμα θέσης περιστρέφεται στο επίπεδο x, y με σταθερή γωνιακή ταχύτητα 1. Για 0 < r < 1 είναι ṙ > 0, άρα η απόσταση από την αρχή r(t) αυξάνει και οι τροχιές είναι σπείρες με την αρχή ως ασταθή εστία και φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού. Για r > 1 είναι ṙ < 0, άρα οι τροχιές είναι σπείρες με κατεύθυνση προς την αρχή. Για r = 1 η τροχιά είναι ο μοναδιαίος κύκλος Γ 0 διότι πάνω στον κύκλο Γ 0 είναι ṙ = 0, Σχήμα 6.3. Η τροχιά Γ 0 λέγεται ευσταθής οριακός κύκλος διότι για οποιαδήποτε αρχική συνθήκη (r 0, θ 0 ) στη γειτονιά της, η τροχιά που ξεκινά από το σημείο (r 0, θ 0 ) τείνει στον Γ 0 καθώς t. Στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων ένα τέτοιο σύνολο όπως το Γ 0 λέγεται ελκυστής (attractor). 6.1.2 Η περίπτωση των φανταστικών ιδιοτιμών Το Θεώρημα Hartman-Grobman δεν έχει εφαρμογή στην περίπτωση φανταστικών ιδιοτιμών του A, όταν δηλαδή το σημείο ισορροπίας είναι κέντρο για το γραμμικό σύστημα. Ο λόγος είναι ότι στην περίπτωση κέντρου για ένα

122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 1 0 Σχήμα 6.3: Οριακός κύκλος γραμμικό σύστημα ακόμα και η ελάχιστη διαταραχή, δηλαδή η προσθήκη επιπλέον όρων οσονδήποτε μικρών, μεταβάλλει δραστικά την φύση του σημείου ισορροπίας. Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε το γραμμικό σύστημα ẋ 0 1 x =, ẏ 1 0 y που έχει κέντρο στην αρχή (0, 0) και οι τροχιές του είναι ομόκεντροι κύκλοι. Για ε > 0, με την προσθήκη των όρων εx και εy στην πρώτη και στη δεύτερη εξίσωση αντίστοιχα παίρνουμε το σύστημα ẋ ε 1 x =, ẏ 1 ε y που έχει ασταθή εστία στην αρχή και οι τροχιές του είναι σπείρες. Ομοια η προσθήκη μη γραμμικών όρων μπορεί να μεταβάλλει δραστικά τις τροχιές ενός γραμμικού συστήματος που έχει κέντρο. Για παράδειγμα το σύστημα ẋ = y ε x 3 + xy 2, ẏ = x ε y 3 + x 2 y, έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας το (0, 0). Η τοπική γραμμικοποίησή του κοντά στην αρχή δείχνει ότι το (0, 0) είναι κέντρο. Επομένως για ε 1, οι όροι ε (x 3 + xy 2 ) και ε (y 3 + x 2 y) αποτελούν μικρές διορθώσεις στο γραμμικό σύστημα ẋ 0 1 x =. ẏ 1 0 y

6.1. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ HARTMAN-GROBMAN 123 Γράφοντας το σύστημα σε πολικές συντεταγμένες προκύπτει ότι η αρχή (0, 0) είναι ευσταθής εστία. Στη συνέχεια δείξτε ότι το σύστημα ẋ = y + ε x 3 + xy 2, ẏ = x + ε y 3 + x 2 y έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας το (0, 0). Η τοπική γραμμικοποίησή του κοντά στην αρχή δείχνει πάλι ότι το (0, 0) είναι κέντρο. Γράφοντας το σύστημα σε πολικές συντεταγμένες προκύπτει ότι η αρχή (0, 0) είναι ασταθής εστία. Τα παραπάνω παραδείγματα δείχνουν ότι ένα κέντρο στο γραμμικοποιημένο σύστημα παραμένει κέντρο, ή γίνεται εστία (ευσταθής ή ασταθής) στο μη γραμμικό σύστημα. Και πράγματι αυτό συμβαίνει για αναλυτικά διανυσματικά πεδία: Θεώρημα 6.1.2. Εστω E ένα ανοιχτό υποσύνολο του R 2 που περιέχει την αρχή και f ένα διανυσματικό πεδίο που είναι αναλυτικό στο E με f (0) = 0. Υποθέτουμε ότι η αρχή είναι κέντρο για το γραμμικοποιημένο σύστημα (6.1.3). Τότε σε μία αρκούντως μικρή περιοχή του 0, η αρχή είναι κέντρο ή εστία για το μη γραμμικό σύστημα (6.1.2). Για την απόδειξη βλ. [5] σελίδες 144-145. Η ισχυρότερη απαίτηση για το διανυσματικό πεδίο, να είναι αναλυτικό αντί της συνήθους απαίτησης να είναι απλώς κλάσεως C 1, τίθεται για να αποκλειστούν άπειροι το πλήθος οριακοί κύκλοι σε μία πεπερασμένη περιοχή της αρχής. Παρά την αδυναμία μας λοιπόν να αποφανθούμε για το χαρακτήρα του σημείου ισορροπίας, το παραπάνω θεώρημα διασφαλίζει ότι στην περίπτωση φανταστικών ιδιοτιμών οι τροχιές του μη γραμμικού συστήματος περικυκλώνουν το σημείο ισορροπίας. Ακόμα περισσότερη πληροφορία έχουμε στην περίπτωση που το σύστημα είναι συμμετρικό ως προς ένα άξονα. Το σύστημα ẋ = f (x, y), ẏ = g (x, y), λέγεται συμμετρικό ως προς τον άξονα x αν παραμένει αναλλοίωτο υπό τον μετασχηματισμό t t και y y. Επομένως αν (x (t), y (t)) είναι μία λύση, τότε και το ζεύγος (x ( t), y ( t)) αποτελεί λύση. Με άλλα λόγια κάθε τροχιά έχει τη δίδυμή της, συμμετρική ως προς τον άξονα x και με αντίθετο προσανατολισμό, Σχήμα 6.4. Θεώρημα 6.1.3. Εστω E ένα ανοιχτό υποσύνολο του R 2 που περιέχει την αρχή και f ένα διανυσματικό πεδίο κλάσεως C 1 στο E με f (0) = 0. Αν το μη γραμμικό σύστημα (6.1.2) είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα x και η

124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ y x Σχήμα 6.4: Τροχιές ενός συμμετρικού ως προς τον άξονα x συστήματος. αρχή είναι κέντρο για το γραμμικοποιημένο σύστημα (6.1.3), τότε η αρχή είναι κέντρο και για το μη γραμμικό σύστημα (6.1.2). Απόδειξη. Επειδή σε μία αρκούντως μικρή περιοχή της αρχής κυριαρχούν οι γραμμικοί όροι, περιμένουμε ότι κάθε τροχιά που τέμνει τον θετικό άξονα x θα τμήσει και τον αρνητικό άξονα x (για μία αυστηρή απόδειξη βλ. [5] σελίδες 144-145). Η τροχιά αυτή έχει τη δίδυμή της, συμμετρική ως προς τον άξονα x με τα ίδια άκρα στον άξονα x και αντίθετη φορά. Συνεπώς όλες οι τροχιές στην περιοχή του 0 είναι κλειστές, δηλαδή η αρχή είναι κέντρο. Παράδειγμα συμμετρικών συστημάτων είναι όσα προκύπτουν από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής σε μία διάσταση ẍ = f (x), όπου f (x) είναι η δύναμη ανά μονάδα μάζας, βλ. Κεφ. 11. Το ισοδύναμο διδιάστατο σύστημα ẋ = y, ẏ = f (x), είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα x. Ο φυσικός λόγος είναι ότι σε αντιστροφή χρόνου t t, ο νόμος του Νεύτωνα ẍ = f (x) είναι αναλλοίωτος και η ταχύτητα ẋ (= y) αλλάζει πρόσημο.

6.1. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ HARTMAN-GROBMAN 125 Ακριβής διατύπωση του Θεωρήματος Hartman-Grobman Το Θεώρημα Hartman-Grobman έχει ισχύ και σε δυναμικά συστήματα μεγαλύτερης διάστασης. Εστω το μη γραμμικό σύστημα ẋ = f (x), (6.1.5) όπου x R n και το διανυσματικό πεδίο f είναι τουλάχιστον κλάσης C 1 στο πεδίο ορισμού του. Εστω x 0 ένα σημείο ισορροπίας, δηλαδή f (x 0 ) = 0. Οπως και στις δύο διαστάσεις, ο πίνακας Jacobi A = Df (x 0 ) παίζει ουσιώδη ρόλο στη μελέτη της συμπεριφοράς του συστήματος κοντά στο σημείο ισορροπίας. Ορισμός 6.1.1. Το x 0 R n λέγεται υπερβολικό σημείο ισορροπίας του (6.1.5) αν όλες οι ιδιοτιμές του A έχουν μη μηδενικό πραγματικό μέρος. Το γραμμικό σύστημα ẋ = Ax, (6.1.6) με A = Df (x 0 ) λέγεται η γραμμικοποίηση του ẋ = f (x) στο x 0. Σημειώνουμε ότι θέτωντας u = x x 0 μπορούμε να θεωρούμε ότι το σημείο ισορροπίας είναι πάντα το 0. Αν λοιπόν x = 0 είναι σημείο ισορροπίας του (6.1.5) τότε f (0) = 0, επομένως από το θεώρημα Taylor θα έχουμε f (x) = Df (0) x + O x 2. Συμπεραίνουμε ότι το γραμμικό τμήμα Df (0) x είναι μία καλή πρώτης τάξης προσέγγιση του διανυσματικού πεδίου f (x) κοντά στο 0, επομένως είναι εύλογο να περιμένουμε ότι η συμπεριφορά του συστήματος (6.1.5) κοντά στο x = 0, θα προσεγγίζεται από τη γραμμικοποίηση του στο 0. Και όντως αυτό συμβαίνει αρκεί ο πίνακας A να μην έχει ιδιοτιμές με μηδενικό πραγματικό μέρος: Θεώρημα 6.1.4 (Hartman-Grobman). Θεωρούμε το σύστημα ẋ = f (x) όπου x R n και f είναι κλάσης C 1 στο πεδίο ορισμού του. Υποθέτουμε ότι το 0 είναι υπερβολικό σημείο ισορροπίας, δηλαδή f (0) = 0 και ο πίνακας A = Df (0) δεν έχει καμιά ιδιοτιμή με μηδενικό πραγματικό μέρος. Τότε υπάρχει ομοιομορφισμός H : U V από μία περιοχή U του 0 σε μία περιοχή V του 0 έτσι ώστε για κάθε x U υπάρχει ανοικτό διάστημα I ούτως ώστε για t I H φ t (x) = e At H (x), δηλαδή ο H απεικονίζει τροχιές του (6.1.5) κοντά στην αρχή σε τροχιές του (6.1.6) κοντά στην αρχή και διατηρεί τον προσανατολισμό.

126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ Εφαρμογές του σημαντικού αυτού θεωρήματος θα δούμε στο Κεφάλαιο 10. Στην επόμενη παράγραφο θα δούμε ότι στην περίπτωση υπερβολικών σημείων ισορροπίας, το Θεώρημα Hartman-Grobman αρκεί για μία αδρή περιγραφή ολόκληρου του πορτραίτου φάσεων ενός διδιάστατου συστήματος. 6.2 Χαρακτηριστικά σύνολα της ροής Εκτός των σημείων ισορροπίας που είναι χαρακτηριστικές και σημαντικές λύσεις, υπάρχουν και άλλα σύνολα του χώρου των φάσεων ενός δυναμικού συστήματος που έχουν ιδιαίτερη σημασία. Παραδείγματα τέτοιων συνόλων είναι τα αναλλοίωτα σύνολα, οι μηδενοκλινείς καμπύλες, οι ετεροκλινικές και ο- μοκλινικές τροχιές, τα ω οριακά σύνολα, οι ελκυστές, η κοιτίδα ελκυσμού ενός εσταθούς σημείου ισορροπίας κ.α. Αυστηρούς ορισμούς θα δούμε στο Κεφάλαιο 8. Για τις ανάγκες της σχεδίασης του πορτραίτου των φάσεων περιγράφουμε δύο τέτοια σύνολα για ένα δυναμικό σύστημα σε δύο διαστάσεις, ẋ = f (x, y), ẏ = g (x, y). 1. Ενα σύνολο S R 2 λέγεται αναλλοίωτο σύνολο (invariant set) της ροής φ αν κάθε τροχιά που ξεκινάει μέσα στο S παραμένει στο S για κάθε t. 2. Οι μηδενοκλινείς (nullclines) είναι οι καμπύλες όπου η οριζόντια ταχύτητα ẋ και η κατακόρυφη ταχύτητα ẏ μηδενίζονται. Ουσιωδώς λοιπόν μηδενοκλινείς είναι οι ισοσταθμικές καμπύλες μηδενικής στάθμης των f και g, δηλαδή f (x, y) = 0 και g (x, y) = 0. Τα επόμενα δύο παραδείγματα σκιαγραφούν τις παραπάνω έννοιες. Παράδειγμα 6.2.1. Θεωρούμε το σύστημα ẋ = x (2 x y), ẏ = y (3 2x y), (6.2.1) με f (x, y) = x (2 x y) και g (x, y) = y (3 2x y). Παρατηρούμε ότι ο θετικός ημιάξονας x είναι μία τροχιά του συστήματος. Πράγματι, για y = 0 είναι ẏ = 0, επομένως για οποιοδήποτε σημείο επί του θετικού ημιάξονα x, δηλαδή της μορφής (x 0, 0) με x 0 > 0, η λύση με αρχική συνθήκη (x (0) = x 0, y (0) = 0) παραμένει επί του θετικού άξονα x. Ομοια κάθε τροχιά που ξεκινά στο θετικό ημιάξονα y παραμένει σ αυτόν. Συμπεραίνουμε ότι οι θετικοί ημιάξονες x και y είναι αναλλοίωτα σύνολα.

6.2. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚ Α Σ ΥΝΟΛΑ ΤΗΣ ΡΟ ΗΣ 127 Οι x μηδενοκλινείς ορίζονται ως το σύνολο x (2 x y) = 0 που συνίσταται από την ευθεία M : 2 x y = 0 και την ευθεία x = 0, δηλαδή τον άξονα y. Επομένως οι τροχιές έχουν μηδενική οριζόντια ταχύτητα στις ευθείες αυτές, με άλλα λόγια οι τροχιές τέμνουν την ευθεία M κατακόρυφα. Οι y μηδενοκλινείς ορίζονται ως το σύνολο y (3 2x y) = 0 που συνίσταται από την ευθεία N : 3 2x y = 0 και τον άξονα x. Επομένως οι τροχιές έχουν μηδενική κατακόρυφη ταχύτητα στις ευθείες αυτές, με άλλα λόγια οι τροχιές τέμνουν την ευθεία N οριζόντια. Στο Σχήμα 6.5 μικρά ευθύγραμμα τμήματα επί των ευθειών M και N δείχνουν πώς οι τροχιές του συστήματος τέμνουν τις μηδενοκλινείς M και N. Πάνω από την ευθεία M είναι f (x, y) < 0, επομένως ẋ < 0 και κάτω από την ευθεία M είναι f (x, y) > 0, επομένως ẋ > 0. Ομοια πάνω από την ευθεία N είναι g (x, y) < 0, επομένως ẏ < 0 και κάτω από την ευθεία N είναι g (x, y) > 0, επομένως ẏ > 0. Η φορά των διανυσμάτων ταχύτητας (ẋ, ẏ) στο Σχήμα 6.6 σχεδιάστηκε βάσει των προσήμων των ẋ και ẏ. Για παράδειγμα στο πρώτο τεταρτημόριο του επιπέδου κοντά στο (0, 0) είναι ẋ > 0, ẏ > 0, επομένως οι τροχιές απομακρύνονται από την αρχή. Ομοια πάνω από τις δύο ευθείες M και N και οι δύο συνιστώσες της ταχύτητας είναι αρνητικές, επομένως τα διανύσματα (ẋ, ẏ) έχουν φορά προς την αρχή. Στα σημεία 2.5 3 2.0 1.5 1.0 M x 0 2 N y 0 0.5 x 0 1 y 0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 0.5 Σχήμα 6.5: Πρόσημα του διανυσματικού πεδίου. τομής των μηδενοκλινών μηδενίζονται και η f και η g, πρόκειται δηλαδή για σημεία ισορροπίας του συστήματος. Οπως φαίνεται στο Σχήμα 6.6 τα σημεία ισορροπίας είναι τα (0, 0), (2, 0), (0, 3), και (1, 1). Σημειώνουμε ότι το τρίγωνο με κορυφές (2/3, 0), (2, 0), (1, 1) είναι αναλλοίωτο σύνολο για τη ροή. Πράγματι οποιαδήποτε τροχιά εισέλθει στο τρίγωνο αυτό ουδέποτε εξέρχεται, με άλλα λόγια η τριγωνική αυτή περιοχή παγιδεύει όλες τις εισερχόμενες τροχιές (trapping region). Ομοια το τρίγωνο με κορυφές (0, 2), (0, 3), (1, 1) είναι αναλλοίωτο σύνολο για τη ροή.

128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ N x 0 y 0 3 M 2 x 0 y 0 1 x 0 y 0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x 0 y 0 Σχήμα 6.6: Φορά του διανυσματικού πεδίου σε χαρακτηριστικά υποσύνολα του χώρου των φάσεων. Περαιτέρω πληροφορίες για το πορτραίτο φάσεων μας δίνει η ανάλυση των σημείων ισορροπίας του συστήματος. Ο πίνακας Jacobi των f και g, είναι 2 y 2x x J (x, y) =. 2y 3 2y 2x Στα σημεία ισορροπίας παίρνει τις παρακάτω μορφές. 2 0 J (0, 0) =, 0 3 με ιδιοτιμές 2 και 3, επομένως η αρχή είναι ασταθής κόμβος για το γραμμικοποιημένο σύστημα κοντά στην αρχή. Κατά το Θεώρημα Hartman-Grobman, το (0, 0) είναι ασταθής κόμβος και για το αρχικό σύστημα, επομένως οι τροχιές απομακρύνονται από την αρχή όπως ακριβώς μας έδειξε και η ανάλυση στο Σχήμα 6.6. Ο πίνακας Jacobi στο σημείο ισορροπίας (2, 0) είναι 2 2 J (2, 0) =, 0 1 με ιδιοτιμές 2 και 1, επομένως το (2, 0) είναι ευσταθής κόμβος για το γραμμικοποιημένο σύστημα κοντά (2, 0). Κατά το Θεώρημα Hartman-Grobman, το (2, 0)

6.2. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚ Α Σ ΥΝΟΛΑ ΤΗΣ ΡΟ ΗΣ 129 είναι ευσταθής κόμβος και για το αρχικό σύστημα, επομένως οι τροχιές στη γειτονιά του σημείου ισορροπίας πλησιάζουν το σημείο (2, 0) όπως ακριβώς μας έδειξε και η ανάλυση στο Σχήμα 6.6. Ο πίνακας Jacobi στο σημείο ισορροπίας (0, 3) είναι 1 0 J (0, 3) =, 6 3 με ιδιοτιμές 1 και 3, επομένως για το (0, 3) ισχύουν όσα αναφέρθηκαν για το σημείο (2, 0). Ο πίνακας Jacobi στο εσωτερικό σημείο ισορροπίας (1, 1) είναι 1 1 J (1, 1) =, 2 1 με ιδιοτιμές 2 1 και 2 1, επομένως το (1, 1) είναι σάγμα για το γραμμικοποιημένο σύστημα κοντά στο (1, 1). Κατά το Θεώρημα Hartman-Grobman, το (1, 1) είναι σαγματοειδές και για το αρχικό σύστημα με την έννοια ότι οι τροχιές στη γειτονιά του σημείου ισορροπίας πλησιάζουν το σημείο (1, 1), κάμπτονται και στη συνέχεια απομακρύνονται από αυτό. Εξαίρεση αποτελούν οι διαχωρίζουσες 3 2 1 0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Σχήμα 6.7: Πορτραίτο φάσεων του συστήματος (6.2.1). (separatrices): πρόκειται για τις καμπύλες που στο σημείο (1, 1) έχουν εφαπτόμενες τα ιδιοδιανύσματα του J (1, 1). Οι τροχιές πλησιάζουν το (1, 1) κατά τη διεύθυνση του ιδιοδιανύσματος 2/2, 1 T που αντιστοιχεί στην αρνητική ιδιοτιμή και απομακρύνονται από το (1, 1) κατά τη διεύθυνση του ιδιοδιανύσματος 2/2, 1 T

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ που αντιστοιχεί στη θετική ιδιοτιμή. Η τελική μορφή του πορτραίτου φάσεων γίνεται με τη βοήθεια του υπολογιστή, π.χ. το Σχήμα 6.7 σχεδιάστηκε με την εντολή StreamPlot στη Mathematica. Παρατήρηση 6.2.1. Η αναζήτηση και ο προσδιορισμός αναλλοίωτων συνόλων έχουν μεγάλη σημασία στη μελέτη ενός δυναμικού συστήματος. Οπως θα δούμε στο κεφάλαιο της οικολογίας, αν στο παραπάνω παράδειγμα περιορίσουμε τον χώρο των φάσεων στο πρώτο τεταρτημόριο του R 2, τότε το σύστημα παριστάνει ένα μοντέλο ανταγωνιστικών ειδών. Είναι προφανές ότι επειδή x (t) και y (t) παριστάνουν πληθυσμούς, οι τιμές τους είναι μη αρνητικές, επομένως ο χώρος των φάσεων είναι το σύνολο, D = (x, y) R 2 : x 0, y 0. Τίθεται όμως το εξής ερώτημα: δεν θα μπορούσε μία τροχιά που ξεκινάει από το D να εξέλθει από αυτό, δηλαδή κάποια από τις x (t) ή y (t) να γίνει αρνητική για κάποιο t; Εκτός των δύο τριγωνικών περιοχών που προαναφέραμε, άλλα χαρακτηριστικά αναλλοίωτα σύνολα του συστήματος είναι τα τέσσερα σημεία ισορροπίας, οι θετικοί ημιάξονες x και y και οι τέσσερεις διαχωρίζουσες. Ε- πομένως μία τροχιά που ξεκινά στο D δεν μπορεί να τμήσει τους άξονες διότι οι άξονες είναι τροχιές, επομένως παραμένει στο D. Το γεγονός λοιπόν ότι η αρχή και οι θετικοί ημιάξονες x και y είναι αναλλοίωτα σύνολα εξασφαλίζει ότι και ολόκληρος ο χώρος τον φάσεων D είναι αναλλοίωτο σύνολο για τη ροή. Παράδειγμα 6.2.2. Επανερχόμαστε στο Παράδειγμα 6.2.1 θεωρώντας τώρα ότι το σύστημα (6.2.1) περιγράφει δύο ανταγωνιστικά είδη με πληθυσμούς x (t) και y (t), βλ. και Παράδειγμα 4.2.4 στην παράγραφο περί αλλαγής κλίμακας. Ο χώρος των φάσεων είναι το σύνολο D = (x, y) R 2 : x 0, y 0, και σύμφωνα με την προηγούμενη Παρατήρηση τροχιές που ξεκινούν μέσα στο D παραμένουν σε αυτό για πάντα. Επομένως η χρονική εξέλιξη του δυναμικού συστήματος είναι τέτοια που οι πληθυσμοί δεν μπορούν να πάρουν αρνητικές τιμές. Το σύστημα γράφεται και ως ẋ = 2x (1 x/2) xy, ẏ = 3y (1 y/3) 2xy.

6.2. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚ Α Σ ΥΝΟΛΑ ΤΗΣ ΡΟ ΗΣ 131 Απουσία του είδους y ο πληθυσμός x εξελίσεται σύμφωνα με το λογιστικό μοντέλο ẋ = 2x (1 x/2) με αρχικό ρυθμό αναπαραγωγής 2 και φέρουσα ικανότητα του περιβάλλοντος ίση με 2 σε αυθαίρετες μονάδες. Ομοια απουσία του είδους x ο πληθυσμός y εξελίσεται σύμφωνα με το λογιστικό μοντέλο ẏ = 3y (1 y/3) με αρχικό ρυθμό αναπαραγωγής 3 και φέρουσα ικανότητα του περιβάλλοντος ίση με 3. Η παρουσία του είδους y ελαττώνει το ρυθμό αναπαραγωγής του πληθυσμού x κατά xy, δηλαδή ο ρυθμός ελάττωσης είναι ανάλογος των συναντήσεων. Ομοια ο ρυθμός ελάττωσης του πληθυσμού y λόγω του ανταγωνισμού είναι 2xy. Με άλλα λόγια η πίεση του ενός είδους επί του άλλου είναι διαφορετική, το είδος y υφίσταται μεγαλύτερη καταστολή λόγω ανταγωνισμού απ ότι το είδος x. Από την άλλη, το είδος y έχει μεγαλύτερο αρχικό ρυθμό αναπαραγωγής και αν ζούσε μόνο του ο πληθυσμός του θα έφθανε σε υψηλότερο πλαφόν από το είδος x. Το ερώτημα λοιπόν είναι ποιός κερδίζει ή, υπάρχει δυνατότητα συνύπαρξης και των δύο ειδών; Η απάντηση δίνεται στο Σχήμα 6.8 που συνοψίζει την ανάλυση του Παραδείγματος 6.2.1: Σχεδόν όλες οι τροχιές τείνουν προς τα δύο σημεία ισορροπίας (2, 0), ή (0, 3). Με άλλα λόγια μόνο ένα είδος επιβιώνει, ενώ το άλλο αφανίζεται. Εξαίρεση αποτελούν οι δύο διαχωρίζουσες που πλησιάζουν το (ασταθές) σημείο ισορροπίας (1, 1). Επομένως αν η αρχική κατάσταση του συστήματος (x 0, y 0 ) είναι κάτω από τις διαχωρίζουσες το σύστημα οδηγείται προς την κατάσταση (2, 0), δηλαδή το είδος y αφανίζεται και επιβιώνει μόνο το είδος x στην φέρουσα ικανότητα του περιβάλλοντος του. Αν η αρχική κατάσταση του συστήματος (x 0, y 0 ) είναι πάνω από τις διαχωρίζουσες το σύστημα οδηγείται προς την κατάσταση (0, 3), δηλαδή το είδος x αφανίζεται και επιβιώνει μόνο το είδος y στην αντίστοιχη φέρουσα ικανότητα του περιβάλλοντος του. Συνύπαρξη λοιπόν επιτυγχάνεται μόνο αν η αρχική κατάσταση του συστήματος (x 0, y 0 ) κείται ακριβώς σε μία από τις διαχωρίζουσες οπότε το σύστημα θα οδηγηθεί στην ασταθή κατάσταση (1, 1). Επομένως συνύπαρξη και των δύο ειδών αν και μαθηματικώς εφικτή είναι εξόχως απίθανη. Το ανοιχτό σύνολο που έχει ως σύνορο τον άξονα x και τις δύο διαχωρίζουσες που τείνουν προς το (1, 1) περιλαμβάνει όλες τις τροχιές που τείνουν προς το ευσταθές σημείο ισορροπίας (2, 0). Για το λόγο αυτό λέγεται κοιτίδα ελκυσμού (bassin of attraction) του σημείου ισορροπίας (2, 0). Ομοια ορίζεται και η κοιτίδα ελκυσμού του ευσταθούς κόμβου (0, 3). Πέραν της μαθηματικής περιγραφής του δυναμικού συστήματος υπάρχει και η βιολογική προσέγγιση. Ας θεωρήσουμε δύο γειτονικές καταστάσεις P και Q εκατέρωθεν της τροχιάς που τείνει στο (1, 1). Η τροχιά που ξεκινά από το P παριστάνει μία οικολογική ιστορία που σταθεροποιείται στην κατάσταση (0, 3). Ας υποθέσουμε ότι συμβαίνει κάποιο ασύνηθες γεγονός που δεν περιγράφεται από το μοντέλο μας και η κατάσταση αλλάζει ξαφνικά από P στην Q. Ενα τέτοιο γεγονός μπορεί να είναι ο τεχνητός εμπλουτισμός του ενός από

132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 3.5 3.0 P Q 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Σχήμα 6.8: Οι δύο διαχωρίζουσες (με χονδρές γραμμές) που τείνουν προς το σημείο (1, 1) χωρίζουν το χώρο των φάσεων σε δύο κοιτίδες ελκυσμού, αυτές των κόμβων (2, 0) και (0, 3). Οι δύο άλλες διαχωρίζουσες που δεν σημειώνονται στο σχήμα απομακρύνονται από το σαγματικό σημείο (1, 1) και πλησιάζουν αντίστοιχα τους δύο κόμβους (2, 0) και (0, 3). τα δύο είδη, η εισαγωγή ενός εντομοκτόνου, μία πυρκαγιά κ.λπ. Μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι το P πηδάει στην κοιτίδα του (2, 0). Αυτή η μεταβολή από την P στην Q, όσο μικρή και αν είναι, οδηγεί σε οικολογική καταστροφή. Η οικολογική ιστορία από το Q είναι εντελώς διαφορετική αφού το είδος x αφανίζεται.