ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ι ΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ email: thkazanas@teiath.gr Χρονική Αξία του Χρήµατος Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Η αξία του χρήµατος (όπως λ.χ. ενός ευρώ), καθώς και η αξία ενός κεφαλαίου επενδυµένου σε εξοπλισµό ή ακίνητη περιουσία, µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Αν υποθέσουµε ότι: P: είναι το χρηµατικό ποσό που διαθέτουµε σήµερα (τη χρονική στιγµή t=0), η παρούσα αξία του χρηµατικού ποσού S: είναι η χρηµατική αξία του ποσού P µετά από (κ) χρονικές περιόδους (π.χ. µετά από κ έτη), η µελλοντική αξία του P. Τ Κ : ισχύει: είναι η συνολική αύξηση του P µετά από (κ) περιόδους, δηλαδή ο τόκος, τότε S = P + T k (1) Αν υποθέσουµε ότι (r) είναι το επιτόκιο, δηλαδή ο βαθµός απόδοσης του κεφαλαίου στην διάρκεια ενός χρόνου και το r παραµένει σταθερό στη διάρκεια 1,,3.κ ετών, τότε στο τέλος του 1 ου χρόνου το ποσό P θα γίνει: S = P + P r = P (1+ r) () Κεφάλαιο Τόκος στο τέλος του ου χρόνου το ποσό S 1 θα γίνει: 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S = P 1 + r + P 1 + r r = P 1 + r 1 + r = P 1 + r (3) S K = P (1+r) k στο τέλος του (κ) χρόνου το αρχικό ποσό P θα γίνει: Η σχέση (4) προέκυψε µε την υπόθεση ότι ο τόκος προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο στο τέλος κάθε έτους (περιόδου). Γι αυτό είναι γνωστή σαν σχέση του σύνθετου τόκου ή του ανατοκισµού (δηλ. του τοκισµού όχι µόνο του κεφαλαίου αλλά και του τόκου που παράγεται σε κάθε περίοδο). Αν δεν γινόταν ανατοκισµός (δηλ. ο τοκισµός του τόκου) και είχαµε τη µέθοδο του απλού τόκου, η σχέση (1) θα λάµβανε την µορφή: ( ) S = S = P + P r k = P 1+ r k (5) k Αν ο τόκος προστίθεται στο κεφάλαιο όχι στο τέλος του έτους αλλά m φορές στην διάρκεια του έτους τότε η σχέση (1) για (κ) έτη θα λάµβανε την µορφή: S = P 1+ Αν υποτεθεί ότι το m τείνει στο άπειρο, τότε: (4) (6) S = P e r k (7) Η σχέση (7) είναι γνωστή ως η σχέση του συνεχούς ανατοκισµού. Είναι προφανές ότι η σχέση (7) δίνει µεγαλύτερες τιµές για το S έναντι της σχέσεως (4). Λόγου χάριν, για k=1 και r=0.0 1 S= P 1+ r = 100. P Η σχέση () δίδει : ( ) Η σχέση (7) δίδει : S= P. e 0. 0 = 11. P Με βάση τα παραπάνω µπορεί να σχεδιαστεί η καµπύλη µεταβολής του σχετικού rk k k σφάλµατος [ e ( + r) ]/( + r) 1 1 συναρτήσει του ( r ) για διάφορες τιµές του k.
Β. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριότητα 1. Να βρεθεί το ποσό που θα έχει συγκεντρωθεί µετά από 10 έτη αν καταθέσει κάποιος σήµερα στην τράπεζα ποσό 10.000 µε ετήσιο επιτόκιο καταθέσεων % και ετήσιο ανατοκισµό. S K = P (1+r) k. Συγκεκριµένα : S = 10000 (1+0.0) =10000*(1+0.0)^10 Το αποτέλεσµα που λαµβάνω είναι : 1.190. 10 10 ραστηριότητα. Να βρεθεί το ποσό που θα έχει συγκεντρωθεί µετά από 10 έτη αν καταθέσει κάποιος σήµερα στην τράπεζα ποσό 10.000 µε ετήσιο επιτόκιο καταθέσεων % και εξαµηνιαίο ανατοκισµό. 0.0 S = 10000 (1+ ) S = P 1+. Συγκεκριµένα : 10 =10000*(1+0.0/)^(10*) Το αποτέλεσµα που λαµβάνω είναι : 1.0. 3
ραστηριότητα 3. Να βρεθεί το ποσό που θα έχει συγκεντρωθεί µετά από 8 έτη αν καταθέσει κάποιος σήµερα στην τράπεζα ποσό 10.000 µε ετήσιο επιτόκιο καταθέσεων,5 % και τετραµηνιαίο ανατοκισµό. 0.05 S = 10000 (1+ ) 3 S = P 1+. Συγκεκριµένα : 8 3 =10000*(1+0.05/3)^(8*3) Το αποτέλεσµα που λαµβάνω είναι : 1.04. ραστηριότητα 4. Ένας επενδυτής στη λήξη της 15ετίας µιας κατάθεσης έλαβε το ποσό των 35.000. Το ετήσιο επιτόκιο καταθέσεων ήταν 3.5 % και ο ανατοκισµός εξαµηνιαίος. Να βρεθεί το αρχικά κατατεθέν ποσό Ρ. Συγκεκριµένα : 35000 P = 0.035 (1+ ) S S = P 1+ P= m 15 =35000/((1+(0.035/))^(15*)) Το αποτέλεσµα που λαµβάνω είναι : 0.799.. r 1+ m 4
ραστηριότητα 5. Καταθέτει σήµερα κάποιος στην τράπεζα ποσό 150.000 ευρώ. Μετά τη συµπλήρωση εξαµήνου κάνει ανάληψη από την τράπεζα ποσό P. Σε τραπεζική ενηµέρωση του βιβλιαρίου του µετά από 8 έτη από σήµερα βρίσκει ότι διαθέτει ποσό 90.000. Αν το ετήσιο επιτόκιο καταθέσεων είναι 3% και ο ανατοκισµός είναι εξαµηνιαίος να βρεθεί το ποσό Ρ που έκανε ανάληψη. Λύνω την εξίσωση ως προς Ρ: (150000*(1+r/)-P)*(1+r/)^15=90000 για r=0.03 Απάντηση: 8063.365 ραστηριότητα 6. Καταθέτει σήµερα κάποιος στην τράπεζα ποσό P ευρώ. Μετά τη συµπλήρωση τετραµήνου κάνει ανάληψη από την τράπεζα ποσό 0.000. Σε τραπεζική ενηµέρωση του βιβλιαρίου του µετά από 5 έτη από σήµερα βρίσκει ότι διαθέτει ποσό 50.000. Αν το ετήσιο επιτόκιο καταθέσεων είναι 3% και ο ανατοκισµός είναι τετραµηνιαίος να βρεθεί το ποσό Ρ που είχε καταθέσει αρχικά. Λύνω την εξίσωση ως προς Ρ: (P*(1+r/3)-0000)*(1+r/3)^14=50000 για r=0.03 Απάντηση: 6869.454 Γ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί (και µε τους δύο τρόπους) το ποσό που θα έχει συγκεντρωθεί µετά από 5 έτη αν καταθέσει κάποιος σήµερα στην τράπεζα ποσό 7.500 µε ετήσιο επιτόκιο καταθέσεων.5 % και εξαµηνιαίο ανατοκισµό.. Ένας επενδυτής στη λήξη της 0ετίας µιας κατάθεσης έλαβε το ποσό των 50.000. Το ετήσιο επιτόκιο καταθέσεων ήταν 4 % και ο ανατοκισµός εξαµηνιαίος. Να βρεθεί το αρχικά κατατεθέν ποσό Ρ (και µε τους δύο τρόπους). 5