Θεωρία για τα µονώνυµα-πολυώνυµα Σελ. 1 1. Εκφράσεις στις οποίες συνδυάζονται πράξεις µεταξύ αριθµών και µεταβλητών (γραµµάτων) τις ονοµάζουµε αλγεβρικές παραστάσεις. Πχ. -3x+4ψ, 3 x4 α 3 x + y, 3z α. Αν σε µία αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσω τις µεταβλητές µε αντίστοιχες τιµές (αριθµούς) και εκτελέσω τις πράξεις ο αριθµός που θα βρω (αποτέλεσµα) λέγεται αριθµητική τιµή τις αλγεβρικής παράστασης. Π.χ. Α = 3x+ψ για x=- και ψ=-1 έχω Α = 3(-)+(-1) = -6+= -4 3. Μία αλγεβρική παράσταση λέγεται κλασµατική αν σε αυτή υπάρχει τουλάχιστον ένα κλάσµα στον παρανοµαστή του οποίου υπάρχει µεταβλητή, π.χ. 5 x. Για να έχει έννοια το ay κλάσµα πρέπει πάντα ο παρανοµαστής να είναι διάφορος το µηδενός δηλαδή στο παράδειγµα πρέπει ay 0. 4. Μία αλγεβρική παράσταση λέγεται άρρητη αν σε αυτή υπάρχει µία τουλάχιστον τετραγωνική ρίζα στο υπόρριζο της οποίας υπάρχει µία τουλάχιστον µεταβλητή µε εκθέτη µονό α- 3 κέραιο, π.χ. 3 χ ή χ, ( 3 χ δεν είναι άρρητη). Για να έχει έννοια η παράσταση το υπόριζο πρέπει να είναι θετικό ή µηδέν δηλαδή στα παραδείγµατα χ 0. 5. Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια όταν δεν είναι κλασµατική αλλά ούτε και άρρητη. 6. Μονώνυµο ονοµάζεται η αλγεβρική παράσταση που έχει µοναδική πράξη µεταξύ αριθµού και µιας ή περισσότερων µεταβλητών τον πολλαπλασιασµό, π.χ. αβ, 3 x4 α 3, 3 x y 3 7. Το µονώνυµο αποτελείται από τον συντελεστή που είναι µοναδικός αριθµητικός παράγοντας (συνήθως γράφεται και πρώτος) και το κύριο µέρος που είναι γινόµενο από µεταβλητές. Μονώνυµα Συντελεστής Κύριο µέρος αβ αβ 3 x4 α 3 3 x 4 α 3 3 x y 3 3 x y 3
Σελ. 8. ύο ή και περισσότερα µονώνυµα µε ίδιο το κύριο µέρος λέγονται όµοια, π.χ. 3 x4 α 3, 5χ 4 α 3. ύο ή και περισσότερα όµοια µονώνυµα λέγονται ίσα όταν έχουν ίσους (ή ισοδύναµους) αριθµούς για συντελεστή, π.χ. 5x 4 α 3 = 10 x4 α 3. Παρατήρηση. Ο αριθµός 0 (µηδέν) µπορεί να θεωρηθεί µονώνυµο µε οποιοδήποτε κύριο µέρος π.χ. 0 x = 0 x 4 α β 5 =..., ενώ ο συντελεστής 1 παραλείπεται και γράφουµε µόνο το κύριο µέρος π.χ. 1 x α 3 = x α 3 9. Αυτό που µας ενδιαφέρει περισσότερο στα µονώνυµα είναι οι εκθέτες των µεταβλητών. Αν είναι φυσικοί αριθµοί το µονώνυµο λέγεται ακέραιο, π.χ. 3 χ4 α 3, ενώ αν είναι αρνητικοί το µονώνυµο λέγεται κλασµατικό, π.χ. 3 x4 α -3 4 x = µε απαραίτητη προϋπόθεση α 0. 3 α 10. Βαθµός ενός µονώνυµου είναι ο ακέραιος αριθµός που θα βρω αν προσθέσω όλους τους εκθέτες του κυρίου µέρους. ηλαδή το µονώνυµο 3 x4 ψ 3 είναι βαθµού 7 ου από το 4+3=7, ενώ είναι βαθµού 4 ου ως προς x και 3 ου ως προς ψ. 11. Άθροισµα όµοιων µονώνυµων. «Προσθέτω τους συντελεστές και ακολούθως γράφω το ίδιο κύριο µέρος». Γίνεται µε βάση την επιµεριστική ιδιότητα, π.χ. αβ 3 +5αβ 3 = (+5)αβ 3 = 7αβ 3. Η πρόσθεση όµοιων µονώνυµων λέγεται αναγωγή οµοίων όρων. 1. Πολλαπλασιασµός µονώνυµων. Πολ/ζω πρώτα τους συντελεστές, µετά το κύριο µέρος. (Στις ίδιες µεταβλητές µε βάση την ιδιότητα των δυνάµεων α ν. α µ = α ν+µ ). Π. χ. 3 χ4 α 3 6χ αy = 3 6 χ4 χ α 3 α y = 4χ 4+ α 3+1 y = 4χ 6 α 4 y 13. ιαίρεση µονώνυµων. ιαιρώ πρώτα τους συντελεστές και µετά το κύριο µέρος µε βάση την ιδιότητα των δυνά- µεων α ν : α µ =α ν-µ. Π. χ. 6χ 4 α 3 : (3χ α y)= (6:3) (χ4 : χ) (α 3 : α) (1 : y) = χ 4- α 3-1 y -1 = χ α y -1 14. Το άθροισµα ανόµοιων µονώνυµων είναι µία αλγεβρική παράσταση που λέγεται πολυώνυµο. Τα µονώνυµα που το αποτελούν λέγονται όροι.
15. ύο πολυώνυµα λέγονται ίσα όταν η διαφορά τους µας δώσει αποτέλεσµα µηδέν. Τα µονώνυµα του ενός πρέπει να είναι ίσα (ένα προς ένα) µε τα µονώνυµα του άλλου. Σελ. 3 16. Τα πολυώνυµα τα ονοµάζουµε µε ένα γράµµα (συνήθως κεφαλαίο) και εντός παρενθέσεων την µεταβλητή ή τις µεταβλητές π.χ. P(x)=x 3 +3x -5x+7, Q(x,y)=-x y 3 +xy 17. Πολυώνυµα µε µορφή Π(x)=c, όπου c πραγµατικός αριθµός, λέγονται σταθερά πολυώνυµα. Ειδικά το Π(x)=0 λέγεται µηδενικό πολυώνυµο. 18. Αν σε ένα πολυώνυµο υπάρχουν δύο ή περισσότερα όµοια µονώνυµα, τότε τα αντικαθιστούµε µε το αλγεβρικό άθροισµά τους. Η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή όµοιων όρων. π.χ. x 5x 3 +3x +x 3 +x = - 4x 3 +4x +x (αναγωγή όµοιων όρων) Πρόσθεση: Πράξεις µε πολυώνυµα Α(x)+B(x): τα γράφουµε το ένα δίπλα στο άλλο και κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων. Π.χ. (4x +3x+8)+( x +4x ) = 4x +3x+8 + x +4x = 5x + 7x + 6 Αφαίρεση: A(x) B(x): προσθέτουµε στον µειωτέο-α(x) τον αντίθετο του αφαιρετέου-b(x) Π.χ. (4x +3x+) ( x +4x ) = 4x +3x+ x 4x+ = 3x x + 4 στην ουσία εκτελούµε απαλοιφή παρενθέσεων και γράφουµε τους όρους µε σειρά από τη µεγαλύτερη δύναµη προς τη µικρότερη (διάταξη κατά τις φθίνουσες δυνάµεις του x) Πολλαπλασιασµός: (α) Μονώνυµου µε πολυώνυµο (Επιµεριστική ιδιότητα), πολ/ζουµε το µονώνυµο µε κάθε όρο του πολυωνύµου. Π.χ. ( x) (x x+1)= x 3 + 4x x,
Σελ. 4 (β) Πολυωνύµου µε πολυώνυµο (Πολ/ζω κάθε µονώνυµο του πρώτου µε όλα τα µονώνυµα του δεύτερου) Π.χ. (x 1) (x x+1) = [ x (x x+1) +( 1) (x x+1)] = x 4 x 3 +x x περιττή εργασία +x 1 Προσοχή! Κατά την απαλοιφή παρενθέσεων ισχύει ο γνωστός τρόπος που χρησιµοποιούµε και σους αριθµούς
Ασκήσεις στα µονώνυµα 1. Στον παρακάτω πίνακα να συµπληρωθεί η στήλη µε το βαθµό του µονώνυ- µου: 3x 3 4x 3 ψ 4 3x x -3 ψ 3xψz. 1 / 3 x -1 ψ -1 z -1 3 4x. x 73. Να γίνει αντιστοίχηση µεταξύ οµοίων µονώνυµων: Σελ. 5 α 4 β 7 3 αβ - 3 5 α3 β 9β 3 α 1 3 β4 α β -1 α 3 β, α 0 4 7 αβ 3α-5 β 4 α 6 7αβ 3-4βα 4 3. Γι ποιες τιµές της µεταβλητής χ έχει έννοια (ορίζεται) στο R η καθεµία από τις αλγεβρικές παραστάσεις: Αλγεβρική παράσταση µα του R Τιµές ή διάστη- χ 5 χ + χ 3 χ χ 7 (χ +1)( χ + 1 5χ -1 χ + 5 + 1 7χ + 1 χ + 1 4. Να γίνει αντιστοίχιση µεταξύ αλγεβρικής παράστασης και τύπου αυτής.
Σελ. 6 ( x + y ) 7x Κλασµατική 3 x x 1 5 x + 1 5 x x 5 7 + + Ακέραια Άρρητη Κλασµατική 1 x + x Ακέραια 5. Να γίνουν οι παρακάτω προσθέσεις µονώνυµων: -3x 5 +x 5-6x 5 0.5x +4.5x +33x 7x 3 + 5 x 3 +6.x 3 15x+ 15 x xψ +11.5ψ x x ψ+6xψ 3α + 4 5 α -α -αβ+αβ 1 3 4αβ 5αβ+4α+3βα+5α 6. Να γίνουν τα παρακάτω γινόµενα µονώνυµων: 3α 4α 3αβ 7βα 0 5x 5x 3 x - 6x -1 β (-β) 0 75β 3 5 x3 10x -1 x 7 x 5 3x -7 x 5x -1-3x ψ (- 1 / 3 x 3 ψ 4 ) -xψ z (-3x ψ) (-xψz 3 ) -x (-3x 3 ) (-x) (-x 5 ) -3x ψ (-ψx 3 ) (- 1 / 6 xψ ) (-x 5 ) (- / 3 x 4 ψω) (-0 5ω xψ) 7. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις µονώνυµων: 6x 3 ψ ω : (-x ψ) (-8x ψ 3 ω) : (-3x 4 ψ 3 ω ) ( 1 x4 ψ 3 ) : ( 3 ψ3 x ω ) (-3α βγ 3 ) 3 : (3γ α β) (6x ν+1 ). (-4x ν-1 ψ ) : (-8x ν ψ) (α ν+ β µ-1 ) : (β - α 3 )
Ασκήσεις - Πολυώνυµα 1. Nα απλοποιηθούν οι παραστάσεις Σελ. 7 i. α -αβ-β +α +αβ-β +α -αβ+β = ii. x 3 -x -x-7+3x +5x++x 3 +5x -6x = iii. x 4 -x ψ -ψ 4-3x ψ+x ψ +6x 3 ψ-ψ 4 +xψ 3 -x 4 =. ίνονται τα πολυώνυµα: Α = 6x 4 +5x 3 -x+7, Β = 5x 3 -x -9x+4 Γ = -x 4-3x +11, = -7x 3 +8x -x+6 Να υπολογίσετε τα Α-Β, (Α+Β)-(Γ+ ), Α-(Β-Γ)-, Α+Β+Γ+ 3. ίνονται τα πολυώνυµα: P(x) = 7x -6x+, Q(x) = -4x +7x-8 Να υπολογίσετε τα Α(-1), Β(3) όπου A(x) = P(x) + Q(x) και B(x) = P(x) - 3Q(x). 4. Στις παραστάσεις A = 3x 3 ψ-4x 5 ψ +7x 4 ψ 3 +ψ 6-9 Β = x +x 4 -x + x 3 +6 Γ= 1 3 x4 +x 5 + 4 8 x3 +5x+7x - 6 15 α] Να γίνει διάταξη κατά τις φθίνουσες δυνάµεις του χ β] Να βρεθούν τα: 3 Α, 5Β, Β+Γ 4 Πολλαπλασιασµός Πολυωνύµων 1. Να κάνετε τις πράξεις: α] (x -3x-6)(x -x+) β] (α-β-3γ)(α-β+3γ) γ] (x -x+5)(x +x+5) δ] (-x -ψ -3α )(x -ψ -3α ) ε] (x +ψ )(x-ψ)(x +xψ +ψ ). Να κάνετε τις πράξεις:
α] (α +3)(4α - α-) β] -(β -1)(α β + αβ -α) Σελ. 8 γ] -(5x -4x +3)(x -1) δ] (x-1)(x + xψ +ψ ) ε] (x +1)(x - xψ + ψ ) στ)( α - 4)(3α + ) 3. Αν f(x) = x+1 και g(x)= -3x+1να βρείτε την παράσταση [f(x+1) - g(x)]. [f(1-x) - g(x)] 4. Αν f(x)= x 3 x +1 g(x)= x -1 να βρείτε το f(x). g(x) 5. Για ποιες τιµές των α και β τα πολυώνυµα είναι ίσα; (α-1)x -βxψ+ψ & 5x +6xψ+ψ 6. Αν f(χ) = x(x -) - (x+)[x -(1-x)], να εκτελέσετε τις πράξει και µετά να υπολογίσετε την τιµή f(-3) 7. ίνονται τα πολυώνυµα P(x)=(x+7)(x-) και Q(x) =(x+3)(x+4). Να λυθεί η εξίσωση P(x)-Q(x) = 0 8. Να αποδείξετε ότι το Α(x) = (5-x)(5+x) 5 για κάθε πραγµατική τιµή του χ. 9. Αν τα πολυώνυµα Α(x)=x 3 +x +x+1 και Β(x)=x-x -1 να υπολογίσετε: Α] Α() & Β() Β] Α().Β() Γ] Γ(x)=Α(x).Β(x) ] Γ() 10. Να γίνουν οι πράξεις: x(x - 1) x (1+3x) x + 5(1 - x ) (α β+αβ - α)(1 - β ) (6x ν +1)(x ν - 3) αν ν 1 (9x ν+1 )(x ν +) αν ν 1 3x(x 1) 4x (x+) 3x + 4(x 1) 3 x x 1 6x 5x 4 5
Σελ. 9 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ορισµός: Ταυτότητα είναι µία ισότητα µε µία ή περισσότερες µεταβλητές που αληθεύει για κάθε τιµή των µεταβλητών. 1. (α+β) = α +αβ+β «Τετράγωνο αθροίσµατος ή τέλειο τετράγωνο» Απόδειξη (α+β) = (α+β)(α+β) = α +αβ+βα+β = α +αβ+β µετασχηµατίζω την δύναµη σε γινόµενο πολλαπλασιάζω πολυώνυµα κάνω αναγωγή οµοίων όρων. (α-β) = α -αβ+β «Ανεξάρτητη απόδειξη από την 1.» Απόδειξη (α -β) = µετασχηµατίζω την δύναµη σε γινόµενο (α -β)(α -β) = πολλαπλασιάζω πολυώνυµα α -αβ -βα+β = κάνω αναγωγή οµοίων όρων α -αβ+β Παρατηρήσεις: Τα α, β µπορεί να είναι οποιοδήποτε πραγµατικός αριθµός, µπορεί να είναι µονώνυµα, ακόµη και πολυώνυµα. Θα ονοµάζουµε το α πρώτο από τους δύο προσθετέους και το β δεύτερο. Το ο µέλος των παραπάνω ταυτοτήτων ονοµάζεται ανάπτυγµα. Στο ανάπτυγµα τα πρόσηµα είναι συν (+) στα τετράγωνα, στο διπλάσιο γινόµενο εξαρτάται από τα πρόσηµα των α, β. ηλαδή σε οµόσηµα α, β είναι (+) και σε ετερόσηµα (-) (α-β) = (β-α) γιατί και τα δύο µας κάνουν α -αβ+β (α+β) = (-α -β) γιατί και τα δύο µας κάνουν α +αβ+β Προσοχή! εν ισχύει (α+β) = α +β γιατί α +β =(α+β) - αβ 3. (α+β)(α-β)=α -β «γινόµενο αθροίσµατος επί διαφορά» Απόδειξη (α+β)(α-β) = πολλαπλασιάζω πολυώνυµα α -αβ +βα -β = κάνω αναγωγή οµοίων όρων α -β
Παρατηρήσεις: Ονοµάζεται διαφορά τετραγώνων από το δεύτερο µέλος, δηλαδή το α -β Μειωτέος και στα δύο µέλη πρέπει να είναι το ίδιο γράµµα, εδώ είναι το β. Σελ. 30 Εφαρµογές: 1. (x +3) = (x ) + x 3 + 3 = 4x 4 +1x +9 Σκέπτοµαι: α] το πρώτο στο τετράγωνο β] + το διπλό γινόµενο πρώτου µε δεύτερο γ] το δεύτερο στο τετράγωνο το α είναι το x και το β είναι το 3. (x - 3y) = (x) - x 3y + (3y) = 4x -1xy +9y Σκέπτοµαι: α] το πρώτο στο τετράγωνο β] - το διπλό γινόµενο πρώτου µε δεύτερο γ] το δεύτερο στο τετράγωνο 3. (-x +5x ) = (x) - x 5x + (5x ) = 4x - 0x 3 +5x 4 Το α=-x, το β=5x εφαρµόζω την ταυτότητα (α+β) τα τετράγωνα έχουν πρόσηµο πάντα + το διπλό γινό- µενο έχει πρόσηµο - γιατί τα α, β ετερόσηµα 4. (-x - 3y) = (x) + x 3y + (3y) = 4x +1xy +9y Το α=-x, το β=-3xεφαρµόζω την ταυτότητα (α+β) τα τετράγωνα έχουν πρόσηµο πάντα + το διπλό γινό- µενο έχει πρόσηµο + γιατί τα α, β οµόσηµα 5. (x -3)(x+3)=(x) - 3 = 4x - 9 Σκέπτοµαι µε βάση τον παράγοντα διαφορά: Ο µειωτέος στο τετράγωνο µείον (-) τον αφαιρετέο στο τετράγωνο ή πρακτικότερα το τετράγωνο του 1 ου µείον το τετράγωνο του ου. 6. (-x - 3y)(x - 3y)= -(x+3y)(x - 3y)= -[(x) - (3y) ] = -[4x - 9y ]= - 4x + 9y εν θυµίζει γινόµενο αθροίσµατος επί διαφορά, αλλά το µορφοποιώ ώστε να δίνει ανάπτυγµα διαφοράς τετραγώνων
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθούν τα αναπτύγµατα: (χ-3) (x+y) (-x-y) (xy+x) (x-xy) (10x - 3) (5x +x) (α 3-3β ) (α β + β α) (-α 3 -α ) Σελ. 31 ( 1 y+x) (xy - 1 x ) ( 1 3 x3-3x). Να βρεθούν τα γινόµενα: (x -1)(x+1) (3x -)(3x+) (x+ 1 )(x - 1 ) (x+3x)(x -3x) (x+y)(y -x) ( 3 x - 1 5 y) ( 3 x + 1 5 y) (αx 3 +xy)(xy - αx 3 ) (x+y)(x - y)(4x +y ) (x+3y)(x -3y)(4x +9y ) (x+y - 3z)(x+y + 3z) (x + y-z)(x - y-z) (x+y - z+ω)(x+y + z-ω) 3. ίνονται τα πολυώνυµα F(x)=(x+1) - (x+1)(x-1) @ Q(x)=(3x-1)(x-) - (3x-1) να α- πλοποιηθούν να βρεθεί η διαφορά P(x)= F(x) -Q(x),να βρεθεί η τιµή P(-1). 4. ίνονται τα πολυώνυµα: P(x)=(x+3) - 4x, Q(x)=(x+)(x+3) - x -6 ι] Να γίνουν όλες οι δυνατές πράξεις ιι] Να βρεθεί το γινόµενο P(x)Q(x) 5. Να γίνουν οι πράξεις: (x-y) - (x+y) -(x+3y)(x-3y) (3x+y) - (x+4y) -(5y+x)(x-5y) (x 3 +y ) - (y +x 3 ) + (x 3 -y ) (x 3 +y ) (x+3) + (x-3) + (x+) + (x-) - (x-5)(x+5) 6. Nα αποδειχθεί ότι οι παραστάσεις είναι ανεξάρτητες από την µεταβλητή χ: (x+) + (x+1) - (x -1) - 5(x+1) (x - ) - (x +1) - 4(x - 1) + 5x 4 (Συνέχεια από τη θεωρία) 4. (α+β) 3 = α 3 +3α β+3αβ +β 3 «Κύβος αθροίσµατος» Α π ό δ ε ι ξ η (α+β) 3 = (α+β) (α+β)= µετασχηµατίζω την 3 η δύναµη (x 3 = x x 1 ) (α +αβ+β )(α+β)= αναπτύσσω την (α+β) ταυτότητα
α 3 +α β+α β+αβ +β α+β 3 = Πολλαπλασιάζω πολυώνυµα α 3 +3α β+3αβ +β 3 κάνω αναγωγή οµοίων όρων Σελ. 3 5. (α-β) 3 = α 3-3α β+3αβ -β 3 «Ανεξάρτητη απόδειξη από την 4.» Α π ό δ ε ι ξ η (α-β) 3 = (α-β) (α-β)= µετασχηµατίζω την 3 η δύναµη (x 3 = x x 1 ) (α -αβ+β )(α-β)= αναπτύσσω την (α-β) ταυτότητα α 3 -α β-α β+αβ +β α-β 3 = Πολλαπλασιάζω πολυώνυµα α 3-3α β+3αβ -β 3 κάνω αναγωγή οµοίων όρων Παρατηρήσεις: Τα α, β µπορεί να είναι οποιοδήποτε πραγµατικός αριθµός, µπορεί να είναι µονώνυµα, α- κόµη και πολυώνυµα. Στο ανάπτυγµα του (α+β) 3 τα πρόσηµα είναι όλα συν (+), ενώ στο ανάπτυγµα του (α-β) 3 εναλλάσσονται το συν µε τα πλην. Πρακτικός τρόπος προσήµων: το πρώτο δηλαδή το α δίνει το πρόσηµό του στο πρώτο και τρίτο όρο του αναπτύγµατος ενώ το δεύτερο β στον δεύτερο και τέταρτο όρο. (α-β) 3 (β-α) 3 γιατί (α-β) 3 = [-(β-α)] 3 = -(β-α) 3 (α+β) 3 (-α -β) 3 & (-1) 3 = -1 Προσοχή! εν ισχύει (α+β) 3 = α 3 +β 3 γιατί α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α +β ) 7. α 3 +β 3 = (α +β)(α -αβ +β ) «άθροισµα κύβων» 8. α 3 - β 3 = (α -β)(α +αβ +β ) «διαφορά κύβων» 9. (χ+α)(χ+β) = χ +(α+β)χ+αβ Σηµείωση: Η απόδειξη των 7, 8, και 9 να λυθεί σαν άσκηση. Όταν µας ζητάνε να αποδείξουµε µία ταυτότητα Χ = Υ, τότε θα εφαρµόσουµε µία από τις παρακάτω µεθόδους. 1. Αρχίζουµε από το ένα µέλος της ταυτότητας, συνήθως αυτό που έχει τις περισσότερες ε- κτελέσιµες πράξεις και µε κατάλληλους αλγεβρικούς µετασχηµατισµούς (πράξεις) καταλήγουµε στο άλλο µέλος, δηλαδή από το Χ Υ ή Υ Χ.. Κάνουµε πράξεις στο 1 ο µέλος της ταυτότητας και καταλήγουµε σε µια περισσότερο α- πλουστευµένη µορφή του δηλαδή Χ=Α. Μετά κάνουµε οµοίως πράξεις και στο ο µέλος και καταλήγουµε στην ίδια απλουστευµένη µορφή Υ=Α τότε µεταβατικά διαπιστώνουµε ότι Χ = Α = Υ 3. Παίρνουµε την διαφορά των δύο µελών και αποδεικνύουµε ότι είναι µηδέν (Χ-Υ=0). Παραδείγµατα: 1. α 3 +β 3 = (α +β)(α -αβ +β ) ο µέλος: (α +β)(α -αβ +β ) = α 3 - α β + αβ + βα - αβ + β 3 = α 3 + β 3 1 ο µέλος. α 3 + β 3 + 3αβ(α +β ) = (α+β) 3 1 ο µέλος: α 3 + β 3 + 3αβ(α + β ) = α 3 + β 3 + 3α β + 3αβ (Ι) ο µέλος: (α-β) 3 =α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 = α 3 + β 3 + 3α β + 3αβ (ΙΙ)
παρατηρούµε τα (ι) και (ΙΙ) είναι το ίδιο πολυώνυµο άρα το πρώτο µέλος ισούται µε το δεύτερο µέλος. Σελ. 33 3. (χ+α)(χ+β) = χ +(α+β)χ+αβ 1 ο µέλος: (χ+α)(χ+β) = χ +χβ+αχ+β (Ι) ο µέλος: χ +(α+β)χ+αβ = χ +αχ+βχ+αβ (ΙΙ) Και παρατηρώ ότι (Ι) = (ΙΙ) Εφαρµογές: 1. (χ +3) 3 = (χ) 3 +3 (χ) 3 +3 χ 3 + 3 3 = 8χ 3 +3 4χ 3 +3 χ 9 +7= 8χ 3 + 36χ + 54χ + 7 Σκέπτοµαι: α] το πρώτο στο κύβο β] + το τριπλό γινόµενο πρώτου στο τετράγωνο µε δεύτερο γ] + το τριπλό γινόµενο πρώτου µε δεύτερο στο τετράγωνο. (χ - 3) 3 = (χ) 3-3 (χ) 3 +3 χ 3-3 3 = 8χ 3 +3 4χ 3 +3 χ 9 +7= 8χ 3-36χ + 54χ - 7 Το 1 ο και 3 ο µονώνυµο παίρνουν πρόσηµο από το χ (+) ενώ το ο,4 ο παίρνουν πρόσηµο από το -3 δηλαδή (-) 3. (-χ - 3y) 3 = -(x) 3-3 (χ) 3y - 3 χ (3y) - (3y) 3 = -8x 3-3 4χ 3y - 3 χ 9y - 7y 3 = -8x 3-36χ y - 54χy - 7y 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθούν τα αναπτύγµατα: (χ-3) 3 (x+y) 3 (-x-y) 3 (xy+x) 3 (x-xy) 3 (5x +x) 3 (10x - 3) 3 (α β + β α) 3 (α - 3β ) 3 (-α - α ) 3 ( 1 y+x) 3 ( 1 3 x -3x) 3. Να γίνουν οι πράξεις (3x -y) 3 - (x+y) 3 -(x - y)(x + xy +y ) (x - y) 3 - (x + y) 3 + x(x - y )(x + y ) (x + y) 3 + (x - y) 3 -(x+y) (x - xy +y ) 5x(x + 3) 3 - x(x + 4) + x(1 - x)(x + 1) x(x - 1) 3 - (x 3-1)
Σελ. 34 Ασκήσεις συµπλήρωσης 1. Για να είναι το χ ν ψ µ +ψ λ χ κ µονώνυµο πρέπει ν =.. και µ =.. Για να είναι το χ ν : ψ µ ακέραιο µονώνυµο πρέπει το ν.. µ ενώ για να είναι κλασµατικό πρέπει το ν.. µ. 3. Ο βαθµός του µονώνυµου αχ ν ψ είναι.. όπου το α κάποιος πραγµατικός αριθµός. Εξαρτάται από τον αριθµό α; 4. Να συµπληρώσετε µε κατάλληλος αριθµούς τις τελείες ( ) ώστε η ισότητα να είναι σωστή: 3χ ψ 3 + 5χ ψ 3 - χ ψ 3 =.χ ψ.. 5. Να συµπληρώσετε τις τελείες (.) στις παρακάτω ισότητες: (α-β)(β+α) =. (α+..) =.. +αχ+χ (χ-ψ) =. (-α-β)(β+α) =.. (-α-β) 3 =. (β α) 3 =... (-α-χ)(χ-α)=.... (5 -..) = 5 +9α. (9α+..) =..+18αχ +.. (0,5+..) =.. + α +.. (α+..) =.. + 4αβ+.. (.. +.. ) = +αβ+.. ( -..)(.. + α) =.. -.. χ -..= (..- 1)(.. +..) (.. + 4)(χ -..) =.. -... 5 = (χ -.)(.+.) 6. Να συµπληρώσετε τον όρο που λείπει ώστε τα πολυώνυµα να είναι τέλεια τετράγωνα: 4α 1α. 5α + 7α. χ +10χψ. 9χ ψ 1χψz +. 4χ +..+ 5α β 4 χ -.. + 1 / 4 ψ 4 β 4 +.. + 36α 9 -.. + 4α χ 4 χ + 1 / 9 - χ 4 -.. + 10 χ 10 -. + 49ψ 4 4χ + 5ψ -.. χ + 6χψ +.. χ χψ + 7. Να συµπληρώσετε τον όρο που λείπει ώστε τα πολυώνυµα να είναι άθροισµα ή διαφορά στον κύβο: 7χ 3 +. +. + 8ψ 3 = (. + ) 3 64χ 3 -. + 1χ +. = (. + ) 3. -. +. 7ψ 3 = (10χ + ) 3 7χ 3 +.... +... +.. = (. + 1 ) 3
Σελ. 35 Παραγοντοποίηση Ορισµός: Παραγοντοποίηση µιας αλγεβρικής παράστασης (πολυωνύµου) είναι µία διαδικασία για την µετατροπή της σε γινόµενο. Επιµεριστική ιδιότητα: α (β + γ) = α β + α γ Εργάζοµαι εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα: από το 1 ο µέλος προς το ο λέω «κάνω πολ/µό µε παρένθεση» π.χ. 5(χ+3) = 10χ+15 αν από το ο µέλος προς το 1 ο λέω «βγάζω κοινό παράγοντα γιατί στο γινόµενο α β και στο α γ ο παράγων α είναι κοινός (ίδιος) π.χ. 3α+3β=3(α+β) Μέθοδοι παραγοντοποίησης 1. Όλοι οι όροι του πολυωνύµου έχουν κοινό παράγοντα. Στην περίπτωση αυτή εφαρµόζω µόνο την επιµεριστική ιδιότητα. Παραδείγµατα: 1) 5α+5β = 5(α+β) ) 5χ +5 = 5(χ +1) 3) 3χ y+3χy = 3χy(χ+y) Ο κοινός παράγοντας των µονώνυµων είναι: από τους συντελεστές ο ΜΚ των συντελεστών και από το κύριο µέρος το κάθε κοινό γράµµα µε µικρότερο εκθέτη.. Οµαδοποίηση των παραγόντων του πολυωνύµου που έχουν κοινό παράγοντα. Παραδείγµατα: 1) xα+xβ+yα+yβ = (xα+xβ)+(yα+yβ) = x(α+β)+y(α+β) = (α+β)(x+y) ή = (xα+yα)+(xβ+yβ) = (x+y)α+(x+y)β = (χ+y)(α+β) ) x y-x -xy+x+y-1= σε οµάδα 1 ο - ο, 3 ο -4 ο, 5 ο -6 ο (x y-x )-(xy-x)+(y-1)= σε 1 ο - ο κ.π. τοχ, σε 3 ο -4 ο κ.π. το -χ, σε 5 ο -6 ο κ.π. 1 x (y-1)-x(y-1)+(y-1)= το (y-1) κοινός παράγων σε όλα (y-1)(x -x+1) το x -x+1 δεν παραγοντοποιείται περισσότερο 3. Το πολυώνυµο να είναι ανάπτυγµα ταυτότητας α] α ±αβ+β = (α±β) β] α - β = (α-β)(α+β) γ] α 3 +3α β+3αβ +β 3 = (α+β) 3 ή α 3-3α β+3αβ -β 3 = (α-β) 3 δ] α 3 +β 3 =(α+β)(α -αβ+β ) ή α 3 -β 3 =(α-β)(α +αβ+β ) τα τριώνυµα (α -αβ+β ) και (α +αβ+β ) δεν παραγοντοποιούνται περισσότερο!
Παραδείγµατα: α] χ +10χ+5 = χ + 5 χ+5 = (χ+5) 4χ -0χψ+5ψ = (χ) - χ 5ψ+(5ψ) = (χ-5ψ) Σελ. 36 β] 5χ - 16ψ = (5χ) - (4ψ) = (5χ-4ψ)(5χ+4ψ) 5χ - 7 = (5χ) - ( 7) = (5χ- 7 ) (5χ+ 7 ) γ] 7χ 3 +54χ ψ+36χψ +8ψ 3 = (3χ) 3 +3 (3χ) ψ+3 3χ (ψ) +(ψ) 3 = (3χ+ψ) 3 δ] 7χ 3 +8ω 3 = (3χ) 3 +(ω) 3 = (3χ + ω)[ (3χ) - 3χ ω + (ω) ] = (3χ + ω)(9χ - 6χω + 4ω ) 4. Πολυώνυµο µε µορφή χ + (α+β)χ + αβ «θα επανέλθουµε µετά την λύση της εξίσωσης ου βαθµού» χ + (α+β)χ + αβ= (χ+α)(χ+β) Παραδείγµατα: χ +5χ+6 = χ + (+3)χ + 3 = (χ+)(χ+3) Πως εργάζοµαι για να παραγοντοποιήσω Ελέγχω αν όλοι οι όροι του πολυωνύµου έχουν κοινό παράγοντα και αν: ΝΑΙ βγάζω τον κοινό παράγοντα και συνεχίζω την παραγοντοποίηση. ΟΧΙ ψάχνω για οµάδες όρων που έχουν κοινό παράγοντα Ελέγχω µήπως είναι ανάπτυγµα ταυτότητας Αν οι όροι είναι δύο τις ταυτότητες α - β, α 3 +β 3, α 3 -β 3 Αν οι όροι είναι τρεις την ταυτότητα α ±αβ+β Αν οι όροι είναι τέσσαρες την ταυτότητα α 3 ±3α β+3αβ ±β 3 Ελέγχω µήπως είναι συνδυασµός κοινού παράγοντα και ταυτότητας Ασκήσεις 1. Να αναλύσετε σε γινόµενο παραγόντων τα πολυώνυµα: α] λx 3 -λx -µx+µ στ] xy -y +(x-1) y-x y+xy β] 1α 3 +60α +4α+0 ζ] 3α x -3α y -x +y γ] α -αβ+α 6 β 5 -α 5 β 6 +1α-1β η] 3x 3-3αx-x +α δ] x y 4 +x 4 y +x 3 y+xy 3-5x -5y θ] α x -α -β x +β ε] α x+α y+α z+α ω - 4x - 4y - 4z - 4ω. Όµοια (x+y) - 16, (α+3) - 1, 36ω 4 - (ω -5), 81 - (x-y), (x+) - (x-), (x+y) - (x-y), (α+β-γ) - (α-β+γ), (4α -3β+γ) -(α - 3β+4γ), -(x+3y) + (3x-y)
3. Όµοια 81x 4-36x +4, 9x y -30xy+5, 100x 4 y 6-40x y 3 ω +4ω 4 Σελ. 37 9x -1αx+4α, ω 6-6ω 3 +9, 4α -α+ 1 4, 36ω 4-1ω x 3 +x 6, z 6 -z 3 yx +x 4 y, 64α 4-80α βγ+5β γ 4. Όµοια x 3 +1, α 3-8, x y 6-15, 64x 3-7, (α+1) 3 - β 3, (x+y) 3-7, 15 -(α-β) 3, (α+β) 3 - (α-β) 3, x 4-16, x 8 - y 8, λ x - λ y, αβ 5 - α 5 β 5. Να αναλυθούν σε γινόµενο παραγόντων οι παρακάτω παραστάσεις: α οµάδα 1) α 4 +β 4 +γ 4 -α β -β γ -α γ ) (αβ+γδ+β - δ ) - (αδ+βγ) 3) 4xy(x-y)-6x(x-y) +x(x -y ) 4) (7x-y) -4(7x-y)(x+y-1)+3(x+y-1) 5) 4x +y +9ω -4xy+1xω-6yω 6) (α -β) -6(α -β)(3α+β)+8(3α+β) 7) (αx+βy) + (αy-βx) + (γx+δy) +(γy-δx) 8) αγ(α+γ)+αβ(α - β) - βγ(β+γ) 9) (α - β)(α - γ ) - (α - γ)(α - β ) 10)1+xy+α(x+y) - (x+y)-α(1+xy) β οµάδα 1. (αx+βy) +(αy-βx) +γ (x +y ). (αx+βy) +(αy-βx) +(γx+δy) +(γy-δx) 3. (α+β) - (γ+δ) + (α+γ) - (β+δ) 4. (α+β) 3 +(α 3 +β 3 ) 5. (α-β) 3 +(β-γ) 3 +(γ-α) 3 6. α (γ-β)+β (α-γ)+γ (β-α) 7. (x-α) (β-γ)+(x-β) (γ-α)+(x-γ) (α-β) 8. (x-α) 3-7α x [η λύση (x-α)(4x+α) ]