ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Transcript

1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Ονομάζουμε την διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μια παράσταση σε γινόμενο παραγόντων Προσοχή: Οι όροι μιας παράστασης χωρίζονται μεταξύ τους με συν (+) ή πλην (-) ενώ οι παράγοντες με επί ( ).Έτσι η παράσταση αχ +χ έχει δύο () όρους τον αχ και τον χ. Ο όρος αχ έχει παράγοντα το α, το χ και το χ.η παράσταση (α+β)χ +αχ έχει δυο () όρους τους (α+β)χ και αχ.στον (α+β)χ υπάρχουν οι παράγοντες (α+β), χ,χ,χ και στον αχ οι παράγοντες α και χ. ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. Κοινός παράγοντας : Σημαίνει ότι όλοι οι όροι της παράστασης έχουν ή περιέχουν ως παράγοντα τον ίδιο αριθμό ή γράμμα ή παρένθεση,οπότε σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα ( αβ αγ=α(β+γ) ) τους βγάζουμε ως κοινό παράγοντα και μέσα στην παρένθεση μένουν τα αποτελέσματα της διαίρεσης του κάθε όρου δια του κοινού παράγοντα. π.χ.) αχ +βχ=χ(αχ+β) Κοινός παράγοντας το χ και μέσα στην παρένθεση έμειναν τα αχ :χ=αχ και βχ:χ=β. π.χ. ) α(χ-ψ)-β(χ-ψ) =(χ-ψ)(α-β) Προσοχή : στον κρυφό κοινό παράγοντα π.χ. ) χ (α-β) +χ(β-α)=επειδή το α-β είναι αντίθετο του β-α αλλάζουμε το πρόσημο =χ (α-β)-χ(α-β)=χ(α-β)(χ-) π.χ. ) (χ-ψ)-χ -ψ =(χ-ψ)-(χ-ψ)(χ+ψ)=(χ-ψ)[-(χ+ψ)]=(χ-ψ)(-χ-ψ). Ταυτότητες: Δηλ η παράσταση είναι των παρακάτω μορφών ταυτοτήτων α) α αβ+β =(α β) π.χ. 5) χ -χ ψ +ψ =(χ ) -χ ψ +(ψ ) =(χ -ψ ) π.χ. 6) 8χ +8χ+=(χ +χ+)=[(χ) + + ]=(χ+). β) α -β =(α-β)(α+β) π.χ.7) 5χ -ψ =(5χ) -(ψ) =(5χ-ψ)(5χ+ψ) π.χ. 8) χ -=(χ ) - =(χ -)(χ +)=(χ-)(χ+)(χ +) π.χ. 9) (χ-ψ) -(χ+ψ) =(χ-ψ-χ-ψ)(χ-ψ+χ+ψ)=-ψ =-χψ

2 γ) α +β =(α+β)(α -αβ+β ) δ) α -β =(α-β)(α +αβ+β ) π.χ. 0) 8χ -=(χ) - =(χ-)[(χ) +χ.+ ]= =(χ-)(χ +χ+) ε) α α β+αβ β =(α β) π.χ. ) 8χ -6χ +5χ-7=(χ) -() + - =(χ-).. Ομαδοποίηση : Χωρίζουμε τους όρους κατά ομάδες ως εξής : α) ( με ) ή ( με με ) ή ( με ) ώστε να βγαίνει κοινός παράγοντας στις ομάδες και μετά να ξαναβγαίνει κοινός παράγοντας. Προσοχή :Δεν είναι εύκολο να βρούμε τις σωστές ομάδες,γι αυτό ίσως χρειαστεί να δοκιμάσουμε όλους τους συνδυασμούς. π.χ. ) αχ+βψ+αψ+βχ=(αχ+βψ)+(αψ+βχ) αυτή η ομαδοποίηση δεν μου επιτρέπει να βγάλω κοινό παράγοντα άρα δεν είναι σωστή αχ+βψ+αψ+βχ=(αχ+αψ)+(βψ+βχ)=α(χ+ψ)+β(χ+ψ)=(χ+ψ)(α+β) π.χ. ) αχ-βχ+αψ-βψ=(αχ-βχ)+(αψ-βψ)=χ(α-β)+ψ(α-β)=(α-β)(χ+ψ) π.χ. ) α χψ+β χψ+αβχ +αβψ =(α χψ+β χψ)+(αβχ +αβψ) = χψ(α +β )+αβ(χ +ψ ) που δεν ξαναβγαίνει κοινός παράγοντας άρα κάναμε λάθος ομαδοποίηση α χψ+β χψ+αβχ +αβψ = (α χψ+ αβχ )+ (β χψ+αβψ )= αχ(αψ+βχ)+βψ(βχ+αψ)=(αψ+βχ)(αχ+βψ) π.χ. 5) χψ +χ--ψ =(χψ -ψ )+(χ-)=ψ (χ-)+(χ-)=(χ-)(ψ +). π.χ. 6) α -β -α+β-α β+αβ = (α -β )-(α-β)+(-α β+αβ )=(α-β)(α+β)-(α-β)-αβ(α-β)= (α-β)(α+β--αβ) β) ( με ) ή( με ) :όπου οι τρεις σχηματίζουν τέλειο τετράγωνο και οι άλλοι ή ο άλλος ένας είναι τέλειο τετράγωνο και μεταξύ τους υπάρχει το πρόσημο πλην (-),οπότε είναι διαφορά τετραγώνων π.χ. 7) α -α+-β =( α -α+)-β =(α-) -β =(α--β)(α-+β) π.χ. 8)χ +χ+-ψ +ψ-=(χ +χ+)-(ψ -ψ+)=(χ+) -(ψ-) = (χ+-ψ+)(χ++ψ-)=(χ-ψ+)(χ+ψ)=(χ-ψ+)(χ+ψ)=(χ-ψ+)(χ+ψ)

3 γ) Προσθαφαίρεση : δηλ αν μας λείπει κάποιος όρος τον προσθαφαιρούμε,αρκεί να σχηματίζονται οι άλλες μέθοδοι. π.χ. 9) α +α β +β =(α ) +α β +(β ) -α β =(α +β )-(αβ) = (α +β -αβ)(α +β +αβ) π.χ. 0) χ -χ-=(χ -χ+)-=(χ-) - =(χ--)(χ-+)=(χ-)(χ+) δ) Διάσπαση: δηλ διασπούμε κάποιον όρο σε άλλους π.χ.) α +β -6α β =(α ) -α β +(β ) -α β =(α -β ) -(αβ) = (α -β -αβ) (α -β +αβ) π.χ. ) χ -χ+=χ -χ-χ+=χ(χ -)-(χ-)=χ(χ-)(χ+)-(χ-)= (χ-)[χ(χ+)-]=(χ-)(χ +χ-)=(χ-)(χ +χ--)=(χ-)[(χ -)+(χ-)]=(χ-)[(χ- )(χ+)+(χ-)]=(χ-)(χ-)(χ++)=(χ-) (χ+). Τριώνυμο : δηλ η παράσταση είναι της μορφής αχ +βχ+γ με α 0 Βρίσκουμε πρώτα την Διακρίνουσα Δ=β -αγ οπότε Αν Δ>0 Τότε βρίσκουμε τους αριθμούς χ,χ = αχ +βχ+γ=α(χ-χ )(χ-χ ) Αν Δ=0 Τότε χ = χ = β α β α οπότε αχ +βχ+γ=α(χ-χ ). Δ οπότε Αν Δ<0 Τότε το τριώνυμο ΔΕΝ παραγοντοποιείται Παρατήρηση: Οι παραπάνω αριθμοί χ,χ (που ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΜΟΝΟ ΑΝ Δ 0) λέγονται ρίζες του τριωνύμου δηλ. είναι οι αριθμοί τους οποίους αν αντικαταστήσουμε στην θέση του χ και κάνουμε τις πράξεις θα πάρουμε ως αποτέλεσμα μηδέν (0). π.χ.) χ -χ+ είναι α= ο συντελεστής του χ είναι β=- ο συντελεστής του χ είναι γ= ο καθαρός αριθμός (σταθερός όρος) Είναι Δ=β -αγ=(-) - =9-8=>0 Άρα χ,χ = β α Δ ( ) οπότε χ -χ+=(χ-)(χ-) π.χ. ) χ -7χ+ είναι α= ο συντελεστής του χ είναι β=-7 ο συντελεστής του χ

4 είναι γ= ο καθαρός αριθμός (σταθερός όρος) Είναι Δ=β -αγ=(-7) - =9-=5>0 Άρα 7 5 β Δ ( 7) χ,χ = οπότε α 7 5 χ -7χ+=(χ- )(χ-) π.χ. 5) χ +χ-0 είναι α= ο συντελεστής του χ είναι β= ο συντελεστής του χ είναι γ==0 ο καθαρός αριθμός (σταθερός όρος) Είναι Δ=β -αγ= - ( 0) =9>0 Άρα β Δ 9 7 χ,χ = α χ +χ-0=(χ+5)(χ-) 7 5 οπότε 7 π.χ. 6) χ +χ+ είναι α= ο συντελεστής του χ είναι β= ο συντελεστής του χ είναι γ= ο καθαρός αριθμός (σταθερός όρος) Είναι Δ=β -αγ= - =6-6=0 Άρα β 0 χ =χ = οπότε χ +χ+=(χ+ ) =( α 8 ( ) =(χ+). Βέβαια μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ταυτοτήτων χ +χ+=(χ) + + =(χ+). ) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. Να γίνουν γινόμενα οι παρακάτω παραστάσεις I. αβ-αδ II. 6χ +χ III. χ α+6χα -χα IV. α(χ+ψ)-β(χ+ψ) V. χ(α-β)+ψ(β-α) VI. α(χ-)-χ+ VII. α(χ-ψ)-(ψ-χ) VIII. (α+β)(χ-ψ)-α(χ-ψ) IX. α (χ-)(ψ+β)+α (-χ) X. (χ-) -(χ-) XI. (α+)-χ(α+)-(α+) XII. χ -8χ. Να γίνουν γινόμενα οι παρακάτω παραστάσεις I. αχ+χ+αψ+ψ II. χ -χ ψ-χψ +ψ III. χ +χψ-χ-ψ IV. 6χ +χψ+8χω+ψω V. χ +χ +χ+ VI. χ -χ +χ-

5 VII. χ -χ +χ- VIII. χ -6χ +5χ-0. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν ταυτότητες : α) =( ) β)...+6αβ+β =( ) γ) =( ) δ) α =(...+ β). Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις α) αβ-αδ β) 8 - γ) +6 - δ) 5α β γ -5α β γ+0α β γδ ε) κλ -0κ λ+κλ στ) α ν+ -α ν 5. Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις α) β(+)+γ(+) β) α β(+)-αβ (+) γ) α(κ-λ)+6αβ(κ-λ)+α β(κ-λ) δ) (+) -(+) 6. Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις α) α(-)+γ(-) β) α(γ-δ)+αβ(δ-γ)-α (γ-δ) 7. Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις i) α(+)+β(+)-(α-β)(+) ii) (-)(-) -(-) 8. Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις i) α(α-β)+α-β ii) (-)-+ iii) (α-5β)- (5β-α) 9. Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις i) ++α+β ii) α -α+αγ-γ iii) α γ -αγδ+αβγ-βδ 0. Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις i) 5α-β+5α-β ii) α-β+αω-βω iii) Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις i) ii) 7αβ+7αγ-9βδ-9γδ iii) αβ-αβ-αγ+αγ. Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις i) ii) iii) Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις i) β-αβ+ -α ii) α 5 -α +α -α +α- iii) α-α-β+β+γ-γ. Να μετατραπεί σε γινόμενο παραγόντων η παράσταση αβ( + )+(α +β ) 5. Να γίνει γινόμενο η παράσταση: Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) α -6 ii) -9 iii) 5- iv) 6 - v) α -β vi) α 8 -β 8 7. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) αβ -αγ ii) -6 iii) -(-z) iv) - 8. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) -9 ii) -8 iii)5α -5α vi) 8-6 vii) ν+ - v 9. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) - -- ii) α +β -α -β iii) Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις:i) α -β -α-β ii) α -β -α-β iii) Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) ν+ - ii) 9 ν+ - ν+. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) - +ω +ω ii) - -α-α iii) Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) α -αβ+β -9α β ii) - +- iii) (α +β +γ ) -α β 5

6 . Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) (-)(+) -9(-) ii) iii) α + -β - -α+β 5. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) ( +) -6 ii) (α +β ) -α β iii) ( -) -(-)(+) 6. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) (-)(-5)+9-5-(5-)(+) ii) (α +β +γ ) -9α β 7. Να γίνει γινόμενο η παράσταση: -+ --(-) 8. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) - + ii) (+) - - iii) Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις i) (-)(+) -9(-) ii) iii) α + -β - -α+β iv) ( +) -6 v) (α +β ) -α β vi) ( -) -(-)(+) vii) - + viii) (+) - - i) Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) +6-7 ii) +5- iii) -5+. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) ( -) -(+) ii) - iii) ( -+) -. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: i) +5- ii) -5+ iii) ( -) -(+) iv) Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) ( -5)(+5)-5(-5) ii) Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) (α+β) +(α+β)(α-β)+(α-β) ii) Να γίνει γινόμενο η παράσταση: Να απλοποιήσετε τα κλάσματα i) 5 0 6α β ii) iii) iv) α βγ 8 8 α 6α Να απλοποιήσετε τα κλάσματα : i) ii) α α Να απλοποιήσετε τα κλάσματα i) 6 ii) ( ) iii) ( ) iv) 9 9. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα i) ii) iii) Να απλοποιήσετε τα κλάσματα i) 8 ii) iii). Να απλοποιήσετε τα κλάσματα i) ii) 0 5 iii)

7 . Nα γίνουν οι πράξεις: i) ii) ( ) 6 iii) Nα γίνουν οι πράξεις: i) ii) 7. Nα γίνουν οι πράξεις: i) 8 [Υπόδειξη : Για την παραγοντοποίηση της παράστασης +8 χρησιμοποιήστε την ταυτότητα α +β =(α+β)(α -αβ+β ) ] 5. Nα γίνουν οι πράξεις: i) 9 : ii) 6 7 : 9 6. Nα γίνουν οι πράξεις: i) : 7. Nα γίνουν οι πράξεις: i) ii) iii) Nα γίνουν οι πράξεις: i) 8 ii) Nα γίνουν οι πράξεις: i) ii) 50. Nα γίνουν οι πράξεις: i) 6 ii) 5. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: i) 6 ii) 5. Nα γίνουν οι πράξεις: i) ii) 5. Nα γίνουν οι πράξεις: 6 5. Nα γίνουν οι πράξεις: i) ii) 6 : Nα γίνουν οι πράξεις: i) v v v v v v ii) 7

8 56. Nα γίνουν οι πράξεις: i) 57. Nα γίνουν οι πράξεις: i) ii) : 58. Nα γίνουν οι πράξεις: 59. Nα γίνουν οι πράξεις: i) ii) 60. Nα γίνουν οι πράξεις: 6. Nα γίνουν οι πράξεις: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6. Nα γίνουν οι πράξεις: ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Nα γίνουν οι πράξεις: 6. Nα γίνουν οι πράξεις: ( ) ( ) 65. Nα γίνουν οι πράξεις: ( ) 8