_1696 α) f ( 5) = f ( 4) = 9 Αφού <9 είναι και f ( 5) < f ( 4) Αρα για 4<5 έχουμε f ( 5) f ( 4) είναι γνησίως φθίνουσας β) ( ) ( ) ( ) γν. φθίνουσα < και δεδομένου ότι η f είναι γνησίως μονότονη, συμπεραίνουμε ότι f f 5 3x < f 5 3x < f 5 5 3x > 5 3x > 0 x< 0 Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 1
_16965 ( ) ( ) f x = x 4x+ 5= x 4x+ 4+ 1= x + 1 Αρα η γραφική παράσταση της f προκύπτει από την γραφική παράσταση της οριζόντια δεξιά και μία μονάδα κατακόρυφα προς τα πάνω. y = x κατά μονάδες Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
_17688 x x +> 1 0 f x x x x x x x + 1 ( ) 1 1 + 1 0 + 1 0 ( 1) ισχύει και η ισοδύναμη αρχική για κάθε x που ισχύει, για κάθε x άρα β) Η τελευταία άρα και η ισοδύναμη αρχική ισχύει ως ισότητα για x=1.επομένως πράγμαται το 1 είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης την οποία παίρνει η συνάρτηση για x=1. γ) Το πεδίο ορισμού είναι το οπότε για κάθε x ισχύει x ( ) ( x) + x x x f ( x) = = = = f x 1 x + 1 x + 1 Αρα η συνάρτηση είναι περιττή. ( ) Παρατηρούμε ότι ο άξονας x x είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3
_17693 α) Από την γραφική παράσταση παρατηρώ ότι f ( x ) < f ( x ) < f ( x ) β) Οχι γιατί για x1 x < είναι f ( x ) f ( x ) < ενώ για x x3 1 1 3 < είναι f ( x ) > f ( x ) 3 ( ) γ) Οχι γιατί υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης που βρίσκονται ψηλότερα από το x, f ( x ) που σημαίνει ότι έχουν μεγαλύτερη τετμημένη. Σημείωση: Παρουσιάζει όμως στο x τοπικό μέγιστο. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4
_1773 α) f ( 3) = f ( 4) = 5 Επειδή 5 < είναι f ( 3) < f ( 4) Αρα για 3<4 είναι f ( 3) f ( 4) ότι είναι γνησίως αύξουσα. < και δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη συμπεραίνω β) Το ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα στο - μεταφράζεται αλγεβρικά f ( ) = 0 Είναι -<0 οπότε επειδή όπως δείξαμε η f είναι γνησίως αύξουσα έχουμε ( ) < ( 0) 0< ( 0) f f f Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5
_1863 α) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, -] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) και παρουσιάζει ελάχιστο το y=3 για x=-. β) Οριζόντια μετατόπιση κατά 4 μονάδες προς τα δεξιά και κατακόρυφη κατά 4 μονάδες προς τα κάτω. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 6
_18634 Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 7
_17833 8 x 0 8 x 8 x 8 8+ x 0 x 8 Αρα πεδίο ορισμού Α= [ 8,8]. Για κάθε x Α προυπόθεση: x Α (το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το 0) Αρα ικανοποιείται η πρώτη f ( x) = 8 x 8+ x ( ) = 8 ( ) 8+ ( ) = 8+ 8 = ( 8 8+ ) f x x x x x x x Αρα είναι περιττή. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 8
γ) Tο πρώτο διάγραμμα δεν είναι γιατί είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα των y, άρα άρτια και επίσης δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού.είανι το 3 ο Μέγιστη τιμή λαβαίνει για το μικρότερο x Αρα f f ( ) ( ) ( ) ( ) max = 8 = 8 8 8 + 8 = 8 + 8 8 + 8 = 16 0 = 16 = 4 και την ελάχιστη για το μεγαλύτερο x οπότε ( ) fmin = f 8 = 8 8 8 + 8 = 0 16 = 0 4 = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 x 8 f 8 f x f 8 4 f x 4 δ) Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 9
4_1784 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) = 1 ( x c) d, x με c, d θετικές σταθερές, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία A(0, 16) και B(4, 0). α) Με βάση τα δεδομένα, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους τους c, d και να υπολογίσετε την τιμή τους. (Μονάδες 10) β) Θεωρώντας γνωστό ότι c = 6 και d =, i. να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες. (Μονάδες 3) ii. να μεταφέρετε στην κόλα σας το σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή 1 = x σχετίζεται με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) iii. με βάση την παραπάνω γραφική παράσταση, να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης f, τα διαστήματα στα οποία η f είναι μονότονη, καθώς και το είδος της μονοτονίας της σε καθένα από αυτά τα διαστήματα. (Μονάδες 6) 1 ( ) ( ) 1 f 0 = 16 0 c d = 16 c d = 16 c d = 3 (1) 1 1 f ( 4) = 0 ( 4 c) d = 0 ( 16 8c+ c ) d = 0 16 8c c d 0 c d 8c 16 0 + = + = Αντικαθιστώντας από την c d = 3 έχουμε g x 48 c 8c d 16 = 0 3 8c+ 16 = 0 8c = 48 c = = 6 8 Αντικαθιστούμε στην (1) και έχουμε: 6 d 3 36 d 3 d 4 d = = = =. f x = 1 x 6 Αρα ( ) ( ) Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 10
Η γραφική παράσταση της ( ) ( ) 1 = x με: παράσταση της ( ) g x f x = 1 x 6 προκύπτει όπως έχουμε μάθει από την γραφική α. Κατακόρυφη μετατόπιση προς τα κάτω κατά μονάδες β. Οριζόντια μετατόπιση προς τα δεξιά κατά 6 μονάδες. f x = 1 x 6 είναι : Η συνάρτηση ( ) ( ) γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,6] και γνησίως αύξουσα στο [ 6,+ ). Παρουσιάζει ελάχιστο το - για x=6 Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 11