Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Transcript

1 Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει f ) f ) f ) Άρα το f ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο α, β) Πράγματι, έστω, α, β) με Αν α, ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο α, ], θα ισχύει f ) f ), Αν [, ), επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, β), θα ισχύει f ) f ), β Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε f ) f ) f ) Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f ) f ), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο α, β) Ομοίως, αν f ) για κάθε α, ), ) β Β Η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, αν lim[f ) )] Γ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε f ) f ) για κάθε A, ) Δ ΣΛΛΣΛ Θέμα ο, ) α) f f ) ln ln ln ) f ) ln ) ln ln ln + f ) f) ] [

2 H f είναι γνησίως φθίνουσα στο,, γνησίως αύξουσα στο, και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το f ln β) ln lim f ) lim ln lim lim D L H lim ) lim ln f f ) lim lim ln Άρα δεν έχει ασύμπτωτες γ) f ) ln ln lim ) f ) ln ln ln H f είναι κοίλη στο, f ) f) 4 παρουσιάζει σημείο καμπής στο, κυρτή στο το f +, και ln δ) f), f) οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y ε) Για > 4 μονάδες συνάρτηση f είναι κυρτή άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο σημείο με εξαίρεση το σημείο επαφής) δηλαδή f ) ln

3 στ) Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την f στα,,, οπότε υπάρχουν :, με f f a) ln ln f ) f ) και, με f ) ln ln f ) f ) Η f είναι κυρτή για άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα f [ αυτό Άρα f ) f ) ln ln ln ln ln ln ln ln a ln ln ln ln ln ln a a ) a a a ln ln a a a Θέμα ο Γ f ) f ) ) f ) ) 6 f ) f ) ) f ) ) ) ) ) f f ) 6 f ) ) Για = έχουμε f ) c, c ) Άρα 6 f ) c c c ) f ) ) f ) f ) 6

4 Γ 7 f ) Γ f ) η οποία είναι αδύνατη στο R αφού f ) ) ln Έστω, ln ] και - ln + f ) f) ] [ ln, τότε f A ) f ln ), lim f ) [,) f A ) f ln ), lim f ), lim ) lim ) Για έχουμε δύο ρίζες μία στο Α και μία στο Α μοναδικές αφού η f είναι γνησίως μονότονη επομένως και - στα διαστήματα αυτά Για το ln μοναδική ρίζα της εξίσωσης Για η εξίσωση είναι αδύνατη αφού το α δεν ανήκει στο σύνολο τιμών Γ4 f g )) f g )) f ) g ) ) g ) g Έστω,] και 4, f A ) f ), f ) [,] + g ) g ) ] [ τότε f A ) f ), lim f ), To f A ) οπότε υπάρχει A τέτοιο ώστε f ) Tο μοναδικό αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα και - 4

5 To f A ) οπότε υπάρχει A4 τέτοιο ώστε f ) Tο μοναδικό αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και - Άρα η εξίσωση f ) έχει δύο ακριβώς ρίζες στο [,+ ) Θέμα 4 ο Δ i) Θεωρούμε f ) g ) f ) g ) ) f ) g ) ),αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη οπότε και η f συνεχής f ) f ) f ) ii) lim lim lim D L H f ) Θεωρούμε h ) f ) h) lim f ) lim h ) f ) αφού η f είναι συνεχής Αποδεικνύεται και με θεώρημα Frmat χωρίς να χρειάζεται η δεύτερη παράγωγος να είναι συνεχής) Δ f ) για και η f συνεχής άρα η f γνησίως αύξουσα Για >4 : 8 6 4) f ) f ) lim 4) lim άρα lim f ) Για <4 : 8 6 4) f ) f ) lim 4) lim άρα lim f ) f [ Επομένως f A) lim f ), lim f )), ) Δ i) 4) f ) 8 6 4) f ) Θεωρούμε ) 4) f ) 8 6 α4)= οπότε ) 4) δηλαδή η f παρουσιάζει στο 4 μέγιστο,το 4 εσωτερικό σημείο και η f παραγωγίσιμη σ αυτό οπότε από θεώρημα Frmat 4) ) f ) 4) f ) 8 και 4) f 4) Ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Roll για την f στο [,4] επομένως υπάρχει, 4) τέτοιο ώστε f )

6 ii) f ) f ) f 4) οπότε από θεώρημα Frmat f 4) Ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Roll για την f στα [,],[,4] ) ) επομένως υπάρχουν,,4) τέτοια ώστε f ) f ) 6