ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : 1. Αν μια πρόταση Ρ(ν) αληθής για ν = 3 και με την υπόθεση ότι Ρ(ν) είναι αληθής αποδείξουμε ότι και η Ρ(ν+1) είναι αληθής,τότε η Ρ(ν) είναι αληθής για κάθε θετικό ακέραιο μεγαλύτερο ή ίσο του 3. Σ Λ. Αν 1 < α 0, τότε για κάθε θετικό ακέραιο ν με ν 1 ισχύει (1 + α) ν 1 + να. 3. Αν αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός Ρ(ν) ισχύειγια ν = 1 και, υποθέτοντας ότι ισχύει για κάποιο φυσικό αριθμό ν, αποδείξουμε ότι ισχύει για τον ν + 1, τότε θα ισχύει για κάθε ν Ν. 4. Αν, υποθέτοντας ότι ένας ισχυρισμός Ρ(ν) ισχύειγια κάποιο φυσικό αριθμό ν, αποδείξουμε ότι ισχύει και για τον ν + 1, τότε θα ισχύει για κάθε ν Ν. 5. Αν αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός Ρ(ν) ισχύειγια ν = 1 και, υποθέτοντας ότι ισχύει για κάποιο φυσικό αριθμό ν, αποδείξουμε ότι ισχύει για και για ν 1, τότε θα ισχύει για κάθε ν Ν. 6. Αν αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός Ρ(ν) ισχύει για ν = 1, για ν = 0 και για ν = 1, τότε θα ισχύει για κάθε ν Ν. 7. Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής εφαρμόζεται μόνο για τους φυσικούς αριθμούς. 8. Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής μπορεί να επεκταθεί και στο σύνολο των ακεραίων. 9. Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής μπορεί να εφαρμοστεί και για τους ρητούς ακεραίους. 10. Για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει v 4 > v. 3 11. Για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : v> v. 4
1. Η ισότητα 3 18 + 17 εκφράζει την ευκλείδεια διαίρεση του 71 με τον 3. 13. Η ισότητα 6 = 3(-7) 5 εκφράζει την ευκλείδεια διαίρεση του 6 με τον 3. 14. Αν α, β, το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με τον β ικανοποιεί την ανισότητα 0 υ β - 1. 15. Αν α ο περιττός, τότε είναι a = 8λ + 1, λ. Η μορφή αυτή του είναι μοναδική. a 16. Αν ο ακέραιος αριθμός α διαιρείται με τον ακέραιο β (β 0),τότε υπάρχει μοναδικός κ τέτοιος, ώστε α = βκ. 17. Στην Ευκλείδεια Διαίρεση του α με τον β το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από την απόλυτη τιμή του β. 18. Από την ισότητα 10 = 3 4 προκύπτει ότι ο αριθμός - είναι το υπόλοι-πο της διαίρεσης του 10 με το 3. 19. Αν το τετράγωνο ενός ακεραίου α είναι περιττός αριθμός, τότε ο αριθμός είναι περιττός. 0. Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 3 έχουν τύπο 3κ, όπου κ ακέραιος αριθμός. α 1 1. Αν α περιττός ακέραιος, τότε ο είναι ακέραιος. 8. Ο αριθμός 1999 + 000 + κ, όπου κ ακέραιος αριθμός, είναι περιττός. 3. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν(ν + 1)(ν + ), όπου ν θετικός ακέραιος, με τον αριθμό 3 είναι ίσο με το μηδέν. 4. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του γινομένου δύο διαδοχικών αριθμών με το είναι μηδέν. 5. Σε μια ευκλείδεια διαίρεση του α με τον β 0, ο αριθμός β εκφράζει το πλήθος των δυνατών τιμών του υπολοίπου της διαίρεσης. 6. Αν ο ακέραιος αριθμός β ίναι διαιρέτης του α, τότε και ο β είναι διαιρέτης του α. 43
7. Αν ο ακέραιος αριθμός α διαιρεί τον β, τότε ο β διαιρεί τον α. 8. Αν ο ακέραιος αριθμός α διαιρεί τον ακέραιο β, όπου β 0, τότε ισχύει α β. 9. Οι στύλοι της ΔΕΗ που φωτίζουν το επαρχιακό και εθνικό δίκτυο της χώρας αποτελούν ένα ενιαίο δίκτυο με αριθμημένο τον κάθε στήλο. Ο υπ αριθμόν 1 στύλος βρίσκεται έξω από τον κεντρικό υποσταθμό της ΔΕΗ η οποία κατασκεύασε τον εξής μηχανισμό : «Όταν ανάβει κάποιος στύλος, να ανάβει και ο επόμενος του». Όταν κάποια χρονική στιγμή ανάψει ο 1 ος στύλος, τότε θα φωτιστεί όλο το εθνικό και επαρχιακό δίκτυο της χώρας. 30. Ο αριθμός 11 v 1 λήγει σε 0 για κάθε ν. 31. v v Ο αριθμός 17 + 13 διαιρείται με το 4 για κάθε ν. 3. Είναι 3 v > v για κάθε ν. 33. Το άθροισμα περιττού πλήθος περιττών αριθμών είναι περιττός αριθμός. 34. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 39 με τον 6 είναι 3. 35. Η ισότητα 37 = 9 4 + 1 προκύπτει από ευκλείδεια διαίρεση. 36. Η ισότητα 53 = 5 + 3 προκύπτει από ευκλείδεια διαίρεση. 37. Η ισότητα 41 = (-4) 10 1 προκύπτει από ευκλείδεια διαίρεση. 38. Η ισότητα 6 = (-5) 6 + 4 προκύπτει από ευκλείδεια διαίρεση. 39. Ο αριθμός ν(ν + 1), ν, είναι άρτιος. 40. Ο αριθμός v + 1, ν, είναι περιττός. 41. Ο αριθμός ( κ + 1 ) ( κ 1 ) 4, κ, είναι ακέραιος. 4. Αν ο κ περιττός, ο αριθμός ( κ + 1 ) 4 είναι ακέραιος. 44
43. Ο αριθμός α = 4λ με λ είναι άρτιος. 44. Ο αριθμός β = 3λ + 1 είναι περιττός για κάθε λ. v 45. Αν ο α είναι άρτιος, τότε ο a είναι επίσης άρτιος, για κάθε ν. 46. Το άθροισμα 001 περιττών ακεραιών είναι περιττός αριθμός. 47. 00 Αν ο a είναι περιτττός, όπου α, τότε και ο α είναι περιττός. 48. Αν ο α διαιρεθεί με τον φυσικό ν 0, τότε οι δυνατές τιμές του υπολοίπου υ είναι 1,, 3,..., ν. 49. Οι αριθμοί α + β και α β ίναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί για κάθε α, β. 50. Υπάρχει περιττός ακέραιος x ώστε 51. Αν α = πολ β και β 0, τότε β α 5. Αν α = πολ β και β 0, τότε β α 001 x = 810 +. 53. Αν α = β + γ και ο x διαιρεί δύο από τους ακέραιους α, β, γ, τότε διαιρεί και τον τρίτο. 54. ν Αν x και x α, τότε x α. 55. Αν α, β και α β, τότε α β. 56. Αν α, β, α > β, κ α, κ β, τότε κ (α β). 57. Αν α, β, γ και α β, β γ, τότε α γ. 58. Αν α, β, γ και α β, α γ, τότε α (β γ). 59. Αν δ 1 και δ 18, τότε δ (1κ + 18λ) κ, λ. 60. Αν α, β και α β, β α, τότε α = β. 61. Αν α β, τότε 5α 10β. ) 6. Αν α β και α γ, τότε α ( β + γ. 45
63. Αν δ (α + 3) και δ (3α + ), τότε δ = 5. 64. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν τους ίδιους διαιρέτες. 65. Αν α, β 0, τότε α β (-α) (-β). 66. Για κάθε α 0, ο α διαιρεί τον α. 67. Αν α και β είναι ακέραιοι, τότε (α + β) ( ν α + β ), όταν ο ν είναι περιττός φυσικός. 68. Αν φ(x) πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και x = απ + υ, 0 υ < α, τότε φ(x) = πολα + φ(υ). 69. Αν α, β και γ είναι ακέραιοι και α (β γ), τότε οι αριθμοί β και γ διαιρούμενοι με τον α αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και αντίστροφα. 70. Αν για κάθε ακέραιο α, με α 0, ισχύει α β, τότε β = 0 46