ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίδεται το ακόλουθο δίκτυο Θεωρούνται γνωστά τα µεγέθη:,,, - και επίσης η συνάρτηση E της πηγής είναι φραγµένη. ιέγερση θεωρείται η τάση E και απόκριση η τάση του πηνίου. A διεγερση E αποκριση B Να βρεθεί η ιαφορική Εξίσωση.Ε. που συνδέει την διέγερση µε την απόκριση και η Αρχική Συνθήκη Α.Σ. που την συνοδεύει. Απ. / Προφανώς η ζητούµενη.ε. θα είναι ης τάξεως, διότι έχουµε ένα µόνο «δυναµικό» στοιχείο, το πηνίο. Επίσης επειδή E φραγµένη συµπεραίνουµε οτι ισχύει: - Για να βρούµε την ζητούµενη.ε. µπορούµε να εφαρµόσουµε το Θεωρ. Mllman στα σηµεία Α- Β διότι AB A E AB B AB E D E D D D D E D άρα η ζητούµενη.ε. είναι: [ D ] D E Παρακάτω υπολογίζουµε την Αρχική Συνθήκη Α.Σ.

Όπως έχει αναφερθεί η σταθερή τιµή θα υπολογιστεί συναρτήσει γνωστών σταθερών τιµών διαφόρων µεγεθών του δικτύου για πάντοτε. Τέτοια µεγέθη είναι: - Ρεύµατα πηνίων - Τάσεις πυκνωτών -Τάσεις πηγών Ε ή παραγώγων τους π.χ. D Ε Αυτά τα µεγέθη είναι γνωστά για Πώς εργαζόµαστε για την εύρεση των Α.Σ.; - Χρησιµοποιούµε σχέσεις τάσεως ρεύµατος των ηλεκτρικών στοιχείων και κανόνες Krchhoff προσπαθώντας να εκφράσουµε τα άγνωστα µεγέθη συναρτήσει των γνωστών. Η διαδικασία αυτή σε µερικές περιπτώσεις µπορεί να απαιτεί αρκετή εµπειρία Επιστρέφουµε τώρα στο παράδειγµά µας E A B Θέτουµε σε όλους τους κλάδους ρεύµατα µε δικής µας επιλογής φορές αναφοράς. Παρατηρούµε ότι: AB Άρα αν βρούµε το για έχουµε βρει και το που ζητάµε. Γράφουµε τον Ν.Ρ.Κ. στον κόµβο Α Ν.Ρ.Κ. Α - - καί για - - εδώ οι τιµές, είναι άγνωστες ενώ η τιµή είναι γνωστή Προσπαθούµε να βρούµε και µια δεύτερη σχέση µεταξύ των, ανεξάρτητη φυσικά! Ο Ν.Τ.Κ. στον βρόχο γράφεται για - Ε όπου εδώ το Ε θεωρείται γνωστή τιµή είναι η τάση της πηγής, η οποία δίδεται, για

Συνοψίζουµε: η σχέση: - η σχέση: Ε Έτσι έχουµε ανεξάρτητες σχέσεις µε δύο άγνωστα µεγέθη, τα,. Φυσικά εµάς µας ενδιαφέρει µόνον το διότι, όπως προαναφέρθηκε, ισχύει από το σύστηµα εξισώσεων στο οποίο καταλήξαµε εύκολα θα προκύψει ότι: E άρα η ζητούµενη αρχική συνθήκη θα είναι: ή E Θεωρείστε τιµές 8 Ω, Ω, H - Να βρεθεί η βηµατική απόκριση του δικτύου. Απ. / Εφ όσον µας ζητείται βηµατική απόκριση αυτό σηµαίνει ότι: - Η πηγή Ε θα είναι Ε u µοναδιαία βηµατική συνάρτηση - Η αρχική κατάσταση - εξ ορισµού. άρα: - και Ε u αντικαθιστούµε και τις τιµές των στοιχείων,, στις εκφράσεις των.ε. και Α.Σ και έχουµε:.ε. : D ] D E [ άρα [ D ] D u Α. Σ. : E άρα: ols

4 για > όπου υπολογίζεται η απόκριση έχουµε: [ D ] D u δ ols } διότι παράγωγος της βηµατικής u, που είναι η κρουστική δ, έχει µηδενική τιµή για > Εύκολα επιλύεται η παραπάνω οµογενής.ε ης τάξεως χαρακτ. εξίσωση s ρίζα άρα και από Α.Σ. s e προκύπτει αµέσως άρα τελικά γραφική παράσταση: βηµατικη e βηµ ols. βηµ sec βηµ Παρατηρείστε ότι - ols γιατί;, ασυνεχής για. ols, η

5 Σχόλια: Το γεγονός ότι η τάση του πηνίου δεν είναι συνεχής για ΕΝ αποτελεί πρόβληµα, διότι ως γνωστόν το ρεύµα του πηνίου είναι συνεχής συνάρτηση. Παρατηρείστε το κύκλωµα για A E u B Στον κόµβο Α - - αλλά αυστηρά ισχύει - άρα - ή δηλαδή σαν να είναι συνδεδεµένες εν σειρά οι αντιστάσεις και. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! µιλάµε πάντα για και µόνο Με απλή εφαρµογή του διαιρέτη τάσεως προκύπτει αµέσως: AB u 8 ol Εδώ «βγάλαµε» την Α.Σ µε καθαρά κυκλωµατικό τρόπο!

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίδεται το ακόλουθο δίκτυο A E AB B Θεωρούνται γνωστά τα µεγέθη:,,, - και επίσης η συνάρτηση E της πηγής είναι φραγµένη. ιέγερση θεωρείται η τάση E και απόκριση το ρεύµα. Να βρεθεί η ιαφορική Εξίσωση.Ε. που συνδέει την διέγερση µε την απόκριση και η Αρχική Συνθήκη Α.Σ. που την συνοδεύει. Απ/ Προφανώς AB. Εφαρµόζουµε Θεωρ. Mllman στα σηµεία Α-Β. ή E D E D E D E D για να βρούµε την ζητούµενη.ε. χρησιµοποιούµε και τη σχέση τάσεως ρεύµατος για τον πυκνωτή D άρα: D E D D Οπότε η ζητούµενη.ε. θα είναι: [ D ] D E Παρατηρήστε την δυαδικότητα της εξίσωσης αυτής µε την εξίσωση του προηγούµενου παραδείγµατος όπου και Υπολογίζουµε την Α.Σ. Προφανώς θα ισχύει - γιατί;

7 Έχουµε το δίκτυο: A B E Ν. Ρ. Κ. Α - - καί για - ψάχνουµε για τις τιµές των, για Ν.Τ.Κ. για Ε Ν.Τ.Κ. για Ε Αυτές είναι δύο ανεξάρτητες σχέσεις που θα µας δώσουν τις τιµές των, Έχουµε το σύστηµα Χ E E λύση: E, και επειδή, όπως προαναφέρθηκε, - η ζητούµενη Α.Σ. θα είναι: E Θεωρείστε τιµές Ω, Ω,.5 F, - 4 ols και Ε ols sn π Ζητείται να υπολογιστεί η πλήρης απόκριση του δικτύου.

8 Απ / Αντικαθιστούµε τιµές και θα έχουµε.ε. π D D sn ή π D 4 cos Α.Σ. για : - π 4 ols, E sn ol άρα: Συνοψίζουµε για > E 5 Amps π.ε. D } 4 cos Α.Σ - 5 A Προχωρούµε στην επίλυση: χαρακτ. εξίσωση της.ε. s ρίζα s 4 4 άρα c, οµογ e τέθηκε για αποφυγή σύγχυσης µε το του πυκνωτή Αναζητούµε µερική λύση της µορφής:,µερ k sn k cos άρα: D,µερ k cos - k sn αντικαθιστούµε στην.ε: π D,µερ,µερ 4 cos ή: π k cos - k sn k sn k cos 4 cos π π [ k - k ] sn [ k k ] cos 4[ cos cos sn sn ] τελικά καταλήγουµε στο σύστηµα Χ : π k k 4 sn k k π 4 cos. 78 µε λύση: k.944, k.48

9 άρα,µερ.944 sn.48 cos που ισοδύναµα γράφεται:,µερ.94 sn 44 o άρα τελικά: c, οµογ,µερ e.94 sn 44 o εφαρµόζουµε την Α.Σ - 5 και έχουµε:.94 sn 44 o - 5 άρα -.47 εποµένως η πλήρης απόκριση του δικτύου θα είναι:.47 e.94 sn 44 o µεταβατική µόνιµη Παρακάτω δίνεται γραφική παράσταση της λύσης Amps sec µετ, µον,

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίδεται το ακόλουθο δίκτυο A E AB B Θεωρούνται γνωστά τα µεγέθη,,, -, - και επίσης η συνάρτηση E της πηγής είναι φραγµένη. Ως διέγερση θεωρείται η τάση της πηγής Ε και ως απόκριση η τάση AB. Να βρεθεί η.ε. που συνδέει την διέγερση µε την απόκριση καθώς και οι απαραίτητες Αρχικές Συνθήκες που την συνοδεύουν. Απ/ Η ζητούµενη.ε. θα είναι ας τάξεως διότι το δίκτυο περιλαµβάνει «δυναµικά» στοιχεία ένα πηνίο και ένα πυκνωτή. Χωρίς δυσκολία και µε εφαρµογή του Θ. Mllman θα πάρουµε για την τάση AB : E E E D D D AB D D D D D D D E ή AB D D άρα η ζητούµενη.ε. είναι: [ D D ] AB E Παρακάτω θα υπολογίσουµε τις Αρχικές Συνθήκες της ανωτέρω.ε. δηλ. τις τιµές: AB, D AB Αρχικά αναφέρουµε ότι θα ισχύουν οι ισότητες: - - διότι η Ε είναι φραγµένη συνάρτηση.

Παρατηρούµε αµέσως ότι ΑΒ άρα η η Α.Σ. είναι αµέσως γνωστή : ΑΒ Προσπαθούµε να βρούµε την η Α.Σ. D AB ; Ξανασχεδιάζουµε το δίκτυο και αναφερόµαστε στη χρονική στιγµή E A AB B Θα ισχύουν οι σχέσεις: D AB D Ν.Ρ.Κ. στον κόµβο Α - - - άρα: - - η τιµή είναι γνωστή διότι: AB άρα τελικά από τις σχέσεις: D AB και - προκύπτει ότι η η Α.Σ. θα είναι: D AB άρα συνοψίζουµε:.ε. D D ] E [ AB Α.Σ. ΑΒ, D AB ΠΡΟΣΟΧΗ! Παρατηρήστε ότι η τάση της πηγής Ε δεν συµµετέχει στις εκφράσεις των Α.Σ για. Αυτό συµβαίνει διότι εν σειρά µε την πηγή Ε υπάρχει το πηνίο, το οποίο εφ όσον είναι φραγµένη η Ε ΕΝ επιτρέπει αλλαγή της τιµής του ρεύµατος πηγής από - σε

Θεωρείστε τιµές Ω, H, F. Υπολογίστε την βηµατική και την κρουστική απόκριση του δικτύου. Απ/ Για τον υπολογισµό της βηµατικής απόκρισης ισχύουν: -, - Ε u Στο συγκεκριµένο πρόβληµα έχουµε µε τις δεδοµένες τιµές στοιχείων,,.ε. D D ΑΒ u και για > A.Σ ΑΒ, D ΑΒ.Ε. D D ΑΒ A.Σ ΑΒ, D ΑΒ Προχωρούµε στην επίλυση χαρακτ. εξίσωση : s s µε ρίζες s, ± j άρα ΑΒ, οµογ. e [ sn cos ] εύκολα προκύπτει και η µερική λύση: ΑΒ, µερ. γιατι; συνεπώς: ΑΒ, βηµατική e [ sn cos ] από τις Α.Σ: ΑΒ,. D ΑΒ θα προσδιορίσουµε τις τιµές των και Έχουµε: d d ΑΒ, βηµατική e [ sn cos ] e [ cos sn ] και ΑΒ ΑΒ, βηµατική D ΑΒ D ΑΒ, βηµατική άρα προκύπτουν οι τιµές:, -

Συνεπώς η βηµατική απόκριση θα είναι: ΑΒ, βηµατική e [ sn cos ] Που µπορεί να γραφεί και ως: ΑΒ, βηµατική e o sn Παρακάτω δίδεται µια γραφική παράσταση της βηµατικής απόκρισης. ABβηµατικη, AB, e βηµατικη sn cos

4 Για τον υπολογισµό της κρουστικής απόκρισης ισχύουν: -, - Ε δ και στο συγκεκριµένο πρόβληµα έχουµε:.ε. D D ΑΒ δ A.Σ για - ΑΒ -, D ΑΒ - και για >.Ε. D D ΑΒ A.Σ ΑΒ?, D ΑΒ? ηλαδή έχουµε το γνωστό πρόβληµα υπολογισµού των Α.Σ. για Υπενθυµίζεται ότι στην περίπτωση που έχουµε ως διέγερση ενός ηλ. δικτύου µια κρουστική συνάρτηση δ, δεν εξασφαλίζεται η ισχύς των σχέσεων δηλαδή µπορεί να ισχύουν µπορεί και όχι! - - Επανερχόµαστε στο συγκεκριµένο παράδειγµα και γράφουµε για την.ε. για ακριβώς α µέλος β µέλος ΑΒ D ΑΒ δ D ΑΒ Η υπόθεση ΑΒ k δ k έχει σαν συνέπεια ότι D AB k D δ και επίσης D AB k D δ. Αλλά οι όροι D δ και D δ δεν υπάρχουν στο β µέλος άρα: ΑΒ k δ ΑΤΟΠΟ! Με όµοιο τρόπο η υπόθεση D ΑΒ k δ k έχει σαν συνέπεια ότι D AB k D δ, αλλά ο όρος D δ δεν υπάρχει στο β µέλος άρα: D ΑΒ k δ ΑΤΟΠΟ! Τέλος η υπόθεση D ΑΒ k δ k δεν µπορεί να αποκλειστεί, δεν οδηγεί σε άτοπο. ηλαδή ο κρουστικός όρος δ «φορτώνεται» στην µεγαλύτερη παράγωγο που υπάρχει στο αριστερό µέλος, η οποία είναι η D ΑΒ. Σηµειώνουµε εδώ ότι στο δεξιό µέλος θα µπορούσαν να υπάρχουν και οι όροι D δ και D δ, και τότε το πρόβληµα θα χρειαζόταν διαφορετική αντιµετώπιση!

5 Με βάση τα προηγούµενα συµπεράσµατα έχουµε: - ΑΒ δεν περιέχει δ - D ΑΒ δεν περιέχει δ άρα ΑΒ συνεχής για δηλαδή ΑΒ - ΑΒ - D ΑΒ k δ, αντικαθιστούµε αυτή την σχέση στην.ε και έχουµε για D D ΑΒ δ ή D ΑΒ D ΑΒ ΑΒ δ D ΑΒ δ διότι οι όροι D ΑΒ, ΑΒ δεν περιέχουν κρουστική συνάρτηση, όπως εξηγήθηκε προηγουµένως άρα, και εφ όσον D ΑΒ k δ, θα πάρουµε: δηλαδή: k δ δ k D ΑΒ δ [ D ΑΒ - D ΑΒ - ] και επειδή D ΑΒ - προκύπτει αµέσως ότι D ΑΒ Συνοψίζουµε όλα τα προηγούµενα και καταλήγουµε: για >.Ε. D D ΑΒ A.Σ ΑΒ, D ΑΒ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Από την σχετική ανάλυση που προηγήθηκε προέκυψε ότι ΑΒ - ΑΒ και επειδή ΑΒ προκύπτει ότι, στο συγκεκριµένο παράδειγµα, παρά την κρουστική διέγερση Ε δ η τάση του πυκνωτή, παραµένει συνεχής συνάρτηση για. D ΑΒ - D ΑΒ και επειδή: D AB ασυνεχής συνεχής πρέπει ασυνεχής στο στο στο την ασυνέχεια της D AB στο την «φορτώνεται» η συνάρτηση, δηλαδή το ρεύµα του πηνίου παρουσιάζει εδώ ασυνέχεια.

Υπολογίζουµε τώρα την κρουστική απόκριση:.ε. D D ΑΒ A.Σ ΑΒ, D ΑΒ χαρακτ. εξίσωση : s s ρίζες s, ± j άρα ΑΒ e [ sn cos ] από Α.Σ. ΑΒ άρα ΑΒ e sn και D ΑΒ e sn D ΑΒ Συνεπώς η κρουστική απόκριση θα είναι: e ΑΒ, κρουστική e sn Εύκολα επαληθεύεται ή σχέση: d ΑΒ, κρουστική ΑΒ, βηµατική d Παρακάτω δίδεται µια γραφική παράσταση της κρουστικής απόκρισης. ABκρουστικη, cos AB, κρουστικη e sn