ΚΕΦ 7: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Έστω V και W διανυσματικοί υπόχωροι Θεωρούμε συνάρτηση F: V W για την οποία ισχύει ότι: (ι) Fu ( + v) = Fu ( ) + Fv ( ) για όλα τα διανύσματα, και (ιι) F( κu) = κf( u) για όλα τα διανύσματα u του V και για κάθε πραγματικό αριθμό k Η F ονομάζεται γραμμική απεικόνιση Παράδειγμα: Έστω συνάρτηση F: R R με τύπο F( x, y) = ( x, x+ y, x y) Η F είναι γραμμική απεικόνιση (Έστω u ) = ( x, y), u = ( x, y Έχουμε F( u+ u) = F( x+ x, y+ y) = ( x+ x, x+ x + y+ y, x+ x y y) = ( x, x+ y, x y) + ( x, x + y, x y) = F( x, y) + F( x, y) = F( u) + F( u) Έστω κ R και u = ( x, y) Έχουμε F( κu ) = F( κx, κy ) = ( κx, κx + κy, κx κy = κ( x, x + y, x y ) = κf( x, y ) = κf( u )) Παρατήρηση: Έστω γραμμική απεικόνιση F: V W Εάν u, u V και κ, κ R, τότε F( κu + κu ) = F( κu ) + F( κu ) = κ ) + κf F( u ( u) Το παραπάνω μπορεί να γενικευθεί για παραπάνω από δύο διανύσματα Έτσι εάν u, u,, u V και κ, κ,, κ R τότε έχουμε F( κ u + κ u + + κ u ) Παράδειγμα συνάρτησης που δεν είναι γραμμική απεικόνιση Έστω συνάρτηση F: R R με τύπο F( x, y) = ( x, y+ ) Εάν ( x, y),( x, y) R τότε F( x+ x y + y) = ( x+ x, y+ y +) = ( x, y + ) + ( x, y ) = F( x, y) + ( x, y ) F( x, y) + F( x, y) Άρα η F δεν είναι γραμμική απεικόνιση Άλλες παρατηρήσεις Μια γραμμική απεικόνιση F : V W καθορίζεται πλήρως από τις τιμές των διανυσμάτων μιας βάσης του V Απόδειξη: Έστω { u, u,, uk} βάση του V και έστω u V Τότε προφανώς υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ, λ,, λk τέτοιοι ώστε λ u + λ u + + λ u = u Άρα k k )
Fu ( ) = F( λ u + λ u + + λ u ) = λfu ( ) + λ Fu ( ) + + λ Fu ( ) k k k k (Επομένως εάν γνωρίζουμε τις τιμές των διανυσμάτων κάποιας βάσης του V, τότε γνωρίζουμε τις τιμές όλων των στοιχείων του V μέσω της F) Μια γραμμική απεικόνιση F : V W απεικονίζει το μηδενικό διάνυσμα του V στο μηδενικό διάνυσμα του W Απόδειξη: Έστω u V Τότε 00 = 0 Άρα F(0) = F(0 u) = 0 F( u) = 0 Για κάθε γραμμική απεικόνιση F: V W, το σύνολο των τιμών της αποτελεί υπόχωρο του W (Ο υπόχωρος αυτός ονομάζεται εικόνα της F και συμβολίζεται με IF Επίσης εάν Fv ( ) = w, τότε λέμε ότι το w αποτελεί την εικόνα του v μέσω της F ) Απόδειξη: Έστω w, w IF Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν u, u V τέτοια ώστε Fu ( ) = w, Fu ( ) = w Ορίζουμε = u + u Προφανώς V, διότι V υπόχωρος Οπότε έχουμε F ( ) = Fu ( + u) = Fu ( ) + Fu ( ) = w + w Άρα w+ w IF Έστω w IF και k R Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει u V τέτοιο ώστε Fu ( ) = w Ορίζουμε b = ku Προφανώς b V, διότι ο V είναι υπόχωρος Οπότε έχουμε Fb ( ) = Fku ( ) = kfu ( ) = kw Άρα kw IF 4 Έστω γραμμική απεικόνιση F : V W Πυρήνα της F ονομάζουμε το σύνολο των διανυσμάτων που ανήκουν στο V και τα οποία έχουν για εικόνα τους μέσω της F, το 0 Ο πυρήνας της F συμβολίζεται με KeF Το KeF είναι υπόχωρος του V Απόδειξη: Έστω v, v KeF Τότε Fv ( + v) = Fv ( ) + Fv ( ) = 0+ 0= 0 Άρα v + v KeF Έστω v KeF και k R Τότε Fkv ( ) = kfv ( ) = k0= 0 Άρα kv KeF Θεώρημα: Έστω γραμμική απεικόνιση F : V W Τότε di( KeF) + di( IF) = di( V ) Απόδειξη: Παραλείπεται
ν κ Ορισμός: Έστω γραμμική απεικόνιση F: R R (α) Εάν KeF ={ 0 } τότε η F ονομάζεται ενδομορφισμός (β) Εάν IF = R κ τότε η F ονομάζεται επιμορφισμός (γ) Εάν η F είναι - και επί τότε η F ονομάζεται ισομορφισμός (Εάν η F είναι ισομορφισμός τότε προφανώς είναι ενδομορφισμός και επιμορφισμός) Έστω πίνακας A μεγέθους Ορίζουμε συνάρτηση F: R R με τύπο F( x ) = A x Η F είναι γραμμική απεικόνιση Απόδειξη: Έστω x, x R και έστω k R Τότε F( x+ x) = A( x+ x) = Ax+ Ax = F( x) + F( x) Fkx ( ) = kfx ( ) Παρατηρήσεις: Έστω γραμμική απεικόνιση F: R R που ορίζεται από ένα πίνακα A μεγέθους, δηλαδή έχουμε F( x ) = Ax, x R Το IF θα αποτελείται από όλα εκείνα τα διανύσματα y R για τα οποία υπάρχει x R, τέτοιο ώστε F( x) = y Δηλαδή το IF θα περιέχει για στοιχεία του, όλα τα y R για τα οποία το Ax = y είναι συμβατό Επομένως το IF ταυτίζεται με τον στηλοχώρο του A Το KeF θα αποτελείται από όλα εκείνα τα διανύσματα x R για τα οποία ισχύει F( x) = Ax = 0 Δηλαδή το KeF ταυτίζεται με το σύνολο των λύσεων του ομογενούς συστήματος Ax = 0 ( Επομένως η διάσταση του υπόχωρου των λύσεων του Ax = 0 θα είναι ίση με di( KeF ) Όμως από προηγούμενο θεώρημα έχουμε di( KeF) = di( IF) = (βαθμός του Α ) Άρα η διάσταση του υπόχωρου των λύσεων του Ax = 0 θα ισούται με (βαθμός του A )) Άσκηση: Έστω γραμμική απεικόνιση F: R R 4 με τύπο 0 x F( x) = Ax = x 0 x Να βρεθούν (α) οι διαστάσεις των υπόχωρων βάσεις για τους παραπάνω υπόχωρους KeF και IF,(β) Απάντηση:(α)Από προηγούμενο Θεώρημα έχουμε ότι
di( KeF) + di( IF) = di( R ) Άρα di( KeF) + ρ( A) = (με ρ ( A) συμβολίζουμε το βαθμό του A), διότι IF =στηλοχώρο του A και di( R ) = Επομένως θα πρέπει να βρούμε το βαθμό του πίνακα Α Έχουμε 0 0 T A = ~ G J ~ 0 0 0 0 0 0 Άρα ρ ( A) = di( IF ) = και επομένως di( KeF) = (β) Από τη (α) έχουμε ότι τα διανύσματα (,0,,) και (0,,,-) αποτελούν βάση του στηλοχώρου του Α και επομένως του IF Τώρα 0 0 ένα διάνυσμα x x 0 KeF F( x) = Ax = x 0 = Εάν 0 x 0 επιλύσουμε το σύστημα έχουμε: x = x και x = x Οπότε ( / ) t / KeF : ( /) t = t / Άρα το διάνυσμα (/,-/,) αποτελεί μια t βάση του KeF Θα αποδείξουμε ότι κάθε γραμμική απεικόνιση F: R να ορισθεί από κάποιο πίνακα Α (μεγέθους ) R μπορεί Έστω e = (,0,,0), e = (0,,0,,0),, e = (0,0,,0,) η stdd ορθοκανονική βάση του R Έστω A πίνακας μεγέθους, ο ποίος έχει για στήλες του τα διανύσματα Fe ( ) =, Fe ( ) =,,
Fe ( ) = Δηλαδή A = Έστω x R και έστω x 0 x 0 0 x = = x + + = xe + + xe x 0 Οπότε έχουμε F( x) = x F( e ) + + x F( e ) = x x x = Ax x + + x =