ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ N. Λάσκαρης Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1

Digital Signal Processing (DSP( DSP) N. Laskaris Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 2

meaning Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 3

A little history Archimedes of Syracuse 287-212 BC Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 4

Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 5

Babbage (1791-1871) a 3-tons machine : A Discrete-Time system evaluating 7 th order polynomials Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 6

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 1830): Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 7

The modern times 1928: Nyquist argued the existence of the sampling theorem using Fourier series and simple mathematics 1949: Shannon provided THE proof of the sampling theorem inhismaster sthesis. - He also coined the word bit for a binary digit. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 8

DSP-community claims : Contrary to popular belief, the discrete-time systems has given birth to the computers, NOT the other way around. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 9

What is this lesson about? DSP: changing or analysing information which is measured as discrete sequences of numbers Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 10

Which are the contents? Sampling and Reconstruction Discrete-Time Systems FIR Filtering and Convolution z-transforms 2D Signal Processing. IMAGE Processing Intro Transfer Functions Digital Filter Realizations DFT/FFT Algorithms FIR Digital Filter Design IIR Digital Filter Design Signal Processing Applications Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 11

Which are the prerequisites? MATLAB Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 12

What is the necessity for a DSP-lesson? From direct/simple Engineering tasks Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 13

... to frontier-research tasks Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 14

What will be the style of the DSP-lesson? Theory Exercises Practice Laboratory For more Information see at http://poseidon.csd.auth.gr/gr/ http://pigeon.csd.auth.gr:1667/ Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 15

Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 16

Εισαγωγικά ιάφορα σήµατα Ένα πλήρες σύστηµα ψηφιακής επεξεργασίας Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 17

Χρόνος - συχνότητα υ a n b n -0.4 0 0.4 t(sec) 0 5 10 15 20 f(hz) (α) (β) Περιγραφή στο χρόνο(α) ή στη συχνότητα (β) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 18

Σήµατα1 - σεισµικά Σεισµικά Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 19

Σήµατα2- φωνή Φωνή ηλέξη Why? Ένα τµήµα 30 ms Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 20

Hχος chirp Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 21

Σήµατα 3 - βιοϊατρικά ECG /EKG Τυπικό ηλεκτροκαρδιογράφηµα Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 22

EEG Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 23

Σήµατα 3 Μουσικά όργανα Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 24

Σήµατα 4 Τυχαία σήµατα - θόρυβος Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 25

Ένα πλήρες σύστηµα επεξεργασίας σήµατος Αναλογικό σήµα Prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήµα Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 26

ΑDC βασικές διεργασίες Περιορισµός του εύρους συχνοτήτων µε Βαθυπερατό φίλτρο ειγµατοληψία Κβάντιση Κωδικοποίηση Σχηµατικά: Αναλoγικό σήµα prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήµα βαθυπερατό φίλτρο φίλτρο S/H S/H ειγµατοληψία ειγµατοληψία και και κράτηση κράτηση Kβαντιστής Λογικά Λογικά κυκλώµατα Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 27

ΑDC βασικές διεργασίες ειγµατοληψία s δ (t) στο χρόνο x(t) x*(t)=x(t).s δ (t) + sδ (t) = (t δ k= _ - kt s ) x * ( t) = x(t) + - δ (t - kt s ) = + - x(t) δ (t - kt s ) = + - x(kt s ) δ (t - kt s ) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 28

ΑDC βασικές διεργασίες ειγµατοληψία στο πεδίο της συχνότητας s δ T s T s (α) (β) Χ(jΩ) Χ (jω) Α Α/Τ s Ω Ø Ω Ø 0 Ω Ø Ω s 2Ω s (γ) (δ) X * * (jω) = {x (t)} = {x(t)s (t)} = {x(t) jω kt C e } = C {x(t) jkω t k k e } = s I I I I s δ - + - + - C k X(jΩ - jk Ωs) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 29

ιαδικασία ψηφιοποίησης παράδειγµα Αρχικό αναλογικό σήµα αναλογικό σήµα µετά τη δειγµατοληψία Ψηφιακό σήµα Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 30

ειγµατοληψία - αλλοίωση και ασάφεια Το σήµα x 2 έχει συχνότητα 5πλάσια του x 1. Παρόλα αυτά το σήµα x(n) αντιστοιχεί και στα δύο σήµατα. Η 1.5 x(n) 1 x1 x2 δειγµατοληψία που έχει γίνει για το x 1 ικανοποιεί το θεώρηµα 0.5 δειγµατοληψίας και αναπαριστά σωστά το σήµα x 1. Για το x 2 όµως 0 -->n δεν ικανοποιείται και δεν µπορεί σε καµία περίπτωση να θεωρηθεί -0.5 σωστή δειγµατοληψία. Αυτή είναι και η αιτία της ασάφειας. -1-1.5 0 10 20 30 40 50 60 70 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 31

ειγµατοληψία αλλοίωση παράδειγµα X(jΩ) Το αποτέλεσµα της δειγµατοληψίας στο φάσµα του σήµατος. Το σήµα (α) έχει µέγιστη συχνότητα f m =3kHz και δειγµατοληπτείται (β) µε f s =8kHz. Στην (γ) γραµµή η αλληλεπικάλυψη των φασµάτων είναι οριακή. Ενώ στην (δ) έχουµε αλλοίωση διότι f m.> f s /2 0 3 4 5 8 12 16 0 3 4 5 8 12 16 0 3 4 5 6 8 12 16 0 3 4 5 8 12 16 f (khz) (α) (β) (γ) (δ) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 32

ειγµατοληψία - συµπέρασµα ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ - SHANNON NYQUIST Ένα αναλογικό σήµα x a (t) µε περιορισµένο φάσµα εύρους(<f o ) µπορεί να ανακατασκευασθεί από τα δείγµατά του x(n)=x a (nt s ) εάν η συχνότητα δειγµατοληψίας F s = 1/T s είναι διπλάσια του εύρους F o, F s >2F o Σε κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει αλλοίωση του φάσµατος (aliasing) και το σήµα δενµπορεί να ανακατασκευασθεί. H συχνότητα F s /2 ονοµάζεται συχνότητα τα Nyquist και το διάστηµα [-F s /2, F s /2] διάστηµα Nyquist Ανάγκη φίλτρου περιορισµού συχνοτήτων φίλτρο αντι-αλλοίωσης - βαθυπερατό φίλτρο Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 33

Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 34

Φίλτρο αντιαλλοίωσης παράδειγµα Ζητείται η τιµή της συχνότητας δειγµατοληψίας f s εάν η επιτρεπτή άλλοίωση (σφάλµα) είναι 2%. 10kΩ Aναλογικό σήµα 10kΩ 0.008µF S/H ιακριτό σήµα συνέχεια Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 35

H x b x a H απόκριση συχνότητας του φίλτρου είναι Για f c =2kHz ηενίσχυσηείναιx b =0.707 (του µεγίστου) και εποµένως η ενίσχυση X a =0.707 x 0.02=0.01414 1 0.01414 = 2 [ 1 + (f ] 1 / 2 a / 2) και η συχνότητα f a υπολογίζεται ως: H(f a ) = X a f a =141.4kHz Αρα f s (ελάχιστη) = f c +f a = 141.4+2 = 143.4kHz 0 f c =2 f a f s khz H(f ) = 1 2 [ 1 + (f / f ] 1 / 2 c ) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 36

Αναλoγικό σήµα Κβάντιση prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήµα βαθυπερατό φίλτρο φίλτρο S/H S/H ειγµατοληψία ειγµατοληψία και και κράτιση κράτιση Kβαντιστής Λογικά Λογικά κυκλώµατα 7 6 5 4 3 2 1 0 τιµή : 3 4 7 6 4 5 1 σφάλµα:-0.2-0.3-0.4-0.3 0.1-0.2-0.45 Οι στάθµες κβάντισης είναι 2 3 = 8. Το βήµα έχειτιµή =1 που µπορεί να αντιστοιχεί σε κάποια τιµή πχ. τάσεως 0.10 V. Όταν η τιµή τουσήµατος βρίσκεται στο διάστηµα µεταξύ των σταθµών ('εντονες γραµµές στο σχήµα) τότε λαµβάνει την τιµή της στάθµης (0-7). Το σφάλµα µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό αλλά πάντα στο διάστηµα [ 0.5, 0.5]. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 37

Κβάντιση - υπολογισµοί Για ένα ADC µε Β αριθµό δυαδικών ψηφίων ο αριθµός των σταθµών κβάντισης είναι 2 Β και το διάστηµα µεταξύ των σταθµών αυτών, (βήµα κβάντισης) q q= V/(2 B -1) V/2 B όπου V είναι το εύρος τιµών του ADC. Το µέγιστο σφάλµα κβάντισης δηλ. στρογγυλοποίησης είναι: q/2=v/2 B+1 V/q=2 Β Το σφάλµα κβάντισης(για κάθε δείγµα e) είναι τυχαίος αριθµός που έχει οµοιόµορφη κατανοµή (uniform) στο διάστηµα q/2, q/2 µε µηδενική µέση τιµή. Η ισχύς θορύβου σ e 2 ( διακύµανση) είναι: σ 2 e = q / 2 q / 2 2 1 2 P (e)e de = q / 2 q e de = q / 2 2 q 12 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 38

Υπολογισµός SNR Γιά ένα ηµιτονικό σήµα εισόδου πλάτους Α που έχει δηλ διακύµανση (peak-topeak) 2A το βήµα κβάντισης είναι: q=2a/2 B =Α/2 Β-1 Aν προχωρήσουµε ένα βήµα ακόµα και υπολογίσουµε το λόγο σήµατος προς θόρυβο SNR (signal to noise ratio) λαµβάνουµε (σε db): A SNR= 20log σ = 20log( A q 12) = 20log( 2 B 1 3 2) = 20log2 B + 20log 3 = 6. 02B + 4. 77dB ηλαδή ο SNR αυξάνει ~6dB ανά bit. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 39

DAC Ανακατασκευή του αναλογικού σήµατος Αναλoγικό σήµα Περιγραφικά κώδικας 10 5 prefilter ADC DSP DAC Postfilter υαδικός 010 000 111 101 001 100 011 110 έξοδος DAC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n--> 5 έξοδος 10 αναλογ. φίλτρου 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t--> Αναλογικό σήµα Στο επάνω διάγραµµα δεικνύεται το ψηφιακό σήµα και ο δυαδικός κώδικας. Στο µεσαίο διάγραµµα είναι το σήµα που προκύπτει από το κύκλωµα S/H µηδενικής τάξεως (zero order hold). Στο τελευταίο διάγραµµα φαίνεται η έξοδος µετά την εξοµάλυνση από το αναλογικό βαθυπερατό φίλτρο. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 40

Ανακατασκευή στο πεδίο του χρόνου κύκλωµα S/H µηδενικής τάξεως (ZOH zero order hold) y(n) y(t) n Y(ω) 0 ω s Ŷ ( ω) ηµx/x To ψηφιακό σήµα y(n) µετατρέπεται µέσω του ΖΟΗ στο αναλογικό το οποίο έχει επίσης υψηλές συχνότητες, όπως φαίνεται από τα αντίστοιχα φάσµατα, παρότι εµφανίζεται η εξασθένιση ηµx/x. t 0 ω s Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 41

Μία εξήγηση της µορφής του φάσµατος Ŷ( ω) To σήµα ŷ(t) = n= 0 y(n)[u(t nt) u(t (n + 1)T)] Στο πεδίο των συχνοτήτων (Μετασχ. Laplace) γίνεται: st st 1 nts st / 2 e Ŷ(s) = y(n)e st n= 0 1 e T st Y(s) = e sinωτ / 2 Y(s) ωτ / 2 Η σχέση αυτή δείχνει ότι η αναλογική έξοδος Υ(s) έχει "διαµορφωθεί" µε τονπαράγονταηµx/x οπου x=ωτ/2 Ηβελτίωση της µορφής του αναλογικού σήµατος γίνεται µε εφαρµογή ένος βαθυπερατού φίλτρου (anti imaging filter). Eνα τέλειο τέτοιο φίλτρο θα έπρεπε να έχει την µορφή: st/(1-e st ) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 42

Ιδανική Ανακατασκευή στο πεδίο της συχνότητας X(jΩ) 0 3 4 5 8 12 16 0 3 4 5 8 12 16 (α) (β) Για να ανακατασκευασθεί το αναλογικό σήµα (α) πρέπει από το αντίστοιχο στο (β) να επιλεγεί µόνο η βασική ζώνη. Αυτό επιτυγχάνεται µε το ιδανικό φίλτρο που έχει συχνότητα αποκοπής 4kHz. (Έντονο ορθογώνιο) ηµ [( π / Τ)(t nt)] Η µαθηµατική έκφραση της πράξεως αυτής δίνεται από τον x a (t) = x(n) ακόλουθο τύπο n= ( π / Τ)(t nt) H σχέση αυτή ουσιαστικά δηλώνει ότι η ανακατασκευή του σήµατος είναι δυνατή αν δίνονται όλα τα σηµεία x(n) του ψηφιακού σήµατος και αφού διαµορφωθούν για κάθε t από τις συναρτήσεις sinc(x) όπου x=π/τ(t-nt). Προφανώς η διαδικασία αυτή είναι µη αιτιατή και δεν γίνεται σε πραγµατικό χρόνο. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 43

Keywords Sampling-frequency Aliasing-effect Nyquist-frequency Antialiasing-filter Quantisation error Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 44