Κίνηση φορτισµένο σµατιδίο σε χώρο, όπο σνπάρχον ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο οµογενή και χρονοανεξάρτητα Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής Σε ένα αδρανειακό σύστηµα σνπάρχον δύο οµογενή και χρονοανεξάρτητα πεδία. Το ένα πεδίο είναι µαγνητικό, ενώ το άλλο ηλεκτρικό. Παρατηρητής το αδρανειακού ατού σστήµατος επιλέγει σύστηµα σντεταγµένν Οx µε τέτοιο τρόπο, ώστε ο µεν ηµιάξονας Ο να έχει την διεύθνση το µαγνητικού πεδίο, το δε επίπεδο Ο να είναι παράλληλο µε την ένταση το ηλεκτρικού πεδίο. Στο αδρανειακό λοιπόν σύστηµα σντεταγµένν Οx πάρχον ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο, τν οποίν οι εντάσεις δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις = j E k (E, E = πραγµατικές σταθερές ) = k ( = πραγµατική σταθερά) (Αν έχοµε δνατότητα επιλογής πάντα επιλέγοµε για την εκολία τν πολογισµών µας ο ηµιάξονας Ο να έχει τη διεύθνση της έντασης το µαγνητικού πεδίο. Την επιλογή τν άλλν αξόνν έκανα µε τέτοιο τρόπο, ώστε οι τελικές εξισώσεις να είναι απαλλαγµένες από µια σνιστώσα της. Υπάρχει πάντα µια τέτοια δνατότητα, µιας και τα πεδία και µπορούν να ορίσον ένα επίπεδο, το οποίο και παίρν ς Ο.) Υλικό σηµείο µε µάζα και φορτίο q κινείται στο χώρο τν πεδίν µε ταχύτητα ( ). Το λικό σηµείο δέχεται δύναµη Loren F( ) = q[ E ( ) ] (1) Αν r( ) = x( ) i ( ) j ( ) k το διάνσµα θέσης το λικού σηµείο, τότε θερώντας ότι το µέτρο της ταχύτητας ( ) είναι και παραµένει πολύ µικρότερο από την ταχύτητα το φτός ( () << c ) µπορούµε να θερήσοµε σε ισχύ την κλασική µηχανική. Κατά σνέπεια γράφοµε () d r( ) = q[ E ( ) ] d Αφού επισηµάναµε ποια µεγέθη είναι χρονοεξαρτώµενα, µπορούµε να χρησιµοποιήσοµε πιο απλό σµβολισµό στα επόµενα και την παραπάν διανσµατική διαφορική να εκφράσοµε στος άξονες πο επιλέξαµε ς εξής:
d ( x i j k ) = q[ j E k ( x i j k ) ( d Έτσι η διανσµατική διαφορική () µεταπίπτει σε σύστηµα τριών διαφορικών k )] (3) d x d = q (4) d d = qe q x (5) d = qe d οι οποίες µε τη σειρά τος δίνον το σύστηµα (6) d x d = q d d (7) d d q = dx qe d (8) d = qe d Στο παραπάν σύστηµα, οι σνιστώσες τν εµπλεκοµένν διανσµάτν θερούνται µε τις αλγεβρικές τος τιµές, το φορτίο µε το πρόσηµό το και η µάζα θετική. Β. Σχολιάζοντας την «αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν» ή αλλιώς επισηµαίνοντας µια σνηθισµένη επικίνδνη τακτική Για λόγος πο εξηγώ στο 5ο κεφάλαιο το βιβλίο «Θέµατα Φσικής-Παρανοήσεις και προτάσεις πέρβασής τος» παρακάµπτ το ποιοι, πώς και γιατί καθιέρσαν την τόσο ποµπώδη φράση «Αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν», κλείν τα ατιά µο στος ήχος της και την απορρίπτ εθύς εξαρχής και ς φράση και ς διατύπση, θερώντας την πεύθνη ποικίλν παρανοήσεν και εκτροχιασµών.
Η ανάλση της κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο στα πεδία, είναι µια ακόµη εκαιρία να εντοπίσοµε τα όρια πο πρέπει να έχοµε στο µαλό µας, όταν σε κάποιο πρόβληµα κίνησης, χρησιµοποιούµε τη λιγότερο ποµπώδη φράση επαλληλία (ή σύνθεση ή πέρθεση ή άθροισµα) κινήσεν ή την ακόµη καλύτερη, κατά τη γνώµη µο, φράση επαλληλία (ή σύνθεση ή πέρθεση ή άθροισµα) εξισώσεν κίνησης. Ένα πρόβληµα κίνησης ποτέ, µα ποτέ δε το αντιµετπίζοµε µε την «αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν», µε επαλληλία εξισώσεν κίνησης δηλαδή, αν δεν έχοµε την πείρα ή τη γνώση, ότι µπορούµε να κάνοµε κάτι τέτοιο. Πρώτα καταστρώνοµε τη διαφορική εξίσση πο αφορά το σγκεκριµένο πρόβληµα κίνησης και επιλέγοµε τον τρόπο πο θα χρησιµοποιήσοµε για να τη λύσοµε (διανύσµατα, σύστηµα σντεταγµένν, τι είδος σύστηµα σντεταγµένν κ.λ.π.). Στη διαφορική εξίσση πο καταστρώσαµε και στην εξίσση κίνησης πο θα προκύψει από τον τρόπο πο επιλέξαµε για να λύσοµε τη διαφορική, µπορούµε αν θέλοµε και ανάλογα µε τις διαθέσεις µας, την ικανότητά µας και τις επιδιώξεις µας (βελτίση της προσπικής µας αντίληψης για το φαινόµενο ή βελτίση της διδακτικής το φαινοµένο) να κάνοµε ό,τι θέλοµε... Αλλά έχοντας πάντα στος χειρισµούς µας, τον «αέρα» πο µας έδσε η διαφορική εξίσση και η λύση της. Μπορούµε δηλαδή στη διαφορική και στη λύση της, να δούµε ό,τι θέλει και µπορεί να δει η φαντασία µας, ό,τι θέλει και τραβά η όρεξή µας. Μπορούµε να δούµε οποιαδήποτε επαλληλία εξισώσεν κίνησης, αρκεί να βλέποµε σστά και πάντα γνρίζοντας τις επιµέρος λεπτοµέρειες της φσικής το φαινοµένο. Ποτέ µα ποτέ όµς δε λύνοµε άγνστο πρόβληµα κίνησης µε την «αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν» ( * ), µε επαλληλία εξισώσεν κίνησης δηλαδή, αν δεν έχοµε ισχρότατος λόγος πο να σνηγορούν ότι µπορούµε να το κάνοµε και, το κριότερο, ότι µπορούµε να το κάνοµε µε τη σγκεκριµένη επαλληλία εξισώσεν πο επιλέξαµε. Ας το π κι αλλιώς:
Η διαφορική εξίσση και η λύση της µας δίνον τον αέρα και το δικαίµα να µιλάµε ή όχι για επαλληλία και για το ποια σγκεκριµένη επαλληλία εξισώσεν κίνησης. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Θα πρέπει λοιπόν να περάσει στη σνείδησή µας, ότι η επαλληλία εξισώσεν κίνησης είναι «παιχνίδια» πο κάνοµε στη µία, τη µόνο µία κίνηση, πο µπορεί να εκτελεί το σώµα για κάποιον σγκεκριµένο παρατηρητή Η επαλληλία εξισώσεν κίνησης, είναι «παιχνίδια» πο κάνοµε, πατώντας πάντα και τα δο µας πόδια στη διαφορική εξίσση και τη λύση της Πρέπει δηλαδή η κάθε προσπάθειά µας να δούµε σε µια εξίσση κίνησης επαλληλία εξισώσεν κίνησης, να οδηγεί στο τέλος στη λύση της διαφορικής ή να είναι µαθηµατικά ισοδύναµη µε τη λύση της διαφορικής πο βρήκαµε. Οποιαδήποτε άλλα «παιγνίδια» κάνοµε για να «προφητεύσοµε» τη θέση το κινητού µε επαλληλία πο δεν πηγάζει από τη λύση της διαφορικής και πετύχοµε, είναι ή κάποια κρµµένη επαλληλία πο δεν µπορέσαµε να δούµε στη λύση ή διάφορα τρκ πο µόλις τα ανακαλύψαµε και πο η περιορισµένη εµβέλειά τος θα οδηγήσει πολύ κόσµο, ακόµη και µας ίσς, σε παρανοήσεις. Σπεύδ να προλάβ, ότι η χρήση το όρο «παιχνίδια» δεν έγινε ποτιμητικά. Πιστεύ λοιπόν απόλτα, ότι η επαλληλία εξισώσεν κίνησης είναι ένας πάρα πολύ καλός τρόπος να δούµε πιο ανάγλφα κάποια πράγµατα. Αρκετές φορές µάλιστα είναι ανπέρβλητος τρόπος, όχι µόνο για να κατανοήσοµε και εµείς την κίνηση, αλλά και για να τη διδάξοµε. Δεν είναι όμς αξιόπιστος τρόπος δολειάς φσικού, σε πρτόγνρο πρόβλημα κίνησης.
Γ. Μεταφράζοντας την εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο Υπάρχον οι παρακάτ βασικές επιλογές στην επίλση µιας διαφορικής εξίσσης: πίλση διαφορικής εξίσσης Ι.Διανσµατικά χρίς επιλογή και χρήση αξόνν ΙΙ.Με χρήση αξόνν (σντεταγµένν) σύστηµα σντεταγµένν ΙΙα.Καρτεσιανό σύστηµα σντεταγµένν ΙΙβ.Άλλο µείς επιλέξαµε την πορεία IΙα και ατή θα µεταφράζοµε: Όπς ήδη αναφέραµε, η εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο µέσα στα δύο πεδία δίνεται από το διάνσµα θέσης το r( ) = x i j k (5) όπο οι εξισώσεις κίνησης το σµατιδίο στος τρεις άξονες είναι 0 E 0 x = σν ηµ (6) (7) = σν 0 ηµ (8) qe = 0 και q =
Διάφορες περιγραφές, το πώς κάποιος έλσε τη διαφορική (1) και τί βλέπει στις σχέσεις (6), (7) και (8), θα µπορούσαν να εκληφθούν ς µεταφράσεις της µίας και µοναδικής κίνησης πο εκτελεί το σώµα, σε διάφορες επαλληλίες εξισώσεν κίνησης. Άρα θα πάρχον τόσες επαλληλίες εξισώσεν κίνησης για να περιγραφεί η µία και µοναδική κίνηση, όσες µεταφράσεις µπορέσοµε να διατπώσοµε, όση φαντασία και... ανάγκη γι ατό διαθέτοµε!!!!! Στον άξονα x µπορούµε να δούµε διάφορες επαλληλίες εξισώσεν κίνησης µεταφράζοντας µε διαφορετικό κάθε φορά τρόπο τη σχέση (6) 1. Η εξίσση κίνησης στον άξονα x είναι επαλληλία τν εξισώσεν 0 µιας αρµονικής ταλάντσης σν µιας αρµονικής ταλάντσης ηµ µιας εθύγραµµης οµαλής κίνησης E 0. Η εξίσση κίνησης στον άξονα x είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας αρµονικής ταλάντσης 0 σν 0 µιας αρµονικής ταλάντσης ηµ E µιας εθύγραµµης οµαλής κίνησης 3. Η εξίσση κίνησης στον άξονα x είναι επαλληλία τν εξισώσεν
µιας αρµονικής ταλάντσης 0 σν ηµ 0 γύρ από το σηµείο 0 κ.λ.π. E µιας εθύγραµµης οµαλής κίνησης Στον άξονα µπορούµε να δούµε διάφορες επαλληλίες εξισώσεν κίνησης µεταφράζοντας µε διαφορετικό κάθε φορά τρόπο τη σχέση (7) 1. Η εξίσση κίνησης στον άξονα είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας αρµονικής ταλάντσης σν µιας αρµονικής ταλάντσης 0 ηµ. Η εξίσση κίνησης στον άξονα είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας αρµονικής ταλάντσης σν 0 µιας αρµονικής ταλάντσης ηµ 3. Η εξίσση κίνησης στον άξονα είναι εξίσση µιας αρµονικής ταλάντσης 0 = σν ηµ
κ.λ.π. Στον άξονα µπορούµε να δούµε µία κίνηση ή µια επαλληλία εξισώσεν κίνησης µεταφράζοντας µε διαφορετικό κάθε φορά τρόπο τη σχέση (8) 1. Η εξίσση κίνησης στον άξονα είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας εθύγραµµης οµαλά επιταχνόµενης χρίς αρχική ταχύτητα qe µιας εθύγραµµης οµαλής κίνησης 0. Η εξίσση κίνησης στον άξονα είναι εξίσση µιας εθύγραµµης οµαλά επιταχνόµενης µε αρχική ταχύτητα qe 0 κ.λ.π. Μπορώ λοιπόν από τις παραπάν επαλληλίες να σνδάσ οποιαδήποτε επαλληλία το άξονα x, µε οποιαδήποτε το και µε οποιαδήποτε το και να έχ µια επαλληλία εξισώσεν κίνησης για την πραγµατική κίνηση το σµατιδίο. Αν κάν σνδασµούς επιπέδο (δύο άξονες µαζί) και τρίτο άξονα µπορώ να δ και άλλες επαλληλίες εξισώσεν γνστών κινήσεν. Για παράδειγµα, γράφοντας τις εξισώσεις (6), (7) και (8) ς 0 0 E x = σν ηµ (9) 0 = σν ηµ (10)
qe = 0 και q = (11) µπορούµε να σνδάσοµε επίπεδα ή άξονες και να δούµε διάφορες επαλληλίες εξισώσεν κίνησης µεταφράζοντας µε διαφορετικό κάθε φορά τρόπο 1. Η εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας οµαλής κκλικής κίνησης στο επίπεδο x µε εξισώσεις 0 x = 0 σν ηµ = σν 0 ηµ µε κέντρο στο σηµείο 0, το επιπέδο x και «µέτρο γνιακής ταχύτητας» = q E µιας εθύγραµµης οµαλής στον άξονα x qe µιας εθύγραµµης οµαλά επιταχνόµενης 0 στον άξονα. Η εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας οµαλής κκλικής κίνησης στο επίπεδο x
µε κέντρο στο σηµείο 0, το επιπέδο x µε ακτίνα R= 1 0 και «µέτρο γνιακής ταχύτητας» = q E µιας εθύγραµµης οµαλής στον άξονα x qe µιας εθύγραµµης οµαλά επιταχνόµενης 0 στον άξονα 3. Η εξίσση κίνησης το φορτισµένο σµατιδίο είναι επαλληλία τν εξισώσεν µιας οµαλής κκλικής κίνησης στο επίπεδο x µε κέντρο στο σηµείο 0, το επιπέδο x µε ακτίνα R= 1 0 µε «µέτρο γνιακής ταχύτητας» = q E o µιας παραβολικής κίνησης = x x E E x στο επίπεδο
κ.λ.π. Σµπέρασµα: Σε µια εξίσση κίνησης µπορούµε να δούµε οποιαδήποτε επαλληλία εξισώσεν κίνησης θέλοµε, αρκεί το άθροισµά τος να είναι ίδιο ή µαθηµατικά ισοδύναµο µε την εξίσση κίνησης πο έβγαλε η διαφορική εξίσση. Σε µια κίνηση κάντε, αν ατό σας βοηθά, οποιοδήποτε κινηµατικό, γεµετρικό, πολογιστικό κ.λ.π. τρκ θέλετε, αρκεί να οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσµα µε τη λύση της διαφορικής. Όµς έχετε εθύνη να εξασφαλίσετε ότι δε βάζει σε κίνδνο τος σλλογισµούς µας, τος σλλογισµούς ατών πο σας ακούνε, δεν ανάγει το τρκ σε µέθοδο αντιµετώπισης τν κινήσεν γενικά, δε βάζει σε κίνδνο την αλήθεια της διαφορικής εξίσσης και δε τη διασύρει, δεν ενθαρρύνει τος ανθρώπος να διώξον από τη σνείδησή τος τα µαθηµατικά και την αξία πο έχον για τη φσική αντικαθιστώντας τα µε προχειρότητες, δεν αντιστρέφει τις σλλογιστικές προτεραιότητες, δεν... δεν... δεν...