Το Θεώρημα της Αναγωγής για τις Συμπλεκτικές και τις Poisson πολλαπλότητες και εφαρμογές του

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Το Θεώρημα της Αναγωγής για τις Συμπλεκτικές και τις Poisson πολλαπλότητες και εφαρμογές του ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Παύλου Σταμπολίδη Επιβλέπουσα: Φανή Πεταλίδου Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2015

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Το Θεώρημα της Αναγωγής για τις Συμπλεκτικές και τις Poisson πολλαπλότητες και εφαρμογές του ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Παύλου Σταμπολίδη Επιβλέπουσα: Φανή Πεταλίδου Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την Φ. Πεταλίδου Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Α.Π.Θ. Ε. Κάππος Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Μαθηματικών Α.Π.Θ. Σ. Σταματάκης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Μαθηματικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2015

.. Παύλος Σταμπολίδης Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyright Παύλος Σταμπολίδης, 2015. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Allrightsreserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ.

Ευχαριστίες Για την επίβλεψη της παρούσης διπλωματικής εργασίας θα ήθελα να ευχαριστήσω την Επίκουρη Καθηγήτρια του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ. κ. Φανή Πεταλίδου, καθώς και τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής, κ. Ευθύμιο Κάππο Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ. και κ. Στυλιανό Σταματάκη Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ., για τις παρατηρήσεις τους.

Περιεχόμενα Περίληψη 3 Abstract 4 Εισαγωγή 5 1 Πολυγραμμική Άλγεβρα 6 1.1 Δυϊκός Χώρος.................................. 6 1.2 Συμμετρικές και Εναλλασσόμενες k-μορφές.................. 9 1.3 Εξωτερικές k-μορφές.............................. 10 1.3.1 Το τανυστικό και εξωτερικό γινόμενο μορφών............ 10 1.3.2 Βάση εξωτερικών k-μορφών...................... 10 1.3.3 Ιδιότητες εξωτερικών μορφών..................... 11 1.4 k-διανύσματα.................................. 13 2 Συμπλεκτικοί και Poisson διανυσματικοί χώροι 14 2.1 Συμπλεκτικοί διανυσματικοί χώροι και υποχώροι αυτών............ 14 2.1.1 Βασικές έννοιες............................. 14 2.1.2 Συμπλεκτικές απεικονίσεις και η συμπλεκτική ομάδα......... 18 2.1.3 Υποχώροι Συμπλεκτικών Διανυσματικών Χώρων........... 20 2.2 Poisson διανυσματικοί χώροι και υποχώροι αυτών............... 22 3 Συμπλεκτικές και Poisson πολλαπλότητες 25 3.1 Στοιχεία από τη θεωρία των Συμπλεκτικών Πολλαπλοτήτων......... 26 3.1.1 Διαφορικές k-μορφές.......................... 26 3.1.2 Ορισμοί και παραδείγματα συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων....... 29 3.1.3 Συμπλεκτικές απεικονίσεις και είδη υποπολλαπλοτήτων........ 34 3.1.4 Χαμιλτονιανά και Συμπλεκτικά διανυσματικά πεδία.......... 35 3.1.5 Αγκύλη Poisson............................ 39 3.2 Στοιχεία από τη θεωρία των Πολλαπλοτήτων Poisson............ 42 3.2.1 k-διανυσματικά Πεδία......................... 42 3.2.2 Πολλαπλότητες Poisson........................ 45 3.2.3 Παραδείγματα πολλαπλοτήτων Poisson................ 56 4 Αναγωγή Συμπλεκτικών και Poisson δομών 65 4.1 Διανυσματικοί χώροι πηλίκα.......................... 65 4.2 Μία εισαγωγή στις φυλλώσεις και στις κατανομές............... 65 4.2.1 Μία σύντομη παρουσίαση της θεωρίας των φυλλώσεων........ 65 4.2.2 Μία σύντομη παρουσίαση της θεωρίας των κατανομών........ 71 4.3 Αναγωγή Συμπλεκτικού Διανυσματικού χώρου................ 74 4.4 Αναγωγή Συμπλεκτικής Πολλαπλότητας.................... 76 4.5 Αναγωγή Πολλαπλοτήτων Poisson...................... 85 5 Εφαρμογές του Θεωρήματος της Αναγωγής των Πολλαπλοτήτων Poisson 100 5.1 Δράση ομάδας Lie επί μίας συμπλεκτικής ή Poisson πολλαπλότητας και η απεικόνιση ροπής................................ 100 1

5.1.1 Δράση ομάδας Lie επί της συνεφαπτόμενης δέσμης.......... 106 5.2 Εφαρμογές και Παραδείγματα.......................... 107 5.2.1 Η αναγωγή μίας συμπλεκτικής πολλαπλότητας από δράση ομάδας Lie 107 5.2.2 Η αναγωγή μίας πολλαπλότητας Poisson από δράση ομάδας Lie... 111 5.2.3 Η αναγωγή μίας πολλαπλότητας Poisson από Poisson δράση μίας ο- μάδας Lie................................ 118 5.2.4 Η αναγωγή της συνεφαπτόμενης δέσμης μίας ομάδας Lie...... 119 5.2.5 Παράδειγμα αναγωγής μίας πολλαπλότητας Poisson......... 124 5.2.6 Σύγκριση αναγωγής μίας πολλαπλότητας Poisson με τη συμπλεκτική αναγωγή................................. 127 Παράρτημα 131 Αʹ Στοιχεία από τη θεωρία των Πολλαπλοτήτων 131 Αʹ.1 Γενικά περί πολλαπλοτήτων........................... 131 Αʹ.1.1 Απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων.................. 131 Αʹ.1.2 Υποπολλαπλότητες........................... 132 Αʹ.1.3 Ιδιότητες συναρτήσεων και απεικονίσεων............... 133 Αʹ.2 Διανυσματικές δέσμες.............................. 135 Αʹ.3 Διανυσματικά πεδία............................... 137 Αʹ.4 Ολοκληρωτικές καμπύλες και ροή διανυσματικού πεδίου........... 138 Αʹ.5 Άλγεβρες Lie.................................. 140 Αʹ.6 Ομάδες Lie................................... 141 Αʹ.6.1 Βασικοί Ορισμοί και αποτελέσματα................... 141 Αʹ.6.2 Εκθετική απεικόνιση.......................... 143 Αʹ.6.3 Δράση Ομάδας Lie........................... 143 Αʹ.6.4 Η δράση των αριστερών και δεξιών μεταφορών............ 147 Αʹ.6.5 Η συζυγής και η συνσυζυγής δράση.................. 148 2

Περίληψη Στην παρούσα Διπλωματική εργασία μελετάμε το πρόβλημα της αναγωγής στην κατηγορία των συμπλεκτικών και Poisson πολλαπλοτήτων. Επειτα από μία παρουσίαση της στοιχειώδους θεωρίας των συμπλεκτικών και Poisson πολλαπλοτήτων αποδεικνύουμε το Θεώρημα της Αναγωγής και στις δύο περιπτώσεις και παρουσιάζουμε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα. 3

Abstract In the present Master s thesis we study the reduction problem in the category of symplectic and Poisson manifolds. After a presentation of elementary theory of symplectic and Poisson manifolds we prove the Reduction Theorem in both case and we present some characteristic examples. 4

Εισαγωγή Μηχανική είναι ο κλάδος της φυσικής που ασχολείται με τη δυναμική των σωματιδίων, των στερεών σωμάτων, των συνεχών μέσων και τις θεωρίες πεδίων, όπως η θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού και η θεωρία της βαρύτητας. Το μαθηματικό πλαίσιο για την περιγραφή των Μηχανικών Συστημάτων είναι οι συμπλεκτικές πολλαπλότητες και γενικότερα οι πολλαπλότητες Poisson. Ο όρος συμπλεκτική (symplectic) χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά, υπό τη σημερινή του έννοια, από τον Hermann Weyl (1885-1955) στο βιβλίο του The classical groups [39], ο οποίος θέλοντας να αποφύγει να χρησιμοποιήσει τη λέξη complex, πήρε τις λατινικές ρίζες στη λέξη com-plex και τις αντικατέστησε με τις αντίστοιχες ελληνικές ρίζες συν-πλέκω. Η έννοια όμως της συμπλεκτικής δομής είναι αρκετά προγενέστερη του όρου symplectic καθώς εμφανίζεται στις εργασίες του Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) [17],[18]. Αντίστοιχα, η έννοια της Poisson αγκύλης οφείλεται στον Siméon Denis Poisson (1781-1840), ο οποίος την μελέτησε στον R 2n. Αργότερα, γενικεύτηκε από τον Sophus Lie (1842-1899), ενώ ο André Lichnerowicz (1915-1998) [23] είναι αυτός που όρισε την έννοια της Poisson δομής, τη μελέτησε σε βάθος και αναγνώρισε τη σημασία της στη Μηχανική και στη Μαθηματική Φυσική. Παράλληλα, μερικοί μαθηματικοί ανεξάρτητα από τον Lichnerowicz χρησιμοποιήσανε το όνομα Χαμιλτονιανές δομές για να ορίσουν τις Poisson δομές. Μία δυναμική και συνήθης τεχνική στη Μηχανική είναι η αναγωγή (reduction). Οι θεμελιωτές της Κλασικής Μηχανικής χρησιμοποιούσαν διατηρήσιμες ποσότητες (conserved quantities) των Μηχανικών Συστημάτων που μελετούσαν για να απαλείψουν βαθμούς ε- λευθερίας με σκοπό την απλοποίηση του Συστήματος. Για παράδειγμα, μελετώντας την κίνηση δύο σωμάτων r 1 = (r 1x, r 1y, r 1z ), r 2 = (r 2x, r 2y, r 2z ) R 3 στον ευκλείδειο χώρο R 3 (θεωρώντας ότι η μόνη δύναμη που δρα είναι η βαρύτητα) που έχουν ορμή, αντίστοιχα, p 1 = (p 1x, p 1y, p 1z ), p 2 = (p 2x, p 2y, p 2z ), καταλήγει κανείς σε ένα μη γραμμικό σύστημα 12 συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, το οποίο περιγράφει τις εξισώσεις κίνησης των δύο σωμάτων. Χρησιμοποιώντας την αρχή της διατήρησης της ορμής απαλοίφουμε βαθμούς ελευθερίας που δε σχετίζονται με την κίνηση των σωμάτων με αποτέλεσμα να πάρουμε ένα μη γραμμικό σύστημα 6 συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Επειτα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αρχή της διατήρησης της στροφορμής και να καταλήξουμε σε ένα μη γραμμικό σύστημα 4 συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Η διαδικασία που μόλις περιγράψαμε θεωρείται πρόδρομος αυτού που αποκαλούμε σήμερα θεωρία της αναγωγής (reduction theory) την οποία συναντάει κανείς σε αρκετά μαθηματικά πλαίσια πλέον. Σκοπός της παρούσης διπλωματικής εργασίας είναι η παρουσίαση της έννοιας και της μεθόδου της αναγωγής στο πλαίσιο των συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων και πολλαπλοτήτων Poisson καθώς και κάποιες από τις βασικές τους εφαρμογές. Για το λόγο αυτό το πρώτο, δεύτερο και τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη μελέτη των εννοιών από τη Πολυγραμμική Άλγεβρα, των συμπλεκτικών και Poisson διανυσματικών χώρων και των συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων και πολλαπλοτήτων Poisson, αντίστοιχα. Ακολουθούν το τέταρτο κεφάλαιο που περιέχει τις μεθόδους αναγωγής στις προαναφερθείσες περιπτώσεις και το πέμπτο κεφάλαιο το οποίο περιλαμβάνει μερικές βασικές τους εφαρμογές και παραδείγματα. Στοιχειώδεις έννοιες από τη Γραμμική Άλγεβρα και τη θεωρία των Διαφορίσιμων Πολλαπλοτήτων θεωρούνται γνωστές. Παρ όλα αυτά, παραθέτουμε στο παράρτημα βασικούς ορισμούς και προτάσεις από τη θεωρία των πολλαπλοτήτων που χρησιμοποιούμε στην παρούσα εργασία. 5

1 Πολυγραμμική Άλγεβρα Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε εν συντομία μερικές βασικές έννοιες της πολυγραμμικής άλγεβρας, τις οποίες έχουμε ανάγκη για τα παρακάτω. Στα επόμενα, το V συμβολίζει έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης n (χωρίς αυτό να σημαίνει ότι τα αποτελέσματα δεν μπορούν να εφαρμοστούν για μιγαδικό διανυσματικό χώρο) και το 0 το μηδενικό στοιχείο του διανυσματικού χώρου. 1.1 Δυϊκός Χώρος Ας θυμηθούμε ότι, αν V, W είναι δύο διανυσματικοί χώροι, τότε το σύνολο όλων των γραμμικών απεικονίσεων από τον V στον W συμβολίζεται με Hom(V, W ) και αποτελεί διανυσματικό χώρο. Ορισμός 1.1. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος. Ορίζουμε το δυϊκό (dual) χώρο του V και τον συμβολίζουμε με V ως το σύνολο Hom(V, R). Ενα στοιχείο του V λέγεται επίσης και 1-μορφή (1-form) επί του διανυσματικού χώρου V. Θεώρημα 1.2. [33] Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος και V ο δυϊκός του. Τότε, dim V = dim V. Σε κάθε βάση (e 1,..., e n ) του V αντιστοιχεί μία βάση ( e 1,..., e n) του V η οποία χαρακτηρίζεται από τις σχέσεις: e i (e j ) = δj i, i, j = 1,..., n, όπου δi j το δέλτα του Kronecker που ορίζεται ως εξής: { 1, για i = j, δj i = 0, για i j. Η βάση ( e 1,..., e n) του V λέγεται δυϊκή βάση της (e 1,..., e n ). Πρόταση - Ορισμός 1.3. [20] Ας είναι W ένας διανυσματικός υποχώρος του V. Το υποσύνολο του V που αποτελείται από τις γραμμικές μορφές που μηδενίζονται στον W λέγεται μηδενιστής του W (annihilator of W ), αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του V και συμβολίζεται με W 0. Δηλαδή, W 0 = {ϕ V ϕ(x) = 0, x W }. Οι διαστάσεις των W και W 0 ικανοποιούν την εξίσωση dim W + dim W 0 = dim V. (1) Ο μηδενιστής του αθροίσματος δύο υποχώρων ισούται με την τομή των μηδενιστών των υποχώρων αυτών. Η ιδιότητα αυτή θα μας φανεί χρήσιμη στα επόμενα και την αποδεικνύουμε στην παρακάτω πρόταση. Πρόταση 1.4. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος και W, U δύο υπόχωροί του. Τότε, W 0 U 0 = (W + U) 0. Απόδειξη: Εστω ϕ W 0 U 0. Αυτό σημαίνει ότι ϕ W 0 και ϕ U 0. Επομένως, από τον ορισμό του μηδενιστή ενός υποχώρου, έχουμε ότι ϕ W = 0 και ϕ U = 0. (2) 6

Θέλουμε να δείξουμε ότι ϕ (W + U) 0 ϕ W +U = 0. (3) Εστω x W + U. Τότε, από τον ορισμό του αθροίσματος υποχώρων, έπεται ότι υπάρχουν w W και u U τέτοια ώστε x = w + u. Επομένως, λόγω των σχέσεων (2) και της γραμμικότητας της ϕ, έχουμε ότι ϕ(x) = ϕ(w + u) = ϕ(w) + ϕ(u) = 0. Επειδή το x είναι τυχαίο, συνάγουμε ότι ϕ (W + U) 0, το οποίο μας οδηγεί στη σχέση W 0 U 0 (W + U) 0. (4) Εστω, τώρα, ϕ (W + U) 0. Τότε ϕ W +U = 0. Καθώς, όμως, W, U W + U έπεται ότι ϕ W = 0 και ϕ U = 0, δηλαδή ϕ W 0 U 0. Οπότε, (W + U) 0 W 0 U 0. (5) Συνεπώς, από τις σχέσεις (4), (5) συνεπάγεται ότι W 0 U 0 = (W + U) 0. Είδαμε ότι σε κάθε υποχώρο W του V αντιστοιχεί ο υποχώρος W 0 του V. Εντελώς ανάλογα, μπορούμε σε κάθε υποχώρο U του V να αντιστοιχίσουμε τον υποχώρο ker U του V, σύμφωνα με την παρακάτω πρόταση - ορισμό, που μπορεί να θεωρηθεί ως η δυϊκή της Πρότασης - Ορισμός 1.3. Πρόταση - Ορισμός 1.5. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος, V ο δυϊκός του και U ένας υποχώρος του V. Ονομάζουμε πυρήνα του υποχώρου U και τον συμβολίζουμε με ker U το υποσύνολο του V που ορίζεται ως εξής: ker U = {x V ϕ(x) = 0, ϕ U}. Τότε, το σύνολο ker U αποτελεί υποχώρο του V και οι διαστάσεις των U και ker U ικανοποιούν την εξίσωση dim U + dim ker U = dim V. (6) Πόρισμα 1.6. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος και V ο δυϊκός του. Τότε, ker V = { 0}. Απόδειξη: Από την εξίσωση (6) του προηγούμενου ορισμού, για U = V, έχουμε ότι dim V + dim ker V = dim V dim ker V = 0 ker V = { 0}. Πρόταση 1.7. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος, V ο δυϊκός του και W, U υποχώροι των V και V, αντίστοιχα. Τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες i) ker(w 0 ) = W. ii) (ker U) 0 = U. 7

Ορισμός 1.8. Ας είναι V, W δύο διανυσματικοί χώροι, V, W οι δυϊκοί των V, W, αντίστοιχα, και T : V W μία γραμμική απεικόνιση. Η απεικόνιση T : W V ϕ T (ϕ) = ϕ T, είναι γραμμική και λέγεται η δυϊκή απεικόνιση της T. Πρόταση 1.9. [15] Ο πυρήνας και η εικόνα της δυϊκής απεικόνισης ικανοποιούν τις σχέσεις: 1. (ker T ) 0 = Im T. (7) 2. Im T = (ker T ) 0. (8) Οπως ορίστηκε ο δυϊκός χώρος V ενός διανυσματικού χώρου V, ανάλογα μπορεί να οριστεί και ο δυϊκός χώρος του V. Συμβολίζεται με V = (V ) και είναι ο χώρος Hom(V, R). Εστω (e 1,..., e n ) μία βάση του V και (e 1,..., e n ) η δυϊκή της. Τότε, οι n γραμμικές συναρτήσεις ɛ 1,..., ɛ n : V R που ορίζονται, για κάθε ϕ = n j=1 λ je j V, λ j R, από τις σχέσεις ή, ισοδύναμα, από τις σχέσεις ɛ i (ϕ) = ɛ i ( λ j e j ) = λ i, i = 1,..., n, (9) j=1 ɛ i (e j ) = δ j i, i, j = 1,..., n, αποτελούν μία βάση του χώρου V, που είναι η δυϊκή βάση της (e 1,..., e n ). Συνεπώς, dim V = dim V = n. Επιπλέον, οι χώροι V και V είναι φυσικά ισόμορφοι (δηλαδή η ισομορφία είναι ανεξάρτητη της οποιασδήποτε εκλογής βάσης). Πράγματι, εύκολα μπορεί να δείξει κανείς ότι η απεικόνιση είναι ισομορφισμός. T : V V x T (x) V T (x) : V R ϕ T (x)(ϕ) = ϕ(x) R, Παρατήρηση 1.10. Οι δύο χώροι V και V μπορούν να ταυτιστούν εφόσον είναι φυσικά ισόμορφοι. Οπότε, κάθε διάνυσμα x V μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μία γραμμική συνάρτηση επί του V η οποία σύμφωνα με τον παραπάνω ισομορφισμό ορίζεται ως x(ϕ) = ϕ(x), για κάθε ϕ V. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η δυϊκή βάση (ɛ 1,..., ɛ n ) της βάσης (e 1,..., e n ) μπορεί να ταυτιστεί με τη βάση (e 1,..., e n ). Πράγματι, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (9), για κάθε ϕ = n j=1 λ je j V και i = 1,..., n, έχουμε e i (ϕ) = ϕ(e i ) = ( Οπότε, e i = ɛ i, i = 1,..., n. λ j e j )(e i ) = j=1 λ j e j (e i ) = j=1 λ j δ j i = λ i = ɛ i (ϕ). j=1 8

1.2 Συμμετρικές και Εναλλασσόμενες k-μορφές Εστω V ένας διανυσματικός χώρος, V k = V }. {{.. V } το καρτεσιανό γινόμενο του V k φορές με τον εαυτό του k φορές και S k η συμμετρική ομάδα. Ορισμός 1.11. Μία απεικόνιση f : V k R λέγεται k-γραμμική συνάρτηση (k-linear function) αν είναι γραμμική ως προς την κάθε μεταβλητή της. Δηλαδή, για κάθε x, y V και λ, µ R να ισχύει f(..., λx + µy,...) = λf(..., x,...) + µf(..., y,...). Μία k-γραμμική συνάρτηση λέγεται, επίσης, και k-μορφή (k-form) επί του V. Ορισμός 1.12. Μία k-μορφή f : V k R λέγεται: Συμμετρική (symmetric) αν, για κάθε (x 1,..., x k ) V k, f(x σ(1),..., x σ(k) ) = f(x 1,..., x k ), για κάθε σ S k. Εναλλασσόμενη (alternating) αν, για κάθε (x 1,..., x k ) V k, f(x σ(1),..., x σ(k) ) = (sgnσ)f(x 1,..., x k ), για κάθε σ S k. Σημειώνουμε με k (V ) το σύνολο όλων των εναλλασσόμενων k-μορφών (k > 0) επί του V. Ενα στοιχείο του k (V ) λέγεται, επίσης, και εξωτερική k-μορφή (exterior k-form) επί του V. Για k = 0, ορίζουμε 0 (V ) = R. Επίσης, για k = 1, 1 (V ) = V. Ορισμός 1.13. Εστω f μία k-μορφή επί ενός διανυσματικού χώρου V και σ S k μία μετάθεση. Ορίζουμε μία νέα k-μορφή σf ως εξής: (σf)(x 1,..., x k ) = f(x σ(1),..., x σ(k) ), (x 1,..., x k ) V k. Οπότε, η f είναι συμμετρική αν και μόνο αν σf = f, για κάθε σ S k. Η f είναι εναλλασσόμενη αν και μόνο αν σf = (sgnσ)f, για κάθε σ S k. Αν f είναι μία k-μορφή επί ενός διανυσματικού χώρου V, μπορούμε, τότε, να κατασκευάσουμε μία συμμετρική και μία εναλλασσόμενη k-μορφή ως εξής: Πρόταση - Ορισμός 1.14. [35] Ας είναι f μία k-μορφή επί ενός διανυσματικού χώρου V και (x 1,..., x k ) V k. Ορίζουμε την απεικόνιση Sf : V k R, με (Sf)(x 1,..., x k ) = σ S k f(x σ(1),..., x σ(k) ), δηλαδή, Sf = σ S k σf, και την απεικόνιση Af : V k R, με (Af)(x 1,..., x k ) = σ S k (sgnσ)f(x σ(1),..., x σ(k) ), δηλαδή, Af = σ S k (sgnσ)σf. Τότε, η απεικόνιση Sf είναι συμμετρική k-μορφή και η Af είναι εναλλασσόμενη k-μορφή. 9

1.3 Εξωτερικές k-μορφές 1.3.1 Το τανυστικό και εξωτερικό γινόμενο μορφών Ορισμός 1.15. Ας είναι f μία k-μορφή και g μία l-μορφή επί ενός διανυσματικού χώρου V. Το τανυστικό τους γινόμενο (tensor product) είναι μία (k + l)-μορφή f g που ορίζεται, για κάθε (x 1,..., x k+l ) V k+l, από τη σχέση (f g)(x 1,..., x k+l ) = f(x 1,..., x k )g(x k+1,..., x k+l ). Ορισμός 1.16. Ας είναι f μία εναλλασσόμενη k-μορφή και g μία εναλλασσόμενη l-μορφή επί ενός διανυσματικού χώρου V. Το εξωτερικό τους γινόμενο (exterior product) είναι μία εναλλασσόμενη (k + l)-μορφή f g που ορίζεται από τη σχέση δηλαδή, για (x 1,..., x k+l ) V k+l, (f g)(x 1,..., x k+l ) = 1 k!l! f g = 1 A(f g). k!l! σ S k+l (sgnσ)f(x σ(1),..., x σ(k) )g(x σ(k+1),..., x σ(k+l) ). Το εξωτερικό γινόμενο λέγεται επίσης και σφηνοειδές γινόμενο (wedge product). Παρατήρηση 1.17. Για k = l = 1, f, g 1 (V ) = V και (x 1, x 2 ) V 2, (f g)(x 1, x 2 ) = f(x 1 )g(x 2 ) f(x 2 )g(x 1 ). Γενικότερα, για ϕ 1,..., ϕ k V και (x 1,..., x k ) V k, (ϕ 1... ϕ k )(x 1,..., x k ) = det[ϕ i (x j )]. Το εξωτερικό γινόμενο έχει τις εξής ιδιότητες: 1. Είναι αντιμεταθετικό (anticommutative), δηλαδή αν f k (V ) και g l (V ), τότε f g = ( 1) kl g f. 2. Αν f k (V ), όπου k περιττός, τότε f f = 0. 3. Είναι προσεταιριστικό (associative), δηλαδή αν f k (V ), g l (V ), h m (V ) τότε (f g) h = f (g h). 1.3.2 Βάση εξωτερικών k-μορφών Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος, (e 1,..., e n ) μία βάση του και ( e 1,..., e n) η δυϊκή βάση του V. Συμβολίζουμε με I = (i 1,..., i k ) και γράφουμε e I για (e i1,..., e ik ) και e I για e i 1 e i k. Τότε, ισχύουν τα εξής: Πρόταση 1.18. [35] 1. Αν I = (1 i 1 <... < i k n) και J = (1 j 1 <... < j k n) τότε, { 1, για I = J, e I (e J ) = δj I = 0, για I J. 10

2. Οι εξωτερικές k-μορφές e I, I = (i 1 <... < i k ), i 1,..., i k {1,..., n}, αποτελούν μία βάση του χώρου k (V ). 3. Η διάσταση του χώρου k (V ) ισούται με ( n k). Παράδειγμα 1.19. Εστω V ένας 4-διάστατος διανυσματικός χώρος, V ο δυϊκός του, (e 1, e 2, e 3, e 4 ) μία βάση του V και ( e 1, e 2, e 3, e 4) η δυϊκή βάση του V. Τότε, dim 2 (V ) = ( 4 ) 2 = 6 και ( e 1 e 2, e 1 e 3, e 1 e 4, e 2 e 3, e 2 e 4, e 3 e 4), είναι μία βάση του 2 (V ). Ορισμός 1.20. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος. Τότε, σύμφωνα με τα παραπάνω n (V ) = ( n n) = 1. Τα μη μηδενικά στοιχεία του μονοδιάστατου χώρου n (V ) λέγονται στοιχεία όγκου (volume elements). Αν τ 1 και τ 2 είναι στοιχεία όγκου, λέμε, τότε, ότι τα τ 1 και τ 2 είναι ισοδύναμα αν και μόνο αν υπάρχει c > 0 τέτοιο ώστε τ 1 = cτ 2. Η σχέση αυτή ορίζει μία σχέση ισοδυναμίας στο n (V ). Μία κλάση ισοδυναμίας της, ονομάζεται προσανατολισμός του V. 1.3.3 Ιδιότητες εξωτερικών μορφών Ορισμός 1.21. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος και ω μία μη μηδενική εξωτερική k-μορφή επί του V. Για κάθε x V, το αριστερό εσωτερικό γινόμενο (left interior product) της μορφής ω με το x, που συμβολίζεται με i x ω, είναι η εξωτερική (k 1)-μορφή η οποία, για κάθε x 1,..., x k 1 V, ορίζεται από τη σχέση i x ω(x 1,..., x k 1 ) = ω(x, x 1,..., x k 1 ). Ορίζεται, έτσι, μία γραμμική απεικόνιση f ω από το V στο σύνολο k 1 V των εξωτερικών (k 1)-μορφών από τη σχέση f ω (x) = i x ω, x V. (10) Ορισμός 1.22. Ορίζουμε τον πυρήνα της μορφής ω, τον οποίο συμβολίζουμε με ker ω, να είναι ο πυρήνας της γραμμικής απεικόνισης f ω. Συμβολίζουμε, επίσης, με rkω την τάξη της μορφής ω η οποία ορίζεται να είναι η τάξη της απεικόνισης f ω, δηλαδή η διάσταση του f ω (V ). Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση που η μορφή ω είναι στοιχείο όγκου, δηλαδή είναι μέγιστης τάξης, και η περίπτωση που η ω είναι μία εξωτερική 2-μορφή, η οποία θα συμβολίζεται στο εξής με Ω. Πρόταση 1.23. [22] Ας είναι ω μία μη μηδενική εξωτερική n-μορφή επί ενός διανυσματικού χώρου V διάστασης n. Τότε, ker ω = { 0} και η απεικόνιση f ω που ορίστηκε στην (10) είναι ένας ισομορφισμός του V στο n 1 V. Η απεικόνιση x i x Ω θα συμβολίζεται με Ω αντί του f Ω που ορίστηκε στην (10). Δηλαδή, Ω : V V x Ω (x) = i x Ω V Ω (x) : V R y Ω (x)(y) = i x Ω(y) = Ω(x, y) = Ω(y, x) R. 11

Παρατήρηση 1.24. Η τάξη και ο πυρήνας της απεικόνισης Ω ισούται με την τάξη και τον πυρήνα της Ω αφού, εξ ορισμού (βλ. Ορισμός 1.22), ker Ω = ker( Ω ) = ker Ω, rkω = rk( Ω ) = rkω. Το Θεώρημα του Cartan 1.25. [22] Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n και Ω μία εξωτερική 2-μορφή επί του V. Αν Ω 0, τότε η τάξη της Ω είναι ένας άρτιος φυσικός αριθμός, έστω 2p (2 2p n). Τότε, υπάρχει μία βάση ( e 1,..., e p, f 1,..., f p) του Ω (V ), τέτοια ώστε p Ω = e i f i. i=1 Πόρισμα 1.26. [22] Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος και Ω μία εξωτερική 2-μορφή τάξης 2p. Τότε, ο αριθμός p είναι ο μέγιστος θετικός ακέραιος για τον οποίο ισχύει Ω p := } Ω.{{.. Ω} 0. p-φορές Παρατήρηση 1.27. Σύμφωνα με τον Ορισμό 1.22, ο πυρήνας μίας εξωτερικής 2-μορφής Ω ισούται με ker Ω = ker f Ω = ker( Ω ) = {x V Ω (x) = 0} = {x V Ω (x)(y) = 0, y V } = {x V Ω(x, y) = 0, y V }. Ορισμός 1.28. Μία εξωτερική 2-μορφή Ω επί του V λέγεται μη εκφυλισμένη (nondegenerate) όταν, το μοναδικό στοιχείο y V που ικανοποιεί την Ω(x, y) = 0, x V, είναι το μηδενικό, δηλαδή y = 0. Η, ισοδύναμα, αν ker Ω = {x V Ω(x, y) = 0, y V } = { 0}. Πρόταση 1.29. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n και Ω μία εξωτερική 2-μορφή επί του V. Τότε, τα επόμενα είναι ισοδύναμα. (i) Η γραμμική απεικόνιση Ω : V V είναι ισομορφισμός. (ii) Η μορφή Ω είναι μη εκφυλισμένη. (iii) Η διάσταση του V είναι άρτιος αριθμός και ισούται με την τάξη της Ω. Απόδειξη: Από την Παρατήρηση 1.24, ισχύει ότι: ker Ω = ker Ω, rkω = rkω. Επίσης, από το Θεώρημα του Cartan (βλ. Θεώρημα 1.25), ισχύει ότι η τάξη της Ω είναι άρτιος φυσικός αριθμός, έστω 2p. Επιπλέον, είναι γνωστό από τη Γραμμική Άλγεβρα, ότι μία γραμμική απεικόνιση f μεταξύ διανυσματικών χώρων πεπερασμένης ίσης διάστασης είναι ισομορφισμός ακριβώς τότε όταν η f είναι 1-1 ή επί. Οπότε, λαμβάνοντας υπόψη τα προηγούμενα, έχουμε 12

(i) (ii) Ω ισομορφισμός ker Ω = { 0} ker Ω = { 0} Ω μη εκφυλισμένη. (i) (iii) 1.4 k-διανύσματα Ω ισομορφισμός Ω (V ) = V rkω = dim V = dim V rkω = dim V 2p = n. Μπορούμε να αλλάξουμε τους ρόλους των V και V και να θεωρήσουμε τις εξωτερικές k-μορφές επί του V. Στην περίπτωση αυτή, οι εξωτερικές k-μορφές επί του V λέγονται k-διανύσματα και το σύνολό τους συμβολίζεται με k (V ). Οπότε, ό,τι έχει αναφερθεί προηγουμένως για ένα διανυσματικό χώρο V μπορεί να προσαρμοστεί ανάλογα και για τον V. Για παράδειγμα, η προηγούμενη Πρόταση 1.18 (και ο συμβολισμός αντίστοιχα) προσαρμόζεται ως εξής: Πρόταση 1.30. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος, (e 1,..., e n ) μία βάση του και ( e 1,..., e n) η δυϊκή βάση του V. Συμβολίζουμε με I = (i 1,..., i k ) και γράφουμε e I για e i1... e ik και e I για (e i 1,..., e i k). Τότε ισχύουν τα εξής: 1. Αν I = (1 i 1 <... < i k n) και J = (1 j 1 <... < j k n) τότε, e I (e J ) = δ J I = { 1, για I = J, 0, για I J. 2. Τα k-διανύσματα e I, I = (i 1 <... < i k ), i 1,..., i k {1,..., n}, αποτελούν μία βάση του χώρου k (V ). Παράδειγμα 1.31. Εστω V ένας 4-διάστατος διανυσματικός χώρος και (e 1, e 2, e 3, e 4 ) μία βάση του. Τότε, μία βάση του 2 (V ) είναι (e 1 e 2, e 1 e 3, e 1 e 4, e 2 e 3, e 2 e 4, e 3 e 4 ), όπου, λαμβάνοντας υπόψη τις Παρατηρήσεις 1.10 και 1.17, για ϕ, ψ V και i < j, με i, j = 1, 2, 3, 4, έχουμε (e i e j )(ϕ, ψ) = e i (ϕ)e j (ψ) e i (ψ)e j (ϕ) = ϕ(e i )ψ(e j ) ψ(e i )ϕ(e j ) = (ϕ ψ)(e i, e j ). 13

2 Συμπλεκτικοί και Poisson διανυσματικοί χώροι Κύριος σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσουμε τις έννοιες του συμπλεκτικού και Poisson διανυσματικού χώρου, δύο έννοιες που συνδέονται άμεσα με τις έννοιες της συμπλεκτικής και Poisson πολλαπλότητας, αντίστοιχα, τις οποίες θα εξετάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο. Για να ορίσουμε τους συμπλεκτικούς και Poisson διανυσματικούς χώρους, απαραίτητα μαθηματικά στοιχεία είναι οι εξωτερικές 2-μορφές και τα 2-διανύσματα, αντίστοιχα. Ξεκινάμε το κεφάλαιο με τις έννοιες του συμπλεκτικού διανυσματικού χώρου και της συμπλεκτικής βάσης και παρουσιάζουμε κάποια παραδείγματα συμπλεκτικών διανυσματικών χώρων. Συνεχίζουμε ορίζοντας τη συμπλεκτική απεικόνιση και τη συμπλεκτική ομάδα. Δείχνουμε ότι όλοι οι συμπλεκτικοί διανυσματικοί χώροι στην ουσία δε διαφέρουν μεταξύ τους και μπορούμε να τους ταυτίσουμε. Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε βασικούς τύπους υποχώρων ενός συμπλεκτικού διανυσματικού χώρου που συναντάμε στη μελέτη των συμπλεκτικών διανυσματικών χώρων και αναφέρουμε κάποιες ιδιότητες και μερικά παραδείγματα αυτών. Καθώς αναπτύσσουμε τις παραπάνω έννοιες, παράλληλα, τις συγκρίνουμε με αντίστοιχες έννοιες ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου. Τέλος, κλείνουμε το κεφάλαιο με την έννοια του Poisson διανυσματικού χώρου και τη σχέση του με το συμπλεκτικό διανυσματικό χώρο. Οσον αφορά τους συμβολισμούς, με V θα συμβολίζουμε έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης, με V τον δυϊκό του και με 0 το μηδενικό στοιχείο του V. Με ϕ, x θα συμβολίζουμε ενίοτε την τιμή μίας 1-μορφής ϕ V στο διάνυσμα x V, δηλαδή ϕ, x = ϕ(x). Σημειώνουμε επίσης με ω μία εξωτερική k-μορφή, με Ω μία εξωτερική 2-μορφή και με Π ένα 2-διάνυσμα. 2.1 Συμπλεκτικοί διανυσματικοί χώροι και υποχώροι αυτών 2.1.1 Βασικές έννοιες Ορισμός 2.1. Μία συμπλεκτική μορφή (symplectic form) επί ενός διανυσματικού χώρου V διάστασης 2n είναι μία μη εκφυλισμένη εξωτερική 2-μορφή Ω. Λέμε ότι η μορφή Ω ορίζει μία συμπλεκτική δομή στον V και ότι (V, Ω) είναι ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος (symplectic vector space). Παρατήρηση 2.2. Ενας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος (V, Ω) είναι αναγκαστικά άρτιας διάστασης λόγω της υπόθεσης ότι η Ω είναι μη εκφυλισμένη και της Πρότασης 1.29. Ο ορισμός αυτός είναι ανάλογος του ορισμού ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου, όπου έχουμε μία συμμετρική, θετικά ορισμένη, 2-μορφή που συμβολίζεται με,. Ας θυμηθούμε πως εκφράζεται το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, όταν αναφερόμαστε σε μία βάση (e 1,..., e n ) ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου (E,, ). Αν x = n i=1 xi e i και y = n j=1 yj e j τότε x, y = x i e i, y j e j = x i y j e i, e j. (11) i=1 j=1 Οταν, επιπλέον, η βάση (e 1,..., e n ) είναι ορθοκανονική, δηλαδή e i, e j = δ ij, i, j = 1,..., n, (όπου δ ij είναι το δέλτα του Kronecker), τότε η (11) μας δίνει x, y = x i y i. 14 i=1 i,j=1

Η ανάλογη έννοια της ορθοκανονικής βάσης ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου σε ένα συμπλεκτικό διανυσματικό χώρο δίνεται από τον παρακάτω ορισμό. Ορισμός 2.3. Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος διάστασης 2n. Μία βάση (e 1,..., e n, f 1,..., f n ) του V λέγεται συμπλεκτική (ή κανονική) (symplectic or canonical) εάν, για i, j = 1,..., n, όπου δ ij το δέλτα του Kronecker. Ω(e i, e j ) = Ω(f i, f j ) = 0 και Ω(e i, f j ) = δ ij, (12) Ας δούμε, τώρα, πως εκφράζεται η τιμή της συμπλεκτικής μορφής σε δύο διανύσματα του (V, Ω), όταν αναφερόμαστε σε μία συμπλεκτική του βάση (e 1,..., e n, f 1,..., f n ). Ας είναι x = (x 1,..., x n, a 1,..., a n ) και y = (y 1,..., y n, b 1,..., b n ) ως προς τη δοθείσα βάση. Τότε, λαμβάνοντας υπόψη τη διγραμμικότητα της Ω και τις σχέσεις (12), έχουμε Ω(x, y) = Ω x i e i + a i f i, y j e j + b j f j Δηλαδή, i=1 = Ω x i e i, = = = = i=1 j=1 + Ω a i f i, i=1 i=1 j=1 j=1 y j e j + Ω x i e i, j=1 x i y j Ω(e i, e j ) + i,j=1 + i=1 b j f j j=1 y j e j + Ω a i f i, i=1 x i b j Ω(e i, f j ) i,j=1 a i y j Ω(f i, e j ) + i,j=1 x i b j Ω(e i, f j ) i,j=1 x i b j δ ij i,j=1 x i b i i=1 a i b j Ω(f i, f j ) i,j=1 a i y j Ω(e j, f i ) i,j=1 a i y j δ ji i,j=1 a i y i = i=1 Ω(x, y) = (x i b i y i a i ). i=1 b j f j j=1 (x i b i y i a i ). (13) i=1 Από τη σκοπιά της εξωτερικής άλγεβρας, η συμπλεκτική μορφή Ω είναι μία εξωτερική 2-μορφή, δηλαδή Ω 2 V. Ας είναι (e 1,..., e n, f 1,..., f n ) μία συμπλεκτική βάση του (V, Ω) και ( e 1,..., e n, f 1,..., f n) η δυϊκή της, δηλαδή e i (e j ) = f i (f j ) = δ ij και e i (f j ) = f i (e j ) = 0, i, j = 1,..., n. Αυτό σημαίνει ότι, αν x = (x 1,..., x n, a 1,..., a n ), τότε e i (x) = x i και f i (x) = a i. Γνωρίζουμε (βλ. Πρόταση 1.18) ότι dim 2 V = ( n 2) και ότι μία βάση του αποτελείται από τα στοιχεία ( e i e j) 1 i<j n, ( e i f j) 1 i,j n, ( f i f j) 1 i<j n. 15

Τότε, λαμβάνοντας υπόψη την (13) και την Παρατήρηση 1.17, για x = n i=1 xi e i + n i=1 ai f i και y = n j=1 yj e j + n j=1 bj f j, έχουμε Ω(x, y) = (x i b i y i a i ) = i=1 ( e i (x)f i (y) e i (y)f i (x) ) = i=1 ( e i f i) (x, y). i=1 Δηλαδή, Ω = e i f i. i=1 Ορισμός 2.4. Μία τέτοια αναπαράσταση της Ω λέγεται κανονική μορφή (canonical form) της Ω και η βάση ( e 1,..., e n, f 1,..., f n) του V λέγεται κανονική βάση (canonical basis) του V. Είδαμε, λοιπόν, ότι η ανάλογη έννοια της ορθοκανονικής βάσης ενός ευκλείδειου διανυσματικού χώρου σε ένα συμπλεκτικό διανυσματικό χώρο είναι η συμπλεκτική βάση. Είδαμε, επίσης, και την αναπαράσταση της μορφής Ω ως προς τη δυϊκή βάση της συμπλεκτικής. Οπότε, προκύπτει το ερώτημα περί ύπαρξης συμπλεκτικής βάσης σε συμπλεκτικούς διανυσματικούς χώρους. Η απάντηση δίνεται από το Θεώρημα του Cartan (βλ. Θεώρημα 1.25). Πιο συγκεκριμένα, από το Θεώρημα του Cartan συνάγουμε τα εξής: Πρόταση 2.5. [22] Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος διάστασης 2n. Τότε, υπάρχει μία βάση ( e 1,..., e n, f 1,..., f n) (όχι μοναδική) του V τέτοια ώστε Ω = e i f i. i=1 Αυτή η βάση, είναι η δυϊκή της βάσης (e 1,..., e n, f 1,..., f n ) του V, η οποία είναι συμπλεκτική. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι μία εξωτερική 2-μορφή Ω ενός διανυσματικού χώρου διάστασης 2n μη εκφυλισμένη είναι η n-οστή εξωτερική δύναμη Ω n της Ω να είναι μη μηδενικό πολλαπλάσιο του στοιχείου του όγκου e 1... e n f 1... f n 2n V. Συγκεκριμένα, από την Πρόταση 2.5 έχουμε το παρακάτω πόρισμα. Πόρισμα 2.6. [22] Η n-οστή εξωτερική δύναμη Ω n της μορφής Ω είναι στοιχείο όγκου και ορίζει έναν προσανατολισμό στο διανυσματικό χώρο V (βλ. Ορισμός 1.20), που λέγεται ο προσανατολισμός που αντιστοιχεί στην Ω. Αν ( e 1,..., e n, f 1,..., f n) είναι μία κανονική βάση του V τότε η Ω n μπορεί να γραφεί ως Ω n = ( 1) n(n 1) 2 n!e 1... e n f 1... f n. Παρατήρηση 2.7. Αν (e 1,..., e n, f 1,..., f n ) είναι μία συμπλεκτική βάση του (V, Ω) και ( e 1,..., e n, f 1,..., f n) η δυϊκή της, τότε ο ισομορφισμός Ω : V V περιγράφεται από τις παρακάτω σχέσεις Ω (e i ) = f i και Ω (f i ) = e i, i = 1,..., n. Τις εξωτερικές 2-μορφές μπορούμε να τις δούμε και ως αντισυμμετρικούς πίνακες. Συγκεκριμένα, έχουμε τα εξής: 16

Ορισμός 2.8. Ας είναι ê = (e 1,..., e n ) μία βάση ενός διανυσματικού χώρου V διάστασης n και Ω μία εξωτερική 2-μορφή επί του V. Ορίζουμε τον πίνακα της Ω ως προς τη βάση ê, που τον συμβολίζουμε με [Ω]ê, να είναι ο n n πραγματικός πίνακας που στη θέση (i, j) έχει το στοιχείο Ω(e i, e j ) = Ω ij. Παρατήρηση 2.9. Ας είναι ê = (e i ) n i=1 μία βάση ενός διανυσματικού χώρου V και (ei ) n i=1 βάση του V, η δυϊκή της ê. Θεωρούμε, επίσης, μία εξωτερική 2-μορφή Ω επί του V. Εύκολα μπορεί να δείξει κανείς τότε, ότι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης Ω : V V ως προς τις βάσεις ê και (e i ) n i=1 είναι ο πίνακας [Ω] ê. Λαμβάνοντας υπόψη και την Πρόταση 1.29, συμπεραίνουμε ότι μία εξωτερική 2-μορφή είναι μη εκφυλισμένη αν και μόνο αν ο πίνακάς της είναι αντιστρέψιμος. Πρόταση 2.10. [9] Ας είναι V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος διάστασης n και Ω μία εξωτερική 2-μορφή επί του V τάξης r. Τότε r = 2p, p N, και υπάρχει μία βάση ê = (e i ) n i=1 του V τέτοια ώστε ο πίνακας της Ω ως προς τη βάση αυτή να είναι της μορφής 0 I p 0 [Ω]ê = I p 0 0, όπου I p M p (R) ο μοναδιαίος p p πίνακας. 0 0 0 Παρατήρηση 2.11. Αν (V, Ω) είναι ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος διάστασης 2n και ê = (e 1,..., e n, f 1,..., f n ) μία συμπλεκτική του βάση, τότε μπορούμε να γράψουμε την Ω υπό τη μορφή πινάκων ως εξής [ ] [ ] 0 I n Ω(x, y) = x 1 2n I n 0 2n 2n y 2n 1 = [x] t [Ω]ê[y], [ ] όπου οι πίνακες x και y έχουν ως στοιχεία τις συντεταγμένες των διανυσμάτων x και y, αντίστοιχα, ως προς τη βάση ê. Ας δούμε τώρα κάποια παραδείγματα συμπλεκτικών διανυσματικών χώρων. Παράδειγμα 2.12. Είδαμε ότι κάθε συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος είναι άρτιας διάστασης (Παρατήρηση 2.2). Αντίστροφα, κάθε πραγματικός διανυσματικός χώρος άρτιας διάστασης μπορεί να εφοδιαστεί με μία συμπλεκτική μορφή. Συγκεκριμένα, σε κάθε βάση ( e 1,..., e n, f 1,..., f n) του V αντιστοιχεί η συμπλεκτική μορφή Ω = e i f i. i=1 Πράγματι, έστω ê=(e 1,..., e n, f 1,..., f n ) μία βάση του V και (e 1,..., e n, f 1,..., f n ) η δυϊκή της. Θεωρούμε την εξωτερική 2-μορφή Ω = n i=1 ei f i. Θα δείξουμε ότι είναι μη εκφυλισμένη. Αρχικά παρατηρούμε ότι η Ω παίρνει τις εξής τιμές πάνω στα διανύσματα της θεωρηθείσας βάσης του V : Ω(e i, e j ) = Ω(f i, f j ) = 0 και Ω(e i, f j ) = Ω(f i, e j ) = δ ij, i, j = 1,..., n. 17

Συνεπώς, σύμφωνα με τον Ορισμό 2.8, ο πίνακας της Ω ως προς τη βάση ê είναι [ ] 0 I n, I n 0 όπου I n ο n n μοναδιαίος πίνακας. Επομένως, ο πίνακας της Ω ως προς τη βάση ê είναι αντιστρέψιμος. Οπότε, από την Παρατήρηση 2.9 συμπεραίνουμε ότι η Ω είναι μη εκφυλισμένη και έτσι ορίζει μία συμπλεκτική δομή στον V 2n με συμπλεκτική βάση την (e 1,..., e n, f 1,..., f n ). Παράδειγμα 2.13. Στον ευκλείδειο χώρο R 2n, η κανονική του βάση (e 1,..., e 2n ), ορίζει μία συμπλεκτική μορφή Ω 0 τέτοια ώστε για x = (x 1,..., x 2n ) και y = (y 1,..., y 2n ) Ω 0 (x, y) = (x i y n+i x n+i y i ), i=1 δηλαδή η βάση (e 1,..., e 2n ) είναι και συμπλεκτική. Παράδειγμα 2.14. Ας είναι E ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n και E ο δυϊκός του. Τότε ορίζουμε μία συμπλεκτική μορφή Ω στο χώρο V = E E ως εξής: όπου x 1, x 2 E και ϕ 1, ϕ 2 E. Ω((x 1, ϕ 1 ), (x 2, ϕ 2 )) = ϕ 2, x 1 ϕ 1, x 2, Παράδειγμα 2.15. Ας είναι (E,, ) ένας ευκλείδειος (πραγματικός) διανυσματικός χώρος διάστασης n. Τότε ορίζουμε μία συμπλεκτική μορφή Ω στο χώρο V = E E ως εξής: Ω((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = y 2, x 1 y 1, x 2, όπου x 1, x 2, y 1, y 2 E. Παρατήρηση 2.16. Παρακάτω θα δούμε ότι υπάρχει μόνο ένα μοντέλο για συμπλεκτικούς διανυσματικούς χώρους διάστασης 2n. Δηλαδή, όλοι οι συμπλεκτικοί διανυσματικοί χώροι μπορούν να ταυτιστούν. 2.1.2 Συμπλεκτικές απεικονίσεις και η συμπλεκτική ομάδα Ορισμός 2.17. Ας είναι (V i, Ω i ), i = 1, 2, δύο συμπλεκτικοί διανυσματικοί χώροι. Μία γραμμική απεικόνιση f : V 1 V 2 λέγεται συμπλεκτική (symplectic), αν η f διατηρεί τη συμπλεκτική δομή, δηλαδή f Ω 2 = Ω 1. Με άλλα λόγια, Ω 2 (f(x), f(y)) = Ω 1 (x, y), για κάθε x, y V 1. Αν, επιπλέον, η f είναι και ισομορφισμός (δηλαδή 1-1 και επί) τότε η f λέγεται συμπλεκτομορφισμός (symplectomorphism) και λέμε ότι οι χώροι (V 1, Ω 1 ), (V 2, Ω 2 ) είναι συμπλεκτομορφικοί (symplectomorphic). Παρατήρηση 2.18. Ο προηγούμενος ορισμός είναι για τους συμπλεκτικούς χώρους η α- νάλογη έννοια της ισομετρίας μεταξύ ευκλείδειων διανυσματικών χώρων (E i,, i ), i = 1, 2, όπου μία γραμμική απεικόνιση T : E 1 E 2 λέγεται ισομετρία αν T (x), T (y) 2 = x, y 1, για κάθε x, y E 1, δηλαδή, αν διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο. Επίσης, όπως μία ισομετρία διατηρεί την ορθοκανονικότητα μίας ορθοκανονικής βάσης, έτσι και μία συμπλεκτική απεικόνιση απεικονίζει συμπλεκτικές βάσεις σε συμπλεκτικές βάσεις ([22]). 18

Παρατήρηση 2.19. Κάθε συμπλεκτική απεικόνιση f : (V 1, Ω 1 ) (V 2, Ω 2 ) είναι 1-1. Πράγματι, έστω x ker f, δηλαδή x V 1 και f(x) = 0. Τότε, για κάθε y V 1, Ω 1 (x, y) = Ω 2 (f(x), f(y)) = Ω 2 ( 0, y) = 0. Επομένως, x = 0, διότι η μορφή Ω 1 είναι μη εκφυλισμένη. Οπότε, ker f = { 0}, δηλαδή η f είναι 1-1. Αν επιπλέον dim V 1 = dim V 2 < τότε η f είναι ισομορφισμός και, επομένως, συμπλεκτομορφισμός. Σύμφωνα με την προηγούμενη παρατήρηση, αν (V 1, Ω 1 ) = (V 2, Ω 2 ) = (V, Ω), τότε μία οποιαδήποτε συμπλεκτική απεικόνιση f : (V, Ω) (V, Ω) είναι συμπλεκτικός αυτομορφισμός του (V, Ω), δηλαδή συμπλεκτομορφισμός. Πρόταση - Ορισμός 2.20. Το σύνολο των συμπλεκτικών αυτομορφισμών του (V, Ω) αποτελεί ομάδα ως προς την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων. Λέγεται συμπλεκτική ομάδα του (V, Ω), συμβολίζεται συνήθως με Sp(V ) ή Sp(V, Ω) και αποτελεί κλειστή υποομάδα της ομάδας GL(V ). Στην ειδική περίπτωση που V = R 2n, η αντίστοιχη συμπλεκτική ομάδα συμβολίζεται με Sp n (R). Είχαμε αναφέρει στην Παρατήρηση 2.16 ότι, για n N, όλοι οι συμπλεκτικοί διανυσματικοί χώροι διάστασης 2n μπορούν να ταυτιστούν μεταξύ τους. Δηλαδή είναι συμπλεκτομορφικοί. Πράγματι, ας είναι (V i, Ω i ), i = 1, 2, δύο συμπλεκτικοί διανυσματικοί χώροι διάστασης 2n και ( e i 1,..., ei n, f i 1,..., f i n) μία συμπλεκτική βάση του Vi, i = 1, 2. Τότε, η απεικόνιση T : V 1 V 2 που ορίζεται από τις σχέσεις T (e 1 j) = e 2 j και T (f 1 j ) = f 2 j, j = 1,..., n, είναι συμπλεκτομορφισμός. Συνεπώς, ένας τυχαίος συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος (V, Ω) διάστασης 2n μπορεί να ταυτιστεί με τον R 2n και η συμπλεκτική ομάδα Sp(V ) ταυτίζεται με την Sp n (R). Από τη Γραμμική Άλγεβρα είναι γνωστό ότι αν T είναι ένας αυτομορφισμός ενός διανυσματικού χώρου V διάστασης n, τότε υπάρχει μοναδικός πίνακας A GL(n, R) τέτοιος ώστε T (x) = Ax, x V, όπου x, T (x) διανύσματα-στήλες ([20]). Επομένως, αν T Sp n (R), δηλαδή η T είναι συμπλεκτικός αυτομορφισμός του R 2n, τότε υπάρχει μοναδικός πίνακας M GL(2n, R) τέτοιος ώστε, για κάθε x, y R 2n, T (x) = Mx, και Ω 0 (T (x), T (y)) = Ω 0 (Mx, My) = Ω 0 (x, y). Η παραπάνω σχέση υπό τη μορφή πινάκων γράφεται ως εξής: M t [Ω 0 ]êm = [Ω 0 ]ê, [ ] 0 I n όπου [Ω 0 ]ê =, ê η συμπλεκτική βάση του R 2n και I n ο μοναδιαίος n n πίνακας. I n 0 Αυτό μας οδηγεί στον παρακάτω ορισμό. Ορισμός 2.21. Ενας πίνακας M GL(2n, R) λέγεται συμπλεκτικός αν ικανοποιεί την παρακάτω σχέση M t J n M = J n, (14) όπου J n = [ 0 I n I n 0 ]. 19

Το σύνολο των συμπλεκτικών πινάκων αποτελεί ομάδα ως προς το γινόμενο πινάκων και συμβολίζεται με Sp n (R). Η Sp n (R) = {M GL(2n, R) M t J n M = J n } ονομάζεται συμπλεκτική ομάδα τάξης n και είναι κλειστή υποομάδα της GL(2n, R) διάστασης 2n 2 + n. Συνεπώς, μπορούμε να δούμε το χώρο Sp n (R) είτε ως το σύνολο των συμπλεκτικών αυτομορφισμών του R 2n είτε ως το σύνολο των πινάκων της GL(2n, R) που ικανοποιούν την εξίσωση (14). 2.1.3 Υποχώροι Συμπλεκτικών Διανυσματικών Χώρων Οπως στους ευκλείδειους χώρους, έτσι και στους συμπλεκτικούς χώρους μπορούμε να ορίσουμε την έννοια της ορθογωνιότητας. Ορισμός 2.22. Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος. Δύο διανύσματα x, y V λέγονται ορθογώνια (orthogonal) μεταξύ τους ως προς την Ω, εάν Ω(x, y) = 0. Για να δηλώσουμε την ορθογωνιότητα των x και y γράφουμε x Ω y. Δύο υποχώροι W 1 και W 2 του V λέγονται ορθογώνιοι μεταξύ τους εάν, κάθε x W 1 είναι ορθογώνιο με κάθε y W 2. Επίσης, ορίζουμε ως ορθογώνιο χώρο ως προς την Ω ενός υποχώρου W και τον συμβολίζουμε με W Ω ή orth Ω W το χώρο W Ω = {x V Ω(x, y) = 0, y W }. Παρατήρηση 2.23. Ο ορθογώνιος W Ω ενός υποχώρου W είναι υποχώρος του διανυσματικού χώρου V και μάλιστα είναι ο μέγιστος υποχώρος (ως προς τη σχέση εγκλεισμού) του V που είναι ορθογώνιος με τον W. Αν (V, Ω) είναι ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος, τότε, όπως γνωρίζουμε, η απεικόνιση Ω : V V είναι ισομορφισμός. Συμβολίζουμε με Ω # : V V την αντίστροφη της Ω. Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Πρόταση 2.24. [22] Ας είναι W ένας υποχώρους του (V, Ω) και W 0 ο μηδενιστής του. Τότε, 1. (W Ω ) Ω = W. 2. dim W + dim W Ω = dim V. 3. Ω (W Ω ) = W 0. 4. Ω (W ) = (W Ω ) 0. (16) 5. Ω # (W 0 ) = W Ω. (17) 6. W 1 W 2 W Ω 2 W Ω 1. 7. (W 1 W 2 ) Ω = W Ω 1 + W Ω 2. (18) 8. (W 1 + W 2 ) Ω = W Ω 1 W Ω 2. Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος διάστασης 2n και W ένας υ- ποχώρος του διάστασης k. Ο περιορισμός της μορφής Ω στο W W επάγει μία εξωτερική 2-μορφή επί του W (όχι απαραίτητα μη εκφυλισμένη) που συμβολίζεται με Ω W. Η τάξη της μορφής Ω W λέγεται συμπλεκτική τάξη του W. Ενας υποχώρος W καθορίζεται από δύο αριθμούς: τον k = dim W και τον 2p = rankω W. Αυτό συμβαίνει διότι οι αριθμοί αυτοί παραμένουν αμετάβλητοι μέσω οποιουδήποτε συμπλεκτομορφισμού T Sp(V ). Δηλαδή, k = dim W = dim T (W ) και 2p = rankω W = rankω T (W ), για κάθε T Sp(V ) ([9]). 20 (15)

Παρατήρηση 2.25. Η εξωτερική 2-μορφή Ω W επί του W ορίστηκε να είναι ο περιορισμός της συμπλεκτικής μορφής Ω στο W. Ο πυρήνας της, ker Ω W, είναι ο πυρήνας του περιορισμού Ω W της απεικόνισης Ω στο W. Οπότε, σύμφωνα με την Παρατήρηση 1.27, ker Ω W = {x W Ω(x, y) = 0 y W } = W W Ω. (19) Παρατήρηση 2.26. Σε αντίθεση με τους ευκλείδειους χώρους, δεν ισχύει πάντα ότι W W Ω = { 0}. Αυτό οφείλεται στο εξής γεγονός: Ας είναι (E,, ) ένας ευκλείδειος διανυσματικός χώρος και U ένας υποχώρος του. Τότε, από τη Γραμμική Άλγεβρα, είναι γνωστό ότι αν περιορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο στον υποχώρο U, ο περιορισμός αυτός είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στον U, δηλαδή, : U U R είναι μία συμμετρική, θετικά ορισμένη 2-μορφή επί του U. Οπότε, κάθε υποχώρος του (E,, ) είναι ευκλείδειος διανυσματικός χώρος ως προς το,. Κάτι τέτοιο δεν ισχύει στους συμπλεκτικούς διανυσματικούς χώρους. Δηλαδή, αν (V, Ω) είναι ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος και W ένας υποχώρος του, τότε ο περιορισμός της συμπλεκτικής μορφής Ω στον W, Ω W, δεν είναι πάντοτε συμπλεκτική μορφή επί του W. Οπότε, ένας τυχαίος υποχώρος W του (V, Ω) δεν αποτελεί ένα συμπλεκτικό διανυσματικό χώρο ως προς τη μορφή Ω W, εν γένει. Συμπλεκτικοί διανυσματικοί χώροι είναι μόνο εκείνοι οι υποχώροι, που η μορφή Ω ορίζει μία συμπλεκτική δομή σε αυτούς. Τότε ισχύει W W Ω = { 0}. Συνεπώς, δεν έχουν όλοι οι υποχώροι ενός συμπλεκτικού διανυσματικού χώρου την ίδια δομή (εξαρτάται από τη διάσταση του W και του W W Ω). Παρακάτω, ορίζουμε τους βασικούς τύπους των υποχώρων που συναντάμε στους συμπλεκτικούς χώρους και έχουν θεμελιώδη ρόλο στη Μηχανική. Ορισμός 2.27. Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος διάστασης 2n και W ένας υποχώρος του. Τότε, ο W λέγεται: Ισότροπος (isotropic) εάν Ω W = 0 W W Ω, επομένως dim W n. Συνισότροπος (coisotropic) εάν Ω W Ω = 0 (δηλαδή ο W Ω είναι ισότροπος) W Ω W, οπότε dim W n. Λαγκρανζιανός (Lagrangian) εάν Ω W = Ω W Ω = 0 (δηλαδή αν είναι ισότροπος και συνισότροπος) W = W Ω, συνεπώς dim W = n. Συμπλεκτικός (symplectic) εάν η Ω W ορίζει μία συμπλεκτική δομή στον W (δηλαδή η Ω W είναι μη εκφυλισμένη στον W ) W W Ω = { 0}, επομένως dim W =άρτιος. Πρόταση 2.28. [22] Ας είναι W ένας συνισότροπος υποχώρος του (V, Ω). Τότε, κάθε βάση του W 0 μπορεί να επεκταθεί σε μία κανονική βάση του V. Επίσης, αν Z είναι ένας ισότροπος υποχώρος του (V, Ω), τότε κάθε βάση του Z μπορεί να επεκταθεί σε μία συμπλεκτική βάση του V. Πόρισμα 2.29. [22] Κάθε ισότροπος (αντίστοιχα, κάθε συνισότροπος) υποχώρος Z του V, έχει συμπληρωματικό υποχώρο W του V που είναι συνισότροπος (αντίστοιχα, ισότροπος) υποχώρος, δηλαδή V = Z W. Συγκεκριμένα, κάθε Λαγκρανζιανός υποχώρος του V έχει ένα συμπληρωματικό χώρο που είναι Λαγκρανζιανός. Παραδείγματα 2.30. Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος διάστασης 2n, (e 1,..., e n, f 1,..., f n ) μία συμπλεκτική του βάση και ( e 1,..., e n, f 1,..., f n) η δυϊκή της. 21

1. Κάθε υποχώρος του V διάστασης 1 είναι ισότροπος. 2. Κάθε υποχώρος του V διάστασης 2n 1 είναι συνισότροπος. 3. Κάθε υποχώρος ενός ισότροπου υποχώρου είναι ισότροπος. 4. Κάθε υποχώρος που περιέχει ένα συνισότροπο υποχώρο, είναι συνισότροπος. 5. Εστω W ένας υποχώρος του V. Τότε ο υποχώρος W W Ω είναι ισότροπος και ο υποχώρος W + W Ω = (W W Ω) Ω είναι συνισότροπος. 6. Αν L 1 = e 1,..., e n και L 2 = f 1,..., f n, τότε οι υποχώροι αυτοί είναι Λαγκρανζιανοί και μάλιστα συμπληρωματικοί, δηλαδή V = L 1 L 2. 7. Για κάθε ακέραιο p τέτοιο ώστε 1 p n, ο υποχώρος του V που παράγεται από τα διανύσματα e 1,..., e n, f 1,..., f p είναι συνισότροπος. 8. Για κάθε ακέραιο q τέτοιο ώστε 1 q n, ο υποχώρος του V που παράγεται από τα διανύσματα e 1,..., e q είναι ισότροπος. 9. Για κάθε ακέραιο s τέτοιο ώστε 1 s n, ο υποχώρος του V που παράγεται από τα διανύσματα e 1, f 1, e 2, f 2,..., e s, f s είναι συμπλεκτικός. 2.2 Poisson διανυσματικοί χώροι και υποχώροι αυτών Ορισμός 2.31. Ενας Poisson διανυσματικός χώρος (V, Π) είναι ένας διανυσματικός χώρος V εφοδιασμένος με ένα 2-διάνυσμα Π, δηλαδή μία εξωτερική 2-μορφή επί του V (Π 2 V ). Ενα σημαντικό παράδειγμα 2-διανύσματος είναι το ακόλουθο. Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος. Τότε, όπως γνωρίζουμε, η απεικόνιση Ω : V V, που απεικονίζει ένα διάνυσμα σε μία 1-μορφή, είναι ισομορφισμός με αντίστροφη την Ω # : V V. Ο Ω μπορεί να επεκταθεί σε ισομορφισμό της εξωτερικής άλγεβρας k V του V στην εξωτερική άλγεβρα k V του V ως εξής (χρησιμοποιούμε τον ίδιο συμβολισμό και για την επέκταση): Για κάθε (x 1,..., x k ) V k, Ω : k V k V Λ Ω (Λ) k V Ω (Λ) : V k R (x 1,..., x k ) Ω (Λ)(x 1,..., x k ) = ( 1) k Λ(Ω (x 1 ),..., Ω (x k )) R, (20) όπου, πλέον, η απεικόνιση Ω απεικονίζει ένα k-διάνυσμα σε μία k-μορφή. Επομένως η αντίστροφή της, που συμβολίζεται πάλι με Ω #, απεικονίζει μία k-μορφή σε ένα k-διάνυσμα και υπολογίζεται ως εξής: Ω # : k V k V ω Ω # (ω) = Λ k V Ω # (ω) : (V ) k R. 22

Εστω (ϕ 1,..., ϕ k ) (V ) k και, για κάθε i = 1,..., k, σημειώνουμε Ω # (ϕ i ) = x i Ω (x i ) = ϕ i. (21) Τότε, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (20), (21) και το γεγονός ότι Ω Ω # = 1 k V, παίρνουμε Ω # (ω)(ϕ 1,..., ϕ k ) = Λ(ϕ 1,..., ϕ k ) = Λ(Ω (x 1 ),..., Ω (x k )) = ( 1) k Ω (Λ)(x 1,..., x k ) = ( 1) k Ω (Ω # (ω))(x 1,..., x k ) = ( 1) k ω(x 1,..., x k ) = ( 1) k ω(ω # (ϕ 1 ),..., Ω # (ϕ k )). Οπότε, στην περίπτωσή μας, για k = 2, θεωρούμε το 2-διάνυσμα Π = Ω # (Ω) που αντιστοιχεί στη συμπλεκτική μορφή Ω του (V, Ω) και επομένως Π(ϕ 1, ϕ 2 ) = Ω # (Ω)(ϕ 1, ϕ 2 ) = Ω(Ω # (ϕ 1 ), Ω # (ϕ 2 )), (22) για κάθε (ϕ 1, ϕ 2 ) V V. Συνεπώς, σε κάθε συμπλεκτικό διανυσματικό χώρο (V, Ω) αντιστοιχεί και ένας Poisson διανυσματικός χώρος (V, Π), όπου Π το 2-διάνυσμα που ορίζεται από την Ω. Παρατήρηση 2.32. Ας είναι V ένας διανυσματικός χώρος και Π : V V R, ένα 2-διάνυσμα. Παρατηρούμε ότι, για ϕ V, η απεικόνιση Π ϕ : V R ψ Π ϕ (ψ) = Π(ϕ, ψ) R, είναι γραμμική, λόγω της διγραμμικότητας του Π. Επομένως, Π ϕ V. Γνωρίζουμε όμως (βλ. 1.1) ότι V = V και ένας ισομορφισμός είναι ο T : V V, με T (x)(ϕ) = ϕ(x), x V, ϕ V. Συνεπώς, καθώς Π ϕ V, έπεται ότι υπάρχει μοναδικό διάνυσμα x V, τέτοιο ώστε T (x) = Π ϕ T (x)(ψ) = Π ϕ (ψ), ψ V ψ(x) = Π(ϕ, ψ), ψ V. Επομένως, έχει νόημα ο παρακάτω ορισμός. Ορισμός 2.33. Ας είναι Π 2 V ένα τυχαίο 2-διάνυσμα. απεικόνιση Π # : V V, Ορίζουμε μία γραμμική η οποία απεικονίζει κάθε 1-μορφή ϕ V στο μοναδικό διάνυσμα Π # (ϕ) V που ορίζεται από τη σχέση ψ, Π # (ϕ) = Π(ϕ, ψ), ψ V. Ορισμός 2.34. Ορίζουμε τον πυρήνα και την τάξη του 2-διανύσματος Π να είναι ο πυρήνας και η τάξη της γραμμικής απεικόνισης Π #. Η εικόνα της C = Π # (V ) λέγεται χαρακτηριστικός χώρος (characteristic space) του (V, Π). 23

Ισχύει, επίσης, και το Θεώρημα του Cartan (βλ. Θεώρημα 1.25). Δηλαδή, ότι η τάξη κάθε 2-διανύσματος είναι άρτιος αριθμός 2p dim V και ότι υπάρχει μία βάση (e 1,..., e 2p ) του C τέτοια ώστε το Π να γράφεται ως Π = p e 2i 1 e 2i. i=1 Ορισμός 2.35. Δύο μορφές ϕ, ψ V λέγονται ορθογώνιες ως προς το Π, εάν Π(ϕ, ψ) = 0. Δύο υποχώροι W, Z του V λέγονται ορθογώνιοι ως προς το Π, εάν κάθε μορφή ϕ W είναι ορθογώνια με κάθε μορφή ψ Z. Ορίζουμε, επίσης, και τον ορθογώνιο χώρο ενός υποχώρου W του V ως προς το Π και τον συμβολίζουμε με W Π ή orth Π W, W Π = {ϕ V Π(ϕ, ψ) = 0, ψ W }. Πρόταση 2.36. [22] Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος και Π = Ω # (Ω) το 2-διάνυσμα που ορίζεται από την Ω. Θεωρούμε έναν υποχώρο W του (V, Ω) και το μηδενιστή του W 0. Τότε, 1. ((W 0 ) Π ) Π = W 0. 2. dim W 0 + dim(w 0 ) Π = dim V. 3. Π # (W 0 ) = W Ω. (23) 4. Π # ((W 0 ) Π ) = W. 5. (W Ω ) 0 = (W 0 ) Π. 6. (W 0 1 W 0 2 ) Π = (W 0 1 ) Π + (W 0 2 ) Π. Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος και Π = Ω # (Ω) το 2-διάνυσμα που ορίζεται από την Ω. Για κάθε υποχώρο W του V, το 2-διάνυσμα Π επάγει στον υποχώρο W 0 του V ένα 2-διάνυσμα Π W 0, που είναι ο περιορισμός του Π στο W 0 W 0. Ομοίως με τον Ορισμό 2.27, ορίζουμε τους παρακάτω τύπους των υποχώρων του V. Ορισμός 2.37. Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος διάστασης 2n, (V, Π) ο αντίστοιχος Poisson διανυσματικός χώρος, όπου Π = Ω # (Ω), και F ένας υποχώρος του V. Τότε, ο F λέγεται: Συνισότροπος (coisotropic) εάν Π F Π F, οπότε dim F n. = 0 (δηλαδή ο F Π είναι ισότροπος) F Π Ισότροπος (isotropic) εάν Π F = 0 F F Π, επομένως dim F n. Συμπλεκτικός (symplectic) εάν το Π F είναι μη εκφυλισμένο στον F F F Π = { 0}, επομένως dim F =άρτιος. Πρόταση 2.38. [22] Ας είναι (V, Ω) ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος και (V, Π) ο αντίστοιχος Poisson διανυσματικός χώρος, όπου Π = Ω # (Ω). Ενας υποχώρος W του (V, Ω) είναι ισότροπος, συνισότροπος, συμπλεκτικός, αν και μόνο αν ο μηδενιστής του W 0 είναι συνισότροπος, ισότροπος, συμπλεκτικός υποχώρος του (V, Π), αντίστοιχα. 24

3 Συμπλεκτικές και Poisson πολλαπλότητες Το παρόν κεφάλαιο έχει δύο θεματικές ενότητες. Η πρώτη αφορά τις συμπλεκτικές πολλαπλότητες και η δεύτερη τις πολλαπλότητες Poisson. Είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο ότι ένας συμπλεκτικός και ένας Poisson διανυσματικός χώρος ορίζονται μέσω μίας εξωτερικής 2-μορφής και ενός 2-διανύσματος, αντίστοιχα. Στην περίπτωση των πολλαπλοτήτων, για τον ορισμό των συμπλεκτικών και Poisson πολλαπλοτήτων, το ρόλο των εξωτερικών 2-μορφών και των 2-διανυσμάτων τον αναλαμβάνουν, πλέον, οι διαφορικές 2-μορφές και τα 2-διανυσματικά πεδία, αντίστοιχα. Για το λόγο αυτό, η πρώτη ενότητα αρχίζει με μία σύντομη εισαγωγή στη θεωρία των διαφορικών k-μορφών. Παρουσιάζουμε ακριβώς τους ορισμούς και τις προτάσεις που μας χρειάζονται για τα επόμενα. Επειτα, δίνουμε τον ορισμό της συμπλεκτικής πολλαπλότητας και αναφέρουμε μερικά παραδείγματα συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων, ένα εκ των οποίων δείχνει την ύπαρξη μίας συμπλεκτικής δομής στη συνεφαπτόμενη δέσμη μίας πολλαπλότητας. Συνεχίζουμε με την έννοια της συμπλεκτικής απεικόνισης και παρουσιάζουμε βασικούς τύπους υποπολλαπλοτήτων συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων. Αναφέρουμε το θεώρημα του Darboux, σύμφωνα με το οποίο όλες οι συμπλεκτικές πολλαπλότητες τοπικά έχουνε το ίδιο μοντέλο. Κλείνουμε την πρώτη ενότητα με δύο βασικές έννοιες: Τα Χαμιλτονιανά διανυσματικά πεδία και την αγκύλη Poisson, η οποία εφοδιάζει το χώρο των λείων συναρτήσεων μίας συμπλεκτικής πολλαπλότητας με μία δομή άλγεβρας Lie. Στη δεύτερη ενότητα, αρχίζουμε παραθέτοντας εν συντομία ορισμούς και βασικά αποτελέσματα από τη θεωρία των k-διανυσματικών πεδίων, τα οποία είναι απαραίτητα για τη μελέτη των πολλαπλοτήτων Poisson. Εν συνεχεία, ορίζουμε την έννοια της πολλαπλότητας Poisson και την έννοια του Χαμιλτονιανού διανυσματικού πεδίου επί μίας πολλαπλότητας Poisson. Δείχνουμε ότι σε κάθε πολλαπλότητα Poisson αντιστοιχεί ένα 2-διανυσματικό πεδίο, το οποίο ορίζει έναν ομομορφισμό διανυσματικών δεσμών μεταξύ της συνεφαπτόμενης και εφαπτόμενης δέσμης της πολλαπλότητας Poisson. Συνεχίζουμε αναφέροντας την έννοια του Poisson διανυσματικού πεδίου και αποδεικνύουμε ότι κάθε Χαμιλτονιανό διανυσματικό πεδίο είναι Poisson. Τέλος, παρουσιάζουμε μερικά βασικά παραδείγματα πολλαπλοτήτων Poisson και τη σύνδεσή τους με τις συμπλεκτικές πολλαπλότητες. Στα επόμενα, χρησιμοποιούμε τους όρους λείος - λεία για να δηλώσουμε τη C διαφορισιμότητα και τον όρο n-πολλαπλότητα όταν αναφερόμαστε σε μία πολλαπλότητα διάστασης n. Ας είναι M μία λεία n-πολλαπλότητα και p M. Με (U, φ) = (U, x 1,..., x n ) θα παριστάνουμε ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων της M. Στην περίπτωση που p U, θα λέμε ότι το τοπικό σύστημα συντεταγμένων (U, φ) είναι γύρω από το p. Συμβολίζουμε με T p M τον εφαπτόμενο χώρο της M στο p. Αν N είναι μία άλλη λεία πολλαπλότητα και F : M N μία λεία απεικόνιση, συμβολίζουμε με T p F : T p M T F (p) N την εφαπτόμενη απεικόνιση της F στο p. Με C (M, R) συμβολίζουμε το σύνολο των λείων συναρτήσεων από την M στην πολλαπλότητα R και με df το διαφορικό της συνάρτησης f C (M, R). Με T M και T M σημειώνουμε την εφαπτόμενη και συνεφαπτόμενη δέσμη της M, αντίστοιχα (βλ. Αʹ.2). Το σύνολο όλων των λείων διανυσματικών πεδίων επί της M το συμβολίζουμε με X(M). Η τιμή ενός διανυσματικού πεδίου X στο p θα γράφεται ως X(p) ή X p, δηλαδή X(p) = X p. Επίσης, για f C (M, R), με Xf θα συμβολίζουμε τη συνάρτηση Xf(p) = X p f (βλ. Αʹ.3). Αν X X(M), με ϕ : D(X) M σημειώνουμε τη ροή του X, με (ϕ t ) t I, ϕ t : D t (X) D t (X), την 1-παραμετρική ομάδα των τοπικών διφεομορφισμών που επάγεται από τη ροή ϕ, και με ϕ (p) : D (p) (X) M την ολοκληρωτική καμπύλη του X που ξεκινάει 25