ΛΥΚΕΙΟ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Κ E Φ Α Λ Α Ι Ο Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ 1ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Γενικής Παιδείας 5o Φύλλο Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : α) f() = + 1 β) f() = - + 3 - γ) f() = - + 4 δ) f() = - 8 + 1 ε) f() = 3 + 3-9 + 5 στ) f() = 4-8 + 5 ΑΣΚΗΣΗ η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : α) f() = + 3 + 5 + 1 β) f() = 4 + 5 1 γ) f() = 4 δ) f() = 1 ε) f() = 1 στ) f() = 1 + ζ) f() = e η) f() = e θ) f() =. ln ι) f() = ln ekmt1_5/cl ΣΕΛΙΔΑ 1
ΑΣΚΗΣΗ 3η Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε : f() = 3-15 + 36-36 α) την f, β) τα διαστήματα στα οποία η f αλλάζει πρόσημο, γ) τα διαστήματα μονοτονίας της f, δ) τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει ακρότατα. ΑΣΚΗΣΗ 4η Δίνεται η συνάρτηση f() = - 4 με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, 5]. α) Να κάνετε ένα πρόχειρο διάγραμμα (γραφική παράσταση) της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f και να τα χαρακτηρίσετε. ΑΣΚΗΣΗ 5η Σε κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις να σημειώσετε Σ αν είναι σωστή ή Λ αν είναι λανθασμένη. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α) Αν είναι f ( 0 ) = 0 τότε η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0. β) Αν f () > 0 με Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού της f, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ. γ) Αν 0 είναι μια ρίζα της εξίσωσης f () = 0 και γύρω από το 0 η f αλλάζει πρόσημο, τότε η f για = 0 παρουσιάζει ακρότατο. δ) Αν f ( 0 ) = 0 και η f παρουσιάζει στο 0 ακρότατο τότε είναι οπωσδήποτε και f( 0 ) = 0. ΑΣΚΗΣΗ 6η Θέλουμε να περιφράξουμε έναν κήπο σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου, του οποίου η μια πλευρά (η μεγαλύτερη) είναι τοίχος (σχήμα 1). Έχουμε αγοράσει 1.600 μέτρα συρμάτινο πλέγμα για περίφραξη. Ποιές διαστάσεις πρέπει να έχει ο κήπος, ώστε να έχει τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια ; (Απ. = 400 m και = 800 m) τοίχος κήπος (σχήμα 1) κάτοψη του κήπου που πρέπει να περιφραχθεί ΣΕΛΙΔΑ
ΑΣΚΗΣΗ 7η Από ένα μεταλικό κύλινδρο (σχήμα ) διαμέτρου 3 dm θέλουμε να κατασκευάσουμε μια δοκό με κάθετη τομή ορθογώνιο διαστάσεων, dm. Αν η αντοχή της δοκού είναι ανάλογη του εμβαδού., να βρείτε τις διαστάσεις της ανθεκτικότερης δοκού που μπορούμε να κατασκευάσουμε. (Απ. =,11dm) σελίδα 3 cm ΑΣΚΗΣΗ 8η 3 dm (σχήμα ) cm κείμενο cm Θέλουμε να τυπώσουμε σελίδες εμβαδού 384 cm έτσι, ώστε τα περιθώρια του κειμένου να είναι 3 cm πάνω και κάτω και cm δεξιά και αριστερά (σχήμα 3). Ποιές πρέπει να είναι οι διαστάσεις κάθε σελίδας, ώστε το κείμενο να καταλαμβάνει το μέγιστο δυνατό χώρο της σελίδας ; (Απ. = 16 cm και = 4 cm) 3 cm (σχήμα 3) ΑΣΚΗΣΗ 9η Η συνάρτηση f() = α +, α 0, παρουσιάζει στο σημείο = 1 ακρότατο. Να βρείτε την τιμή του α και στη συνέχεια το είδος του ακρότατου. (Απ. α = - ½ και παρουσιάζει μέγιστο) ΑΣΚΗΣΗ 10η Αν Α, Α είναι σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 8 f() =, + 4 να βρείτε τις θέσεις των σημείων Β, Β των 8 ισοσκελών τριγώνων ΟΑΒ = + 4 και ΟΑ Β του σχήματος 4, για τις οποίες το άθροισμα των εμβαδών A Α των τριγώνων αυτών Β Β παίρνει τη μέγιστη τιμή. - 0 σχήμα 4 (Απ. = 4) ΣΕΛΙΔΑ 3
ΑΣΚΗΣΗ 11η Έστω η συνάρτηση f() = ln 1. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστη τιμή για = γ) Να αποδείξετε ότι είναι ln 1 e συνάρτησης f. 1 e. για κάθε του πεδίου ορισμού της ΑΣΚΗΣΗ 1η Το σχήμα 5 παριστάνει ένα παράθυρο που αποτελείται από ένα ορθογώνιο ύψους h και από ένα ημικύκλιο ακτίνας r. Η περίμετρος του παράθυρου είναι 48 m. α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του ως συνάρτηση του r. β) Για ποιές τιμές των r και h διέρχεται από το παράθυρο η μέγιστη δυνατή ποσότητα φωτός ; (Απ. r = h = 48 4 +π ) r σχήμα 5 h ΑΣΚΗΣΗ 13η Στο σχήμα 6 φαίνεται η κάτοψη ενός σπιτιού σε σχήμα ορθογώνιο, το οποίο έχει κτιστεί στην ορθή γωνία ενός τριγωνικού οικοπέδου με μήκη πλευρών ΑΓ = 100 m και ΑΒ = 150 m. α) Αν υποθέσουμε ότι ΑΔ =, να εκφράσετε ως συνάρτηση του το μήκος ΕΔ. Ζ Γ σπίτι Ε β) Για ποιά τιμή του το σπίτι θα έχει το μέγιστο εμβαδόν ; γ) Να υπολογίσετε το μέγιστο εμβαδόν του σπιτιού. Α Δ σχήμα 6 (Απ. = 75 m) Β ΣΕΛΙΔΑ 4
ΑΣΚΗΣΗ 14η Ένας μαγνήτης είναι τοποθετημένος σε απόσταση από το κέντρο κυκλικού πηνίου ακτίνας R. Ηλεκτρικό ρεύμα, που διατρέχει το πηνίο, ασκεί στο μαγνήτη δύναμη : F() = c, όπου c θετική σταθερά. Να βρείτε για ποιό γίνεται μέγιστη ( + R ) η δύναμη αυτή. 5 (Απ. = R/ ) ΑΣΚΗΣΗ 15η Σώμα βάρους Β σύρεται σε οριζόντιο επίπεδο από μία δύναμη F που σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο (σχήμα 7). Αν το μέτρο της δύναμης είναι : θ F F = κ Β κημθ+ συνθ σχήμα 7 όπου κ ο συντελεστής τριβής, να βρείτε τη γωνία θ, ώστε το μέτρο της δύναμης F να γίνεται ελάχιστο. (Απ. εφθ = κ) ΑΣΚΗΣΗ 16η Δύο ευθύγραμμοι δρόμοι Ο και O διασταυρώνονται κάθετα στο Ο (σχήμα 8). Ένα αυτοκίνητο Α βρίσκεται στο δρόμο Ο σε απόσταση 300 km από τη διασταύρωση, ενώ άνα άλλο αυτοκίνητο Β βρίσκεται στο Ο. Τα Α, Β αρχίζουν ταυτόχρονα να κινούνται με ταχύτητες 60 km/h και 80 km/h αντίστοιχα. Το Α κινείται προς το σημείο Ο, ενώ το Β απομακρύνεται από το Ο ακολουθώντας το δρόμο Ο. A 300 m Γ Δ S(t) α) Ύστερα από πόσο χρόνο η απόσταση S(t) των δύο αυτοκινήτων γίνεται ελάχιστη ; Ο Ε B σχήμα 8 β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των δύο αυτοκινήτων ώρες αφότου ξεκίνησαν. (Απ. t = 9/5 h, S () = 8,3 km/h) ΣΕΛΙΔΑ 5