ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την επαληθεύει. π.χ. η εξίσωση χ-3ψ=7 έχει λύση την (χ,ψ)=(,-1) αφού -3(-1)=77=7 δηλ. επαληθεύεται. β) Η εξίσωση αχ+βψ=γ με α0 ή β0 παριστάνει ευθεία Αν α=0 τότε παίρνει την μορφή ψ=κ και είναι παρ/λη στον άξονα χ χ. Αν β=0 τότε παίρνει την μορφή χ=κ και είναι παρ/λη στον άξονα ψ ψ. γ) Κάθε γραμμική εξίσωση αχ+βψ=γ με α0 ή β0 έχει άπειρες λύσεις που αν τις παραστήσουμε γραφικά στο επίπεδο είναι σημεία της ευθείας αχ+βψ=γ και αντίστροφα κάθε σημείο της ευθείας ορίζει ζεύγος που είναι λύση της εξίσωσης. ) Δύο γραμμικές εξισώσεις αποτελούν ένα σύστημα. α 1 χ+β 1 ψ=γ 1 α χ+β ψ=γ α) Λύση τους συστήματος είναι κάθε ζεύγος (χ 0,ψ 0 ) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις. β) Ισοδύναμα λέγονται δύο συστήματα που έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις. Γραφική επίλυση συστήματος Παριστάνουμε γραφικά σε σύστημα αξόνων τις ευθείες ε 1 και ε που ορίζουν οι δύο εξισώσεις του συστήματος και στη συνέχεια αν οι ευθείες ε 1,ε τέμνονται σε ένα σημείο βρίσκουμε τις συντ/νες αυτού του σημείου που θα είναι και η μοναδική λύση του (Σ). αν οι ευθείες είναι παρ/λες τότε το σύστημα δεν έχει λύση (αδύνατο) αν οι ευθείες ταυτίζονται τότε το (Σ) έχει άπειρες λύσεις που είναι και οι λύσεις της μιας εξίσωσής του. Σ αυτή την περίπτωση οι δύο εξισώσεις του (Σ) είναι ισοδύναμες. 6 5 π.χ 3 7 3 5 3+=5 4 3 1-6 -4-4 6 8-3=7-1 Α (,-1) - -3 Παριστάνουμε στο σύστημα αξόνων τις εξισώσεις του βρίσκοντας τις αντίστοιχες ευθείες. Παρατηρώ ότι οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α(,-1) οπότε το ζεύγος (,)=(,-1) είναι η μοναδική λύση του (Σ). -4 1
ΜΕΘΟΔΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ (Σ) α 1 χ+β 1 ψ=γ 1 α χ+β ψ=γ Βρίσκω τις ορίζουσες: D α β D α β 1 1 (Ορίζουσα συντελεστών) και γ β α γ D. γ β α γ Περιπτώσεις: 1 1 1 1 ψ Αν D0 τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση την (χ,ψ)= D D Dψ, D D χ 0 ή D ψ 0 τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Αν D=0 και α 1 =α =β 1 =β =0 D χ =D ψ =0 και γ 1 0 ή γ 0 το(σ) είναι αδύνατο. γ 1 =γ =0 το (Σ) είναι αόριστο. Παράδειγμα Για το σύστημα 3 7 3 5 έχουμε: κάποιο από τα α 1,α,β 1,β είναι 0 τότε το (Σ) έχει άπειρες λύσεις. Οι εξισώσεις του (Σ) τότε είναι (συνήθως) ισοδύναμες και οι λύσεις του (Σ) είναι οι λύσεις της μιας εξίσωσής του. D= 3 7 3 = +9=11, D = 3 1 5 1 = 7+15=, D = 7 3 5 = 10-1= -11 Επειδή D=110 το σύστημα έχει μια μοναδική λύση την (,) όπου: D = = D 11 και = D 11 1 D 11
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Δίνεται η εξίσωση + = 7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Να δείξετε ότι το ζεύγος (- 1, 4) είναι λύση αυτής της εξίσωσης. β) Αν = 5 να βρείτε =... ώστε το ζεύγος (5, ) να είναι λύση της εξίσωσης. γ) Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις λύσεις της εξίσωσης + = 7.. Οι,, λ είναι πραγματικοί αριθμοί και ισχύει: = - 3λ και = 5 + λ. α) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και. β) Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων, πού βρίσκονται τα ζεύγη (, ) που επαληθεύουν την παραπάνω σχέση; γ) Να γίνει γραφική παράσταση των ζευγών αυτών σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. 3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα με όποια μέθοδο θέλετε: 5 13 3 8 7 4 10 5 4 4 4 3 5 8 3 1 4. Να λύσετε τα συστήματα : = 3 0,5 + 0, = 16 3( - 4) + ( + ) = - 9 3 5 = 1,5 + 0,5 = 4,5 ( - 5) - 4( - 3) = 30 5. Να λύσετε τα συστήματα : 7 3 3 5 iv) 4 v) 1 3 6 3 0 3 7 0 v 1 3 6 13 0 3 6 0 6. Να βρεθούν οι σχετικές θέσεις των παρακάτω ευθειών: ε 1 : + 3 = 7 ε : - + = 4 ε 3 : - + = 5 7. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα για τις διάφορες τιμές του λ : 3 + λ =3 λ + 3 = λ + λ = 0 6 + 9 = 3 5 λ λ iv) λ 3
8. Να λυθούν τα συστήματα : - (λ - 1)=λ +=λ =1 + λ =1 +λ=λ -3λ =λ-3 9. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : λ+=3 και ε : +(λ+1) =6. Να βρείτε για ποιες τιμές του λr οι ευθείες ε 1 και ε : τέμνονται και να προσδιορίσετε το σημείο τομής τους είναι παράλληλες είναι κάθετες. ( ) 5 5 10. Δίνεται το σύστημα : ( ) 5 Να εξετάσετε για ποιες τιμές του λr: το σύστημα έχει μία μοναδική λύση, την οποία και να βρείτε το σύστημα είναι αδύνατο. 11. Δίνονται οι ευθείες ε 1 και ε με εξισώσεις - = - 1 και λ - = - 1 αντίστοιχα, λ R. Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιμές του λ R. 1. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους, ισχύει : D + D D 4D D 5 = 0. α) Δείξτε ότι: (D - ) + (D - 1) + D = 0. β) Να βρεθούν τα,. 13. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους, ισχύει : D D D D, D 0. Αν + = 6, να βρεθούν τα,. 14. Να προσδιοριστούν οι συντελεστές α και β στην εξίσωση α + β - 9 = 0 εάν δοθεί ότι τα ζεύγη (1,1) και (- 1, 5) είναι λύσεις της εξίσωσης αυτής. 15. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (0, 0), ( 1, 3 1 ). 16. Για ποιες τιμές των μ και ν η εξίσωση (3μ-4)-ν=0 έχει ρίζες τους αριθμούς και 5; 17. Σε ένα γραμμικό σύστημα Χ ισχύει ότι: D D D D6D 4D 14. Να λύσετε το σύστημα αυτό. 18. Δίνεται ένα γραμμικό σύστημα () δύο γραμμικών εξισώσεων Χ με αγνώστους, ώστε: D D 10 D 8 0. Να λυθεί το σύστημα. 4
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ 1. Το σημείο (, ) ανήκει στην ευθεία με εξίσωση = Σ Λ. Το σύστημα α + β = 0 κ + λ = 0 έχει για λύση το (0, 0). Σ Λ 3. Το σύστημα 0 + 0 = 0 0 + 0 = 5 είναι αόριστο. Σ Λ 4. Το σύστημα 3 - β = α β + 3 = γ έχει πάντα λύση. Σ Λ 5. Η εξίσωση κ + (κ + 1) = γ παριστάνει πάντα ευθεία. Σ Λ 6. Κάθε σημείο της ευθείας = ισαπέχει από τους άξονες Σ Λ 7. Αν το σύστημα δύο εξισώσεων που παριστάνουν ευθείες είναι αδύνατο, οι ευθείες είναι παράλληλες. Σ Λ 8. Οι ευθείες + 3 = 5 και 4 + 6 = 10 ταυτίζονται. Σ Λ 9. Αν D = D = D = 0, το σύστημα είναι πάντα αόριστο. Σ Λ 10. (D - 1) + (D - ) = 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση. Σ Λ 11. Αν D + (D - 1) = 0, το σύστημα είναι αόριστο. Σ Λ 1. Αν D 5 - D 0, το σύστημα είναι αδύνατο. Σ Λ 13. Ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους μπορεί να έχει ακριβώς δύο λύσεις. Σ Λ 14. Δύο ευθείες που οι εξισώσεις τους αποτελούν σύστημα με ορίζουσα διάφορη του μηδενός, μπορεί να είναι παράλληλες. Σ Λ --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15. Δύο ευθείες που οι εξισώσεις τους αποτελούν σύστημα με ορίζουσα μηδέν πάντα ταυτίζονται. Σ Λ 5
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Σημειώστε δίπλα σε κάθε σύστημα την κατάλληλη έκφραση: α) είναι αδύνατο, β) έχει άπειρες λύσεις, γ) έχει μία και μοναδική λύση. Σ 1 0 + = 0 + 0 = 0 Σ 0 + 0 = 5 0 + = 3 Σ 3 0 + = 7 0 + = Σ 4 0 + 0 = 0 0 + 5 = 0 Σ 5 + 0 = 3 0 + = - 3 Σ 6 0 + 0 = 0 0 + 0 = 1. Για τις ορίζουσες D, D, D του συστήματος α + β = γ 4 + β 1 = γ 1, α, β, γ, β 1, γ 1 R ισχύουν κατά περίπτωση οι σχέσεις που αναγράφονται στη στήλη (Α). Συμπληρώστε τη στήλη (Β) με μία από τις παρακάτω φράσεις: α) είναι αδύνατο, β) έχει άπειρες λύσεις, γ) έχει μία και μοναδική λύση. 1. D - 3 = 0 στήλη (Α) στήλη (Β). D D D 0 3. D = 0 και D D 0 4. D - 0 5. D + (D + 1) = 0 6
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛ/ΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Οι ευθείες - = 1 και + = 1 τέμνονται στο σημείο: Α (0, - 1) Β (- 1, 0) Γ (0, 1) Δ (0, 0) Ε (1, 0) -. Η ευθεία - = 6 τέμνει τον άξονα στο σημείο: Α (0, 3) Β (3, 0) Γ (0, - 3) Δ (- 3, 0) Ε (- 3, 3) - 3. Οι ευθείες = 3 και = - τέμνονται στο σημείο: Α (3, 0) Β (0, - ) Γ (3, - ) Δ (-, 3) Ε (- 3, ) - 4. Αν το σύστημα - 3 + = α 6-4 = κα κ, α R* έχει άπειρες λύσεις, το κ παίρνει μια από τις τιμές: Α. 0 Β. 1 Γ. Δ. - Ε. 1-5. Αν το σύστημα + κ = 0 6 + 9 = 3 είναι αδύνατο, το κ ισούται με: Α. 3 Β. - 3 Γ. 0 Δ. οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό Ε. - 6. Αν το σύστημα α + 3 = - 9 - = 3 επαληθεύεται για δύο ζεύγη τιμών των,, τότε το α ισούται με: Α. - Β. 3 Γ. - 9 Δ. 6 Ε. 0-7. Αν οι ευθείες = 3 και = + κ τέμνονται στο σημείο Μ (- 1, 3), το κ ισούται με: Α. 1 Β. 1 Γ. 5 Δ. 5 Ε. 3-8. Αν η εξίσωση κ + κ (κ + 1) = γ παριστάνει ευθεία, πρέπει οπωσδήποτε το κ να είναι: Α. κ 1 Β. κ = 1 Γ. κ = 0 Δ. κ 0 Ε. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός - 9. Αν D + D = D, D 0 και =, τότε η λύση του συστήματος είναι: Α. (1, 1) Β. (½, ½) Γ. (- 1, - 1) Δ. (0, 0) Ε. (-, - ) - 7
1. Να λυθούν τα συστήματα : z 4 z 8 3 z 1 ΑΛΛΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ z 5 z z 1 z 1 z z 3. Να λυθούν τα συστήματα : z 15 z t 0. z t 18 t 16 8 0. 7 0 5 1 3z 1 z 0 1 5 15 4 z 6 iv) 3 v) 3 3 5z 8 16 3. α) Να λυθεί το σύστημα ( ) : 3a 5 7 5 4 3 β) Με τη βοήθεια της λύσης του συστήματος () να λυθούν τα συστήματα: 3 3 5 4 7 ( 1 ) : 5 3 4 4 3 ( 3 ) : 3 5 7 5 4 3 0 3 7 ( ) : 5 7 5 7 3 4 3 3 3 5 7 4. Να λύσετε το σύστημα: 5 4 3 5. Να λυθούν τα συστήματα : ii ) 4 5 6 1 41 5 iv) 8
6. Να λυθούν τα συστήματα : 3 z 1 3 4 5 5 3 z 51 1 1 3 3 1 1 z z z z 1 3 iv) z 4 z 8 v) 7 33 7 19 v ( )( 3) 0 ( )( 1) 0 7. Να λυθούν τα συστήματα : 3 1 3 3 5 3 3 3 1 1 9 3 1 1 1 5 iv) v) 1 0 v 4 4 4 3 9