ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα. Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα

ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα 1. Τι καλούμαι ορθή προβολή ενός σημείου πάνω σε μία ευθεία και ποια είναι η προβολή ενός ευθυγράμμου τμήματος πάνω σε μία ευθεία ; ς θεωρήσουμε μία ευθεία ε και ένα σημείο που δεν ανήκει σε αυτή. Το ίχνος ' της καθέτου που φέρουμε από το προς την ε το λέμε ορθή προβολή ή απλώς προβολή του στην ευθεία ε. ν το σημείο είναι σημείο της ευθείας, π.χ. το, τότε ως προβολή του ' πάνω στην ε θεωρούμε το ίδιο το. Τέλος ορθή προβολή του τμήματος πάνω στην ευθεία ε λέμε το τμήμα '' που έχει ως άκρα τις ορθές προβολές ', ' των άκρων,, αντίστοιχα, του τμήματος πάνω στην ε.. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. (θεώρημα προβολών Θ.Π.) πόδειξη Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο και η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι = και =. ια την πρώτη σχέση αρκεί να αποδείξουμε ότι δηλαδή ότι AB =, δηλαδή ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια, το οποίο ισχύει αφού A = = 1 και η είναι κοινή. Όμοια αποδεικνύεται και η σχέση =. 3. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος με το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα. (πόρισμα Π) πόδειξη ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

πό το θεώρημα προβολών προκύπτει ότι : = και = ιαιρώντας κατά μέλη προκύπτει το = άρα = Άρα το ζητούμενο πόρισμα.. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Π.Θ.) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. πόδειξη Θέλουμε δηλαδή να αποδείξουμε ότι AB + = ή β + γ = α Σύμφωνα με το θεώρημα προβολών έχουμε: AB = και =. Με πρόσθεση των ισοτήτων κατά μέλη προκύπτει ότι : + = + =(+) = =. 5. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος (.Π.Θ.). ν σε τρίγωνο ισχύει + =, τότε A = 1L. πόδειξη Πάνω στις πλευρές Ox, Oy ορθής γωνίας xôy θεωρούμε αντίστοιχα τμήματα Ο= και ΟΕ=. Επειδή το τρίγωνο ΟΕ είναι ορθογώνιο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα και την υπόθεση, έχουμε : Ε = Ο + ΟΕ = + =. Άρα Ε =. Επομένως τα τρίγωνα και ΟΕ είναι ίσα, γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες, οπότε θα είναι A = Ô = 1, που είναι το ζητούμενο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

6. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα.(θεώρημα ύψους Θ.Υ.) πόδειξη Έστω το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου, που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Θα αποδείξουμε ότι Τα τρίγωνα και είναι όμοια, αφού είναι ορθογώνια και A 1 = ως συμπληρωματικές της. Επομένως, οι πλευρές τους είναι ανάλογες, δηλαδή : = οπότε =. 7. Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας επί το ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο κάθετων πλευρών του.(εφαρμογή θεωρία Ε.Θ.) πόδειξη Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο και η προβολή της κορυφής στην υποτείνουσα. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι = ή καλύτερα α υ α =β γ ηλαδή ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια, το οποίο ισχύει αφού A = = 1 και η γωνία είναι κοινή άρα = = άρα = άρα = ή καλύτερα α υ α =β γ. 8. ν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, τότε α= β πόδειξη Πράγματι, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος στο παίρνουμε α = β + γ = β ή α= β ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

9. ν είναι το ύψος ορθογώνιου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, τότε ισχύει + = πόδειξη Επειδή α υ α= β γ έχουμε ότι + = = = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα Ερωτήσεις κατανόησης 1. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ 90 ) έχει = 6 και = 8. Ποιο είναι το μήκος της διαμέσου Μ ; = + = 36 + 6 = 100 =10 και Μ = = 5. ν ο λόγος των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι α. β. γ. 16 δ. 1 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας νωρίζουμε ότι β α γ 3. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές ίσες με 9cm και 1cm.. Η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου που έχει περίμετρο ίση με την περίμετρο του ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με α. 10 β 1 γ.13 δ.1 Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και δ ικαιολογήστε την απάντηση σας Πυθαγόρειο : α = β + γ = 81+1 = 5 α = 15 Περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου : Π = 15 + 9 + 1 = 36 Πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου : x = 36 3 = 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

. Στο παρακάτω σχήμα υπολογίστε τα x και ψ. x ψ 3 Επειδή η γωνία ˆ είναι εγγεγραμμένη σε Ημικύκλιο, θα είναι ορθή. = + 3 = 16 + 9 = 5 = 5 Ε Ε =. = 5 = 5 άρα = 5 5 = 1 5 x = = 8 5 x 1 5 ψ = = 1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

σκήσεις Εμπέδωσης 1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 1 ) φέρουμε το ύψος. ν είναι = 3 και =, να υπολογιστούν τα μήκη των τμημάτων,, και. = 3 = 16 + 9 = 5 = 5. 3 = 5. = 9 5. = 9 5. 16 5 = 1 5. = 1 5 = 5. = 16 5. ν σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 1 ) είναι ˆB = ˆ τότε ο λόγος είναι ίσος με: α. 1 β. 1 γ. 3 δ. ε. 3. Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και γ αιτιολογήστε την απάντησή σας. Πυθαγόρειο: (1), () β = 3. ˆB + ˆ = 90 ο 3 β = ˆ + ˆ = 90 ο 3 ˆ = 90 ο ˆ = 30 ο γ = 3 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 1 ) φέρουμε το ύψος. ν είναι 5 = 5 και B =, να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα 13 τμήματα,, και. () (1) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

=. = 13. 1 13 =. = 5 13. 1 13. 5 =. 5 13 = 13. 13 13 = 169 13 = = 13 5 13 = 169 5 13 13 = 1 = 1 = 1. 13 = 156 13 = 5.1 13 (1), (), (3), () < < < = 60 13 () = 1 13 (3) (1) () ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

ποδεικτικές σκήσεις 1. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο, που έχει πλευρές α = γ =, β = κλ και, όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι με κ > λ, είναι ορθογώνιο. Παρατηρούμε ότι άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.. ν Ε, Ζ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών και ενός κύκλου σε μία διάμετρό του, να αποδείξετε ότι Ζ. = Ε. Ε O Ζ Φέρουμε τις,. ˆ = 1 (βαίνει σε ημικύκλιο) τρ. ορθογώνιο με ύψος Ε =. Ε Ζ. = Ζ.. Ε (1). Ομοίως στο τρ. θα έχουμε Ε. = Ε..Ζ () πό τις (1), () Ζ. = Ε.. 3. ν είναι μέσο της κάθετης πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου ( Â = 1 ) και Ε η προβολή του στη, τότε να αποδείξετε ότι E + Ε = τμήματα, Ε, Ε.. Στη συνέχεια διατάξτε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα Φέρουμε τη (για να έχουμε κι άλλα ορθογώνια τρίγωνα) Τρ.Ε: E = Τρ.: = Προσθέτουμε κατά μέλη, και επειδή =, έχουμε E + =. (1) Τρ.Ε: = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

(1) E + =. πό την ισότητα που αποδείξαμε προκύπτει ότι Ε < Ε. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Ε προκύπτει ότι Ε <. Άρα Ε < Ε <.. ύο ορθογώνια τρίγωνα και ( Â = Â = 1 ) έχουν και E. Να αποδείξετε ότι: i) α = α ii) β = β. Τι συμπεραίνετε για τα και. ' ' ' Ομοίως, από τα τρίγωνα Ε, ΆΈ θα έχουμε E' ' Τρ.: Τρ.Ά : Άρα = = (1). = (). Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1), (): 5 5 = = 5 5 (3) (1) (3) 3 = 3 = = Άρα τρ. = τρ.. 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) φέρουμε το ύψος του Ε. Να αποδείξετε ότι 3. Τρ.Ε: Τρ.Ε: = + = + = Ε Άρα + + ( + ) = + + + = 3 + + ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 10

Σύνθετα Θέματα i) Ζ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =1 ) και το ύψος του. ν Ε, Ζ είναι οι προβολές του πάνω στις, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) 3 3 = ii) Στο τρ.: Στο τρ.: Στο τρ.: 3 =. Ε. Ζ = = =. Ε =. Ζ 3 3 = (1) =.. Ε ii) Στο τρ.: =. AΕ = AB. Ζ Στο τρ.: =. Ζ =. Ε Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: = AB. Ζ.. Ε 3. = Ε. Ζ ρκεί να αποδείξουμε ότι. =, ή ότι =, το οποίο ισχύει από την ομοιότητα των τριγώνων,. i). ίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο. ν είναι κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους και (Ο, σ) ο κύκλος που εφάπτεται στους (Κ, R), (Λ, ρ) και στη, να αποδείξετε ότι: i) B = R ii) 1 1 1 R (1) Μ Ο Φέρουμε τις ΚΛ, Κ, Λ και ΛΜ Κ. Τότε ΛΜ ορθογώνιο Κ Λ ΚΜ = Κ Μ = R Λ = R ρ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 11

ii) Πυθαγόρειο στο τρ.μκλ R R = R R R R = R R = R = R R Εφαρμόζουμε το i) για τους κύκλους (Κ, R), (Ο, σ) με κοινή εξωτερική εφαπτομένη και για τους κύκλους (Λ, ρ), (Ο, σ) με κοινή εξωτερική εφαπτομένη. Τότε = R και =. + = R + = R R + = R ιαιρούμε τα δύο μέλη με R, τότε 1 1 1 R R 3. Θεωρούμε τραπέζιο με ˆ ˆ = 1. ν Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων, αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής της Μ με τη, να αποδείξετε ότι: i) το Κ είναι ορθογώνιο ii) 1 =. i) Τρ.Μ = τρ.μκ διότι Μ = Μ Mˆ Mˆ (κατά κορυφή) και 1 ˆ ˆ (εντός εναλλάξ). 1 1 1 Ν Άρα Μ = Μ, δηλαδή οι διαγώνιοι του Μ Κ διχοτομούνται, άρα είναι παρ/μμο και 1 επειδή έχει γωνία ορθή, είναι ορθογώνιο. Κ ii) Πυθαγόρειο στο τρ.κ: = (1) πό το i) έχουμε Κ =. Στο τρίγωνο Κ, το ΜΝ ενώνει μέσα Κ = ΜΝ. (1) = =. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

Ισχύει. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ) να αποδείξετε ότι.. Επειδή, όμως,. Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι., ή αρκεί να αποδείξουμε ότι,. ή.. =, αρκεί να αποδείξουμε ότι., ή ότι. 0, ή ότι 0, που ισχύει. 5. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), διάμετρό του και μία χορδή του που τέμνει την στο Ε και σχηματίζει με αυτή γωνία 5 ο. Να αποδείξετε ότι + Ο Μ = R. Ε Φέρουμε ΟΜ και την ακτίνα Ο. Τότε, το Μ είναι μέσο της και το τρίγωνο ΟΜΕ ορθογώνιο και ισοσκελές. + = = = EM M + + ΕΜ. Μ + + Μ. ΕΜ + + = ( + ) (1) Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΜΟ + = = R. (1) + = R. 6. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 1 ) και το ύψος του. ν x, y και ω είναι αντίστοιχα τα μήκη οποιωνδήποτε ομόλογων γραμμικών στοιχείων των τριγώνων (π.χ. διαμέσων, υψών, ακτίνων εγγεγραμμένων κύκλων κτλ.),,, τότε x + y =. γ β α ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 13

Τρ. όμοιο του τρ. x x = (1) Τρ. όμοιο του τρ. y y = () (1) + () x + y = + x y = x y =1 x + y = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ εωμετρικές κατασκευές 1. ν α, β είναι γνωστά τμήματα, να κατασκευάσετε το τμήμα k, που ορίζεται από την ισότητα:. (i) Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα k = α +β, οπότε το ζητούμενο τμήμα k είναι υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές α, β. Επομένως, αν πάνω στις κάθετες πλευρές Ox, Oy μίας ορθής γωνίας xôy πάρουμε αντίστοιχα τα σημεία,, ώστε Ο=α και Ο=β, τότε = OA + OB = α + β και επομένως το τμήμα είναι το ζητούμενο τμήμα k. Είναι φανερό ότι το τμήμα k κατασκευάζεται για οποιαδήποτε τμήματα α, β. (ii) Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα k = α -β η οποία σημαίνει ότι το ζητούμενο τμήμα k είναι η μία κάθετη πλευρά ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα α και άλλη κάθετη πλευρά το β. Η κατασκευή είναι όμοια της (i).. ν α, β είναι γνωστά τμήματα, να κατασκευάσετε το τμήμα x, που ορίζεται από την ισότητα χ= το τμήμα x είναι η μέση ανάλογος των α, β. Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα x = αβ η οποία σημαίνει ότι το x είναι το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου, που χωρίζει την υποτείνουσα σε δύο τμήματα ίσα με α και β αντίστοιχα. Παίρνουμε επομένως σε μία ευθεία διαδοχικά τα τμήματα =α και =β.ράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου και στο υψώνουμε κάθετο στην, που τέμνει το ημικύκλιο στο. Σχηματίζουμε το τρίγωνο το οποίο είναι ορθογώνιο (=1 ). Επομένως έχουμε = = αβ και κατά συνέπεια το τμήμα είναι το ζητούμενο. Είναι φανερό ότι το τμήμα x κατασκευάζεται για οποιαδήποτε τμήματα α, β. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 15

3. ν α είναι γνωστό τμήμα, να κατασκευασθεί τμήμα ίσο με με ν φυσικό μεγαλύτερο ή ίσο του δύο. ν τότε x = α = α + α, η οποία σημαίνει ότι το x μπορεί να κατασκευασθεί ως υποτείνουσα ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου με κάθετες πλευρές ίσες με α. Έτσι το Ο είναι το ζητούμενο τμήμα. ν που σημαίνει ότι το y είναι υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές α και x. ν λοιπόν φέρουμε κάθετο στην Ο στο και πάνω σε αυτή πάρουμε σημείο, ώστε =α, τότε, δηλαδή y = Ο. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζουμε διαδοχικά τα τμήματα. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 16

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος 1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος για οξείες γωνίες. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ν δηλαδή σε ένα τρίγωνο είναι π.χ. A<90 ο τότε α = β + γ - β πόδειξη πό τα ορθογώνια τρίγωνα, έχουμε, με εφαρμογές του Πυθαγόρειου θεωρήματος αντίστοιχα : α = + και = γ -. Επειδή είναι A<90 ο αν < 1 το είναι μεταξύ των,, οπότε = β-. αν > 1 το είναι μεταξύ των,, οπότε = -β. πό τις δύο τελευταίες ισότητες προκύπτει ότι =(β-) = β + -β. Με αντικατάσταση αυτής της σχέσης και της = γ - στην α = + προκύπτει ότι α = γ - + β + -β = β + γ -β, δηλαδή η ζητούμενη ισότητα. αν τέλος =1, το συμπίπτει με το και το ορθογώνιο τρίγωνο δίνει α = γ - β που γράφεται α = β + γ -β, αφού = β.. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος για αμβλείες γωνίες. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 17

ν δηλαδή σε ένα τρίγωνο είναι π.χ. A > 1 και η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, τότε ισχύει α = β + γ + β. πόδειξη πό τα ορθογώνια τρίγωνα και, παίρνουμε αντίστοιχα: α = + και = γ -. Επειδή A > 1, το βρίσκεται στην προέκταση της προς το και επομένως = β+ οπότε = (β + ) = β + + β. Με αντικατάσταση των σχέσεων = γ - και = (β + ) = β + + β στη σχέση α = +, προκύπτει η ζητούμενη ισότητα α = γ - + β + + β = β + γ + β. 3. (Πόρισμα) Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισοδυναμίες: (i) α < β + γ, αν και μόνο αν A<1, (ii) α = β + γ, αν και μόνο αν A=1, (iii) α > β + γ, αν και μόνο αν A>1. πόδειξη πό το Πυθαγόρειο θεώρημα και τις γενικεύσεις του Πυθαγορείου θεωρήματος προκύπτει άμεσα ότι σε κάθε τρίγωνο έχουμε : (i) α < β + γ, αν και μόνο αν A<1, (ii) α = β + γ, αν και μόνο αν A=1, (iii) α > β + γ, αν και μόνο αν A>1. ποδεικνύεται όμως, με απαγωγή σε άτοπο ότι ισχύει και το αντίστροφο των (i), (ii), (iii). Πράγματι, αν π.χ. ισχύει α < β + γ δεν μπορεί να ισχύει A=1 ή A>1, γιατί τότε από τις (ii) και (iii) θα είχαμε α = β + γ ή α > β + γ αντίστοιχα, που είναι άτοπο, αφού α < β + γ. Άρα A<1. Όμοια αποδεικνύονται και οι άλλες περιπτώσεις.. Που χρησιμοποιείται το προηγούμενο πόρισμα ; Σύμφωνα με το πόρισμα αυτό και επειδή σε κάθε τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι στη μεγαλύτερη γωνία, συγκρίνοντας το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ενός τριγώνου με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων πλευρών του, διαπιστώνουμε αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο. 5. ν σε ένα τρίγωνο είναι α=8, β=10 και γ=7, αποδείξτε ότι το τρίγωνο θα είναι οξυγώνιο. πόδειξη ν σε ένα τρίγωνο είναι α=8, β=10 και γ=7, θα έχουμε β =100, α + γ = 6 + 9 =113 δηλαδή β < α + γ, οπότε <90 ο είναι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου, το τρίγωνο θα είναι οξυγώνιο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 18

6. Να διατυπώσετε το νόμο συνημιτόνων. Νόμος συνημιτόνων : Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι σχέσεις : α = β + γ - βγ συν β = α + γ αγ συν γ = α + β αβ συν. 7. ν μεταξύ των πλευρών α, β, γ ενός τριγώνου ισχύει (i) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, (ii) να υπολογίσετε τη γωνία. (i) πό τη δοσμένη ισότητα προκύπτει ότι η γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά και επιπλέον ότι γ > α + β, οπότε η γωνία είναι αμβλεία. (ii) Επειδή η γωνία είναι αμβλεία, σύμφωνα με το θεώρημα αμβλείας γωνίας έχουμε: γ = α + β + α (1). πό την υπόθεση όμως έχουμε πό τις (1) και () προκύπτει ότι στο τρίγωνο έχουμε ότι εξ = 30 και επομένως = 150. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα που σημαίνει 8. Το ύψος υ α ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο όπου τ = 1 (α + β + γ) η ημιπερίμετρος του τριγώνου. νάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υ β και υ γ. Aπόδειξη Εστω ένα τρίγωνο και το ύψος του υα. πό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε υ = γ - (1). Πρέπει επομένως να υπολογίσουμε την προβολή της γ πάνω στην α. ν 1, από το τρίγωνο έχουμε β = α + γ -α ή ν 1, από το τρίγωνο έχουμε ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 19

με αντικατάσταση της οποίας στην (1) παίρνουμε: Επειδή α+β+γ =τ, θα είναι α+γ-β=τ-β-β=(τ-β), α+β-γ=(τ-γ) και β+γ-α=(τ-α), οπότε η () γίνεται: από την οποία προκύπτει το ζητούμενο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος Ε Ερωτήσεις κατανόησης 1.Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώσετε τα κενά i) = + +. ii) = + +.Ε.Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου όταν i) β = 3α + γ ii) γ = α β iii) α β = γ i) β = 3α + γ > α + γ ˆ >90 ο, οπότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο ii) γ = α β α = β + γ ˆ = 90 ο, οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο iii) α β = γ α = β +γ > β + γ ˆ > 90 ο, οπότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο 3. ν β η πλευρά αμβλυγωνίου τριγώνου, τότε.. > α +.. (Να συμπληρώσετε τα κενά ) ν β η μεγαλύτερη πλευρά αμβλυγωνίου τριγώνου, τότε β > α + γ.. ν στο παρακάτω σχήμα είναι = και ˆ =10 ο, να δικαιολογήσετε γιατί α = 3β γ 10 ο α β πό τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε α = β + γ βγσυν ˆ α = β + β β συν10 ο α = β + β β 1 ( ) = 3β ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

σκήσεις Εμπέδωσης 1.Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο με α = 6μ, β = 5μ, γ = μ, όπου μ θετική παράμετρος. Να εξετασθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. ια να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β, γ πρέπει και αρκεί 5 6 5 36 5 16 1 Άρα ˆ οξεία. μ < 6μ < 9μ, που ισχύει. Άρα υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Η γωνία ˆ βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά α, άρα είναι η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου. Και επειδή αυτή είναι οξεία, θα είναι και οι άλλες. Άρα το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών α = 6, β = 5, γ = ; ν ναι, να υπολογισθούν τα ύψη του τριγώνου. ια να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές α, β, γ πρέπει και αρκεί 5 6 5 1 < 6 < 9, που ισχύει. Άρα υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. = 15 15 15 15 6 5 6 = Ομοίως 3 7 και = 1 15. 3. 5. 7 3 = 1 15.7 15 7 5 7. 3 16 3. 15 7 8 3. ίνεται τρίγωνο με, 1 3,. Να υπολογισθεί η γωνία ˆ.. ˆ 1 3. 1 3.. ˆ 1 3 3 1 3. ˆ 6 3 = 1 3 ˆ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

30 0 6 3 ˆ = 1 3 = 1 3 3 1 3 = 1 3 3 3 ˆ = 3 ˆ ˆ ˆ = 30 ο.. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με =, = 5 και ˆ = 30 ο, όπου το ύψος του. Να υπολογισθεί η πλευρά του. Στο τρίγωνο θα έχουμε ˆ = 60 ο. ˆ 0 5.5.. 60 = 5+16 0. 1 = 1 0 = 1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

ποδεικτικές σκήσεις 1.Οι πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκη = 9, = 7 και = 1. Να υπολογισθεί το μήκος της προβολής της πάνω στην. η προβολή της πάνω στην. 1 1 9 7 81 9 130 Άρα Άρα > ˆ αμβλεία.. 1 = 130 +.9. 18 = 1 = 1 18 = 7 9.Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο με βάσεις, ισχύει ότι = + +. Έστω ˆ, ˆ οξείες. Φέρουμε Κ και Λ κάθετες στη. Κ Λ Προσθέτουμε κατά μέλη: = Τρ.: Τρ.: + = + = + +. Κ. Λ. Κ. Λ = = ΛΚ ορθογώνιο ΚΛ = (1) = + + + +. ( Κ Λ) +. ΚΛ (1) +. 3. ν, είναι ύψη ενός οξυγωνίου τριγώνου, να αποδείξετε ότι = β + γ. γ α β = = + β + γ Προσθέτουμε κατά μέλη + = + + ( β + γ ) ( β + γ ) = β + γ = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ 1 ). Προεκτείνουμε την πλευρά κατά =. Να αποδείξετε ότι =.. Τρ.: = = = + + +. +. +. = ( + ) = ( + ) =. 5.Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) φέρουμε παράλληλη της, που τέμνει τις και στα και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = +. Ε. Ε Φέρουμε Κ, ΕΛ κάθετες στη. Στο τρίγωνο Ε έχουμε = +. Λ = + ( Λ) (1) K Λ τρ.κ = τρ.ελ Κ = Λ. Άρα Λ = Λ Κ = ΚΛ = Ε (1) = +. Ε. 6.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ 1 ) με πλευρές α, β, γ. Υπάρχει τρίγωνο με πλευρές 5,, 3 ; Ορθογώνιο τρίγωνο = + Πρέπει να ισχύει 5 < + 3 5 < 3 5 < 16 + βγ + 9 5 ( + 5 ) < 16 + βγ + 9 + 5 < 16 + βγ + 9 9 +16 βγ < 0 3 0 που είναι αδύνατο. Άρα δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

Σύνθετα Θέματα 1.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = και ˆ = 30 ο. Να αποδείξετε ότι 3. = + ββσυν 0 30 = + = = 3 ( 3 ) 3 3.ίνεται κύκλος διαμέτρου και μία χορδή του. ν Μ είναι τυχαίο σημείο της, να αποδείξετε ότι Κ Μ Λ + = +. Φέρουμε τις,, και έστω Κ, Λ οι προβολές των, στην. Τότε ισοσκελές τραπέζιο, ΚΛ ορθογώνιο και Κ = Λ Τρ.Μ: Τρ.Μ: = + Μ. Κ = + Μ. Λ Προσθέτουμε: + = + + Μ. Κ Μ. Λ. ρκεί να αποδείξουμε ότι Μ. Κ Μ. Λ = 0, ή Μ. Κ Μ. Λ = 0. Όμως, από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε = Κ., οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι Κ. Μ. Κ Μ. Κ = 0, ή Μ Μ= 0, που ισχύει. 3.ίνεται τρίγωνο με οξυγώνιο. πό την υπόθεση (1) + () + 3 = 3 + 3 > 3 + 3 3 = 3 + 3. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι 3 3 > και > και > και 3 (1) και 3 3 > ( ) > 3 > 3 () ˆ οξεία. Επειδή όμως και, δηλαδή η α είναι η μεγαλύτερη πλευρά, η ˆ θα είναι η μεγαλύτερη γωνία. Άρα το τρίγωνο οξυγώνιο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Θεωρήματα διαμέσων 1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το 1ο θεώρημα διαμέσων. 1ο θεώρημα διαμέσων : Το άθροισμα των τετραγώνων δυο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. πόδειξη Έστω τρίγωνο, η διάμεσος AM = μα και το ύψος. ν >, τότε το ίχνος του υα βρίσκεται μεταξύ των, Μ (σχ.1) και Μ>1, ενώ Μ (i) = Μ + Μ + Μ Μ (ii) = Μ +Μ -Μ Μ Προσθέτοντας κατά μέλη αυτές τις σχέσεις και λαμβάνοντας υπόψη ότι Μ = Μ έχουμε: νάλογα έχουμε και τους ακόλουθους τύπους:. Να γράψετε τους τύπους υπολογισμού των διαμέσων ως συνάρτηση των πλευρών του τριγώνου. 3. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το 1ο θεώρημα διαμέσων. ο θεώρημα διαμέσων : Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

πόδειξη Έστω τρίγωνο, η διάμεσος AM = μα και το ύψος. ν >, τότε το ίχνος του υα βρίσκεται μεταξύ των, Μ και Μ>1, ενώ Μ (i) = Μ + Μ + Μ Μ (ii) = Μ +Μ -Μ Μ φαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε ότι : ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ασικοί γεωμετρικοί τόποι 1. Έστω, δύο σταθερά σημεία και k ένα δοσμένο τμήμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα, ισούται με k. Έστω Μ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Σύμφωνα με το πρόβλημα θα είναι : AM + BM = k (1). ν Ο είναι το μέσο του, τότε από το 1ο θεώρημα των διαμέσων θα έχουμε πό την ισότητα αυτή βλέπουμε ότι το τμήμα ΜΟ έχει σταθερό μήκος. Έτσι το Μ απέχει από το σταθερό σημείο Ο σταθερή απόσταση ίση με άρα βρίσκεται στον κύκλο ντίστροφα. Θα αποδείξουμε ότι κάθε σημείο Μ του κύκλου είναι και το σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, δηλαδή ότι ισχύει Μ + MB = k. Πράγματι, από το 1ο θεώρημα διαμέσων έχουμε Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος που έχει κέντρο Ο το μέσο του τμήματος και ακτίνα ίση με ιερεύνηση. παραίτητη προϋπόθεση για να υπάρχει γεωμετρικός τόπος είναι Όταν έχουμε ισότητα ο γεωμετρικός τόπος αποτελείται μόνο από το σημείο Ο.. Έστω, δυο σταθερά σημεία και k ένα σταθερό τμήμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, για τα οποία η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τα, ισούται με k. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

Έστω Μ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Σύμφωνα με το πρόβλημα (για Μ > Μ) είναι Μ - Μ = k (1). Έστω Ο το μέσο του και ε η ευθεία ΜΗ όπου Η προβολή του Μ πάνω στην. πό το ο θεώρημα των διαμέσων έχουμε ότι Μ - Μ = ΟΗ <=> k = OH <=> OH = k / Η ισότητα αυτή δείχνει ότι το τμήμα ΟΗ είναι σταθερό. Παρατηρούμε ότι η προβολή του Μ πάνω στο είναι σταθερή, άρα το Μ βρίσκεται στην ευθεία ε στο σημείο Η, όπου k / και βρίσκεται μεταξύ των σημείων Ο,. ντίστροφα. Έστω σημείο Η μεταξύ των Ο, τέτοιο, ώστε k / πό το Η φέρουμε την κάθετη ευθεία ε στην και έστω Μ τυχαίο σημείο της ε. Θα αποδείξουμε ότι το Μ είναι σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Πράγματι από το ο.θεώρημα διαμέσων έχουμε Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ε. ιερεύνηση. ν k = 0 είναι MA - MB = 0 ή Μ = Μ, οπότε το Μ ισαπέχει από τα σημεία,. Τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 30

A ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Θεωρήματα διαμέσων Ερωτήσεις κατανόησης 1.Στο παρακάτω σχήμα η Μ είναι διάμεσος και ύψος. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή. ιτιολογήστε την απάντηση σας. i) + = Μ + Μ ii) + = Μ + iii) + = Μ iν) = Μ + Μ B Μ Σωστή σχέση είναι η (i) διότι : + = Μ + = Μ ( ) + = Μ + = Μ + Μ. Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώστε τα κενά. Να εξηγήσετε γιατί Μ + Μ = Μ + Μ Μ i) Μ + Μ =. ii) Μ + Μ =.. Ο Εξήγηση i) Μ + Μ = ΜΟ + ii) Μ + Μ = ΜΟ + φού =, τα δεύτερα μέλη των (i) και (ii) είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 31

3.Σε τρίγωνο είναι β + γ = 5α Τότε α. μ α = β. μ α = 3 γ. μ α = 3 δ. μ α = 3 Κυκλώστε την σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την απάντηση σας = = ( ) 10 9 = οπότε μ α = 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

σκήσεις Εμπέδωσης 1. Σε τρίγωνο έχουμε β = 7, γ = 6 και = 7. Να υπολογισθούν i) η πλευρά α ii) η προβολή της διαμέσου στη. i) = + + = + + = 7 =. 7 +. 6. =. 9 +. 36. 9 = 98 + 7 9 = 11 Άρα α = 11 ii) Έστω x η προβολή της διαμέσου = α x στη. 7 6 =.11. x 9 36 = x 13 = x x = 13.Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει ρκεί να αποδείξουμε ότι ή ότι ή ότι ή ότι + βγ > + βγ > + βγ > + βγ > + βγ > ή ότι ή ότι β + γ > α που ισχύει από την τριγωνική ανισότητα. 3. ίνεται κύκλος (Ο, R), μια διάμετρός του και έστω, τα μέσα των Ο και Ο αντίστοιχα. ν + = 5, όπου Μ τυχαίο σημείο του κύκλου, να υπολογισθεί η ακτίνα του κύκλου. M Στο τρ.μ : + = + O 5 = 10 = R + R + R R ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 33

10 = 5 R R = R =.ίνεται τρίγωνο και έστω Θ το βαρύκεντρό του. Να αποδείξετε ότι: i) + + = 3 ( + + ) ii) + + = 1 3 ( + + ) i) + + ii) Θ = 3 + + = + = 1 ( + + + = 1 (3 + 3 + 3 ) = 3 ( + = 9 = 9 + 9 = 9 ( + = 9 και κυκλικά + 3 ( + + ) + 9 + ) = 1 3 ( + ) ). + ) ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

ποδεικτικές σκήσεις 1.ίνεται τρίγωνο με ˆ = 60 ο, β = 5, γ = 3. Να υπολογισθεί η διάμεσός του. = + - βγ συν ˆ = 5 + 9. 5. 3. συν60 ο = 3 30. 1 = 3 15 = 19 = =.5.3 19.5.9 19 = 50 18 19 = = 9 Άρα = 7. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και τυχαίο σημείο της.. Να αποδείξετε ότι = Έστω Μ το μέσο της και Κ. K M ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο : - =. ΜΚ. ρκεί να δειχθεί ότι. ΜΚ = ΜΚ. =. ΜΚ. = ΜΚ. = Μ. που ισχύει από θεώρημα Θαλή, αφού Κ Μ 3. i) ν ορθογώνιο και Μ τυχαίο σημείο, να αποδείξετε ότι MA + M = M + M ii) ν τετράγωνο και σημείο Μ στο εσωτερικό του, ώστε Μ = 1, Μ = και Μ = 3, να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου. i) Μ Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ Φέρουμε τις διαγώνιες,, οι οποίες διχοτομούνται στο Ο. 35

τρ.μ: τρ.μ: Τα δεύτερα μέλη είναι ίσα, άρα και τα πρώτα. MA + M + M = M = M + M + ii) 1 Μ i) MA + M = 1 + 3 = + M = M = M M + M 3 Έτσι είναι Μ = Μ, άρα το Μ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος, δηλαδή σημείο της διαγωνίου. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Τότε = α 1 + 3 = α α = 1 3. ν Μ, Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων, ενός τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι + + + = + +. (Θεώρημα Euler) N M τρ.ν διάμεσο ΝΜ : (1) + + + + + + + Τρ. με διάμεσο Ν: + = + Τρ. με διάμεσο Ν: + = + Προσθέτουμε κατά μέλη + + + = ( + ) + = + = ( + ) + = + + (1) 5.Στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου θεωρούμε τα σημεία και Ε τέτοια, ώστε = Ε = Ε. Να αποδείξετε ότι + = 5 9. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 36

Μ μέσο του Ε άρα και της = α M Ε Τρ.Ε με διάμεσο Μ: + = + αλλά Μ = και Ε = 3 Άρα + = + + 3 = 9 = + 18 9 = 18 10 5 = = 18 9 6. ν σε τρίγωνο ισχύει Είναι + = + Η υπόθεση + = + = γίνεται + + +, να υπολογισθεί η γωνία ˆ. = = 0 0 =0 ˆ = 90 ο ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 37

Σύνθετα Θέματα 1.ύο αδέλφια κληρονόμησαν αγροτεμάχιο σχήματος τραπεζίου και αποφάσισαν να το μοιράσουν ανοίγοντας δρόμο που θα ενώνει τα μέσα των παράλληλων πλευρών του. ν οι βάσεις είναι 8km και 6km, ενώ οι μη παράλληλες πλευρές 5km και 6km, πόσο θα στοιχίσει η διάνοιξη του δρόμου, αν ένα χιλιόμετρο δρόμου κοστίζει 50.000 δρχ. 3 Κ 3 το αγροτεμάχιο - τραπέζιο Κ, Λ τα μέσα των βάσεων 5 6 Φέρουμε ΚΕ και ΚΖ. Τότε δύο παραλληλόγραμμα, άρα Ε Λ Ζ ΚΛ διάμεσος του τριγώνου ΚΕΖ ΚΕ = = 5, ΚΖ = = 6 και ΛΕ = ΛΖ = Λ Ζ = Κ = 3 = 1 =.5.6 = 50 7 = = 118 = 59 59 Άρα ΚΛ = km... ίνεται τρίγωνο, με > και Μ, Ν τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα. ν Ο το μέσο του ΜΝ, να αποδείξετε ότι - = Φέρουμε το Ο. ΟΜ διάμεσος του τριγώνου Ο Ο + = + (1) Μ Ν ΟΝ διάμεσος του τριγώνου Ο + = + () (1) () = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 38

3. Σε ημικύκλιο διαμέτρου = α θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ. Χωρίζουμε τη διάμετρο σε τρία ίσα τμήματα = =. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα M + MB + M + είναι σταθερό. Πυθαγόρειο στο τρ.μ: M M + MB = (1) (1) + () Έστω Ο το κέντρο του ημικυκλίου. 1 ο Θ. διαμέσων στο τρ.μ: O M + = + M + = 3 + = + 9 = 0 + = () 9 9 M + MB + M + = 0 56 + = σταθερό. 9 9. ίνεται ρόμβος πλευράς α, Ο το κέντρο του και κύκλος (Ο, λα), λ > 0. ν για τυχαίο σημείο Μ του κύκλου ισχύει M + MB + M + = 18, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ. O M 1 ο Θ. διαμέσων στο τρ.μ: M + = + = Ομοίως 1 ο = + 1 = = + (1) Θ. διαμέσων στο τρ.μ: MB + = + () (1) + () M + MB + M + = + ( + ) (3) Πυθαγόρειο στο τρ.ο: + = =. (3) M + MB + M + = 18 = 18 = + + + ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 39

= 16 = άρα 5.ίνεται ρόμβος πλευράς α, με διαγώνιο = α. Έστω τυχαίο σημείο Ρ. Να αποδείξετε ότι = ( ) + ( ). Ρ ρκεί να δειχθεί ότι = + ( + ) Ο 1 ο Θ. διαμέσων στο τρ.ρ: + = + = + 1 = + (1) Ομοίως 1 ο Θ. διαμέσων στο τρ.ρ: (1) () + + = ( + ) = + () 3 = 3 = 3 = = =. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

ΚΕΦΛΙΟ 9ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις σε κύκλο Τέμνουσες κύκλου 1. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα δύο τεμνόμενων χορδών ενός κύκλου. Θεώρημα (τεμνόμενων χορδών - ΘΤΧ): ν δυο χορδές, ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει : Ρ Ρ = Ρ Ρ. πόδειξη Τα τρίγωνα Ρ και Ρ είναι όμοια, αφού ΡA = Ρ και Ρ = Ρ (Στο 1ο σχήμα έχουμε ότι ΡA = Ρ γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και η ΡA είναι εξωτερική του γωνία. Στο ο σχήμα ΡA = Ρ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Επομένως, ισχύει ότι ΣΧΟΛΙΟ Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα γινόμενα των τμημάτων που ορίζουν οι τέμνουσες ενός κύκλου Ρ 1 Ρ, Ρ 1 Ρ, Ρ 1 Ρ,... παραμένουν σταθερά. Το γεγονός αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα γινόμενα αυτά εξαρτώνται μόνο από τις θέσεις του σημείου Ρ και του κύκλου (O,R).. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα τέμνουσας και εφαπτομένης σε έναν κύκλο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 1

Θεώρημα (Τέμνουσας και εφαπτομένης - ΘΤΕ): ν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (O,R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία,, τότε ισχύει ότι : ΡΕ = Ρ Ρ. πόδειξη Φέρουμε την ευθεία ΡΟ η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία και. Θέτουμε ΟΡ = δ, οπότε από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών έχουμε ότι: πό το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΡΟΕ προκύπτει ότι 3. Να δοθεί ο ορισμός της δύναμης ενός σημείου Ρ ως προς κύκλο (Ο,R). Η διαφορά δ -R λέγεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O,R) και συμβολίζεται Σημείωση : ν μια ευθεία διέρχεται από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) και τέμνει τον κύκλο σε σημεία, τότε Ρ Ρ = δ - R. Όμοια αποδεικνύεται ότι Ρ Ρ = R - δ, αν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου.. Πως σχετίζεται η δύναμη σημείου Ρ κύκλο (Ο,R) με την θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο ; ς εξετάσουμε τι ς προς συμβαίνει όταν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου ή όταν ανήκει σε αυτόν. Τότε η δύναμη του σημείου P ως προς τον κύκλο (O,R) είναι αρνητική ή ίση με το μηδέν αντίστοιχα. Επεκτείνοντας, λοιπόν, τον ορισμό της δύναμης σημείου ως προς κύκλο καταλαβαίνουμε ότι ουσιαστικά εκφράζει τη σχετική θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (O,R), καθώς εξαρτάται μόνο από το δ, δηλαδή την απόσταση του Ρ από το κέντρο του κύκλου. Επομένως, έχουμε ότι: ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (O,R) αν και μόνο αν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (O,R) αν και μόνο αν το Ρ είναι σημείο του κύκλου (O,R) αν και μόνο αν 5. ν δύο τμήματα και ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ έτσι ώστε Ρ Ρ = Ρ Ρ, τότε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία,,, είναι εγγράψιμο. πόδειξη ς θεωρήσουμε το σημείο τομής Ρ των τμημάτων AB, ή των προεκτάσεών τους. Η δοσμένη σχέση Ρ Ρ = Ρ Ρ γράφεται ΡΡ = ΡΡ και αφού Ρ = Ρ, τα τρίγωνα Ρ και Ρ θα είναι όμοια. Επομένως Ρ = Ρ, οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Η εφαρμογή εκφράζει το αντίστροφο του θεωρήματος τεμνόμενων χορδών. 6. ς θεωρήσουμε ευθεία ε και τρία σημεία της Ρ,,, με το μεταξύ των Ρ και. Έστω σημείο Ε εκτός της ευθείας ε τέτοιο, ώστε ΡΕ = Ρ Ρ. Τότε το τμήμα ΡΕ είναι εφαπτόμενο στον κύκλο, που ορίζουν τα σημεία,, Ε. πόδειξη Έστω (O,R) ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία,, Ε. Τότε ΡΕ = Ρ Ρ = ΟΡ - R = OΡ - ΟΕ ή ΡΕ + ΟΕ = ΟΡ οπότε το τρίγωνο ΟΕΡ είναι ορθογώνιο και η ΡΕ εφάπτεται στον κύκλο (O,R). ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Η εφαρμογή αυτή εκφράζει το αντίστροφο του θεωρήματος τέμνουσας και εφαπτομένης ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

7. ιαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο (Χρυσή Τομή) :Να διαιρεθεί ένα τμήμα, σε δύο άνισα τμήματα, ώστε το μεγαλύτερο από αυτά να είναι μέσο ανάλογο του μικρότερου και του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος. πόδειξη Έστω = α και = x το μεγαλύτερο από τα τμήματα στα οποία χωρίζεται το από το (σχ.1). Τότε = α - x και θα πρέπει να ισχύει η σχέση: = ή x = α(α-x) (1). Η σχέση (1) γράφεται x + αx - α = 0 ή x (x + α) = α (). Έτσι, για να κατασκευάσουμε το x γράφουμε κύκλο (Ο, που εφάπτεται στο ευθύγραμμο τμήμα στο σημείο και φέρουμε την Ο, η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία, Ε. Τότε ισχύει ότι = Ε = ( + Ε) = ( + ) ή α = ( + α) οπότε το έχει το ζητούμενο μήκος και το είναι η τομή του κύκλου (, ) και του τμήματος. ΣΧΟΛΙΟ Το πρόβλημα της διαίρεσης ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο είναι γνωστό σήμερα και ως πρόβλημα της Χρυσής Τομής. Με το πρόβλημα αυτό επιλύεται γεωμετρικά η εξίσωση x = α(α - x) ή x + αx - α = 0. Η θετική ρίζα της εξίσωσης x + αx - α = 0 είναι από όπου προκύπτει ότι που είναι η αναλογία της «χρυσής τομής». παραπάνω λόγος συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα φ, δηλαδή Ο συμβολισμός προέρχεται από το όνομα του γλύπτη της κλασικής αρχαιότητας Φειδία ο οποίος κατασκεύασε τον Παρθενώνα. Οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι διαπίστωσαν ότι όπου εμφανίζεται ο λόγος φ (αρχιτεκτονική, γλυπτική κτλ.), δημιουργεί την αίσθηση της αρμονίας. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Μετρικές σχέσεις σε κύκλο Ερωτήσεις κατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογιστούν οι τιμές των x και ψ. Ν (α) x O Ρ 3 Θ x 6 Ε Κ Τ 1 Σ O ψ Μ Λ (β) Ζ O (γ) Στο σχήμα (α) Στο σχήμα (β) Στο σχήμα (γ) Ρ. Ρ = Ρ. Ρ ΣΚ. ΣΛ = ΣΜ. ΣΝ ΤΘ = ΤΕ.ΤΖ ( + ) = 3( 3+x). = ψ. 1 36 = (+x) + 8 = 9 + 3x 8 = ψ 9 = + x x = 1 5 = x. Ποια είναι η δύναμη σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, R) όταν Ρ Ο =ΟΡ R = R (,R) 3.ν στο παρακάτω σχήμα είναι κύκλου M (,R) = 3, να υπολογίσετε την ακτίνα του Ο Μ = ΟΜ R 3 = M (,R) R R 3R = 1 R = ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

Κ σκήσεις Εμπέδωσης 1. ίνεται κύκλος (Κ, 6) και σημείο, ώστε Κ = 1. ν από το σημείο φέρουμε τέμνουσα που τέμνει τον κύκλο κατά χορδή = 6, να υπολογίσετε το. Έστω = x, τότε = x + 6 AB. = R x (x + 6) = 1 6 x 6x 196 36 x 6x 160 0 (1) = 6.160 = 36 + 60 = 676 (1) x = 6 676 = 6 6 66 = 6 6 = 0 3 = 10 16 άρα x = 10. ν σε τρίγωνο ο κύκλος, που διέρχεται από το και τα μέσα Μ, Ν των και αντίστοιχα, εφάπτεται της στο, να αποδείξετε ότι =.. Φέρουμε το τμήμα ΜΝ. Μ Λ Ν Τότε ΜΝ και τέμνει το στο μέσο του Λ. Άρα ΜΛ = και ΛΝ= Λ, ΜΛΝ τέμνουσες του κύκλου Λ. Λ = ΛΜ. ΛΝ 1. 1 = 1. 1 =.. 3. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R) και τις χορδές του, που τέμνονται στο Ρ. ν ισχύει ότι =, να αποδείξετε ότι οι χορδές, είναι ίσες. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

Ρ Ρ, Ρ τέμνουσες Ρ. Ρ = Ρ. Ρ πό υπόθεση έχουμε = Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: Ρ = Ρ ιαιρούμε κατά μέλη: Ρ = Ρ. Να αποδείξετε ότι, η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεμνόμενων κύκλων διχοτομεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους. Η κοινή χορδή τέμνει το κοινό εξωτερικό Μ εφαπτόμενο τμήμα σε σημείο Μ. Είναι M = Μ. Μ και M = Μ. Μ Άρα M = M Μ = Μ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

ποδεικτικές σκήσεις 1. Τετράγωνο πλευράς α είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). ν Ε είναι το μέσο της και η Ε προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο Ζ, να αποδείξετε ότι: 5 i) BE =, ii) BE = 5EZ i) Ζ Ε Ο Πυθαγόρειο στο τρ.ε: = + = + 5 BE = = = 5 (1) + ii) EB. EZ = EA. E 5 ΕΖ = 5 ΕΖ = πό τις (1), () ΕΖ = 5 BE = 5EZ. = 5 10 = 1 5 5 ().πό σημείο εκτός κύκλου (Ο, R) φέρουμε τέμνουσα και εφαπτόμενο τμήμα. ν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει τις, στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε. Ζ = Ε. Ζ. Θ. διχοτόμων στο τρ.: = Θ. διχοτόμων στο τρ.: = Ζ Ε ημιουργούμε το γινόμενο Ε. Ζ πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη =.. =. (1) επειδή όμως τέμνουσα και εφαπτομένη, θα έχουμε. (1) = 1 Ε. Ζ = Ε. Ζ.. =.. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

3. ν η διάμεσος Μ τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε, να αποδείξετε ότι: i) AM. ME = ii) + = AM. AE. i) ΜΕ, Μ τέμνουσες MA. ME = MB. M ε Η Μ Κ Μ Ε ii) 1 ο Θ. διαμέσων: Μ O Ο Ν + = + = + (i) + Μ. ΜΕ MA. ME = MA. ME = = Μ (Μ + ΜΕ) = Μ. Ε.. ίνεται κύκλος (Ο, R) και ευθεία ε που δεν τέμνει τον κύκλο. πό σημείο Μ της ε φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Μ, Μ και Ο ε. ν η τέμνει την Ο στο Ν, να αποδείξετε ότι ΟΝ. Ο = R. Φέρουμε την ΟΜ, η οποία είναι μεσοκάθετος της. Kˆ =1 ˆ ΚΝΜ εγγράψιμο ΟΝ. Ο = ΟΚ. ΟΜ (1) Τρ.ΟΜ ορθογώνιο με ύψος Κ R = = ΟΚ. ΟΜ () (1), () ΟΝ. Ο = R. 5. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â =1 ) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) και το ύψος του. ν μεταβλητή ευθεία ε που διέρχεται από το τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι Μ. Η =. Φέρουμε την Η. ˆ =1 αφού βαίνει σε ημικύκλιο, αλλά και ˆ =1, οπότε ΗΜ εγγράψιμο Μ. Η =. (1) Τρ. ορθογώνιο με ύψος =. () (1), () Μ. Η =. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

Σύνθετα Θέματα 1. ν η διχοτόμος τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε και είναι =., να αποδείξετε ότι =. Ε, τέμνουσες του κύκλου. Ε =., αλλά 1 =. άρα =. Ε = Ε 1 τρ.ε όμοιο του τρ.ε ( ˆ 1 ˆ ˆ 1 και ˆ κοινή) Ε = = Ε. Ε ρκεί να δειχθεί ότι = Ε. Ε, ή ότι Ε = Ε που ισχύει..ίνεται τρίγωνο με Μ =. ν η διάμεσος Μ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο, να αποδείξετε ότι Μ = 1 ο Θ.διαμέσων: + 3 6 = + =., αλλά άρα = + = = 3 3 Μ = (1) Μ, Μ τέμνουσες του κύκλου Μ. Μ = Μ. Μ 3 Μ = 3 Μ = (1) 3 Μ = = 3 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 50

3 3. Σε τρίγωνο είναι =. ν Μ το βαρύκεντρο του τριγώνου, να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου Μ εφάπτεται της στο. Μ = 3 3 = 3 = = 3 (1) ρκεί να αποδείξουμε ότι»» = Μ. = 1 3»» 1 = 3»» 3 = Έχουμε = = ( ) - (1). - = 3.. ίνεται τρίγωνο, η διχοτόμος του, η διάμεσός του Μ και ο περιγεγραμμένος κύκλος (Κ) του τριγώνου Μ. ν Ε, Ζ είναι τα σημεία τομής των και με τον κύκλο (Κ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ε = Ζ. Μ, Ε τέμνουσες του κύκλου Ε. =. Μ Μ, Ζ τέμνουσες του κύκλου Ζ. = Μ. Ε M Ζ BE ιαιρούμε κατά μέλη: Z = λλά από Θ. διχοτόμων είναι =. BE Άρα = 1 Ε = Ζ Z ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 51

Κ ενικές 9 ου κεφαλαίου 1.Έστω, δύο ευθύγραμμα τμήματα. Ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε είναι να ισχύει =. Ευθύ: Έχουμε υπόθεση. Θα αποδείξουμε ότι = Έστω Κ το σημείο τομής των ευθειών,. Πυθαγόρειο στο τρ.κ : = + Πυθαγόρειο στο τρ.κ : = + φαιρούμε κατά μέλη: Ομοίως = = Άρα = ντίστροφο: Έχουμε υπόθεση θ Μ =. Θα αποδείξουμε ότι. Έστω >, τότε > πό την υπόθεση σημεία, θα ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο. > 0. > 0 > >. Άρα τα, βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς τη μεσοκάθετο Μθ του τμήματος. Φέρουμε, κάθετες στη, οπότε και τα ο Θ. διαμέσων στο τρ.: =. Μ ο Θ. διαμέσων στο τρ.: Άρα. Μ =. Μ άρα ευθεία κάθετη στη. =. Μ Μ = Μ τα, συμπίπτουν,.ίνεται τρίγωνο. ν είναι η διχοτόμος της γωνίας Â, να αποδείξετε ότι. = A +.. ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

1 ράφουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. Η προέκταση της διχοτόμου τέμνει τον κύκλο στο Ε. Ε Ε, τέμνουσες του κύκλου.ε =. (Ε ) =..Ε A =.. Ε = A +.. ρκεί να αποδείξουμε ότι. Ε =., ή ότι, ή ότι τρ. όμοιο του τρ.ε, που ισχύει, αφού ˆ 1 = ˆ και ˆ ˆ. (σε ίδιο τόξο) 3. ν Μ είναι το μέσο της πλευράς οξυγωνίου τριγώνου και ύψος του, να αποδείξετε ότι A = +.. Θ. επέκτασης του Πυθαγορείου: γ Άρα α M β +. = = + = + A. = A. = A. + = + = = =.Θεώρημα Stewart i) Έστω σημείο της πλευράς τριγώνου. Να αποδείξετε ότι. Κ +. 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ = ( +. ). ii) Να διατυπώσετε το θεώρημα Stewart, όταν το είναι ισοσκελές ( = ). i) α) Όταν η δεν είναι Έστω ˆ 1 αμβλεία και ˆ οξεία. 53

Φέρουμε Κ Τρ.: = + +. Κ Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη με. =. +. +.. Κ (1) Τρ.: = + +. Κ Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη με. =. +. +.. Κ () (1) + (). +. = ( + ) +. ( + ). +. =. +... +. = ( +. ) β) Όταν κολουθούμε ίδια πορεία, αλλά με Πυθαγόρεια θεωρήματα. ii) Στην ισότητα που αποδείξαμε στο i), όπου θέτουμε. Η Τότε γ Ν β Θ = +. Μ α Ε 5. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με. Να αποδείξετε ότι: i) + = 5 ii) αν ύψος και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου, τότε Η. =. i) Έστω Θ το κέντρο βάρους τρ.θ ορθογώνιο : 3 + 3 = + = 9 9 + + = 9 + + + = 5. ii) Φέρουμε το ύψος Ε και τις Ε, Η. Τα σημεία, Ε βλέπουν το τμήμα Η με ορθή γωνία ΕΗ εγγράψιμο Η. =. Ε (1) ˆ οξεία = +. Ε = 5. Ε. Ε =. Ε = = 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

Η (1) Η. = 6. Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τη διάμεσο Μ. ν η προβολή του Μ πάνω στην, να αποδείξετε ότι = 3 +.. Στο τρίγωνο Μ έχουμε Ε Μ Η O B = = +. +. = + = +. + 8. = + 6 8. = + 3. 7.ίνεται κύκλος (Ο, R), μια ακτίνα Ο και χορδή παράλληλη προς την Ο. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα + είναι σταθερό. Φέρουμε τη διάμετρο Ο και τη χορδή. Το τραπέζιο είναι εγγεγραμμένο, άρα είναι ισοσκελές, δηλαδή = Ο ˆ = 1 αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Πυθαγόρειο στο τρ.: + = + = R + = R σταθερό. 8. ίνεται κύκλος (Ο, R), μία διάμετρος και, τα μέσα των Ο, Ο αντίστοιχα. ν μία χορδή ΕΗ που διέρχεται από το είναι ΕΗ = να αποδείξετε ότι ˆ E =1. ρκεί να αποδείξουμε ότι 13 R, + = 1 ο Θ. διαμέσων στο τρίγωνο Ε: + = + + = R R + = 5R 5R = (1) E ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 55

Ομοίως στο τρίγωνο Η: H = 5R H () (1) + () + = 5 R ( + H ) (3) Ε + Η = R 13 E = + + 13R H + Ε. Η = H = 13R 13R Ε. Η () ΕΗ, τέμνουσες του κύκλου Ε. Η =. = R 13R 3R 13R 6R () + H = = = 7R (3) + = 5 R 7R = 13R = R 13 = E 3R = 3R ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 56