ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής -H πλευρά της προσφοράς στην οικονομία μελετάει τη διαδικασία παραγωγής των αγαθών και υπηρεσιών που καταναλώνονται από τα άτομα. - Η παραγωγή είναι η δραστηριότητα μέσω της οποίας κάποια αγαθά και υπηρεσίες (εισροές) μετατρέπονται σε άλλα αγαθά και υπηρεσίες (εκροές ή προϊόντα). - Η επιχείρηση είναι ο οργανισμός που συντονίζει την παραγωγή αγαθών και υπηρεσιών. Θεωρούμε την επιχείρηση ως ένα μαύρο κουτί που μετατρέπει εισροές σε εκροές και παραβλέπουμε άλλα σημαντικά ζητήματα (ιδιοκτησία, διεύθυνση και οργάνωση επιχείρησης κ.λπ.). 1

- Οι εισροές στην παραγωγή ονομάζονται παραγωγικοί συντελεστές. - Οι παραγωγικοί συντελεστές ταξινομούνται σε ευρείες κατηγορίες: γη, εργασία, κεφάλαιο, πρώτες ύλες και επιχειρηματικές υπηρεσίες. Τα κεφαλαιουχικά αγαθά είναι εισροές στην παραγωγή που έχουν παραχθεί από άλλες εισροές. - Υποθέτουμε ότι n εισροές x 1,,x n συνδυάζονται για να παράγουν κάποια ποσότητα προϊόντος q. Σύνολο Παραγωγής και Συνάρτηση Παραγωγής - Κάθε διάνυσμα ( x1,..., xn, q) που περιγράφει την ποσότητα κάθε εισροής x i (όπου i=1,,n) και την ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος q ονομάζεται διάνυσμα παραγωγής ή σχέδιο παραγωγής. - Η επιχείρηση δεν μπορεί να πραγματοποιήσει οποιοδήποτε σχέδιο παραγωγής, διότι αντιμετωπίζει ένα σύνολο περιορισμών. 2

- Ο βασικός περιορισμός που αντιμετωπίζει η επιχείρηση είναι ο περιορισμός της τεχνολογίας. - Η επιχείρηση πρέπει να επιλέξει μεταξύ εκείνων των σχεδίων παραγωγής που είναι τεχνολογικά εφικτά. - Το (εφικτό) σύνολο παραγωγής Υ είναιτοσύνολοόλωντων τεχνολογικά εφικτών σχεδίων παραγωγής της επιχείρησης. - Δηλαδή: Το διάνυσμα ( x1,..., xn, q) ανήκει στο (εφικτό) σύνολο παραγωγής αν είναι τεχνολογικά εφικτή η παραγωγή q μονάδων προϊόντος χρησιμοποιώντας ποσότητες εισροών x 1,,x n. - Εστιάζουμε στη μέγιστη ποσότητα προϊόντος (q) που μπορεί να παραχθεί από δεδομένη ποσότητα εισροών (x 1,,x n ). - Η συνάρτηση παραγωγής δείχνει τη μέγιστη ποσότητα προϊόντος (q) που μπορεί να παραχθεί από κάθε δεδομένο συνδυασμό εισροών (x 1,,x n ): q = f ( x1,..., x n ) 3

- Με δεδομένη τη συνάρτηση παραγωγής f, το (εφικτό) σύνολο παραγωγής μπορεί να γραφτεί ως εξής: Y = {( x,..., x, q) : q f( x,..., x ) και x,..., x, q 0} q 1 n 1 n 1 n Y = {( x, q) : q f( x)} q = f(x) x Σύνολο Παραγωγής (Υ) και Συνάρτηση Παραγωγής f(x) με n=1 εισροή. - Ορισμός. Το οριακό προϊόν της εισροής i (MP i ) είναι το πρόσθετο προϊόν που μπορεί να παραχθεί αν η χρησιμοποιούμενη ποσότητα της εισροής i αυξηθεί κατά μία μονάδα, ενώ οι ποσότητες των άλλων εισροών παραμένουν σταθερές: f( x1,..., xn ) MPi = = fi, i = 1,..., n. x 4 i

Νόμος της Φθίνουσας Οριακής Παραγωγικότητας - Καθώς αυξάνεται η χρησιμοποιούμενη ποσότητα της εισροής i, το οριακό προϊόν αυτής της εισροής μειώνεται: (,..., ) = = f < 0, i = 1,..., n. 2 MPi f x1 xn 2 xi xi ii - Παράδειγμα: Καθώς απασχολούνται ολοένα περισσότεροι εργάτες σε ένα χωράφι, η οριακή παραγωγικότητα της εργασίας μειώνεται. - Malthus (19 ος αιώνας): Ταχεία αύξηση πληθυσμού => Μείωση οριακής παραγωγικότητας εργασίας => Απαισιόδοξες προβλέψεις για το μέλλον της ανθρωπότητας. - Ωστόσο, ηαύξησητουκεφαλαίου(x j ) τείνει να αυξήσει την οριακή παραγωγικότητα της εργασίας (x i ), διότι η σταυροειδής παραγωγικότητα είναι θετική: (,..., ) = = fij > 0 x x 2 MPi f x1 xn x j i j 5

- Άρα, η τάση για μείωση του οριακού προϊόντος της εργασίας (λόγω αύξησης της εργασίας) αντισταθμίζεται από την τάση για αύξηση του οριακού προϊόντος της εργασίας (λόγω αύξησης του κεφαλαίου). Η οριακή παραγωγικότητα της εργασίας αυξάνεται διαχρονικά από τον 19 ο αιώνα μέχρι σήμερα. - Ορισμός. Το μέσο προϊόν της εισροής i (AP i ) είναι το προϊόν που παράγεται ανά μονάδα χρησιμοποιούμενης εισροής i: f( x1,..., xn ) APi =, i = 1,..., n. xi - Πρόταση. Το μέσο προϊόν της εισροής i μεγιστοποιείται σε εκείνο το επίπεδο απασχόλησης όπου το μέσο προϊόν είναι ίσο με το οριακό προϊόν. - Απόδειξη: Η FOC για μεγιστοποίηση του AP i είναι: AP [ f / x ] x ( f / x ) f f f = = = 0 =, δηλαδή: APi = MPi x x x x x i i i i 2 i i i i i

Καμπύλες Ίσου Προϊόντος και Οριακός Λόγος Τεχνικής Υποκατάστασης - Έστω n=2 εισροές στην παραγωγή. - Ορισμός. Μια καμπύλη ίσου προϊόντος (Isoquant curve ή IQ) παριστάνει όλους τους διαφορετικούς συνδυασμούς εισροών x 1 και x 2 που μπορούν να παράγουν την ίδια ποσότητα προϊόντος. x 2 A x2 A q x + x A B 2 2 2 B x2 A x1 MRTS A x Γ + x A B 1 1 2 B B x1 MRTS B ΙQ(q 0 ) IQ(q 2 ) IQ(q 1 ) x 1 7

A A B B - Παράδειγμα: Οι συνδυασμοί εισροών A( x, x ) και B( x, x ) παράγουν την ίδια ποσότητα προϊόντος q 0. 1 2 1 2 -H κλίση της καμπύλης ίσου προϊόντος είναι αρνητική. A B Αν η ποσότητα της εισροής 2 μειωθεί (από x, τότε η 2 σε x2 ) A B ποσότητα της εισροής 1 πρέπει να αυξηθεί (από x1 σε x1 ) ώστε το παραγόμενο προϊόν να παραμείνει αμετάβλητο στο επίπεδο q 0. - Καθώς κινούμαστε προς τη βορειοανατολική κατεύθυνση (δηλαδή προς τα πάνω και δεξιά), οι καμπύλες ίσου προϊόντος αντιπροσωπεύουν ολοένα υψηλότερα επίπεδα προϊόντος (q 2 >q 1 >q 0 ). - Ορισμός. Τοαντίθετοτηςκλίσηςμιαςκαμπύληςίσουπροϊόντοςσε κάποιο σημείο της ονομάζεται οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (MRTS) σε αυτό το σημείο: MRTS dx = dx 2 1 / q σταθερό 8

- Ο MRTS δείχνει πόσες μονάδες πρέπει να αυξηθεί η ποσότητα της εισροής 2 όταν μειώνεται κατά μία μονάδα η ποσότητα της εισροής 1 (δηλαδή δείχνει το ρυθμό με τον οποίο η επιχείρηση πρέπει να υποκαταστήσει την εισροή 1 με την εισροή 2), ώστε το παραγόμενο προϊόν να παραμείνει αμετάβλητο. - Αρχή του φθίνοντος MRΤS: Καθώς αυξάνεται η ποσότητα της εισροής 1 (και μειώνεται η ποσότητα της εισροής 2), ο MRΤS μειώνεται (MRΤS B < MRΤS A ). Εξήγηση: Καθώς μειώνεται η ποσότητα της εισροής 1, χρειάζεται μια ολοένα μεγαλύτερη αύξηση της εισροής 2 προκειμένου να διατηρηθεί αμετάβλητη η παραγόμενη ποσότητα προϊόντος. Κυρτότητα Καμπυλών Ίσου Προϊόντος - Η καμπύλη ίσου προϊόντος IQ(q 0 ) είναι κυρτή αν κάθε γραμμικός συνδυασμός των σημείων Α, Β (δηλ. κάθε συνδυασμός εισροών επί του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα Α, Β) μπορεί να παράγει 9 μεγαλύτερη ποσότητα προϊόντος από τα σημεία Α, Β.

x + x x + x i 2 2 ποσότητα προϊόντος μεγαλύτερη από q. A B A B Παράδειγμα: Ο συνδυασμός Γ ( 1 1, 2 2 ) μπορεί να παράγει Η καμπύλη ίσου προϊόντος IQ(q 0 ) είναι κυρτή. - Οικονομική ερμηνεία κυρτής καμπύλης ίσου προϊόντος: Οι ισορροπημένοι συνδυασμοί εισροών (όπως ο Γ) είναι πιο παραγωγικοί από ακραίους συνδυασμούς που δίνουν μεγάλη βαρύτητα σε κάποια από τις δύο εισροές (όπως οι συνδυασμοί Α και Β). - Οι ακόλουθες εκφράσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους: (1) Ο MRTS είναι φθίνων. (2) Οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι κυρτές. (3) Η συνάρτηση παραγωγής είναι οιονεί κοίλη. 0 10

Μαθηματική Εξαγωγή του MRΤS - Έστω η συνάρτηση παραγωγής q = f ( x1,..., x n ). - Αν οι εισροές x,..., 1 xn μεταβληθούν κατά dx,..., 1 dxn, τότε η συνολική επίπτωση στο παραγόμενο προϊόν δίνεται από το ολικό διαφορικό: f f f dq = dx1+ dx2 +... + dxn (1) x1 x2 xn - Αν dx και οι ποσότητες των εισροών 1 και 2 3 = dx4 =... = dx n = 0 μεταβάλλονται κατά τρόπο ώστε το παραγόμενο προϊόν να παραμένει σταθερό (dq=0), τότε: f f dx f / x MP (1) 0 = + = = = x x dx f x MP 2 1 1 dx1 dx / 2 q σταθερό MRTS 1 2 1 / 2 2 - Άρα: O MRTS ισούται με το λόγο των οριακών προϊόντων των δύο εισροών. 11

Αποδόσεις Κλίμακας - Ορισμός. (i) H συνάρτηση παραγωγής q = f ( x1,..., x n ) έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας (CRS) αν: f ( tx,..., tx ) = t f ( x,..., x ), t > 1 1 n 1 n Η αναλογική αύξηση όλων των εισροών κατά ένα ποσοστό t αυξάνει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος κατά την ίδια αναλογία. Η παράμετρος t ονομάζεται παράμετρος κλίμακας. Αν η συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας, τότε είναι ομογενής πρώτου βαθμού ως προς τις ποσότητες όλων των εισροών x 1,,x n. (ii) H συνάρτηση παραγωγής q = f ( x1,..., x n ) έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας (DRS) αν: f ( tx1,..., txn) < t f ( x1,..., xn), t > 1 Η αναλογική αύξηση όλων των εισροών κατά ένα ποσοστό t οδηγεί σε μια αναλογικά μικρότερη αύξηση της παραγόμενης ποσότητας 12 προϊόντος.

(iii) H συνάρτηση παραγωγής q = f ( x1,..., x n ) αποδόσεις κλίμακας (ΙRS) αν: f ( tx,..., tx ) > t f ( x,..., x ), t > 1 1 n 1 n έχει αύξουσες Η αναλογική αύξηση όλων των εισροών κατά ένα ποσοστό t οδηγεί σε μια αναλογικά μεγαλύτερη αύξηση της παραγόμενης ποσότητας προϊόντος. Ελαστικότητα Κλίμακας - Μπορούμε να ορίσουμε τις αποδόσεις κλίμακας χρησιμοποιώντας την ελαστικότητα κλίμακας: e qt, ή: 1 n 1 n 1 n = = e qt, Δf ( tx,..., tx ) / f ( tx,..., tx ) Δf ( tx,..., tx ) t Δt / t Δt f ( tx,..., tx ) f( tx,..., tx ) t t f( tx,..., tx ) 1 n = 1 n 1 n 13

- Η e q,t είναι ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής του παραγόμενου προϊόντος (q) προς την ποσοστιαία μεταβολή της κλίμακας παραγωγής (t). (i) H συνάρτηση παραγωγής q = f ( x1,..., x n ) αποδόσεις κλίμακας (CRS) αν: lim e = 1 t 1 qt, έχει σταθερές -H ποσοστιαία αύξηση του παραγόμενου προϊόντος είναι ίση με την ποσοστιαία αύξηση των εισροών / της κλίμακας παραγωγής. (ii) H συνάρτηση παραγωγής q = f ( x1,..., x n ) αποδόσεις κλίμακας (DRS) αν: lim e < 1 t 1 qt, έχει φθίνουσες -H ποσοστιαία αύξηση του παραγόμενου προϊόντος είναι μικρότερη από την ποσοστιαία αύξηση των εισροών / της κλίμακας παραγωγής. 14

(iii) H συνάρτηση παραγωγής q = f ( x1,..., x n ) αποδόσεις κλίμακας (ΙRS) αν: lim e > 1 t 1 qt, έχει αύξουσες -H ποσοστιαία αύξηση του παραγόμενου προϊόντος είναι μεγαλύτερη από την ποσοστιαία αύξηση των εισροών / της κλίμακας παραγωγής t. Οικονομική Ερμηνεία Σταθερών Αποδόσεων Κλίμακας (1) Αν μια επιχείρηση διαθέτει πολλά πανομοιότυπα εργοστάσια, τότε μπορεί να διπλασιάσει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος διπλασιάζοντας το πλήθος των εργοστασίων που θέτει σε λειτουργία (άρα, διπλασιάζοντας τη χρησιμοποιούμενη ποσότητα όλων των εισροών). (2) Αν ένας κλάδος αποτελείται από πανομοιότυπες επιχειρήσεις, τότε ο κλάδος αυτός μπορεί να διευρυνθεί με την είσοδο ενός πλήθους νέων πανομοιότυπων επιχειρήσεων. 15

Θεωρητική Σημασία Σταθερών Αποδόσεων Κλίμακας - Αν αυξηθεί αναλογικά η ποσότητα όλων των εισροών, τότε πρέπει να είναι πάντα δυνατή η αναλογική αύξηση του παραγόμενου προϊόντος (επαναλαμβάνοντας απλώς με πανομοιότυπο τρόπο την προηγούμενη παραγωγική δραστηριότητα). Το υπόδειγμα των σταθερών αποδόσεων κλίμακας μπορεί να θεωρηθεί ως το πλέον θεμελιώδες υπόδειγμα παραγωγής. Μπορούμε να εστιάσουμε στην εξέταση τεχνολογιών με σταθερές αποδόσεις κλίμακας χωρίς να αναιρείται η γενικότητα των συμπερασμάτων μας. - Οι φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας αντανακλούν τη σπανιότητα κάποιας υποκείμενης εισροής που δεν εμφανίζεται ρητά στη συνάρτηση παραγωγής (π.χ. των επιχειρηματικών υπηρεσιών). 16

Ομοθετικές Συναρτήσεις Παραγωγής - Μια συνάρτηση παραγωγής ονομάζεται ομοθετική αν ο MRTS εξαρτάται μόνο από το λόγο των εισροών (x 2 / x 1 ) και όχι από τις συνολικές ποσότητες x 1, x 2. - Γεωμετρική ερμηνεία ομοθετικής συνάρτησης παραγωγής: Ο MRTS (δηλαδή η κλίση των καμπυλών ίσου προϊόντος) παραμένει σταθερός κατά μήκος κάθε ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. x 2 MRTS σταθερός Αν η συνάρτηση παραγωγής q είναι ομοθετική, τότε κάθε 2 καμπύλη ίσου προϊόντος αποτελεί ακριβές αντίγραφο q 1 των υπολοίπων. q 0 0 x 1 17

- Γιανααποδείξουμετιςπροτάσεις1 και 2 που ακολουθούν, θα χρησιμοποιήσουμε τα εξής δύο αποτελέσματα: (i) Αν η συνάρτηση f(x 1,,x n ) είναι ομογενής βαθμού k, τότε οι πρώτες μερικές παράγωγοι της f είναι ομογενείς συναρτήσεις βαθμού k-1. Δηλαδή: k f k 1 f i Αν f ( tx1,..., txn) = t f ( x1,..., xn) ( tx1,..., txn) = t ( x1,..., xn) x x (ii) Αν η συνάρτηση f(x 1,,x n ) είναι ομοθετική, τότε κάθε μονοτονικός μετασχηματισμός της f είναι επίσης μια ομοθετική συνάρτηση. Πρόταση 1. (Για n=2 εισροές.) Κάθε συνάρτηση παραγωγής f(x 1,x 2 ) που έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας είναι ομοθετική. - Απόδειξη: Αφού η f έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας, είναι ομογενής πρώτου βαθμού: f ( tx, tx ) = t f ( x, x ) 1 2 1 2 i i 18

- Επομένως, οι συναρτήσεις οριακής παραγωγικότητας είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού: f f f x2 ( tx1, tx2) = ( x1, x2) = MP MP 1 x1 x Θέτουμε 1 = (1, ) = g1( x2 / x1) x 1 1 x1 f f t= 1/ x f x2 ( tx1, tx2) = ( x1, x2) = MP 1 MP 2 2 = (1, ) = g2( x2 / x1) x x x2 x1 2 2 MP g ( x / x ) = = = ( / ), 1 1 2 1 MRTS G x2 x1 MP2 g2( x2 / x1) Η συνάρτηση f είναι ομοθετική. - Το αντίστροφο της πρότασης 1 δεν ισχύει πάντα. Δηλαδή: Πρόταση 2. Μια ομοθετική συνάρτηση παραγωγής δεν έχει πάντα σταθερές αποδόσεις κλίμακας. - Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής f(x 1,x 2 ) έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας. => Τότε, από την Πρόταση 1 γνωρίζουμε ότι η f είναι ομοθετική. 19

=> Ο εκθετικός(μονοτονικός) μετασχηματισμός της f: γ F( x, x ) = [ f( x, x )], γ > 0 1 2 1 2 είναι επίσης μια ομοθετική συνάρτηση (βλ. αποτέλεσμα ii, σελ. 18) - Ωστόσο, η ομοθετική συνάρτηση F δεν έχει πάντα σταθερές αποδόσεις κλίμακας. Ειδικότερα: F( tx, tx ) = [ f( tx, tx )] = [ t f( x, x )] = t [ f( x, x )] = γ γ γ γ 1 2 1 2 1 2 1 2 γ = t F( x, x ) 1 2 = t F( x, x ) γ = 1, οπότε η F έχει CRS. 1 2 < t F( x1, x2) γ < 1, οπότε η F έχει DRS. > t F( x, x ) γ > 1, οπότε η F έχει IRS. 1 2 20

Ελαστικότητα Υποκατάστασης - Ορισμός. Έστω η συνάρτηση παραγωγής f(x 1,x 2 ). H ελαστικότητα υποκατάστασης (σ) μεταξύ των εισροών 1 και 2 είναι ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής του μίγματος εισροών (x 2 /x 1 ) προς την ποσοστιαία μεταβολή του MRTS κατά μήκος μιας καμπύλης ίσου προϊόντος: Δ( x2 / x1) ποσοστιαία μεταβολή ( x2 / x1) x2 / x1 ( x2 / x1) MRTS σ = = = = ποσοστιαία μεταβολή MRTS Δ( MRTS) MRTS ( x2 / x1) MRTS ( x2 / x1) f1/ f2 = ( f / f ) ( x / x ) 1 2 2 1 (Π1) Αν η τιμή του σ είναι μεγάλη, ο MRTS δε μεταβάλλεται πολύ καθώς μεταβάλλεται το μίγμα εισροών (x 2 /x 1 ). => Οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι σχετικά επίπεδες και η υποκατάσταση μεταξύ των εισροών είναι σχετικά εύκολη. 21

(Π2) Αν η τιμή του σ είναι μικρή, ο MRTS μεταβάλλεται πολύ καθώς μεταβάλλεται το μίγμα εισροών (x 2 /x 1 ). => Οι καμπύλες ίσου προϊόντος έχουν μεγάλη κυρτότητα και η υποκατάσταση μεταξύ των εισροών είναι σχετικά δύσκολη. x 2 MRTS A A (Π1) Μεγάλη Ελαστικότητα Υποκατάστασης ( x2 / x1) A B q 0 σ = %Δ( x2 / x1) %Δ( MRTS) ( x2 / x1) B MRTS B x 1 MRTS A A (Π2) Μικρή Ελαστικότητα Υποκατάστασης ( x2 / x1) A ( x2 / x1) B B MRTS B q 0 x 1 σ = %Δ( x2 / x1) %Δ( MRTS) 22

Παραδείγματα Συναρτήσεων Παραγωγής - Για καθένα από τα παραδείγματα συναρτήσεων παραγωγής που ακολουθούν: (α) Εξετάζουμε τη μορφή μιας τυπικής καμπύλης ίσου προϊόντος. (β) Υπολογίζουμε τον MRTS και εξετάζουμε: (i) Αν ισχύει η αρχή του φθίνοντος MRTS. (ii) Αν η συνάρτηση παραγωγής είναι ομοθετική. (γ) Υπολογίζουμε την ελαστικότητα υποκατάστασης. (δ) Εξετάζουμε αν η συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές, φθίνουσες ή αύξουσες αποδόσεις κλίμακας. 23

(1) Τέλεια Υποκατάστατες Εισροές (Γραμμική Συνάρτηση Παραγωγής) q= f( x, x ) = ax + β x, αβ, > 0 1 2 1 2 (α) Η εξίσωση της καμπύλης ίσου προϊόντος που αντιστοιχεί σε επίπεδο παραγωγής q=10 είναι: 10 α q = 10 = ax1+ β x2 x2 = x1 ( IQ0) β β x 2 10/β 0 IQ 0 (q=10) 10/α x 1 (β) MRTS f f / x / x 1 = = 2 α / β Ο MRTS είναι σταθερός. 24

% Δ( x2 / x1) (γ) σ = = % Δ( MRTS) (άπειρη ελαστικότητα υποκατάστασης) - Παρατήρηση: Αν οι εισροές είναι τέλεια υποκατάστατες, η επιχείρηση θα χρησιμοποιεί μόνο εκείνη την εισροή που είναι σχετικά φτηνότερη. Η γραμμική συνάρτηση παραγωγής σπάνια συναντάται στην πράξη (π.χ. κάθε μηχάνημα χρειάζεται κάποιον εργάτη για να λειτουργήσει). (δ) Αποδόσεις Κλίμακας f ( tx, tx ) = a tx + β tx = t f ( x, x ) 1 2 1 2 1 2 => Η γραμμική συνάρτηση παραγωγής έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας. 25

(2) Τέλεια Συμπληρωματικές Εισροές (Συνάρτηση Παραγωγής Σταθερών Αναλογιών) q= f( x, x ) = min{ ax, β x }, αβ, > 0 1 2 1 2 (α) Οι καμπύλες ίσου προϊόντος έχουν σχήμα L. x 2 x α = x β 2 1 10/β IQ 1 (q=10) 0 10/α -Hεπιχείρηση χρησιμοποιεί τις εισροές 1 και 2 σε σταθερές αναλογίες: x / x = α / β. 2 1 - Δηλαδή, η επιχείρηση επιλέγει συνδυασμούς εισροών που αντιστοιχούν στις κορυφές των καμπυλών ίσου προϊόντος. x 1 26

, αν x / x > α / β 2 1 dx2 (β) MRTS = / q σταθερό = dx 1 δεν ορίζεται, αν x / x = α / β 0, αν x / x < α / β 2 1 2 1 (i) O MRTS είναι φθίνων. (ii) H συνάρτηση παραγωγής είναι ομοθετική. (γ) σ % Δ( x / x ) % Δ( MRTS) 2 1 = = 0 (μηδενική ελαστικότητα υποκατάστασης) (δ) Αποδόσεις Κλίμακας f ( tx, tx ) = min{ a tx, β tx } = t f ( x, x ) 1 2 1 2 1 2 => Η συνάρτηση παραγωγής σταθερών αναλογιών έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας. 27

(3) Συνάρτηση Παραγωγής Cobb-Douglas q= f( x, x ) = Ax x, αβ, > 0, A> 0. a β 1 2 1 2 (α) Η εξίσωση της καμπύλης ίσου προϊόντος που αντιστοιχεί σε επίπεδο παραγωγής q=10 είναι: 1/ β α β (10 / A) q = 10 = Ax1 x2 x2 = ( IQ / 2) α β x 1 x 2 0 IQ 2 (q=10) x 1 (β) MRTS f / x α x f / x β x 1 2 = = 2 1 (i) Ο MRTS είναι φθίνων. (ii) Η συνάρτηση παραγωγής C-D 28 είναι ομοθετική.

(γ) σ ( x / x ) MRTS ( MRTS) ( x / x ) 2 1 = = 2 1 1 : Ενδιάμεσος βαθμός υποκατάστασης μεταξύ των περιπτώσεων 1 (όπου σ = ) και 2 (όπου σ = 0). (δ) Αποδόσεις Κλίμακας β f ( tx, tx ) = A ( tx ) ( tx ) = α 1 2 1 2 1 2 = t f( x, x ) α + β = 1, οπότε η f έχει CRS. 1 2 α+ β = t f ( x, x ) < t f( x1, x2) α + β < 1, οπότε η f έχει DRS. > t f( x, x ) α + β > 1, οπότε η f έχει IRS. 1 2 29

(4) Συνάρτηση Παραγωγής Σταθερής Ελαστικότητας Υποκατάστασης (CES) (α) Η μορφή των καμπυλών ίσου προϊόντος εξαρτάται από τις τιμές των παραμέτρων δ και γ. (β) (γ) q= f x x = x + x δ δ > MRTS σ δ δ γ/δ ( 1, 2) ( 1 2), 1, 0, γ 0. f / x x 1 δ 1 2 = = f / x2 x1 ( x / x ) MRTS ( MRTS) ( x / x ) 2 1 = = 2 1 = δ = (i) Ο MRTS είναι φθίνων. (ii) Η συνάρτηση παραγωγής CES είναι ομοθετική. 1 (τέλεια υποκατάστατες εισροές) 1 = = 0 δ = (τέλεια συμπληρωματικές εισροές) 1 δ = 1 δ = 0 (Cobb-Douglas) 30

(δ) Αποδόσεις Κλίμακας f( tx, tx ) = [( tx ) + ( tx ) ] = δ δ γ / δ 1 2 1 2 1 2 = t f( x, x ) γ = 1, οπότε η f έχει CRS. 1 2 γ = t f ( x, x ) < t f( x1, x2) γ < 1, οπότε η f έχει DRS. > t f( x, x ) γ > 1, οπότε η f έχει IRS. 1 2 31