PROJECT Β ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΘΕΜΑ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΥΠΟΘΕΜΑ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ

2 ο ΓΕΛ ΡΕΘΥΜΝΟΥ Σχ. Έτος 2011-12 PROJECT Β ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΤΑΞΗ Α' ΘΕΜΑ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΥΠΟΘΕΜΑ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΜΑΘΗΤΕΣ:ΚΩΣΤΗΣ ΚΑΛΑΙΤΖΙΔΑΚΗΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣ ΜΠΡΙΛΛΑΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΟΥΔΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΚΑΝΑΚΑΚΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΑΝΟΥΣΑΚΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:ΜΑΡΙΑ ΛΟΥΠΗ (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ) 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο:Χρυσή τομή,ακολουθία Fibonacci, αριθμός φ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο:Η χρυσή τομή στην τέχνη και στην αρχιτεκτονική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο:Αυτοομοιότητα-Fractal ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο:Καλλιτέχνες και μαθηματικά ΕΠΙΛΟΓΟΣ 2

Περίληψη Σ αυτήν την εργασία θα μελετήσουμε τη σχέση που έχουν τα μαθηματικά και η τέχνη. Για να γίνει αυτό πρώτα θα γνωρίσουμε το λόγο της χρυσής τομής που ήταν γνωστός από τους αρχαίους Έλληνες, το μαγικό αριθμό Φ και την ακολουθία Fibonacci που συνδέεται με τον αριθμό Φ. Θα ανακαλύψουμε τις εφαρμογές της χρυσής τομής στην αρχιτεκτονική, τη γλυπτική και τη ζωγραφική. Έπειτα θα μελετήσουμε την αυτοομοιότητα και τη Fractal γεωμετρία που μας δίνει σχέδια τα οποία είναι πραγματικά τέχνη καθώς και καλλιτέχνες που χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά στην τέχνη τους. Εισαγωγή Τα μαθηματικά και η τέχνη αν και φαινομενικά αποτελούν δύο διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας εντούτοις συνδυάζονται και δίνουν δημιουργίες απίστευτης ομορφιάς. Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν μορφές με τέτοιες αναλογίες που προκαλούν έντονα την αίσθηση της αρμονίας και του ωραίου. Ένα ιδιαίτερα γνωστό κτίσμα της αρχαιότητας φημισμένο για την αρμονία των αναλογιών του είναι ο Παρθενώνας. Αν και αρκετά ασαφής για την ουσία της χρυσής τομής, η εντύπωση αυτή είναι σχεδόν σωστή. Χρειάζεται να αφιερώσουμε λίγο χρόνο ώστε να καταλάβουμε τι είναι ακριβώς αυτό που πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες ονόμασαν χρυσή τομή. Ίσως τότε διαπιστώσουμε πως και οι Αιγύπτιοι χρησιμοποίησαν αυτή την αναλογία για την κατασκευή της πυραμίδας της Γκίζας, αλλά κυρίως πως είναι μία αναλογία που πεισματικά τηρείται στη φύση και επομένως δεν αποτελεί κατασκεύασμα της ανθρώπινης φαντασίας. Αν η ανθρωπότητα δικαίως συνδέει το όνομα χρυσή τομή με τον Παρθενώνα και τους αρχαίους Έλληνες είναι γιατί αυτοί πρώτοι την μελέτησαν και εμπλούτισαν την γεωμετρία με άφθονες εφαρμογές της. 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Χρυσή τομή αριθμός Φ ακολουθία Fibonacci Σ αυτό το κεφάλαιο θα επιχειρήσουμε να δούμε τον γεωμετρικό ορισμό της χρυσής τομής, πως γίνεται η κατασκευή της, ποια γεωμετρικά αντικείμενα συνδέονται με αυτήν, αλλά κυρίως πού συναντάται στη φύση και την αρχιτεκτονική. Γεωμετρικοί ορισμοί και παρατηρήσεις Οι όροι λόγος χρυσής τομής, και χρυσή αναλογία αναφέρονται σχεδόν χωρίς καμία διάκριση ακόμα και από μαθηματικούς. Αν θέλουμε όμως να ακριβολογούμε και να χρησιμοποιούμε σωστά τις έννοιες, θα πρέπει να δούμε πώς αυτές εισάγονται μέσα από τα αυθεντικά προβλήματα. Η χρυσή αναλογία, το χρυσό ορθογώνιο και ο αριθμός. Πρόβλημα 1. Ζητάμε να κατασκευάσουμε ένα χρυσό ορθογώνιο, δηλαδή ένα ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης του πλευράς προς τη μικρή να είναι ίσος με τον λόγο τη μικρής προς την διαφορά των πλευρών. Βήμα 1. Βήμα 2. Βήμα 3. Βήμα 4. Βήμα 5 (Χρυσό ορθογώνιο) Σχήμα 1 Κατασκευή: Αν υποθέσουμε ότι μας έχει δοθεί το μήκος της μικρής πλευράς του ορθογωνίου. Ξεκινάμε την κατασκευή με ένα τετράγωνο πλευράς ίσης με την δοθείσα μικρή πλευρά του χρυσού ορθογωνίου το οποίο το διαιρούμε φέρνοντας την διάμεσό του (Βήματα 1 και 2 στο σχήμα 1) Με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς και ακτίνα την διαγώνιο του μισού τετραγώνου διαγράφουμε τόξο που τέμνει την προέκταση της πλευράς του τετραγώνου σε ένα σημείο (Βήματα 3 και 4). Αυτό το σημείο ορίζει το άλλο άκρο της μεγάλης πλευράς του χρυσού ορθογωνίου (Βήμα 5). Σχήμα 2 Επαλήθευση: Αν και δεν είναι στους στόχους αυτής της εργασιας να διερευνήσουμε ποιοι λόγοι μας οδήγησαν στην συγκεκριμένη κατασκευή, καλό είναι 4

να δούμε ότι το ορθογώνιο που κατασκευάσαμε είναι πράγματι χρυσό δηλαδή αποτελεί λύση του προβλήματος 1. Για να απλουστεύσουμε την επαλήθευση αυτή, ας υποθέσουμε ότι η μικρή πλευρά του (άρα και η πλευρά του τετραγώνου) έχει μήκος 1. Τότε, παρακολουθώντας την κατασκευή, βλέπουμε στο Βήμα 2 ότι η μισή πλευρά του τετραγώνου πρέπει να είναι 1/2 ενώ από το Πυθαγόρειο Θεώρημα παίρνουμε πως η διαγώνιος του μισού τετραγώνου άρα και η ακτίνα του κύκλου (Βήματα 3 και 4) είναι 5/ 2. Άρα η μεγάλη πλευρά του χρυσού ορθογωνίου είναι 1/2 + 5/ 2 1,618... (δες σχήμα 2). Η συνθήκη λοιπόν που θα πρέπει να επαληθεύουν οι διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε πράγματι να είναι χρυσό, σύμφωνα με το πρόβλημα 1 είναι (δεδομένου ότι η διαφορά των πλευρών του είναι 5/ 2 1/2): που είναι απλό να δούμε ότι ισχύει. Παρθενώνας: Χαρακτηριστικό παράδειγμα Αρχιτεκτονικής όπου συναντάται ο λόγος χρυσής τομής στις αναλογίες των πλευρών του. Επειδή προφανώς τα χρυσά ορθογώνια είναι όμοια μεταξύ τους, πάντα ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς την μικρή πλευρά, θα είναι ο αριθμός (5 + 1)/2 που διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα, το αρχικό του ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του Παρθενώνα. Η πρόσοψη του Παρθενώνα όπως φαίνεται και από την φωτογραφία δίπλα, μπορεί νοητά να εγγραφεί σε ένα χρυσό ορθογώνιο που σημαίνει ότι ο λόγος των διαστάσεών του είναι ο αριθμός. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται λόγος χρυσής τομής. Διαίρεση τμήματος σε λόγο χρυσής τομής. Το επόμενο πρόβλημα δικαιολογεί την εμφάνιση της λέξης «τομή» στην ορολογία μας, αφού μας ζητείται να διαιρέσουμε ένα τμήμα σε συγκεκριμένο λόγο. Πρόβλημα 2. Βρείτε σημείο G που διαιρεί δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑB με τέτοιο τρόπο ώστε ο λόγος του τμήματος προς το μεγάλο κομμάτι να είναι ίσος με το λόγο του μεγάλου κομματιού προς το μικρό. Δηλαδή, ΑB AG = AG GB Πριν προχωρήσουμε στην κατασκευή, να παρατηρήσουμε ότι το πρόβλημα αυτό είναι σε πλήρη αναλογία με το προηγούμενο πρόβλημα. Ουσιαστικά, η κατασκευαστική λύση του προβλήματος 2 θα ήταν και λύση και στο πρόβλημα 1, με 5

τη διαφορά ότι θα ξεκινούσαμε με γνωστή την μεγάλη πλευρά του χρυσού ορθογωνίου, και θα ζητούσαμε κατασκευή της μικρής πλευράς. Κατασκευή: Για να κατανοήσουμε την κατασκευή, καλό είναι όπως και πριν να απλουστεύσουμε το πρόβλημα: Αν θεωρήσουμε ότι το μήκος του ΑΒ είναι 1, τότε ουσιαστικά αυτό που κατασκευάζουμε (το AG), είναι ένα τμήμα μήκους (5 1)/2, που είναι απλό να δούμε πως είναι λύση της ζητούμενης αναλογίας του προβλήματος 2. Ας παρακολουθήσουμε λοιπόν την κατασκευή του (5 1)/2 βήμα προς βήμα: Βήμα 1 ο : Στο άκρο Β γράφουμε κάθετο ευθύγραμμο τμήμα μήκους ίσο με το μισό του αρχικού μας τμήματος ΑΒ. Έτσι σχηματίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Βήμα 2 ο : Η υποτείνουσα έχει μήκος 5/ 2. Από αυτήν αφαιρούμε τμήμα μήκους 1/2. Βήμα 3 ο : Το υπόλοιπο τμήμα της υποτείνουσας (το AV) είναι ίσο με το ζητούμενο τμήμα AG που έχει προφανώς μήκος (5 1)/2. Βήμα 1 Βήμα 2 Βήμα 3 Σχήμα 3 Η παραπάνω κατασκευή συζητείται και στο βιβλίο της Γεωμετρίας του Λυκείου σαν ενδιάμεσο βήμα για την κατασκευή κανονικού δεκαγώνου. Υπάρχουν αρκετά γεωμετρικά σχήματα που συνδέονται άμεσα με τη χρυσή τομή, όπως είναι το κανονικό δεκάγωνο ή το κανονικό πεντάγωνο. Θα συζητήσουμε γι αυτά στην συνέχεια και θα κάνουμε και ορισμένες ιστορικές αναφορές για την ιστορία τους όπου χρειάζεται. Γεωμετρικά σχήματα που συνδέονται με τη χρυσή τομή Τα χρυσά τρίγωνα: Υπάρχουν δύο χρυσά τρίγωνα, και τα δύο ισοσκελή, ένα αμβλυγώνιο και ένα οξυγώνιο. Στο αμβλυγώνιο, ο λόγος της βάσης του προς την πλευρά του είναι ίσος με το λόγο χρυσής τομής, ενώ στο οξυγώνιο ισχύει το αντίστροφο: ο λόγος της πλευράς του προς την βάση του είναι ίσος με το λόγο χρυσής τομής. Τα δύο τρίγωνα συνδέονται μεταξύ τους γιατί διαιρώντας ανάλογα την βάση ή την πλευρά σε λόγο χρυσής τομής προκύπτουν δύο μικρότερα χρυσά τρίγωνα ένα αμβλυγώνιο και ένα οξυγώνιο. Αυτό είναι πιο κατανοητό αν σκεφτούμε ότι το αμβλυγώνιο έχει γωνίες 36 ο, 36 ο και 108 ο ενώ το οξυγώνιο έχει γωνίες 72 ο, 72 ο και 36 ο. 6

Τα δύο χρυσά τρίγωνα. Αριστερά το αμβλυγώνιο, δεξιά το οξυγώνιο. Σχήμα 4 Σχήμα 5 Το κανονικό δεκάγωνο και το κανονικό πεντάγωνο: Μια και η γωνιά της κορυφής του οξυγωνίου χρυσού τριγώνου είναι 36 ο, είναι φανερό ότι το κανονικό δεκάγωνο θα διαιρείται από τις ακτίνες του σε δέκα χρυσά τρίγωνα. Αλλά και στο κανονικό πεντάγωνο μπορούμε να ανιχνεύσουμε τα δύο χρυσά τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Πεντάλφα σε διακόσμηση τάφου. Αν απομονώσουμε τις διαγώ-νιους του πενταγώνου, τότε παίρνουμε ένα σχήμα που θυμίζει αστέρι με πέντε ακτίνες. Το σχήμα αυτό λέγεται πεντάλφα γιατί μπορεί να θεωρηθεί ότι κατασκευάζεται με πέντε Α. Η πεντάλφα ήταν το έμβλημα των Πυθαγορείων και ο τρόπος κατασκευής της υπήρξε ένα καλά φρουρούμενο μυστικό που προκαλούσε τον φθόνο στους ανταγωνιστές. Λέγεται πως ο Ιπποκράτης ο Χίος εκδιώχθηκε από την σχολή των Πυθαγορείων γιατί αποκάλυψε την κατασκευή της. 7

Απλές προσεγγιστικές κατασκευές κανονικών πενταγώνων Αν δεν απαιτούμε μεγάλη ακρίβεια στην κατασκευή ενός κανονικού πενταγώνου, μπορούμε να επιτύχουμε ικανοποιητικές προσεγγίσεις με διάφορους τρόπους. Εδώ θα προτείνουμε δύο που θα τους βρείτε αρκετά έξυπνους: Δωδεκάεδρο, Εικοσάεδρο: Ανάμεσα στα πέντε Πλατωνικά στερεά, υπάρχουν και δύο που συνδέονται με το κανονικό πεντάγωνο και την χρυσή τομή. Είναι το κανονικό δωδεκάεδρο που οι έδρες του είναι κανονικά πεντάγωνα, και το δυϊκό του, το κανονικό εικοσάεδρο που ανά πέντε ισόπλευρα τρίγωνα ενώνονται για να σχηματίσουν ένα σχεδόν σφαιρικό πολύεδρο. Κανονικό δωδεκάεδρο Leonardo da Vinci: Εικοσάεδρο Σχήμα 7 Κανονικό εικοσάεδρο Ακόμα, όπως φαίνεται και στην προηγούμενη φωτογραφία, υπάρχουν και άλλα είδη αστερόμορφων δωδεκάεδρων και εικοσάεδρων που μελέτησαν οι Kepler Poinsot. 8

Χρυσές σπείρες: Ολοκληρώνουμε την περιήγησή μας στις εφαρμογές της χρυσής τομής στη γεωμετρία με την παρουσίαση δύο χρυσών σπειρών. Η μία βασίζεται σε διαδοχικά χρυσά ορθογώνια που το ένα περιέχει το άλλο και η άλλη σε διαδοχικά χρυσά οξυγώνια τρίγωνα, που και εδώ, το ένα περιέχει το άλλο. Βήμα 1 Βήμα 2 Βήμα 3 Βήμα 4 Πρώτη χρυσή σπείρα: Κατασκευή από χρυσό ορθογώνιο. Βήμα 1 Βήμα 2 Βήμα 3 Βήμα 4 Βήμα 5 Βήμα 6 Βήμα 7 Βήμα 8 Δεύτερη χρυσή σπείρα: Κατασκευή από χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο. Σχήμα 8 Κατασκευή της πρώτης χρυσής σπείρας: Η σπείρα αυτή μας θυμίζει αρκετά την σπείρα του Fibonacci που θα δούμε παρακάτω. Και πραγματικά, οι δύο σπείρες είναι περίπου ίδιες. Θα δούμε όμως, ότι υπάρχει μια ουσιαστική διαφορά στην κατασκευή της χρυσής σπείρας. Τώρα ξεκινάμε από ένα χρυσό ορθογώνιο, και προχωράμε προς τα μέσα, «κόβοντας» τετράγωνα, πορεία δηλαδή ακριβώς αντίστροφη από αυτή που είχαμε στην κατασκευή της σπείρας του Fibonacci. (Αν θυμόμαστε, ξεκινούσαμε από ένα τετράγωνο, και το επεκτείναμε προς τα έξω σχηματίζοντας διαδοχικά ορθογώνια.) Αλλά ας δούμε την κατασκευή βήμα προς βήμα: Βήμα 1 ο : Ξεκινάμε με ένα χρυσό ορθογώνιο. Φέρνουμε μια κάθετη γραμμή για να το χωρίσουμε σε τετράγωνο και ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο. Βήμα 2 ο : Το μικρότερο ορθογώνιο που σχηματίστηκε από το βήμα 1, το χωρίζουμε και αυτό με τον ίδιο τρόπο σε ένα τετράγωνο και ένα ακόμα πιο μικρό χρυσό ορθογώνιο. Βήμα 3 ο : Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα αρκετές φορές, ώστε να πάρουμε έναν σχηματισμό με πολλά διαδοχικά τετράγωνα που μικραίνουν συνεχώς, στο εσωτερικό του χρυσού ορθογωνίου. Βήμα 4 ο : Τέλος διαγράφουμε τεταρτοκύκλια στα τετράγωνα που σχηματίστηκαν. Το αποτέλεσμα είναι μία χρυσή σπείρα που με μεγάλη ικανοποίηση 9

διαπιστώνουμε ότι προσεγγίζει ακόμα καλύτερα την σπείρα στο κέλυφος του ναυτίλου, από ότι η σπείρα του Fibonacci.(δες προηγούμενο κεφάλαιο). Κατασκευή της δεύτερης χρυσής σπείρας: Η διαδικασία είναι ανάλογη με την προηγούμενη κατασκευή. Σχεδόν ή μόνη διαφορά είναι ότι ξεκινάμε με ένα χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο το οποίο το διαιρούμε συνεχώς σε άλλα μικρότερα χρυσά τρίγωνα (ένα οξυγώνιο και ένα αμβλυγώνιο Βήματα 1 έως 7) Ας παρατηρήσουμε ότι στο βήμα 1 ή διαίρεση του χρυσού τριγώνου σε δύο μικρότερα χρυσά τρίγωνα γίνεται απλώς με το να πάρουμε τμήμα στην μία πλευρά του, αρχίζοντας από την κορυφή, που είναι ίσο με τη βάση του τριγώνου. Η διαίρεση αυτή επαναλαμβάνεται στα επόμενα βήματα, σε κάθε νέο σχηματιζόμενο οξυγώνιο χρυσό τρίγωνο έως ότου καταλήξουμε στην κατασκευή που φαίνεται στο βήμα 7 Στο βήμα 8 διαγράφουμε τόξα κύκλων με κέντρα τις κορυφές των χρυσών οξυγωνίων τριγώνων, και ακτίνα μία πλευρά τους. Έτσι, οι βάσεις των χρυσών τριγώνων είναι χορδές στα τόξα που διαγράφουμε. Η ακολουθία Fibonacci Το πρόβλημα: " Ένας καλλιεργητής έχει ένα ζευγάρι λαγών σε μια κλειστή φάρμα. Πόσα ζευγάρια λαγών μπορούν να προκύψουν, αν κάθε μήνα, κάθε ζευγάρι δημιουργεί ένα νέο ζευγάρι, το οποίο από το δεύτερο μήνα γίνεται έτοιμο να αναπαραχθεί;" Η απάντηση: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Λεονάρντο της Πίζας ή Fibonacci (1170-1240) Τα Μαθηματικά: Οι αριθμοί 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...είναι οι όροι της ακολουθίας που είναι γνωστή με το όνομα "ακολουθία Fibonacci". Ο κάθε όρος της ακολουθίας αυτής από τον τρίτο και μετά είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων. 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, κλπ Ορισμός της ακολουθίας Fibonacci : α 1 =α 2 =1 και α ν+1 = α ν + α ν-1 για κάθε Αν από το τετράγωνο του καθενός αφαιρέσουμε το γινόμενο των δυο πιο κοντινών γειτονικών αριθμών, παίρνουμε αποτέλεσμα 1 ή -1. Για κάθε ισχύει: 10

Οι αριθμοί 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... από τον πέμπτο και μετά όταν διαιρεθούν με τον προηγούμενο τους δίνουν όσο προχωράμε προσεγγίζουμε καλύτερα τη χρυσή τομή, τον αριθμό 1,618... Το όριο της ακολουθίας Fibonacci είναι ο αριθμός που συμβολίζεται με το γράμμα Φ προς τιμήν του Φειδία Η φύση: Οι όροι της ακολουθίας Fibonacci χρησιμοποιούνται από τη φύση σε πολλές περιπτώσεις, χαρακτηριστικό παράδειγμα: Τα διαδοχικά φύλλα των φυτών σχηματίζουν σταθερές γωνίες που αν εκφραστεί η κάθε μια ως μέρος του κύκλου προκύπτει κλάσμα του οποίου οι όροι, είναι όροι της ακολουθίας Fibonacci. Πιο συγκεκριμένα: τα διαδοχικά φύλλα της τριανταφυλλιάς σχηματίζουν γωνίες 135 ο ή 144 ο οι οποίες ως μέρη του κύκλου είναι: αντίστοιχα. Η σπείρα του Φιμπονάτσι κατασκευάζεται φτιάχνοντας εφαπτόμενα τετράγωνα ξεκινώντας από 2 με πλευρά 1,συνεχίζοντας με ένα που έχει πλευρά 1+1=2,μετά με ένα με πλευρά 2+1=3 δηλαδή με πλευρά το άθροισμα των πλευρών των δύο προηγούμενων τετραγώνων. Έπειτα κατασκευάζουμε τεταρτοκύκλιο στο εσωτερικό κάθε τετραγώνου με ακτίνα την πλευρά του και έτσι δημιουργείται η σπείρα. 11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Η χρυσή τομή στην Τέχνη και την Αρχιτεκτονική. Από τα αρχαία χρόνια συναντάμε εφαρμογές της χρυσής τομής στην τέχνη και την αρχιτεκτονική. Και όταν λέμε τέχνη, δεν εννοούμε μόνο την ζωγραφική, αλλά θα μας προκαλέσει μεγάλη έκπληξη το γεγονός ότι αναγνωρίζουμε τον λόγο χρυσής τομής σε μουσικά έργα μεγάλων συνθετών, όπως του Μότσαρτ ή του Μπετόβεν. Σε μερικά Πανεπιστήμια της Αμερικής όπου έχουν ερευνήσει και την δομή ποιημάτων, ανακάλυψαν και εκεί την χρυσή αναλογία Φαίνεται πως η χρυσή τομή δημιουργεί την αίσθηση του ωραίου, γι αυτό και όχι μόνο η φύση αλλά και εμείς στην καθημερινή μας ζωή την προτιμάμε. Δεν πρέπει να μας φανεί καθόλου περίεργο που τα φύλλα φωτοτυπικού Α4 ή οι πιο πολλές ευχητήριες κάρτες είναι χρυσά ορθογώνια. Η χρυσή τομή στην Αρχιτεκτονική Χρυσή σπείρα σε αρχαίο ελληνικό κιονόκρανο. Είδαμε στις προηγούμενες σελίδες πώς η πρόσοψη του Παρθενώνα είναι ένα χρυσό ορθογώνιο και πως συναντάμε χρυσές σπείρες στα αρχαία ελληνικά κιονόκρανα. Θα δώσουμε μερικά παραδείγματα ακόμα, ξεκινώντας από την μεγάλη πυραμίδα, την πυραμίδα του Χέοπα στην Αίγυπτο. 12

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τα Μαθηματικά στην τέχνη. Είναι σχεδόν βέβαιο ότι απέδιδαν μαγικές ιδιότητες στην χρυσή τομή χρυσό λόγο και τους έκαναν χρήση στο χτίσιμο των μεγάλων πυραμίδων. Εάν τμήσουμε κάθετα την μεγάλη πυραμίδα της Γκίζας, θα πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ονομαζόμενο Αιγυπτιακό Τρίγωνο. Ο λόγος του ύψους της παράπλευρης επιφάνειας της πυραμίδας (υποτείνουσα του τριγώνου) προς την απόσταση της πλευράς από το κέντρο (μισή πλευρά της βάσης ) είναι 1,61804 που διαφέρει από τον αριθμό στο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο. Αυτό σημαίνει ότι αν η πλευρά της βάσης είναι 2 μονάδες μήκους, τότε το ύψος ενός από τα τέσσερα τρίγωνα που απαρτίζουν την παράπλευρη επιφάνεια της πυραμίδας είναι, ενώ το ύψος της πυραμίδας είναι, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχεδιάγραμμα. Πυραμίδα της Γκίζας. Καθεδρικός Chartres Φυσικά η επιρροή του λόγου χρυσής τομής ήταν τεράστια σε όλο τον αρχαίο ελλαδικό χώρο. Οι αρχαίοι Έλληνες κατασκεύαζαν σχεδόν όλα τους τα κτίσματα αλλά και τις διακοσμήσεις τους, με τον κανόνα της χρυσής τομής. Ίσως ο Παρθενώνας είναι το πιο χαρακτηριστικό και αρμονικό παράδειγμα. Αν επιστρέψουμε στις αρχικές σελίδες του παρόντος κεφαλαίου, θα δούμε ότι όχι μόνο μπορούμε να εγγράψουμε τον Παρθενώνα σε ένα χρυσό ορθογώνιο, αλλά και αν επιχειρήσουμε να το χωρίσουμε σε τετράγωνα και άλλα μικρότερα χρυσά ορθογώνια, όπως ακριβώς κάναμε και για την πρώτη χρυσή σπείρα, θα διαπιστώναμε ότι και άλλα τμήματά του είναι τοποθετημένα έτσι ώστε να πληρούνται πολλές χρυσές αναλογίες. Και στον Μεσαίωνα, οι αρχιτεκτονικές τάσεις ήταν και πάλι η τήρηση των χρυσών αναλογιών τόσο στις εξωτερικές διαρρυθμίσεις των κτιρίων όσο και στις εσωτερικές διακοσμήσεις τους. 13

Η χρυσή τομή στη γλυπτική και ζωγραφική Αναφέραμε και στην εισαγωγή πως ο συμβολισμός του λόγου χρυσής τομής με το γράμμα έγινε προς τιμήν του αρχαίου Έλληνα γλύπτη Φειδία, ο οποίος έκανε χρήση του λόγου αυτού στα γλυπτά του. Θα δούμε και στην επόμενη παράγραφο ότι χρυσές αναλογίες συναντάμε ακόμα και στις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος. Καρυάτιδες: Ερεχθείο Ακρόπολη Κατά τον Μεσαίωνα, ενώ το ενδιαφέρον για τη χρυσή τομή ήταν αμείωτο στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική και τις άλλες τέχνες έμοιαζε πως χάθηκε. Τον 16 ο αιώνα ο Luca Pacioli (1445-1514) γεωμέτρης και φίλος ενός μεγάλου αναγεννησιακού ζωγράφου, «ξαναανακά-λυψε» την χρυσή τομή. Το βιβλίο του, όπου μελετούσε τον αριθμό, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη Leonardo da Vinci. Ο Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα μαθηματικά στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηματικές μελέτες. Μελέτησε τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο. Έργα Leonardo da Vinci (1451-1519) Mona Lisa Μελέτη αναλογιών σώματος τον Vitruvious κατά Άγιος Ιερώνυμος Μελ έτη αναλογιών προσώπου γέρου Κατά την Αναγέννηση οι καλλιτέχνες άρχισαν να επιστρέφουν στα κλασσικά θέματα της αρχαιότητας για τις εμπνεύσεις τους και τις τεχνικές τους. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να αναφέρουμε τους Michelangelo (1475-1564) και 14

Raphael (1483-1530) οι οποίοι επανέφεραν στις συνθέσεις τους την χρυσή τομή. Ο ομφαλός διαιρεί το σώμα του Δαβίδ του Michelangelo σε λόγο χρυσής τομής. Michelangelo (1475-1564) Raphael (1483-1530) Δαβίδ Η Αγία Οικογένεια Σταύρωση Seurat (1859-1891) Salvador Dali (1904-1989) Λουόμενοι Ο Μυστικός Δείπνος Η πιο πρόσφατη αναζήτηση για μία «γραμματική» στην τέχνη οδήγησε μοιραία τους σύγχρονους καλλιτέχνες στην χρήση της χρυσής τομής. Η Παρέλαση του Γάλλου νέο-ιμπρεσιονιστή καλλιτέχνη Seurat (1859 1891), που χαρακτηρίζεται από το γνωστό του στυλ με τις άπειρες κουκκίδες, περιέχει πλήθος παραδειγμάτων χρυσών αναλογιών. Σύμφωνα με έναν εμπειρογνώμονα τέχνης, ο Seurat «επιτέθηκε σε κάθε καμβά του με τη χρυσή αναλογία». Τα χρυσά ορθογώνια είναι πολύ εμφανή στους Λουόμενούς του. Ο Μυστικός Δείπνος του Salvador Dali (1904-1989) πλαισιώνεται από ένα χρυσό ορθογώνιο. Χρυσοί λόγοι χρησιμοποιήθηκαν για να καθορίσουν την θέση κάθε φιγούρας ενώ ο θόλος του δωματίου σχηματίζεται από τις έδρες κανονικού δωδεκάεδρου που όπως είδαμε είναι ένα από τα στερεά που συνδέεται άμεσα με την χρυσή τομή. Χρυσές αναλογίες στο ανθρώπινο σώμα Στην παράγραφο για την τέχνη, αναφέραμε ότι πολλοί καλλιτέχνες, κυρίως ζωγράφοι της Αναγέννησης, μελέτησαν τις αναλογίες στο ανθρώπινο σώμα. Τα συμπεράσματά τους ήταν ιδιαίτερα εντυπωσιακά για την σχέση των αναλογιών στο σώμα μας και την χρυσή τομή. 15

Ο αρχιτέκτονας Le Corbusier (1887-1965) κατασκεύασε μια κλίμακα αναλογιών που ονόμασε Le Modulor, η οποία βασίζεται στο ανθρώπινο σώμα. Σύμφωνα με αυτή, ο ομφαλός διαιρεί το ανθρώπινο σώμα σε λόγο χρυσής τομής. διαίρεση του χεριού σε λόγο χρυσής τομής από τον καρπό φάλαγγες δείκτη χεριού Προχωρώντας σε λεπτομερέστερα σημεία του ανθρωπίνου σώματος μπορούμε να παρατηρήσουμε και άλλες διαιρέσεις σε χρυσό λόγο. Για παράδειγμα ο καρπός διαιρεί το χέρι από τον αγκώνα και κάτω σε λόγο χρυσής τομής, ενώ αν παρατηρήσουμε τις φάλαγγες του δείκτη μας, φαίνεται πως καθεμιά βρίσκεται σε χρυσή αναλογία με την επόμενή της. (παρατηρήστε τους αριθμούς Fibonacci στις μετρήσεις) Η χρυσή αναλογία, όπως φαίνεται και στις διπλανές φωτογραφίες, εμφανίζεται στις αναλογίες των δοντιών μας, του αυτιού μας αλλά και σε πολλές άλλες λεπτομέρειες του προσώπου μας όπως είναι τα χείλη, τα μάτια ή ακόμα και η μύτη. Προσέξετε ιδιαιτέρως την χρυσή σπείρα που εμφανίζεται στο εικονιζόμενο αυτί. 16

Το σχεδιάγραμμα δίπλα είναι ένα καρδιογράφημα σε στιγμή ηρεμίας. Για τους γιατρούς είναι μία ιδιαίτερα ικανοποιητική ένδειξη όταν το διάστημα μεταξύ δύο οξέων επαρμάτων R διαιρείται σε λόγο χρυσής τομής από ένα έπαρμα Τ. (το κόκκινο βέλος στο διάγραμμα) Το Τρίγωνο του Πασκάλ ( Pascal 1623-1662) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1... Στο τρίγωνο του Πασκάλ κάθε αριθμός από την τρίτη γραμμή και κάτω, εκτός από τις μονάδες, είναι το άθροισμα των αριθμών της προηγούμενης γραμμής, που είναι πιο κοντά του. Ιδιότητα : Η πρώτη γραμμή έχει έναν αριθμό, η δεύτερη γραμμή έχει δυο αριθμούς, η τρίτη γραμμή έχει τρεις αριθμούς, κ.ο.κ. Η ν-οστή γραμμή έχει ν αριθμούς. Ιδιότητα : Οι αριθμοί της ν-οστής γραμμής είναι συντελεστές του αναπτύγματος. Παράδειγμα: Το ανάπτυγμα του έχει συντελεστές 1. 4, 6, 4, 1 τους αριθμούς της πέμπτης γραμμής. 17

Ιδιότητα : Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι ίσο με μια δύναμη του 2. Για την ακρίβεια το άθροισμα των αριθμών της ν-οστής γραμμής είναι ίσο με Ιδιότητα : Οι αριθμοί 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 που είναι τα αθροίσματα των αριθμών του σχήματος, είναι οι όροι της ακολουθίας που είναι γνωστή με το όνομα "ακολουθία Fibonacci". Ο κάθε όρος της ακολουθίας αυτής από τον τρίτο και μετά είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων. 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, κλπ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο 18

Αυτοομοιότητα (Self-similarity) Η αυτοομοιότητα σε πίνακα του Escher (επάνω) και στη φύση (κάτω). Αυτοομοιότητα είναι η ιδιότητα ενός σχήματος να είναι όμοιο με ένα ή περισσότερα τμήματά του.έτσι στο κλαδί της φτέρης οποιοδήποτε φυλλαράκι της και αν μεγεθύνουμε θα πάρουμε ένα μεγαλύτερο φύλλο αλλά και το συνολικό κλαδί.ένα από τα πρώτα Μαθηματικά αυτοόμοια σχήματα (που παράγονται από το γράφημα μιας συνάρτησης στην οποία δίνουμε τιμές με μια επαναληπτική διαδικασία) παρουσιάσθηκε από τον Πολωνό Mandelbrot το 1980. Όμως το πρώτο fractal (σχήμα με την ιδιότητα της αυτοομοιότητας) δε μελετήθηκε από τον Mandlebrot! Το πρώτο fractal που μελέτησε ο άνθρωπος με τα μέχρι τώρα ιστορικά στοιχεία και τις σχετικές έρευνες του καθηγητή Στέλιου Νεγρεπόντη (Μαθηματικό Αθήνας) ήταν η χρυσή τομή και η τετραγωνική ρίζα του 2 (Οι Πυθαγόρειοι και όχι βέβαια με αυτήν την σημερινή ορολογία αλλά με την αυτοομοιότητα των "ανθυφαιρετικών γνωμόνων"). Αργότερα στην Ακαδημία ο Θεαίτητος απέδειξε ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των φυσικών αριθμών που δεν είναι τετράγωνα άλλων φυσικών (π.χ. 2,3,5,6,7,8,10,11 κ.λ.π) έχουν ανάπτυξη σε 19

συνεχές κλάσμα που είναι περιοδικό. (Θεώρημα που απέδειξε ο Θεαίτητος) Επίσης τα παράδοξα του Ζήνωνος έχουν ως μαθηματικό υπόβαθρο την ιδιότητα της αυτοομοιότητας. Εν τω μεταξύ οι διάλογοι του Πλάτωνα διέπονται από αυτήν ακριβώς την καθαρά μαθηματική ιδιότητα μεταφερμένη σε φιλοσοφικό επίπεδο. Τελικά τα fractals είναι αρκετά παλιά ιστορία!!! ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΚΑΛΛΙΤΕΧΝΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 20

Βικτώρ Βαζαρελί Ήταν Ούγγρος ζωγράφος της μοντέρνας τέχνης και διάσημος καλλιτέχνης κατά τη μεταπολεμική περίοδο. Ανήκε στην παράδοση του Μπάουχαους και του κονστρουκτιβισμού, ενώ ο ίδιος υπήρξε πρόδρομος της «οπτικής τέχνης» (Οπ Αρτ) και κεντρική φυσιογνωμία των νεωτεριστικών τάσεων που απασχόλησαν την μεταπολεμική ευρωπαϊκή τέχνη. Ο Βαζαρελί γεννήθηκε στις 9 Απριλίου 1906, στην πόλη Πεκς της Ουγγαρίας. Από νεαρή ηλικία έδειξε δείγματα της κλίσης του στη ζωγραφική και ο πρώτος του γνωστός πίνακας ένα βουκολικό τοπίο χρονολογείται στα 1918, όταν ήταν δώδεκα ετών. Αφού αποφοίτησε από το λύκειο, ξεκίνησε σπουδές ιατρικής στο πανεπιστήμιο της Βουδαπέστης, ωστόσο σύντομα τις εγκατέλειψε προκειμένου να αφοσιωθεί στην τέχνη. Το 1927 γράφτηκε στην ιδιωτική Ακαδημία Ποντολίνι-Φόλκμαν όπου έλαβε τις πρώτες του ακαδημαϊκές γνώσεις γύρω από τη ζωγραφική και ξεκίνησε να καλλιεργεί συστηματικά το ταλέντο του. Δύο χρόνια αργότερα, μετεγγράφει στη σχολή του Αλεξάντερ Μπόρτνυϊκ, ο οποίος αναγνωριζόταν ως πρωτοπόρος της ουγγρικής τέχνης με επιρροές από τα διεθνή κινήματα και εκπρόσωπος του Μπάουχαους στη Βουδαπέστη. Η σχολή, που ονομαζόταν «Mühely» («Εργαστήριο»), ήταν βασισμένη στα πρότυπα της σχολής Μπαουχάους της Βαΐμάρης και τα μαθήματα, τα οποία παραδίδονταν στο σπίτι του Μπόρτνυϊκ, περιλάμβαναν θεωρία και πρακτική στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, με έμφαση στις γραφικές τέχνες και στην τυπογραφία. Εκεί, ο Βαζαρελί ήρθε σε επαφή με τις αρχές του αφηρημένου σχεδίου και άρχισε να απομακρύνεται από τις αντικειμενικές αναπαραστάσεις, όπως φαίνεται χαρακτηριστικά στα έργα Μπλε σπουδή (1930) και Πράσινη σπουδή (1929) εκείνης της περιόδου. Το 1930 ο Βαζαρελί εγκαταστάθηκε στο Παρίσι, όπου ξεκίνησε να εργάζεται ως σχεδιαστής για λογαριασμό διαφημιστικών εταιριών, διατηρώντας παράλληλα μία απόσταση από τα καλλιτεχνικά δρώμενα της εποχής. Η ενασχόλησή του με το χώρο της διαφήμισης τον απασχόλησε σχεδόν αποκλειστικά κατά τα πρώτα δέκα χρόνια παραμονής του στο Παρίσι. Την ίδια περίοδο, επεξεργαζόταν την ιδέα να ιδρύσει μία σχολή στα πρότυπα του Μπάουχάους, στο Παρίσι, προσαρμόζοντας ορισμένα από τα έργα του στους σκοπούς της διδασκαλίας του. Για μία διετία, από το 1942 ως το 1944, έζησε εκτός Παρισιού και σε καθεστώς απομόνωσης, διάστημα κατά το οποίο αφοσιώθηκε στις γραφιστικές σπουδές του και στη μοντέρνα ζωγραφική, ειδικότερα στο έργο των Πάουλ Κλέε, Αντουάν Πέβσνερ και Σοφί Τάουμπερ-Αρπ. Το 1944, πραγματοποιήθηκε μία γενική έκθεση ζωγραφικής με γραφιστικά έργα και διαφημίσεις του Βαζαρελί, στα εγκαίνια της γκαλερί της Ντενίζ Ρενέ. Τα επόμενα χρόνια διαμόρφωσε την τεχνική του, πραγματοποιώντας την πορεία του από την εικονιστικότητα σε περισσότερο αφαιρετικές φόρμες. Το 1955 έλαβε την πρωτοβουλία για την πραγματοποίηση μίας ομαδικής έκθεσης με τίτλο Le Mouvement (Η Κίνηση) ενώ με την ευκαιρία αυτής, εξέδωσε παράλληλα το «Κίτρινο Μανιφέστο», στο οποίο ανέπτυξε τις ιδέες του. Η έκθεση ήταν επικεντρωμένη στην «κινητική τέχνη» και συμμετείχαν μεταξύ άλλων οι Μαρσέλ Ντυσάν και Αλεξάντερ Κάλντερ. Μέσω αυτής, ο Βαζαρελί καθιερώθηκε ως ένας από τους προδρόμους της Οπ Αρτ και ηγετική μορφή των νεωτεριστικών καλλιτεχνικών τάσεων στο μεταπολεμικό Παρίσι, γεγονός που οδήγησε σε βραβεύσεις του, διακρίσεις ή συμμετοχές του σε σημαντικές ομαδικές εκθέσεις. Το 1964 του απονεμήθηκε το βραβείο Γκούγκενχαϊμ στη Νέα Υόρκη ενώ τα έργα του σημείωσαν μεγάλη επιτυχία στην έκθεση έργων «Lumière et Mouvement» 21

(«Φως και Κίνηση»), που διοργανώθηκε στο Μουσείο Μοντέρνας Τέχνης του Παρισιού, το 1967. Το 1970, ονομάστηκε Ιππότης της Λεγεώνας της Τιμής και έξι χρόνια αργότερα εγκαινιάστηκε το Ίδρυμα Βαζαρελί, σχεδιασμένο και χρηματοδοτημένο από τον ίδιο, καθώς και το Μουσείο Βαζαρελί στο πατρικό του σπίτι, στην πόλη Πεκς. Το 1987 εγκαινιάστηκε επίσης το Μουσείο Βαζαρελί στο Μέγαρο Zichy της Βουδαπέστης. Ο Βαζαρελί πέθανε στις 15 Μαρτίου 1997, σε ηλικία 91 ετών, στο Παρίσι. Έργο O Βαζαρελί υπήρξε ένας από τους διασημότερους καλλιτέχνες της μεταπολεμικής περιόδου, ειδικότερα στις δεκαετίες του 1960 και του 1970. Το έργο του διαπνέεται συνολικά από την πίστη του στην κοινωνική λειτουργία της τέχνης και την επιδίωξή του να ενσωματώσει το καλλιτεχνικό έργο στην καθημερινότητα. Ανέπτυξε μία εικαστική προσέγγιση που βασιζόταν στην άμεση οπτική αντίληψη του θεατή, ανεξάρτητα από το καλλιτεχνικό του υπόβαθρο ή την παιδεία του. Συχνά υποστήριζε πως η τέχνη του μέλλοντος θα έπρεπε να είναι προϊόν προγραμματισμού και μαζικής παραγωγής, με βάση το «πλαστικό αλφάβητο» που ο ίδιος επινόησε στη δεκαετία του 1950. Escher Escher Maurits Cornelis (1898-1972) ΟpArt-Srlsm Ο Έσερ ήταν ένας από τους μεγαλύτερους και διασημότερους Ολλανδούς καλλιτέχνες παγκοσμίως στον 20ό αιώνα. Η τέχνη του θαυμάζεται από εκατομμύρια ανθρώπους στον κόσμο κι αυτό μπορεί κανείς να το διαπιστώσει σήμερα, από τους πάμπολλους ιστοχώρους στο διαδίκτυο. Η τέχνη του χαρακτηρίζεται από τις... απροσδόκητες δομές και τη πλούσια γόνιμη φαντασία, που συνέθεσε καταπληκτικά πράγματα και συνέδεσε με τρόπο θαυμαστό, μαθηματικά και ζωγραφική. Τέλος ήταν όπως μερικοί από τους πιο διάσημους συναδέλφους του (Ντύρερ, Ντα Βίντσι, Μικελάντζελο και Χολμπάιν), αριστερόχειρας κι εκτός από πίνακες, στη μεγάλη του καριέρα, έφτιαξε λιθογραφίες, τοιχογραφίες, ξυλοτυπίες, εικονογράφησε βιβλία, γραμματόσημα, τάπητες κι έγραψε βιβλία για την τέχνη. Όταν τέλειωσε τη σχολή, ξεκίνησε μεγάλο ταξίδι για την Ιταλία, όπου γνώρισε τη Jetta Umiker, την ερωτεύτηκε και τελικά παντρευτήκανε το 1824. Εγκατασταθήκανε στη Ρώμη, όπου ζήσαν μέχρι το 1935. Αυτά τα 11 χρόνια, γύρισε όλη την Ιταλία και σχεδίασε πάμπολλα θέματα και λιθογραφίες. Πολλά από τα σκίτσα αυτά, τα χρησιμοποίησε μετά, για να φτιάξει μερικούς από τους μεγάλους σήμερα, πίνακές του. Η εργασία του περνούσε απαρατήρητη κι αυτό θα κρατήσει μέχρι το 1950 περίπου. Αλλά μες στα προσεχή 6 χρόνια, μέχρι δηλαδή τη 1η του σημαντική έκθεση, είχε καταφέρει να γίνει διάσημος. Εκείνο που 'ναι το εκπληκτικό, είναι πως μεγαλύτερη αναγνώριση και θαυμασμό, απέσπασε από τους μαθηματικούς, γιατί τα έργα του είχανε θαυμάσιο μαθηματικό στήσιμο και πραγματικά, κείνος δεν είχε μαθηματική μόρφωση ιδιαίτερη, πέραν αυτής που απέκτησε κατά τη 2βάθμια εκπαίδευση. Τον Απρίλη του 1962 μπαίνει έκτακτα στο νοσοκομείο από 'να ξαφνικό περιστατικό και 22

κάνει κάμποσο καιρό ν' ανανήψει. Υποβάλλεται σε μιαν επείγουσα εγχείρηση. Το 1964 θα ξαναμπεί για να κάνει άλλη μια, μετά από ένα ταξίδι στον Καναδά. Στα τέλη του 1968 η σύζυγός του Τζέττα, τον εγκαταλείπει και καταφεύγει στην Ελβετία. Μένει μόνος στο Χίλβερσουμ, με μιαν οικονόμο. Εν τω μεταξύ το Ίδρυμα Έσερ είναι πια γεγονός. Το 1970 ξαναμπαίνει στο νοσοκομείο για νέα επέμβαση. Στις 27 Μάρτη 1972 πεθαίνει, σ' ηλικία 74 ετών στο νοσοκομείο του Χίλβερσουμ. Αυτοπροσωπογραφία 23

Αυτοπροσωπογραφία Από Ανάκλαση Σε Γυάλινη Σφαίρα 24

Μέρα & Νύχτα 25

Το Σπίτι Με Τις Σκάλες 26

Ανάποδος Κόσμος 27

Πατημασιές 28

Ανακύκλωση 29

Πολλοί Κόσμοι Κόλαση 30

Πόλη Αυτοπροσωπογραφία 31

Άλμπρεχτ Ντύρερ & το Μαγικό τετράγωνο Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ ήταν Γερμανός ζωγράφος,χαράκτης και μαθηματικός. θεωρείται σημαντικός καλλιτέχνης της εποχής του, συμβάλλοντας καθοριστικά στη διάδοση των ιδεών της Ιταλικής Αναγέννησης. Ήταν νεότερος του Leonardo da Vinci και ενδιαφέρθηκε για τη σχέση μεταξύ μαθηματικών και τέχνης. Έζησε το μεγαλύτερο διάστημα της ζωής του στη Νυρεμβέργη που αποτελούσε ένα από τα μεγαλύτερα πολιτιστικά κέντρα της Γερμανίας, αλλά ταξίδεψε αρκετά και επισκέφτηκε την Ιταλία γεγονός που επηρέασε το έργο του από το οποίο ξεχωρίζουν οι ξυλογραφίες και τα χαρακτικά. Από τα χαρακτικά του πάνω σε ξύλο ή χαλκό ξεχωρίζουν «Ο Ιππότης ο Θάνατος και ο Διάβολος», «Ο Άγιος Ιερώνυμος στο Σπουδαστήρι του» και η «Μελαγχολία» που δημιούργησε το 1514. Σ αυτό το έργο περιέχεται το μαγικό τετράγωνο(πάνω δεξιά) - το πρώτο μαγικό τετράγωνο που δημοσιεύθηκε στην Ευρώπη-το οποίο δημιούργησε ο ίδιος. Η ημερομηνία δημιουργίας της εικόνας, 1514, περιλαμβάνεται στην κάτω γραμμή του τετραγώνου. Υπάρχουν 86 διαφορετικοί συνδυασμοί των τεσσάρων αριθμών από το τετράγωνο το άθροισμα των οποίων είναι 34 όπως παρατηρούμε παρακάτω και αυτό είναι μαγεία. Οι αριθμοί 1 και 4 που εμφανίζονται αριστερά και δεξιά της χρονολογίας 1514 αντιστοιχούν, στα αγγλικά, «Α» και τα γράμματα «D» που είναι τα αρχικά του καλλιτέχνη. 32

33

34

35

36

ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η τέχνη και τα μαθηματικά συνδέονται μεταξύ τους και μας χαρίζουν αριστουργήματα ομορφιάς και αρμονίας. Η ΕΙΣΟΔΟΣ ΣΤΟ ΛΙΜΑΝΙ(ESCHER) 37