ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(1+ ) στο διάστημα 1. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της. γ) Να υπολογιστούν η 1 η και η η παράγωγος στο σημείο (=,y= 1), της συνάρτησης y= y() που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση 4+ y+ y = 1. δ) Να γίνει το γράφημα και να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής που βρίσκεται μεταξύ της καμπύλης (+ 1) y= 1 και των θετικών ημιαξόνων. (4 μονάδες) α) Να σκιαγραφηθεί η ισοσταθμική μιας συνάρτησης f(,y) που είναι φθίνουσα και: 1. οιονεί κοίλη. ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του y από το β) Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(,y) = ( y) / y είναι ομογενής και να επαληθευτεί η αντίστοιχη εξίσωση Euler. γ) Να χαρακτηριστεί ως προς το πρόσημό της η τετραγωνική μορφή: Q= + y y, και να δοθεί ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας. Στη συνέχεια να χαρακτηριστεί ως προς το πρόσημό της η περιορισμένη τετραγωνική μορφή: Q ɶ = { + y y y= }, και να δοθεί ο αντίστοιχος πλαισιωμένος συμμετρικός πίνακας. δ) Το περιορισμένο στάσιμο της συνάρτησης f = + y με τον περιορισμό g= + y= 5, είναι ( =,y = 1). Να χαρακτηριστεί το στάσιμο ως ακρότατο, αναλυτικά και γραφικά στο επίπεδο (1 μονάδa) Θεωρούμε παραγωγή με έναν συντελεστή παραγωγής:, και με συνάρτηση παραγωγής: Q= Αν η μοναδιαία τιμή του προϊόντος είναι p και το μοναδιαίο κόστος του συντελεστή είναι w, να βρεθεί η βέλτιστη ποσότητα του συντελεστή που μεγιστοποιεί το κέρδος, ως συνάρτηση των {p,w}, και να διερευνηθεί η ομογένειά της. 4 (1 μονάδα) Σε μια οικογένεια το εισόδημα της συζύγου είναι τριπλάσιο από αυτό του συζύγου. Αν το εισόδημα της συζύγου αυξηθεί κατά % και το εισόδημα του συζύγου αυξηθεί κατά %, να εκτιμηθεί η αύξηση του οικογενειακού εισοδήματος. ΤΕΛΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I. Λύσεις Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του f() παραπλεύρως σχήματος. B Λύση. Είναι το σημείο C όπου η ακτίνα συμπίπτει με την C εφαπτομένη. Επίσης όλα τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος AB A, για τον ίδιο λόγο. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(1+ ) στο διάστημα 1. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της. Λύση. Η f() είναι κυρτή ως άθροισμα της κυρτής και της κυρτής ln(1+ ), όπου η τελευταία είναι κυρτή ως η αρνητική της κοίλης ln(1+ ). Εξάλλου η f() έχει (γνήσια) θετική η παράγωγο: 1 f() = ln(1+ ) {f () = (1+ ), f () = + (1+ ) > } Συμπεραίνουμε ότι το μέγιστο θα είναι συνοριακό, διότι το στάσιμο δίνει ελάχιστο. Έχουμε: αριστερό σύνορο: = f () = 1<, αποδεκτό δεξιό σύνορο: = 1 f (1) = (1/ ) = / >, αποδεκτό Αμφότερα είναι υποψήφια, οπότε πρέπει να συγκρίνουμε τις τιμές τους (μπορούσαμε βέβαια να το κάνουμε εξαρχής): f() =, f(1) = 1 ln > (διότι e> 1= lne> ln ) Επομένως η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο δεξιό σύνορο:ma f = 1 ln γ) Να υπολογιστούν η 1 η και η η παράγωγος της συνάρτησης y= y() που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση 4+ y+ y = 1, στο σημείο (=,y = 1). Λύση. Καταρχήν ελέγχουμε ότι το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση. Στη συνέχεια παραγωγίζουμε την εξίσωση πλεγμένα δύο φορές ως προς, θεωρώντας το y ως συνάρτηση του, και αντικαθιστούμε το συγκεκριμένο σημείο: 4+ y + y y = 4+ y + y = 4y + 4= 4+ y+ y = 1 + y + 6yy y + y y = y + 6(y ) + y = 4y + 6(y ) = Τελικά βρίσκουμε: {y = 1, y = / } Παρατήρηση. Εναλλακτικά, βρίσκουμε την 1η πλεγμένη παράγωγο: 4 4+ y+ y = 1 4+ y + y y = y = 1 + y και την παραγωγίζουμε εκ νέου για να βρούμε την η: 4 4(1+ y ) 4(6yy ) 4yy y = y = = = 1+ y (1+ y ) (1+ y ) (1+ y ) Στη συνέχεια αντικαθιστούμε.
δ) Να γίνει το γράφημα και να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής που βρίσκεται μεταξύ της καμπύλης (+ 1) y= 1 και των θετικών ημιαξόνων. Λύση. Λύνοντας ως προς y εκφράζουμε την εξίσωση ως συνάρτηση: 1 (1+ ) y= 1 y= y (1+ ) Στη θετική περιοχή το γράφημα προκύπτει από αυτό της 1/, με μετατόπιση προς τα αριστερά κατά 1. Βρίσκουμε έτσι το γράφημα παραπλεύρως, με εμβαδό που δίνεται από το γενικευμένο ολοκλήρωμα: + 1 + 1 1 E = (1+ ) d = (1+ ) = + = + 1= 1 1+ 1+ 1 (4 μονάδες) α) Να σκιαγραφηθεί η ισοσταθμική μιας συνάρτησης f(,y) που είναι φθίνουσα και: 1. οιονεί κοίλη. ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του y από το Λύση. Η συνάρτηση έχει αρνητικές μερικές παραγώγους: {f <, fy < }. Επομένως η ισοσταθμική θα έχει αρνητική κλίση: y = f / fy <. Η διανυσματική παράγωγος κατευθύνεται προς κάτω αριστερά, δείχνοντας την πάνω σταθμική. 1. Αν η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη τότε η πάνω σταθμική θα είναι κυρτή και βρίσκουμε το παραπλεύρως γράφημα.. Το ίδιο γράφημα μας δίνει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης, διότι το μέτρο της κλίσης y αυξάνει με το. β) Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(,y) = ( y) / y είναι ομογενής και να επαληθευτεί η αντίστοιχη εξίσωση Euler. y Λύση. Η f(, y) = = 1, είναι συνάρτηση μόνο του / y (ή ισοδύναμα του y / ), και y y επομένως είναι ομογενής βαθμού. Εξάλλου έχουμε και: f f c t ty y f(t, ty) = = = f(, y) ty y 1 Επαληθεύεται και η εξίσωση Euler μηδενικού βαθμού: f + yfy = + y = = y y y y γ) Να χαρακτηριστεί ως προς το πρόσημό της η τετραγωνική μορφή: Q= + y y, και να δοθεί ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας. Στη συνέχεια να χαρακτηριστεί ως προς το πρόσημό της η περιορισμένη τετραγωνική μορφή: Q ɶ = { + y y y= }, και να δοθεί ο αντίστοιχος πλαισιωμένος συμμετρικός πίνακας. Λύση. Η τετραγωνική μορφή έχει τα χαρακτηριστικά: Q= α + γy + βy {α= >,γ = 1> },β= 1,{Δ = αγ β = 1= 1> } Συμπεραίνουμε ότι η τετραγωνική μορφή είναι θετικά ορισμένη. Κάθε περιορισμός της θα είναι επίσης θετικά ορισμένος, και επομένως η δοθείσα περιορισμένη τετραγωνική μορφή θα είναι επίσης θετικά ορισμένη. Οι αντίστοιχοι συμμετρικοί πίνακες είναι: 1 1 S =, Sɶ = 1 1 1 με Δ= S= > και Δɶ = Sɶ = ( 1) 1( + ) = < 1 1 1 y y
δ) Το περιορισμένο στάσιμο της συνάρτησης f = + y με τον περιορισμό g= + y= 5, είναι (=,y = 1). Να χαρακτηριστεί το στάσιμο ως ακρότατο, αναλυτικά και γραφικά στο επίπεδο. f f Λύση. Ο γραμμικός περιορισμός βρίσκεται εξολοκλήρου στην πάνω f σταθμική της αντικειμενικής συνάρτησης f και επομένως η λύση δίνει min περιορισμένο γνήσιο ολικό ελάχιστο. Για τον αναλυτικό χαρακτηρισμό υπολογίζουμε την πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα της συνάρτησης agrange: = λ = y = = f + λ(c g) = + y + λ(5 y) y = y λ y = yy = 1 Hɶ = με Hɶ = + 1 = (4) + 1( ) = 1<, 1 1 1 (αναπτύξαμε ως προς την πρώτη γραμμή) Είναι αρνητική και επομένως το σημείο χαρακτηρίζεται ως περιορισμένο γνήσιο τοπικό ελάχιστο. Παρατήρηση. Δεν χρειαστήκαμε ούτε το σημείο της λύσης ούτε τον πολλαπλασιαστή, διότι η αντικειμενική συνάρτηση είναι οιονεί κυρτή και ο περιορισμός γραμμικός. Σε κάθε περίπτωση ο πολλαπλασιαστής μπορεί να βρεθεί από τη σχέση: λ= f / g = / = = (1 μονάδa) Θεωρούμε παραγωγή με ένα συντελεστή παραγωγής:, και με συνάρτηση παραγωγής: Q= Αν η μοναδιαία τιμή του προϊόντος είναι p και το μοναδιαίο κόστος του συντελεστή είναι w, να βρεθεί η βέλτιστη ποσότητα συντελεστή που μεγιστοποιεί το κέρδος, ως συνάρτηση των {p,w}, και να διερευνηθεί η ομογένειά της. Θα βρούμε τη λύση γραφικά και αναλυτικά: Γραφική λύση. Η συνάρτηση κέρδους είναι: v Π() = pq() w= p[q() v] όπου v= w / p ma Το μέγιστό της καθορίζεται από τη διαφορά των συναρτήσεων: Q() min Q= = ( ) και v Όπως διακρίνουμε στο παραπλεύρως γράφημα, η διαφορά εμφανίζει δύο στάσιμα σημεία, εκ των οποίων το μεγαλύτερο δίνει μέγιστο, ενώ το μικρότερο δίνει ελάχιστο. Λύνοντας την εξίσωση στασιμότητας βρίσκουμε τη λύση: ± 9 v Π () = Q () v = + 6 v= = = 1± 1 v / ] Δεχόμαστε την μεγαλύτερη: = 1+ 1 v /, ισχύει για v w p Δηλαδή για μεγαλύτερη κλίση δεν υπάρχει στάσιμο. Γενικότερα παρατηρούμε ότι αν η κλίση v= w / p είναι αρκετά μεγάλη ώστε η ευθεία του κόστους v να περάσει πάνω από την καμπύλη της παραγωγής Q(), τότε η παραπάνω στάσιμη λύση δίνει αρνητικό κέρδος, οπότε η βέλτιστη λύση θα είναι η μηδενική της μη παραγωγής: =, με μηδενικό κέρδος: Π() =. Όπως φαίνεται και στο γράφημα παραπλεύρως, αυτό θα συμβεί όταν το v γίνει μεγαλύτερο από το μέγιστο μέσο προϊόν: AQ= Q / = = ( ) ma v>.5 1 v=.5
Έχει μέγιστο στο 1 / 1.5 AQ= ( / ) ( / ) = 9 / 4=.5. Επομένως θα = = με τιμή έχουμε μηδενική παραγωγή αν ικανοποιείται η συνθήκη: v.5 w.5p δηλαδή αν το μοναδιαίο κόστος είναι μεγάλο σε σχέση με την μοναδιαία τιμή. Τελικά η λύση είναι: 1 1 v / αν v.5 = + < αν v.5 = Είναι η συνάρτηση ζήτησης εργασίας, ομογενής μηδενικού βαθμού, διότι εξαρτάται μόνο από το 1= 1.5 v= w / p. Εμφανίζει ασυνέχεια διότι η συνάρτηση παραγωγής δεν είναι κοίλη. Μόλις ο λόγος v= w / p v πέσει κάτω από το επίπεδο.5 η ζήτηση εργασίας.5 αυξάνει απότομα από σε = 1= 1.5. Παρατήρηση. Η παραπάνω συνάρτηση παραγωγής δεν είναι ρεαλιστική διότι για μεγάλα εμφανίζει σημείο κορεσμού στο =, ενώ μετά το = γίνεται και αρνητική (στην πραγματικότητα μηδενίζεται). Αλλά τα παραπάνω δεν αφορούν την βέλτιστη παραγωγή η οποία είναι πάντοτε μικρότερη, όπως φαίνεται και στο πρώτο γράφημα. Έτσι, ακόμη και με μηδενικό κόστος εργασίας, η αντίστοιχη ζήτηση εργασίας φτάνει το μέγιστο δυνατό: = =. Αναλυτική λύση. Η συνάρτηση κέρδους είναι: Π() = pq() w= p( ) w= p + p w Η συνάρτηση κέρδους είναι πολυώνυμο ου βαθμού με αρνητικό τον συντελεστή του ου βαθμού. Δεν είναι κοίλη διότι το σημείο καμπής είναι θετικό: Π () = p + 6p w Π () = 6p+ 6p= 6p(1 ) = = 1> Επομένως δεν έχουμε πρόβλημα κυρτού προγραμματισμού, και πρέπει να ελέγξουμε όλες τις συνθήκες. Παρατηρούμε καταρχήν ότι στο άπειρο δεν έχουμε μέγιστο διότι τείνει στο. Επομένως θα συγκρίνουμε το αριστερό σύνορο και το στάσιμο. Έχουμε: 1. Αριστερό σύνορο: = () = w<, αποδεκτό, με κέρδος Π() =. Στάσιμο: 6p± 6p 1pw Π () = p + 6p w = = = 1± 1 w / p 6p με Π () = 6p(1 ) = 6p( 1 w / p) Μόνο το πάνω πρόσημο έχει αρνητική η παράγωγο και είναι αποδεκτό. Βρήκαμε το στάσιμο: = 1+ 1 v /, όπου: v= w / p με κέρδος: Π( ) = p + p w = p ( + v) Η βέλτιστη λύση είναι η παραπάνω στάσιμη, εκτός αν δίνει αρνητικό κέρδος οπότε θα είναι η μηδενική λύση. Το τελευταίο συμβαίνει όταν έχουμε: + v (1+ 1 v / ) (1+ 1 v / ) + v v / 1 1 v / (v / 1) 1 v / v(4v / 9 1) v 9 / 4=.5 όπως και προηγουμένως.
4 (1 μονάδα) Σε μια οικογένεια το εισόδημα της συζύγου είναι τριπλάσιο από αυτό του συζύγου. Αν το εισόδημα της συζύγου αυξηθεί κατά % και το εισόδημα του συζύγου αυξηθεί κατά %, να εκτιμηθεί η αύξηση του οικογενειακού εισοδήματος. Λύση. Θέτουμε: w, εισόδημα της συζύγου m, εισόδημα του συζύγου f = w+ m, οικογενειακό εισόδημα Παρατήρηση. Η ποσοστιαία αύξηση του συνολικού εισοδήματος θα είναι ανάμεσα: % %df % μάλιστα πιο κοντά στο % της συζύγου που έχει το μεγαλύτερο εισόδημα. Λύση 1. Η ποσοστιαία μεταβολή του οικογενειακού εισοδήματος δίνεται από τον γενικό τύπο: wfw mfm %df = (Ewf)(%dw) + (Emf)(%dm) = (%dw) + (%dm) f f w m 1 9 = (%dw) + (%dm) = + = =.5% w+ m w+ m 4 4 4 όπου αντικαταστήσαμε: w= m Δηλαδή ζυγίζουμε την κάθε ποσοστιαία αύξηση με τον αντίστοιχο συντελεστή συμμετοχής στο συνολικό εισόδημα. Παρατήρηση. Το τύπο της ποσοστιαίας μεταβολής μπορούμε να τον βρούμε και ως εξής. Το οικογενειακό εισόδημα θα μεταβληθεί κατά: f = w+ m df = dw+ dm Το μετατρέπουμε σε σχετική και ποσοστιαία μεταβολή: df dw dm dw w dm m w m = + = + %df = (%dw) + (%dm) f f f w f m f f f Λύση (πρακτική) Το εισόδημα πριν και μετά την αύξηση είναι: w+ m, 1.w+ 1.m αντίστοιχα. Η σχετική μεταβολή θα είναι: (1.w+ 1.m) (w+ m) w m 1 =.+.=.+.=.5 w+ m w+ m w+ m 4 4 Επομένως η ποσοστιαία μεταβολή είναι.5%, όπως και προηγουμένως. ΤΕΛΟΣ