B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ

B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ 1.Διαφορικά.Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά 3.Λογισμός Διαφορικών 4.Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής 5.Ελαστικότητα κλίμακας 6.Ομογενής μηδενικού βαθμού 7.Ομογενής βαθμού κ 8.Ιδιότητες ομογενών ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 9.Ισοσταθμικές ομογενών 10.Ελαστικότητα υποκατάστασης 11.Ομοθετικές ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Διαφορικά Οι παράγωγοι αφορούν οριακές μεταβολές των εξαρτημένων μεταβλητών όταν μεταβάλλεται κάθε φορά μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή. Θα εξετάσουμε τώρα την γενική περίπτωση όπου μπορεί να μεταβάλλονται ταυτόχρονα περισσότερες μεταβλητές. Θεωρούμε ένα πλήθος μεταβλητών: {,,z, } που συνδέονται μεταξύ τους με κάποιες εξισώσεις. Οι μεταβολές τους από κάποιες αρχικές τιμές: {Δ,Δ,Δz, } ικανοποιούν αντίστοιχες εξισώσεις μεταβολών. Π.χ. = () Δ= (+ Δ) () z= z(,) Δz= z(+ Δ,+ Δ) z(,) f(,) = c Δf(,) = 0 f(+ Δ,+ Δ) f(,) = 0 f(,,z) = c Δf(,,z) = 0 f(+ Δ,+ Δ,z+ Δz) f(,,z) = 0 Σε αντίθεση με τον λογισμό των παραγώγων, ο λογισμός των μεταβολών είναι αρκετά πολύπλοκος, βασικά ισοδύναμος με τον λογισμό των αρχικών μεταβλητών. Γιαυτό τον λόγο αντί των μεταβολών χρησιμοποιούμε τα διαφορικά: {d,d,dz, } Παρατήρηση. Αν έχουμε δύο μεταβλητές που συνδέονται με μια εξίσωση τότε οι μεταβολές αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις επάνω στην Δ καμπύλη της εξίσωσης, ενώ τα διαφορικά σε (,) (,) d μετατοπίσεις επάνω στην εφαπτόμενη ευθεία Δ d στο ίδιο σημείο. Ομοίως, αν έχουμε τρεις μεταβλητές που συνδέονται με μια εξίσωση τότε οι μεταβολές αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις πάνω στην επιφάνεια της εξίσωσης ενώ τα διαφορικά σε μετατοπίσεις πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο στο ίδιο σημείο. Στη γενική περίπτωση τα διαφορικά ορίζονται με βάση τις παρακάτω εξισώσεις διαφορικών, που προκύπτουν από τις εξισώσεις γραμμικών προσεγγίσεων: = () d= ()d z= z(,) dz= z (,)d+ z (,)d f(,) = c df(,) = f (,)d+ f (,)d = 0 f(,,z) = c df(,,z) = f (,,z)d + f (,,z)d+ f (,,z)dz = 0 και γενικότερα για περισσότερες μεταβλητές καθώς και για συστήματα εξισώσεων. Στις παραπάνω εξισώσεις διαφορικών, οι μεταβλητές αντιμετωπίζονται καταρχήν ισοδύναμα, με την έννοια ότι δεν διακρίνουμε τις εξαρτημένες από τις ανεξάρτητες. Στη συνέχεια, για τις ανεξάρτητες μεταβλητές τα διαφορικά θεωρούνται επίσης ανεξάρτητα και ταυτίζονται με τις μεταβολές, ενώ τα διαφορικά των εξαρτημένων προκύπτουν από τις παραπάνω εξισώσεις διαφορικών. Προκύπτει ως συνέπεια του θεωρήματος μέσης τιμής για πολλές μεταβλητές (θεμελιώδης σχέση) ότι για μικρές μεταβολές τα διαφορικά των εξαρτημένων δίνουν μια εκτίμηση των μεταβολών τους. Ειδικότερα μας δίνουν το πρόσημο αν είναι μη μηδενικά. Λόγω της παραπάνω ιδιότητας τα διαφορικά καλούνται και οριακές μεταβολές. Παράδειγμα. Γεωμετρικά, το γινόμενο δύο μεγεθών παριστάνει το εμβαδόν ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου: z= Για μεταβολές {Δ,Δ} των δύο πλευρών, η μεταβολή και το διαφορικό του εμβαδού δίνονται από τις παραστάσεις: 1

Δz = (+ Δ)(+ Δ) = Δ+ Δ+ ΔΔ dz= z d+ z d= d+ d= Δ+ Δ Έτσι, στο διαφορικό παραλείπουμε τον τετραγωνικό όρο ΔΔ που είναι το εμβαδό του πάνω δεξιά τμήματος στο σχήμα, και είναι σχετικά ασήμαντο για μικρά {Δ,Δ}, αρκεί να μην έχουμε dz= 0, δηλαδή να μην αρχίζουμε με = 0 ή = 0. Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά Σε αντιστοιχία με τις σχετικές μεταβολές ορίζονται επίσης τα σχετικά διαφορικά καθώς και τα ισοδύναμά τους ποσοστιαία διαφορικά: Δ Δ d d d d,,,,, %d = 100, %d = 100, αντίστοιχα. Διαπιστώσαμε παραπάνω ότι τα διαφορικά συνδέονται μέσω των παραγώγων. Αντίστοιχα, τα σχετικά ή ισοδύναμα τα ποσοστιαία διαφορικά συνδέονται μέσω της ελαστικότητας, ως εξής: Αν έχουμε συνάρτηση μιας μεταβλητής: = (), τότε τα διαφορικά και τα ποσοστιαία διαφορικά συνδέονται με τις σχέσεις: d= d = () όπου: ε= E= %d = ε(%d) Αν έχουμε συνάρτηση πολλών μεταβλητών τότε τα διαφορικά συνδέονται μέσω των μερικών παραγώγων ενώ τα σχετικά ή ισοδύναμα τα ποσοστιαία διαφορικά συνδέονται μέσω των μερικών ελαστικοτήτων. Π.χ. για συνάρτηση δύο μεταβλητών, έχουμε: dz= zd+ zd z z z= z(,) όπου: ε = Ez =, ε = Ez= %dz = ε (%d) + ε (%d) z z Πράγματι από τον πρώτο τύπο των διαφορικών βρίσκουμε για τα σχετικά διαφορικά: dz z d z d dz = zd + zd z = z + z Πολλαπλασιάζοντας με 100 καταλήγουμε στην παραπάνω σχέση και για τα ποσοστιαία διαφορικά. Έτσι οι ελαστικότητες παίζουν για τις ποσοστιαίες μεταβολές το ρόλο που παίζουν οι παράγωγοι για τις μεταβολές. 3. Λογισμός Διαφορικών Σε αντίθεση με τις εξισώσεις μεταβολών που είναι πολύπλοκες μη γραμμικές (αντίστοιχες με τις αρχικές εξισώσεις των μεταβλητών), οι εξισώσεις των διαφορικών είναι απλές γραμμικές εξισώσεις και διέπονται από τον ίδιο απλό λογισμό όπως οι παράγωγοι. Έτσι για δύο μεταβλητές {u,v}, θα έχουμε: d(αu+ βv) = αdu+ βdv d(uv) = vdu+ udv, u d(e ) u = e du, dln u = du / u d(u / v) = (vdu udv) / v Ο λογισμός και γενικότερα οι ιδιότητες των ποσοστιαίων διαφορικών προκύπτουν από τις παραπάνω των διαφορικών ή ισοδύναμα από αυτές των ελαστικοτήτων. Παρατηρούμε σχετικά ότι ενώ τα διαφορικά έχουν απλές ιδιότητες ως προς το άθροισμα και την διαφορά, τα ποσοστιαία διαφορικά έχουν αντίστοιχα απλές ιδιότητες ως προς το γινόμενο και το πηλίκο. Π.χ. αν έχουμε δύο μεταβλητές {u,v} είτε ανεξάρτητες είτε εξαρτημένες από άλλες, και μια σταθερά {α}, τότε: d(αu) = αdu, d(u+ v) = du+ dv, d(u v) = du dv %d(αu) = %d(u), %d(uv) = %du + %dv, %d(u / v) = %du %dv Έτσι στον πολλαπλασιασμό τα ποσοστιαία διαφορικά προστίθενται και στην διαίρεση αφαιρούνται. Παρατηρούμε επίσης ότι αν πολλαπλασιάσουμε με σταθερά, το διαφορικό πολλαπλασιάζεται με τη σταθερά ενώ το ποσοστιαίο διαφορικό δεν μεταβάλλεται. Απόδειξη. Από τον τύπο για το διαφορικό γινομένου, βρίσκουμε για το ποσοστιαίο διαφορικό γινομένου: d(uv) vdu udv du dv d(uv) = vdu+ udv = + = + %d(uv) = %du + %dv uv uv uv u v Δ Δ ΔΔ Δ Δ

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες σχέσεις. Εναλλακτικά προκύπτουν και από τον λογισμό των παραγώγων ή των ελαστικοτήτων. Παρατήρηση. Οι ίδιες σχέσεις μεταξύ των αντίστοιχων σχετικών μεταβολών είναι πιο πολύπλοκες. Π.χ.: Δ(uv) Δu Δv ΔuΔv Δ(uv) = vδu+ uδv+ ΔuΔv = + + uv u v uv Παράδειγμα 1. Αν η μία πλευρά ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου αυξηθεί κατά % και η άλλη ελαττωθεί κατά 1%, τότε το εμβαδόν του θα μεταβληθεί περίπου κατά: z = %Δz %dz = %d + %d= % 1% = 1%. Θα αυξηθεί κατά 1%, περίπου.. Αν η μοναδιαία τιμή P ενός προιόντος αυξηθεί κατά % και η ποσότητα ζήτησης Q μειωθεί κατά 3%, τότε το έσοδο R= PQ θα μεταβληθεί περίπου κατά: R= PQ %ΔQ %dq = %dp + %dq = %ΔP + %ΔQ= % 3% = 1%. Θα ελαττωθεί κατά 1%, περίπου. 4. Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής, καλούνται οι συναρτήσεις δυνάμεις: κ f() = c Χαρακτηρίζονται από σταθερή ελαστικότητα ίση με τη δύναμη: ε= κ, οπότε έχουμε και την σχέση: %df = κ(%d) Λέμε ότι η ομογενής συνάρτηση έχει απόδοση κλίμακας: αύξουσα αν κ > 1, φθίνουσα αν κ < 1, σταθερή αν κ = 1 Η ελαστικότητα ομογενούς συνάρτησης καλείται και βαθμός ομογένειας. Έτσι: ομογενείς βαθμού 1 είναι οι γραμμικές ομογενείς:α, ομογενείς βαθμού 0 είναι οι σταθερές: c Παράδειγμα. Η = 10 3/ είναι αύξουσας απόδοσης κλίμακας. Αν το αυξηθεί κατά 1% από οιαδήποτε αρχική τιμή, το θα μεταβληθεί οριακά κατά: %Δ %d= ε(%d) = ( 3 / )% Σε απόλυτες τιμές η ποσοστιαία μεταβολή του είναι μεγαλύτερη από του. 5. Ελαστικότητα κλίμακας Για να επεκτείνουμε την έννοια της ομογένειας σε συναρτήσεις περισσοτέρων μεταβλητών θεωρούμε τον τύπο του ποσοστιαίου διαφορικού μιας συνάρτησης: f(,) %df = ε (%d) + ε (%d) Αν οι ποσοστιαίες μεταβολές των (,)είναι ίσες μεταξύ τους, τότε βρίσκουμε: %d = %d = %ds %df = (ε + ε )(%ds) Το άθροισμα των μερικών ελαστικοτήτων που εμφανίζεται στην παραπάνω σχέση καλείται ελαστικότητα κλίμακας ή ακτινωτή ελαστικότητα. : εr = ε + ε, Erf = Ef + Ef Δηλαδή, η ελαστικότητα κλίμακας δίνει την ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή της συνάρτησης όταν αμφότερες οι ανεξάρτητες μεταβληθούν κατά 1%, οριακά. Ομογενείς καλούνται οι συναρτήσεις που έχουν σταθερή ελαστικότητα κλίμακας, η οποία καλείται και βαθμός ομογένειας. Παράδειγμα + 1. z= + + 1 ε =, ε =, εr =, δεν είναι ομογενής + + 1 + + 1 + + 1 α β. z= α+ β ε =, ε =, εr = 1, είναι ομογενής βαθμού 1 α+ β α+ β Έτσι για τις παραπάνω δύο συναρτήσεις λέμε ότι είναι: γραμμική μη ομογενής και γραμμική ομογενής αντίστοιχα. 3

6. Ομογενής μηδενικού βαθμού καλείται μια συνάρτηση f(,) που ικανοποιεί οιαδήποτε από τις παρακάτω 4 ισοδύναμες συνθήκες: 1. Για κάθε t> 0, έχουμε: f(t, t) = f(, ).. Είναι συνάρτηση μόνο του λόγου /, δηλαδή είναι της μορφής: f(,) = H( / ). 3. Έχει μηδενική ελαστικότητα κλίμακας: ε r = ε + ε = 0 4. Ικανοποιεί την εξίσωση Euler βαθμού 0 : f + f = 0 Παρατήρηση. Η ισοδυναμία των {1,,3} αφορά την ισοδυναμία των παρακάτω πράξεων: 1. Πολλαπλασιασμός των (,) με τον ίδιο συντελεστή.. Μεταβολή των {,} κατά μήκος της ακτίνας, οπότε μένει σταθερός ο λόγος /. 3. Μεταβολή των {,} κατά το ίδιο ποσοστό. Ειδικότερα, πολλαπλασιασμός με συντελεστή t> 0 αντιστοιχεί σε σχετική μεταβολή και σε ποσοστιαία μεταβολή κατά: Δ t t> 1 = = t 1, %Δ= 100(t 1)% Δ Δ αντίστοιχα. Το μέγεθος αυξάνει αν t> 1, ελαττώνεται αν t< 1. Παράδειγμα. Εκτός από τις σταθερές, οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραδείγματα ομογενών συναρτήσεων μηδενικού βαθμού: +, = + 1,, ln ln= ln, + 1 + ( / ) = + 1 + ( / ) 7. Ομογενής βαθμού κ καλείται μια συνάρτηση f(,) που ικανοποιεί οιαδήποτε από τις παρακάτω 4 ισοδύναμες συνθήκες: 1. Για κάθε t> 0 έχουμε f(t,t) κ = t f(,).. Είναι της μορφής f(,) = κ H( / ) ή ισοδύναμα: f(,) κ H( / ) =. 3. Έχει σταθερή ελαστικότητα κλίμακας ίση με το βαθμό: ε r = ε + ε = κ. 4. Ικανοποιεί την εξίσωση Euler βαθμού κ : f + f = κf. Παράδειγμα. 1/ 1. + = 1 + ( / ), ομογενής βαθμού 1/,. + + = 1 + ( / ) + ( / ) 3. 1/ t+ t = t +., ομογενής βαθμού. α + β+ γ, καλείται ομογενής τετραγωνική (παραβολική) συνάρτηση δύο μεταβλητών 1 1 4. ( ) ( 1 ( / ) ) 1 + = +, ομογενής βαθμού 1. α β 5., ομογενής βαθμού κ= α+ β Θεωρούμε μια ομογενή συνάρτηση και μεταβάλλουμε τα {,} κατά το ίδιο ποσοστό. Τότε σύμφωνα με την ιδιότητα 3 οριακά η ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή της συνάρτησης θα είναι ως προς μέτρο της, μεγαλύτερη από το παραπάνω ποσοστό αν κ > 1, μικρότερη αν κ < 1, ίδια αν κ = 1. Εκφράζουμε την παραπάνω ιδιότητα λέγοντας ότι μια ομογενής συνάρτηση έχει απόδοση κλίμακας: αύξουσα αν κ > 1, φθίνουσα αν κ < 1, σταθερή αν κ = 1 Αν η συνάρτηση είναι ομογενής μηδενικού βαθμού: κ= 0, τότε η τιμή της συνάρτησης δεν θα μεταβληθεί, οριακά. Παράδειγμα. Οι παρακάτω ομογενείς συναρτήσεις με κ> 0, είναι: 1. Σταθερής απόδοσης κλίμακας: α+ β,,. Αύξουσας απόδοσης κλίμακας: 3 με κ=, 3. Φθίνουσας απόδοσης κλίμακας: α 1 α, 1/4 1/ με κ= 3 / 4, 3/ 3/ +, ( + ) + με κ= 3 /. 1/ 1/ 4 ( + ) με κ= 1/. 4

8. Ιδιότητες ομογενών Οι παρακάτω ιδιότητες των ομογενών συναρτήσεων είναι αντίστοιχες με τις γνωστές ιδιότητες των συναρτήσεων δυνάμεων μιας μεταβλητής: 1. Προσθέτοντας (αφαιρώντας) ομογενείς του ίδιου βαθμού προκύπτει ομογενής του ίδιου βαθμού.. Πολλαπλασιάζοντας ομογενείς ο βαθμός τους προστίθεται. Διαιρώντας ομογενείς ο βαθμός τους αφαιρείται. Ειδικά αν διαιρέσουμε ομογενείς του ίδιου βαθμού βρίσκουμε ομογενή μηδενικού βαθμού. 3. Υψώνοντας ομογενή συνάρτηση σε δύναμη, πολλαπλασιάζεται ο βαθμός με τη δύναμη. 4. Το ma/min ομογενών του ίδιου βαθμού, είναι ομογενής του ίδιου βαθμού. 5. Αν μια συνάρτηση είναι ομογενής βαθμού κ 0, τότε oι πρώτες παράγωγοι είναι ομογενείς βαθμού κ 1. Παράδειγμα α β 1. Η g(, ) = είναι ομογενής βαθμού α, και η h(, ) = είναι ομογενής βαθμού β. Το γινόμενό τους είναι ομογενής βαθμού α+ β :. Η f(,) α 1 β f α =, f(,) α β =. α β = είναι ομογενής βαθμού α β f = β α β 1 +. Οι μερικές παράγωγοι είναι ομογενείς βαθμού α+ β 1: 3. Οι συναρτήσεις ma/ min{α+ β, γ+ δ} είναι ομογενείς βαθμού 1, όπως και οι επιμέρους συναρτήσεις που είναι γραμμικές ομογενείς. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 9. Ισοσταθμικές ομογενών Όσον αφορά τις ισοσταθμικές, υπενθυμίζουμε καταρχήν ότι οι ομογενείς συναρτήσεις μηδενικού βαθμού έχουν τις ίδιες ισοσταθμικές με τη συνάρτηση g(,) = / = c = c, δηλαδή ακτίνες, διότι είναι εξαρτημένες με αυτές. Στη γενική περίπτωση ισχύει το παρακάτω, σε αντιστοιχία με τις ιδιότητες των γραμμικών ομογενών συναρτήσεων των οποίων οι ισοσταθμικές είναι παράλληλες ευθείες. Ισοσταθμικές ομογενών. Οι διάφορες ισοσταθμικές μιας ομογενούς συνάρτησης είναι παράλληλες μεταξύ τους με την παρακάτω έννοια: Αν πολλαπλασιάσουμε τα σημεία (,) μιας ισοσταθμικής με τον ίδιο συντελεστή t τότε τα σημεία (t,t)που προκύπτουν ανήκουν όλα στην ίδια ισοσταθμική. Έχουν όλες την ίδια κλίση στα σημεία μιας ακτίνας. Απόδειξη. Ως γνωστό, η κλίση των ισοσταθμικών μας δίνει τον ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των μεταβλητών. Επομένως σύμφωνα με την δεύτερη ιδιότητα παραπάνω στις ομογενείς συναρτήσεις ο ρυθμός υποκατάστασης d / d είναι σταθερός στα σημεία μιας ακτίνας, δηλαδή εξαρτάται μόνο από το λόγο /. Το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει και από την παραπάνω ιδιότητα 5. Πράγματι έχουμε: d f f(, ) = c = d f Αν η f(,) είναι ομογενής μη μηδενικού βαθμού, τότε οι μερικές παράγωγοι θα είναι ομογενής του ίδιου βαθμού και επομένως ο λόγος τους θα είναι ομογενής μηδενικού βαθμού, δηλαδή θα εξαρτάται μόνο από τον λόγο /, που είναι και το ζητούμενο α β Παράδειγμα. Η f(,) = είναι ομογενής βαθμού α+ β. Οι μερικές παράγωγοι είναι ομογενείς βαθμού α+ β 1, και ο ρυθμός υποκατάστασης είναι ομογενής μηδενικού βαθμού, δηλαδή θα εξαρτάται μόνο από τον λόγο /. Πράγματι: {f = α, f = β } α 1 β α β 1 d f β β d f α α = = = Θεωρούμε τώρα ένα πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης όπου η συνάρτηση περιορισμού είναι ομογενής και η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική, οπότε οι ισοσταθμικές της θα είναι ευθείες, όπως οι διακεκομμένες γραμμές στα δύο σχήματα παρακάτω: 1 5

ma{f(, ) = v+ w g(, ) = c} min{f(, ) = v+ w g(, ) = c} Με παράμετρο την τιμή c του περιορισμού, καθώς το c μεταβάλλεται η λύση σχηματίζει μια παραμετρική καμπύλη: { = (c), = (c)} Kαλείται καμπύλη ανάπτυξης. Προκύπτει από την παραπάνω ιδιότητα παραλληλίας των ισοσταθμικών ότι: αν η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική και η συνάρτηση περιορισμού είναι ομογενής μη μηδενικού βαθμού, τότε η καμπύλη ανάπτυξης είναι ευθεία, οπότε καθώς το c μεταβάλλεται τα βέλτιστα {, } μεταβάλλονται κατά το ίδιο ποσοστό μεταξύ τους. Η ίδια ιδιότητα ισχύει στο συμμετρικό πρόβλημα όπου η αντικειμενική συνάρτηση είναι ομογενής και η συνάρτηση περιορισμού είναι γραμμική. 10. Ελαστικότητα υποκατάστασης Σύμφωνα με παραπάνω ιδιότητα, αν μια συνάρτηση f(,) είναι ομογενής, τότε ο ρυθμός υποκατάστασης d / d εξαρτάται μόνο από τον λόγο / : d f (,) f(, ) = c = = h d f (,) οπότε μπορούμε να ορίσουμε την ελαστικότητά του ως προς / ανεξάρτητα της συγκεκριμένης ισοσταθμικής. Το ανάστροφο, δηλαδή η ελαστικότητα του / ως προς, καλείται ελαστικότητα υποκατάστασης της συνάρτησης f(,). Μετράει την σχέση των ποσοστιαίων μεταβολών της κλίσης της ακτίνας ως προς την κλίση της εφαπτομένης κατά μήκος μιας ισοσταθμικής. Για ομογενείς συναρτήσεις είναι ανεξάρτητη της ισοσταθμικής. Χρησιμοποιώντας τον λογαριθμικό ορισμό μπορούμε να την γράψουμε στη μορφή: dln / σ= Ε d/d( / ) =, ελαστικότητα υποκατάστασης dln f / f Επίσης, μπορούμε να την υπολογίσουμε απευθείας από τη συνάρτηση f(,) : σ ff = : ελαστικότητα υποκατάστασης (f f f f ) Σταθερής Ελαστικότητας Υποκατάστασης (CES: Constant Elasticit of Substitution) καλούνται οι συναρτήσεις με σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης, Παράδειγμα. Θα υπολογίσουμε τις παρακάτω ελαστικότητες υποκατάστασης: α β d β 1. Cobb-Douglas: f(,) = = d α, E / (d / d) = 1 σ= 1, CES α 1 β α β 1 (α )(β ) Με τον τύπο: σ= = 1 α 1 β 1 α β 1 α β α 1 β [αβ (β ) β(β 1) (α ) 1 ρ, / ρ ρ d α 1. f(, ) = α + β = E (d / d) = 1 ρ σ=, CES d β 1 ρ 3. Οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν άπειρη ελαστικότητα υποκατάστασης, διότι ο ρυθμός υποκατάστασης d / d παραμένει σταθερός καθώς ο λόγος / μεταβάλλεται. 4. Οι συναρτήσεις Leontief ma/ min{α,β} έχουν μηδενική ελαστικότητα υποκατάστασης, διότι ο λόγος / παραμένει σταθερός καθώς ο ρυθμός υποκατάστασης d / d μεταβάλλεται 6

11. Ομοθετικές καλούνται οι συναρτήσεις που είναι μετασχηματισμοί ομογενών: h(, ) = H(f(, )), Οι ισοσταθμικές τους είναι ίδιες με αυτές των ομογενών οπότε ισχύουν και οι παραπάνω ιδιότητες που αφορούν ισοσταθμικές ομογενών. Παράδειγμα. Οι παρακάτω συναρτήσεις h(,) είναι ομοθετικές χωρίς να είναι ομογενείς. 1.. 3. f = + h= f+ 1= + + 1, h= f + f = (+ ) + (+ ) f + f = + h= ln f = ln(+ ), h= e + f = e + + f = h= 1+, h= + ln, h= + () 7

B6. ΟΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ ασκήσεις 1/ 1/ 3 1. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(,) :, 3, 8+ 6+ 10 Να βρεθεί η ελαστικότητα κλίμακας, στο γενικό σημείο (,) καθώς και στο συγκεκριμένο σημείο(= 4, = 8). 3. Η εξίσωση f(,,z) = + z + = 14, ορίζει πλεγμένα το z ως συνάρτηση των {,}. Να βρεθεί η ελαστικότητα κλίμακας, στο γενικό σημείο (,) καθώς και στο συγκεκριμένο σημείο (= 3, = 1, z= ). 3. Αν η z= z(,) είναι ομογενής βαθμού κ= και τα {,} ελαττωθούν αμφότερα κατά 3% να εκτιμηθεί η μεταβολή του z αν η αρχική τιμή του είναι z= 40. 4. Οι παρακάτω συναρτήσεις ορίζονται στη περιοχή: { 0, 0}. Να διαπιστωθεί ότι είναι αύξουσες ομογενείς βαθμού 1, και σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης. Επίσης, να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές τους. +, ( + ), 3 / 3 / / 3 ( + ), / 3 / 3 3 / ( + ),, +, 3 / 4 1/ 4, 1 1 1 ( + ), 4 4 1/ 4 ( + ), ma{3,4}, min{3,4} ( + ), +, 5. Nα βρεθούν και να σκιαγραφηθούν οι καμπύλες ανάπτυξης στα παρακάτω προβλήματα περιορισμένης βελτιστοποίησης: 3/ 3/ 3/ 3/ /3 ma{f= + g= + = α}, ma{f = (+ ) + 1 g = ( + ) + = α} = + = + = = + = + + = 3/ 3/ 3/ 3/ min{g f β}, min{g ( ) f ( ) 1 β} = + = =, 1 3 min{g 4 f α} = + + + = = 1/4 3/4 min{g (4 ) (4 ) f α} 1 3 1/4 3/4 ma{f = g= 4+ = β}, ma{f = + 1 g = (4+ ) = β} 6. Στα παρακάτω προβλήματα βελτιστοποίησης στην κατανάλωση, να διαπιστωθεί ότι ο λόγος συμμετοχής των αγαθών / εξαρτάται μόνο από το λόγο των μοναδιαίων τιμών τους: v / w και σε κάθε περίπτωση να υπολογιστεί η αντίστοιχη ελαστικότητα. Να διαπιστωθεί ότι συμπίπτει με την ελαστικότητα υποκατάστασης των αντίστοιχων συναρτήσεων: 1/ 1/ 1/ min{f = v+ w g = ( + ) = α}, min{f = v+ w g = ( + ) = α} = + = =, 1/ 4 3 / 4 min{f v w g α} 1/ 1/ ma{g ( ) f v w β} = + = + = 3 / 3/ / 3 ma{f v w g ( ) α} 1/ = + = + =, ma{g = ( + ) = f = v+ w= β} = = + =, 1/ 4 3/ 4 ma{g f v w β} = + = + = 3 / 3 / / 3 min{g ( ) f v w β} 8