Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60 εφ(π-x)= - εφx σφ(π-x)= - σφx x x, x x x x, x x (6 x) ( x) x (4 ο τεταρτημόριο) (6 x) ( x) x (1ο τεταρτημόριο) (7 x) ( x) x (3 ο τεταρτημόριο) (7 x) ( x) x (ο τεταρτημόριο) 9 8 x x = 4 x = x x ΤΡ/1 υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς: 8 19 18 συν10, εφ405, ημ150, συν, ημ, συν 4 3 4 ΤΡ/ Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: ( x) ( x) i) A= x( x) 1
3 ii) B=ημx+ημ(π+x)+ημ x x 5 11 x(9 x) x iii) Γ= 3 x x (8 x) ΤΡ/ Αν ημx-ημ x 0 και 0<x< να βρείτε το ημx και να υπολογίσετε την παράσταση 009 33 x x 3 (7 x) ( 3 x) ΤΡ/3 Αν Α, Β, Γ οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι: i ) ημ ( ) 1 ιι) εφ 1 ΤΡ/4 -, να δείξετε ότι ημθ σφ [1 ( )] ΤΡ/5 Να αποδείξετε ότι: ( x) x 0 3 ( x) x
Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών και Τριγωνομετρικές ταυτότητες ΤΡΙΓ/1 1 3 Αν ημω=- και π<ω< να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω ΤΡΙΓ/ 4 Αν συνω=- και <ω<π να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 5 ΤΡΙΓ/3 3 Αν εφω=- και <ω<π να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 4 ΤΡΙΓ/4 Αν σφω= και 180 <ω<70 να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 4 ΤΡΙΓ/5 3 Αν εφx=9σφx και π<x<, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 1 Α= x x 1 x ΤΡΙΓ/6 Αν ισχύει 3ημθ+4συνθ=5, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α=5συνθ-4εφθ+6 ΤΡΙΓ/7 Να αποδείξετε ότι: 1 1 ) (ημω+συνω) 1 ιι) 3 3 ) ιν) 1 ΤΡΙΓ/8 Α=ημα συνβ+συνα ημβ και Β=συνα συνβ-ημα ημβ, να δείξετε ότι Α 1 3
ΤΡΙΓ/9 Να δείξετε ότι: 1 1 ) εφω+σφω= ιι) εφ 7 1 1 1 1 ) ιν) 7 1 1 1 1 7 ΤΡΙΓ/10 Να δείξετε ότι: ι) συν (1 ) (1 ) ιι) ημ ΤΡΙΓ/11 Να δείξετε ότι: 1 ( ) 1 ΤΡΙΓ/1. 3ημα+5συνα=5, να δείξετε ότι 3 5 3. Αν y=6ημα+8συνα, να δείξετε ότι y [-10,10] ΤΡΙΓ/13 x y ί το σύστημα : x y Α. Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε γωνία θ Β. να λύσετε το σύστημα ΤΡΙΓ/14 ί νετε η εξίσωση x x 1 0 (1) με 0<α<. Να η (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες β. Αν x, x oι ρίζες της εξίσωσης (1), να βρείτε το ημα, ώστε x x 1 1 4
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Η συνάρτηση f(x)=ρημωx, ρ 0, ω>0 Η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τ=. Αν ρ>0, τότε η f έχει Μέγιστη τιμή ρ και ελάχιστη τιμή -ρ β. Αν ρ<0, τότε η f έχει Μέγιστη τιμή -ρ και ελάχιστη τιμή ρ Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για τη συνάρτηση της μορφής f(x)=ρσυνωx, ρ 0, ω>0 Η συνάρτηση f(x)=ρεφωx, ρ 0, ω>0 Η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τ= Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για τη συνάρτηση της μορφής f(x)=ρσφωx, ρ 0, ω>0 5
Ασκήσεις ΤΣ/1 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(α-1)συνβx, α<1, β>0, η οποία έχει ελάχιστη τιμή το -3 και περίοδο Τ=π/3. Να βρείτε τις τιμές των α,β. ΤΣ/ Έ η συνάρτηση f(x)=α-+(β-1)συν(γπx), 1 α<, β>1 και γ>0, η οποία έχει περίοδο Τ=, ελάχιστη τιμή -6 και η 3 1 γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο α,1. βρείτε 18 τις τιμές των α, β, γ ΤΣ/3 Έ η συνάρτηση x 3 x f(x)=-4συν 3 6 x A. Nα δείξετε ότι f(x)=3συν 3 B. Nα βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησηε f. Να βρείτε την περίοδο Τ της f. διάστημα [0,Τ], όπου Τ η περίοδος της συνάρτησης f: α. Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f β. ι) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f ii) Nα λύσετε γραφικά: 1. Την εξίσωση f(x)=0. Tην ανίσωση f(x)>0 3. Tην ανίσωση f(x)<0 6
Τριγωνομετρικές εξισώσεις Βασικοί τύποι x ή x=α x,κ x x ή συνx=α x,κ x εφx=α x x,κ σφx=α x x,κ 7
Ασκήσεις ΤΕ/1 Να λύσετε τις εξισώσεις: ) x 1 0 ii) x 9 ) x( x1) 0 ΤΕ/ Να λύσετε τις εξισώσεις: ) xx0 ii) x x x x iii) x x 3 3 x x iv x x )(1 ) 1 0 ΤΕ/3 Να λύσετε τις εξισώσεις: i)4 x1 0 ii x x )4 4 1 0 iii x x )3 3 0 ) x x 1 0 v x x 4 ) 6 5 0 ΤΕ/4 Να λύσετε τις εξισώσεις: 8
) x x 3 ) x x 0 3 3 ) x x iv) 3 x x 0, στο Δ=(0,3π) 1 ) x x x x ΤΕ/5 Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή των παρακάτω συναρτήσεων και που την παρουσιάζουν: i) f ( x) x 1, x [0,π] 1 ιι) f( x), x [0,π] x ΤΕ/6 Να βρείτε για ποιες τιμές του x, καθεμιά από τις επόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της i) f ( x) 3 x, x [0,π] 4 ιι) f ( x) 3 x, 0<x<π 3 ΤΕ/7 x 1 Έ οτι η γραφική παράσταση f(x)=, διέρχεται από το σημείο Κ(π, - ). Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Να βρείτε την τιμή του α x γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x)= -1 9
ΤΕ/8 Έ η συνάρτηση f(x)=x ημx. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. Να βρείτε τα κοινά σημεία της C με τον άξονα xx και τις παραβολές y=x και y= -x f γ. Να δείξετε ότι -x f(x) x για κάθε x R δ. Να δείξετε ότι η f,είναι γνησίως αύξουσα στο [0, ) 10
Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Βασικοί τύποι: συν(α-β)=συνα συνβ+ημα ημβ συν(α+β)=συνα συνβ-ημα ημβ ημ(α-β)=ημα συνβ-ημβ συνα ημ(α+β)=ημα συνβ+ημβ συνα εφ(α+β)= 1 εφ(α-β)= 1 1 ( ) 1 ( ) 11
Ασκήσεις ΑΔΓ/1 Να αποδείξετε ότι: ι) συν x συν x x 4 4 1 ii x x x x 4 4 )συν συν ( ) iii) ημ x +ημ x 3x 6 6 )( )( ) ( ) ( ) ΑΔΓ/ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 19 11 19 11 ) 10 0 0 10 ) 9 39 39 9 5 3 3 5 8 7 7 8 80 0 ) 1 80 0 ΑΔΓ/3 Να αποδείξετε ότι: ) ημ(α-β) ημ(α+β)=συν ( ) ) 1
ΑΔΓ/4 Να απλοποιηθεί η παράσταση 1 4 4 ΑΔΓ/5 Να αποδείξετε ότι οι ακόλουθες παραστάσεις είναι ανεξάρτητες του x ) Α=ημ ( ) ( ) x x x x 3 3 ii) B ημ x x x ( x) ( x) iii) ( x) ( x) ΑΔΓ/7 Aν ημ(α-β)= -1, να αποδείξετε ότι συν(α-β)=ημα ΑΔΓ/8 1 1 Δίνεται εφα=, εφβ= και εφγ= με α,β,γ οξείες γωνίες. Να αποδείξετε ότι α+β+γ= 3 1 5 4 ΑΔΓ/9 Nα λυθούν οι εξισώσεις: ) συνx+εφα ημx=1,με α κπ+, ) 3x x x 0 iii) x x 6 ) x 1 5 5 )3 ( x) ( x a), αν εφα=5 13
ΑΔΓ/10 Να λυθούν τα συστήματα x y i) x y 6 3 3 3 x y ) 4 1 x y 4 ΑΔΓ/11 Να δείξετε ότι i) συνα συνβ 1+ημα ημβ ιι) συνα β 1+ημα β ΑΔΓ/1 Έστω το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και οι εφα, εφβ ρίζες της εξίσωσης x 015x 015 3 1 0 3 a. Nα δείξετε ότι εφ(α+β)= - 3. Να βρείτε τη γωνία Γ ΑΔΓ/13 Αν ισχύει 3 α+β=, να δείξετε ότι 4 (1+σφα) (1+σφβ)= 14
ΑΔΓ/14 Αν ισχύει α+β=, να δείξετε ότι 3 3 15
Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας α Βασικοί τύποι 1 1 1 1 1 1 1 1, συνα 0 1, α 0 1 16
Ασκήσεις ΔΤ/1 Να αποδείξετε ότι: x x ) συνx=συν 1 1 ii) x x 1 x iii )( ) 1 ) ΔΤ/ Να αποδείξετε ότι: ( ) ) ( ) 4 )3 4 4 8 4 4 ) 1 1 ) 6 6 )4( ) 1 3 ΔΤ/3 Ομοίως 4 4 3 4 5 4 7 3 ) ημ ημ ημ ημ 8 8 8 8 17
4 ) 4 4 4 ) 3 1 ) 1 3 4 ) 4 ΔΤ/4 Να λυθούν οι εξισώσεις x ) συνx+ημ 0 ii x x ) 0 iii) x ( x x) i ) x x 3 x 0 4 x 4 x 1 ) ΔΤ/5 Ομοίως i) x x 1 0 ii) x x 0 x iii) x x i )4 x 3 x 3, στο, 18
ΔΤ/6 Έ η συνάρτηση f(x)=ημ3x x -ημ x συν3x 4 4 α. Να δείξετε ότι f(x)= (ημx-συνx) β. Να δείξετε ότι f(x) f(-x)=συνx γ. Να λύσετε την εξίσωση f x f x= -1 +συνx 4 4 ΔΤ/7 a. Nα δείξετε την ταυτότητα : 3 6. Έστω η συνάρτηση f(x)= 3 x x x 5 3 i) Nα δείξετε ότι f(x)=5+συνx 6 ιι) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης f και την τιμή του x (0,π) που την παρουσιάζει 19