Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Σχετικά έγγραφα
ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

= df. f (n) (x) = dn f dx n


ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

mail:

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

B = F i. (X \ F i ) = i I

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

n = r J n,r J n,s = J

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

lim (f(x + 1) f(x)) = 0.

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ. Ορισμός. S n = a k μερικό άθροισμα, Αν S n S τότε συγκλίνει απλά η σειρά S. a k η. a k. 1 k 2 συγκλίνει. Παράδειγμα: Η σειρά k=1.

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

= f(x) για κάθε x R.

Θεωρία ευστάθειας: Θεωρήματα Lyapunov και επεκτάσεις

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές λύσεις)

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x )

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

2 1, x < 2. f(x) = 3x + 1, x 2. lim. f(x) = lim. x 2. x 1, x < 1. 3x 2 x > 1

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.


JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η Δίνεται η συνάρτηση:

Βέλτιστες προσεγγίσεις σε χώρους

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

Πες το με μία γραφική παράσταση

Transcript:

f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο [a, b]

f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο [a, b] Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι η f(x) ΔΕΝ είναι ομοιόμορφα συνεχής αλλά είναι ΜΟΝΟ απλά συνεχής στο [a, b]. όχι ομοιόμορφα συνεχής ɛ 0 : δ 0 x 0, y 0 : x 0 y 0 < δ 0 f(x 0 ) f(y 0 ) ɛ 0 f(x) συνεχής ɛ > 0 δ(ɛ, y 0 ) : x, x y 0 < δ(ɛ, y 0 ) f(x) f(y 0 ) < ɛ Διαλέγουμε ɛ = ɛ 0 /2 και δ 0 = δ(ɛ 0 /2, y 0 ) οπότε θα πρέπει f(x 0 ) f(y 0 ) < ɛ 0 /2 οπότε έχουμε άτοπο

ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός συνέχειας Cauchy σε ένα υποσύνολο I R πχ I = [a, b] ή [a, ) ή (, b] κλπ lim f(x) = f(ξ) x, ξ I, ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) > 0 : x ξ x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ Ομοιόμορφη συνέχεια ɛ > 0 inf ξ I δ(ɛ, ξ) > 0 πχ f(x) = x, x > 1, f(x) = e x, x [0, 1], f(x) = 1 x 2 + 1, x R

Ορισμός f(x) συνάρτηση Lipschitz f(x) f(y) < K x y f(x) συνάρτηση Lipschitz σε ένα διάστημα f(x) ομοιόμορφα συνεχής πχ Η f(x) = e x είναι Lipschitz σε ένα διάστημα [a, b] f(x) συνεχής Η f(x) = 1 x 2 είναι Lipschitz στο R f(x) συνεχής στο R. + 1

Λήμμα f(x) συνεχής στο ανοικτό διάστημα (a, b) για ξ (a, b) και f(ξ) > 0 δ > 0 : a < ξ δ < x < ξ + δ < b f(x) > 0 Απόδειξη. Απόδ: Για ɛ = f(ξ) δ > 0 : 2 a < ξ δ < x < x + δ < b 0 < f(ξ) 2 < f(x) < 3f(ξ) 2

ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ lim x ξ f(x) = + Cauchy : R > 0, δ : x ξ < δ f(x) > R Heine : x n ξ f(x n ) n n f(x) = lim x ξ Cauchy : R > 0, Heine : x n lim f(x) = l x + Cauchy : ɛ > 0, Heine : x n lim f(x) = l x Cauchy : ɛ > 0, Heine : x n δ : x ξ < δ f(x) < R ξ f(x n ) n n r : x > r f(x) l < ɛ + f(x n ) l n n r : x < r f(x) l < ɛ n f(x n ) n l

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Πλάγια ασύμπτωτη: α 0 και β : lim x α 0 και β : lim x ή (f(x) (αx + β)) = 0 (f(x) (αx + β)) = 0 α = lim x ± f(x) x β = lim x ± (f(x) αx) πχ f(x) = 7 x 2 x + 15

Οριζόντια ασύμπτωτη: β + ή/και β + : lim x ± (f(x) β ±) = 0 πχ f(x) = x 2 + 1 x 2 1

A φραγμένο σύνολο A ΜΗ φραγμένο σύνολο m, M : x A m x M K : x A x K K : x A x > K Θεώρημα Bolzano - Weierstrass A φραγμένο απειροσύνολο Μη φραγμένα σύνολα Bolzano συγκλίνουσα υπακολουθία x nk k N = x n n N A xn n N A μονότονη ΜΗ συγκλίνουσα A ΜΗ φραγμένο σύνολο

Συνεχής εικόνα κλειστού διαστήματος f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα I = [a, b] f(i) φραγμένο σύνολο m M : x I m f(x) M f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα I = [a, b] ξ [a, b] : f(ξ) = min f ([a, b]) = m η [a, b] : f(η) = max f ([a, b]) = M Συμπέρασμα Αν f(x) είναι συνεχής συνάρτηση τότε η εικόνα ενός κλειστού διαστήματος είναι ένα κλειστό διάστημα [a, b] f επί [m, M]

Αποδείξεις f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα I = [a, b] f(i) φραγμένο σύνολο m M : x I m f(x) M Απόδειξη. Εστω f(i) ΜΗ φραγμένο σύνολο y n f(i) μονότονη ΜΗ φραγμένη και y n = f(x n ), x n A, η y n δεν συγκλίνει Bolzano I φραγμένο σύνολο = x n I Επειδή I = [a, b] φραγμένο σύνολο f συνεχής = lim k f (x n k ) συγκλίνουσα υπακολουθία x nk lim x n k = ξ I k Αρα η υπακολουθία y nk = f (x nk ) μιας μονότονης ακολουθίας συγκλίνει lim y n πράγμα άτοπο, δηλαδή f(i) είναι φραγμένο σύνολο. n m = inf f ([a, b]), M = sup f ([a, b])

f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα I = [a, b] ξ [a, b] : f(ξ) = min f ([a, b]) η [a, b] : f(η) = max f ([a, b]) Απόδειξη. Εστω M = sup f ([a, b]), τότε x [a, b] f(x) M x n [a, b] : M 1 n < f(x n) M Weierstrass x nk : lim k x n k lim f(x n) = M n συνέχεια lim f(x n k ) = f(ξ) k κάθε υπακολουθία f(x nk ) της συγκλίνουσας ακολουθίας f(x n ) έχει το ίδιο όριο, δηλαδή f(ξ) = M. Αρα M = max f(i) = ξ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΟΝΟΤΟΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f(x) συνεχής στο [a, b] ΚΑΙ f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f 1 γνήσια αύξουσα/φθίνουσα και συνεχής f(x) συνεχής στο [a, b] ΚΑΙ f(x) αμφιμονότιμη δηλ. f 1 f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα ΚΑΙ f 1 f(x) συνεχής στο [a, b]

f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f(x) αμφιμονότιμη δηλ. f 1 και [a, b] f επί [m, M] f(x) συνεχής στο [a, b]

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΟΝΟΤΟΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ- Αποδείξεις f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f 1 γνήσια αύξουσα/φθίνουσα και συνεχής Απόδειξη. (Απόδειξη με Heine) Βήμα i: f(x) γνήσια αύξουσα στο [a, b] a x < x b m = f(a) f(x) < f(x ) < f(b) = M αν f(a) < y < f(b) Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών x [a, b] y = f(x) το x ορίζεται μονοσήμαντα από το y f 1 και είναι αύξουσα Βήμα ii: Εστω ότι y n f([a, b]) είναι μια αύξουσα ακολουθία και y n η τότε x n = f 1 (y n ) είναι αύξουσα ακολουθία και n φραγμένη (x n [a, b]) οπότε x n ξ. Επειδή η f(x) είναι n συνεχής θα έχουμε f(ξ) = η και επειδή υπάρχει η f 1 τότε ξ = f 1 (η). Δηλαδή f 1 (y n ) f 1 (η). Οπότε n lim f 1 (y) = f 1 (η). y η Βήμα iii: Με τον ίδιο τρόπο, διαλέγουμε μια φθίνουσα ακολουθία y n η και βρίσκουμε ότι f 1 (y n ) f 1 (η). Οπότε n n lim f 1 (y) = f 1 (η). y η+ f 1 είναι συνεχής

f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) αμφιμονότιμη δηλ. f 1 f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα Απόδειξη. Εστω f(a) < f(b) και a < x 1 < x 2 < b Περ. (i) f(x 1 ) ( ή f(x 2 ) ) < f(a) < f(b) Θεώρημα ενδιαμέσου σημείου x 0 [x 1, b] : f(x 0 ) = f(a) x 0 a Ατοπο Περ. (ii) f(a) < f(b) < f(x 1 ) ( ή f(x 2 ) ) Θεώρημα ενδιαμέσου σημείου x 0 [a, x 1 ] : f(x 0 ) = f(b) x 0 b Ατοπο Περ. (iii) f(a) < f(x 2 ) < f(x 1 ) < f(b) Θεώρημα ενδιαμέσου σημείου x 0 [a, x 1 ] : f(x 0 ) = f(x 2 ) x 0 x 2 Ατοπο Η μόνη περίπτωση που μένει είναι: f(a) < f(x 1 ) < f(x 2 ) < f(b)

f(x) γνήσια αύξουσα/φθίνουσα f(x) αμφιμονότιμη δηλ. f 1 και [a, b] f επί [m, M] f(x) συνεχής στο [a, b] Απόδειξη. Εστω f(x) γνήσια αύξουσα, m = f(a) και M = f(b) Εστω ɛ > 0 y 0 ɛ < y 0 < y 0 + ɛ x 1 = f 1 (y 0 ɛ) < x 0 = f 1 (y 0 ) < x 2 = f 1 (y 0 + ɛ) δ(ɛ) = min x 0 x 1, x 2 x 0 x 1 x 0 δ < x < x 0 + δ x 2 y 0 ɛ = f(x 1 ) f(x 0 δ) < f(x) < f(x 0 + δ) f(x 2 ) = y 0 + ɛ f(x) είναι συνεχής συνάρτηση