1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Παίρνουμε ένα ευκολότερο πρόβλημα που θα μας διδάξει πώς να αντιμετωπίσουμε το πιο δύσκολο και μετά το πιο αφηρημένο. Από τη σελίδα 2 έως τη σελίδα 5 έχουμε τις σελίδες 2,3,4,5 δηλαδή 4 σελίδες. Το 4 είναι η διαφορά 5-2 αυξημένη κατά 1. Οπότε από τη σελίδα 32 έως στη σελίδα 75 θα έχουμε 75-32+1=44 σελίδες και από τη σελίδα κ έως στη σελίδα λ θα έχουμε λ-κ+1 σελίδες. 2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. Ο αριθμός 3,4562. 3. Να βρείτε έναν φυσικό αριθμό του οποίου ο αντίστροφός να είναι μικρότερος από το. Ένας αριθμός μικρότερος του είναι ο αριθμός. Άρα ο φυσικός αριθμός 235 είναι μια λύση του προβλήματος. 4. Να επαληθεύσετε με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης σύμφωνα με την οποία (α + β) + γ = α + (β + γ). Για α = 1, β = 2 και γ = 3 έχουμε (α + β) + γ = (1+2) + 3 = 3 +3 = 6 α + (β + γ) = 1 + (2+3) = 1 + 5 = 6 άρα (α + β) + γ = α + (β + γ) 5. Είναι ο αριθμός 1453 πολλαπλάσιο του 23; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Για να είναι ο αριθμός 1453 πολλαπλάσιο του 23 θα πρέπει ο αριθμός 23 να είναι διαιρέτης του αριθμού 1453. Το 1453 όμως δεν διαιρείται ακριβώς με το 23 άρα ο αριθμός 1453 δεν είναι πολλαπλάσιο του 23. 6. Είναι ο αριθμός 123456789 πολλαπλάσιο του 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ο αριθμός 123456789 διαιρείται με το 3 εφόσον το άθροισμα των ψηφίων του 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 διαιρείται με το 3. Άρα ο αριθμός 123456789 πολλαπλάσιο του 3. 7. Γράφουμε όλους του αριθμούς από το 1 έως το 1000. Αν διαγράψουμε όλα τα πολλαπλάσια του 3 και όλα τα πολλαπλάσια του 7 πόσοι αριθμοί απομένουν; Διαιρούμε το 1000 με το 3. Το πηλίκο 333 μας δίνει τα πολλαπλάσια του 3 από το 1 έως το 1000. Επίσης διαιρούμε το 1000 με το 7. Το πηλίκο 142 μας δίνει τα πολλαπλάσια του 7 από το 1 έως το 1000. Τώρα η απάντηση δεν είναι 333 + 142 = 475 γιατί θα πρέπει να αφαιρέσουμε το πλήθος των κοινών πολλαπλασίων τα οποία τα πήραμε δυο φορές. Π.χ. το 21 το μετρήσαμε και ως πολλαπλάσιο του 3 και ως πολλαπλάσιο του 7. Ξεκινώντας από το ΕΚΠ έχουμε: 21, 42, 63,. Τα πολλαπλάσια του 21 από το
1 έως το 1000 θα είναι το πηλίκο της διαίρεσης του 1000 με το 21 δηλαδή 47. Άρα τελικά αφαιρέσαμε 475 47 428 και επομένως θα απομείνουν 1000 428 572 αριθμοί. 8. Να βρείτε το ΕΚΠ και τον ΜΚΔ των αριθμών 1000 και 1500. Να βρείτε όλους τους διαιρέτες του 1500 οι οποίοι βρίσκονται ανάμεσα από το 12 και το 80. 1000 2 5 1500 2 3 5.. 1000,1500 2 5 4 125 500.. 1000,1500 2 3 5 8 3 125 3000 Έχουμε 1500 2 3 5 2 2 3 5 5 5 Διαιρέτες του 1500 είναι οι παράγοντες του γινομένου 2 2 3 5 5 5 και οποιοδήποτε αριθμοί προκύπτουν ως γινόμενο ορισμένων από αυτούς του παράγοντες. Θέλουμε όμως οι διαιρέτες να βρίσκονται ανάμεσα από το 12 και το 80. Οι λύσεις είναι: 2 2 3 560 3 5 15 5 5 25 3 5 575 2 5 550 2 3 530 9. Να βρείτε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων 3 4 2 4 5163 3 4 2 20 16 3 3 4 2 7 3 162 7 48 14 62 2 16 36 6 12 11 2 3 2 16 6 1 2 3 2 101 2 3 16 1012 9 160118 177
3 2 33611 8 3 2 33618 3 2 327 3 8327 24327 0 3 2 64 2 31 1 3 2 32 31 1 3 2 1 1 3 811 2411 22 10. Είναι το άθροισμα δυο πρώτων αριθμών αναγκαστικά πρώτος αριθμός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Όχι. Το άθροισμα των πρώτων αριθμών 3 και 5 είναι 8 που δεν είναι πρώτος αριθμός. Μάλιστα αν οι πρώτοι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι του 2, είναι και οι δυο περιττοί και επομένως το άθροισμα του είναι άρτιος και άρα σύνθετος αριθμός (δηλ. όχι πρώτος). Στην περίπτωση που ο ένας αριθμός είναι το 2, τότε εξαρτάται από τον άλλο αριθμό. Το 2 + 11 = 13 είναι πρώτος ενώ το 2 + 13 = 15 δεν είναι πρώτος. 11. Να βρείτε ένα διψήφιο πρώτο αριθμό ο οποίος έχει την ιδιότητα αν εναλλάξουμε τα ψηφία του ο αριθμός που προκύπτει να είναι πάλι πρώτος αριθμός. Το 13 είναι ένας τέτοιος αριθμός. Πραγματικά και το 31 είναι πρώτος αριθμός. 12. Να βρείτε έναν αριθμό που αν διαιρεθεί με το 3 να αφήνει υπόλοιπο 2. Σύμφωνα με την Ευκλείδεια διαίρεση έχουμε Δ = δ. π + υ. Άρα Δ = 3. π + 2. Τώρα για π = 4 παραδείγματος χάριν Δ = 3. 4 + 2 = 14. Το πρόβλημα έχει προφανώς άπειρες λύσεις οι οποίες προκύπτουν για τις διάφορες τιμές του φυσικού αριθμού π. 13. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις 183 4 33 4 4 2 16273 183 4 33 82 16273 1894 33 83216279 212242337 18 12 8 376 6 8 31 3624159
9 8 4 336 3 6 34 25 6 4 11 1 12 108 6 34 25 24 11 1 1206 34 111 11206 34 111 1 120 18 4 11 132 22 110. 14. Να βρείτε τον αντίστροφο του αριθμού Α αν.. Άρα ο αντίστροφος του αριθμού Α είναι ο. 15. Αν x = και y = 33 x +1, ανάμεσα από ποιους δυο φυσικούς αριθμούς βρίσκεται το 4.y; x = άρα y = 33 +1 = + = = άρα 4.y = 4 είναι ανάμεσα από τους φυσικούς αριθμούς 110 και 111. = 110,666 οπότε αριθμός x 16. Να τοποθετήσετε τους αριθμούς, και στον ίδιο άξονα των αριθμών. -1 0 1/5 2/3 1 7/4 2 3 4 Χωρίζω το τμήμα από το 0 έως 1 σε τρία αλλά και σε πέντε κομμάτια και το τμήμα από το 1 στο 2 σε τέσσερα κομμάτια. Το. 17. Να εξετάσετε αν ισχύει ότι =, και. + = Άρα 18. Να εξετάσετε αν ισχύει ότι < 0,428. 0,42857 οπότε > 0,428 19. Να βρείτε έναν δεκαψήφιο αριθμό ο οποίος διαιρείται με το 7. Ο αριθμός 7777777777 20. Να βρείτε την τιμή του ώστε τα κλάσματα και να είναι ισοδύναμα. άρα το x + 1 θα πρέπει να είναι 5 δηλαδή x = 4.
21. Αν οι όροι ενός κλάσματος είναι πρώτοι αριθμοί είναι το κλάσμα αναγκαστικά ανάγωγο; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Έστω ένα κλάσμα όπου p και q είναι πρώτοι αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους. Τότε ο p εφόσον είναι πρώτος διαιρείται μόνο με το1 και το p. Ομοίως ο q εφόσον είναι πρώτος διαιρείται μόνο με το1 και το q. Άρα ο μόνος κοινός διαιρέτης του p και του q είναι το 1 και επομένως το κλάσμα είναι ανάγωγο. Αν οι πρώτοι αριθμοί είναι ίσοι π.χ τότε το κλάσμα δεν είναι ανάγωγο. Γενικά το κλάσμα δεν είναι ανάγωγο διότι δύναται να απλοποιηθεί περαιτέρω (οπότε μας δίνει 1). 22. Αν ένα κλάσμα είναι ίσο με το αντίστροφό του τι συμπεραίνετε για το κλάσμα; Ότι είναι ίσο με 1. Στη γενική περίπτωση αν. 23. Να συγκρίνετε τα κλάσματα και του. Άρα 1 διότι ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή του. 24. Αν να συγκρίνετε τα κλάσματα 1 άρα. Επειδή τα κλάσματα 1 διότι ο αριθμητής του είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. και. και είναι αυτό που έχει τον μεγαλύτερο αριθμητή δηλαδή το κλάσμα έχουν τον ίδιο παρονομαστή μεγαλύτερο θα 25. Δίνεται το κλάσμα. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του για την οποία το εν λόγω κλάσμα είναι μικρότερο από το.. Το κλάσμα είναι ίσο με όταν είναι δηλαδή όταν x = 1. Εδώ εννοούμε τη μέγιστη τιμή στο σύνολο των φυσικών εφόσον βρισκόμαστε στο κεφάλαιο 2 (κακώς όμως δεν το γράψαμε ρητώς «τη μέγιστη φυσική τιμή του x για την οποία» Άρα x = 0. 26. Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς και για τους οποίους =. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Παρατηρούμε ότι μια προφανής λύση είναι κ = 4 και λ =4 εφόσον =. Άρα αν τα κ και λ είναι και τα δύο μεγαλύτερα από 4 θα έχουμε. Για κ = 2 έχουμε = ή 0 το οποίο δεν ισχύει για καμία τιμή του λ. Αν κ = 3 θα έχουμε = οπότε = ή = το οποίο μας δίνει = και επομένως λ = 6. Επειδή η εξίσωση = είναι συμμετρική ως προς κ και λ δηλαδή αν εναλλάξουμε τα κ και λ δεν αλλάζει η εξίσωση θα έχουμε και τη λύση κ = 6 και λ =3.
27. Να βρείτε τρεις φυσικούς αριθμούς, και για τους οποίους + =. Η πιο εύκολη περίπτωση είναι κ = λ = μ = 6, οπότε + = =. Το δίδαγμα εδώ είναι ότι τα κ, λ και μπορεί να είναι ίσα παρότι λέμε τρεις αριθμοί (έχουν και οι μαθηματικοί την τρέλα τους!). Για να βρείτε άνισους αριθμούς, μόνο με δοκιμές μπορείτε να το πετύχετε προς ο παρόν αν είσαστε τυχεροί! Μια λύση είναι κ = 4, λ = 6 και μ = 12. Πράγματι, + = + = =. 28. Να δώσετε ένα παράδειγμα για να αποδείξετε ότι αν προσθέσουμε και στους δύο όρους ενός κλάσματος τον ίδιο αριθμό δεν προκύπτει αναγκαστικά κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό. Έστω το κλάσμα. Αν προσθέσουμε και στους δύο όρους του κλάσματος το 1 θα προκύψει το κλάσμα το οποίο δεν είναι ισοδύναμο με το διότι 2 41 5. Εδώ στην ουσία έχουμε επαληθεύσει και όχι αποδείξει την εν λόγω πρόταση. Η απόδειξη έχει ως εξής: Έστω ένα κλάσμα. Αν προσθέσουμε και στους δύο όρους του κλάσματος το μ θα προκύψει το κλάσμα. Είναι ίσα τα κλάσματα; Για να δούμε τα χιαστί γινόμενα. Από τη μια μεριά θα έχουμε 1 το οποίο λόγω της επιμεριστικής ιδιότητας ισούται με 1. Από την άλλη μεριά θα έχουμε 1 1. Είναι τα και ίσα; Το είναι ίσο με το (αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού). Άρα δηλαδή αν το αρχικό κλάσμα έχει ίσο αριθμητή και παρανομαστή. Μόνο σε αυτή την περίπτωση αν προσθέσουμε και στους δύο όρους του κλάσματος τον ίδιο αριθμό προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό. 29. Αν και να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. 16 6 2 38 19 16 12 2 6 3 2 1 9812, οπότε 3 3 3 3 6 3 6 2 6 3 2 6 3 6 3 6 2 6 6 6 3 6 3 6 2 0 6 3 36 3 6 4 0 108 72 36. Σηµείωση: Στον υπολογισμό 0 6 παραβιάσαμε την προτεραιότητα πράξεων η οποία μας υπαγορεύει να βρούμε πρώτα το 6 (πράγμα επίπονο και μάταιο) και μετά να πολλαπλασιάσουμε με το 0. Ότι και να είναι όμως το 6 πολλαπλασιαζόμενο με το 0 θα μας δώσει μηδέν και επομένως δεν χρειάζεται να κάνουμε την ύψωση. 30. Να βρείτε όλες τις τιμές του φυσικού αριθμού, ώστε. Επειδή 1 οι ζητούμενες τιμές του φυσικού αριθμού είναι 0, 1, 2, 3, 4. 31. Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων (α) +) (β) (γ) ) )
(α) 30 +)2 2 30+ )2 302 =. (β) 62 1 162 162 17 (γ) 2 3 1 ) 16 = 16 =. 5. ) = 2 2 ) = 2 2 = 2 8 = 32. Αν, και, να επαληθεύσετε την επιμεριστική ιδιότητα σύμφωνα με την οποία ισχύει ότι 2 7 3 2 3 2 7 9 3 2 3 2 7 11 3 2 7 32 7 2 3 6 7 4 21 Αρα 22 21 18 21 4 22 21 21 33. Να βρείτε δύο ετερόσημους ακεραίους που έχουν άθροισμα. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν; Μπορείτε να δικαιολογήσετε την απάντησή σας; Από το παρακάτω μοτίβο συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν άπειρα ζευγάρια. 1 4 3 2 5 3 3 6 3 4 7 3 34. Να βρείτε δύο ετερόσημους ακεραίους που έχουν διαφορά. 1 2 1 2 3 Η ιδέα είναι να πάρετε δυο ετερόσημους αριθμούς που απέχουν 3 και να αφαιρέσετε τον μεγαλύτερο από τον μικρότερο. 35. Αν a = 1 2 3 και β = 3 2 3, να εξετάσετε αν ισχύει η σχέση α β > 1. a = 1 2 3 = 1 3 = 4 = 4 β = 3 2 3 = 3 6 = 3 = 3 α β > 1 4 3 > 1 4 3> 1 1> 1 Ισχύει.
36. Να βρείτε το x στις παρακάτω περιπτώσεις (α) x = 3, (β) x = 4, (γ) x + 1 = 5. (α) x = 3 (Η άσκηση μας ρωτάει να βρούμε τον αριθμό που έχει απόλυτη τιμή 3). Έχουμε δυο λύσεις το 3 και το 3. (β) x = 4 (Η άσκηση μας ρωτάει να βρούμε τον αριθμό που έχει απόλυτη τιμή -4). Δεν υπάρχει διότι η απόλυτη τιμή εκφράζει την απόσταση ενός αριθμού από το μηδέν και είναι πάντοτε μη αρνητικός αριθμός. (γ) x + 1 = 5. Εδώ πρέπει να βρούμε την τιμή του, έτσι ώστε ο αριθμός 1 να απέχει από το μηδέν 5. Οι αριθμοί που απέχουν από το μηδέν 5 είναι ο 5 και ο 5. Άρα θα πρέπει 15 ή 15. Στην πρώτη περίπτωση το χ πρέπει να είναι 4 και στην δεύτερη 6. Στο δεύτερο τρίμηνο θα ασχοληθούμε συστηματικά με την επίλυση τέτοιων εξισώσεων. 37. Αν a =+ 3, b = 5 και c = 1, d =+ 2 να επαληθεύσετε ότι ισχύουν οι ισότητες ( a+ b) ( c+ d) = ac + ad + bc + bd και ( a b) ( c d) = a c a d b c+ b d ( a+ b) ( c+ d) = ac + ad + bc + bd [( + 3) + ( 5)] [( 1) + ( + 2)] = ( + 3) ( 1) + ( + 3) ( + 2) + ( 5) ( 1) + ( 5) ( + 2) ( 2) ( + 1) = ( 3) + ( + 6) + ( + 5) + ( 10) 2 = ( + 3) + ( 5) 2= 2 ( a b) ( c d) = a c a d b c+ b d [( + 3) ( 5)] [( 1) ( + 2)] = ( + 3) ( 1) ( + 3) ( + 2) ( 5) ( 1) + ( 5) ( + 2) [( + 3) + ( + 5)] [( 1) + ( 2)] = ( 3) ( + 6) ( + 5) + ( 10) ( + 8) ( 3) = 3 6 5 10 24 = 24 38. Να βρείτε το άθροισμα 1 2 + 3 4 + 5 6 +... + 999 1000 (Θα διευκολυνθείτε αν παρατηρήσετε κάτι αντί να κάνετε τυφλά πράξεις). 1 2 + 3 4 + 5 6 +... + 999 1000 = (1 2) + (3 4) + (5 6) +... + (999 1000) = ( 1) + ( 1) + ( 1) +... + ( 1) = 500 ( 1) = 500 39. Αν x = 3 3 (4 5), y = ( 1 2) 1 3 ( 1 1), να βρείτε την τιμή της παράστασης 3 3 x 2 (προσέξτε η απόλυτη τιμή περιέχει μέσα και άλλη απόλυτη τιμή είναι σαν να έχουμε παρένθεση μέσα σε παρένθεση). x = 3 3 (4 5) = 3 3 ( 1) = 3+ 3= 0 y = ( 1 2) 1 3 ( 1 1) = ( 3) 1 3 ( 2) = 3 1+ 6 = 4 + 6 =+ 2 3 3 x 2 y = 3 3 0 2 2 = 3 0 4 = 3 4 = 3 4 = 1 = 1 y
40. Να βρείτε την τιμή της παράστασης 1 2 ( 1 5) + 4 ( 3 3) ( 9 + 12) 1 2 ( 1 5) + 4 ( 3 3) ( 9 + 12) = 1 2 ( 6) + 4 ( 6) + ( 3) = 1+ 12 72= 13 72 = 59