Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με τις ιεραρχικές συναρτήσεις βάσης στις -διαστάσεις, οι οποίες κατασκευάζονται με τη βοήθεια στοιχειωδών (elementlevel) συναρτήσεων βάσης. Αυτές δημιουργούνται μέσω αποικονίσεων του στοιχείου αναφοράς (reference element), το οποίο μπορεί να είναι τρίγωνο ή τετράπλευρο, σε κάθε στοιχείο του πλέγματος (βλ. Σχήμα 4.1). Σχήμα 4.1: Το στοιχείο Ω (αριστερά) και το στοιχείο αναφοράς Ω ST (δεξιά). Ο χώρος πεπερασμένων στοιχείων ορίζεται σαν το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων οι οποίες όταν απεικονιστούν από το στοιχείο του πλέγματος στο στοιχείο αναφοράς, είναι πολυώνυμα κάποιου βαθμού. 4.1 Ιεραρχικές συναρτήσεις βάσης για τετράπλευρα Για τετράπλευρα στοιχεία, ορίζουμε το στοιχείο αναφοράς ΩST ως, : 1, 1 ( 1,1) ST

(βλ. Σχ. 4.1) και ονομάζουμε τις κορυφές και τις πλευρές του όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.. Σχήμα 4.: Το στοιχείο (τετράγωνο) αναφοράς Ω ST. Ορίζουμε, επίσης, τους χώρους πολυωνύμων ST :, 0,1,...,, αν 1, αν p j p p S span j p j p p p, ST : 0,1,...,, 0,1,..., p, q j S span p j q, pq, p p, q S S S. ST ST ST Το πιο κάτω σχήμα δείχνει κάποια παραδείγματα των πιο πάνω πολυωνυμικών χώρων μαζί με τις συναρτήσεις που περιέχουν. Σχήμα 4.3: Παραδείγματα των πολυωνυμικών χώρων.

3 Ορίζουμε τώρα τις ιεραρχικές συναρτήσεις βάσης οι οποίες είναι ιδανικές για τις εκδοχές p και hp της ΜΠΣ και χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: κομβικές, πλευρικές και εσωτερικές συναρτήσεις βάσης. Κομβικές συναρτήσεις βάσης: Έχουμε τέσσερεις τέτοιες (η κάθε μια ισούται με 1 σε μια κορυφή του τετραπλεύρου και με 0 στις άλλες) 1 1 N1(, ) (1 )(1 ), N(, ) (1 )(1 ). 4 4 1 1 N3(, ) (1 )(1 ), N(, ) (1 )(1 ), 4 4 (βλ. Σχ. 4.4). Ν 1(ξ, η) Ν (ξ, η) Ν 3(ξ, η) Ν 4(ξ, η) Σχήμα 4.4: Οι τέσσερεις κομβικές συναρτήσεις βάσης Πλευρικές συναρτήσεις βάσης: Έχουμε 4(p 1) τέτοιες συναρτήσεις όταν p. Για τη πλευρά (1), έχουμε (p 1) συναρτήσεις που ορίζονται ως N (, ) (1 ) ( ),,..., p, (1) 1 όπου, με P(t) το βαθμού πολυώνυμο Legendre,

4 1 ( ) P 1( t) dt. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.5, οι συναρτήσεις αυτές μηδενίζονται κατά μήκος των τριών άλλων πλευρών του ΩST ενώ είναι πολυώνυμα βαθμού p στη πλευρά (1). 1 N (1) (, ) N (1) (, ) N (1) (, ) 3 4 N (1) (, ) N (1) (, ) N (1) (, ) 5 6 7 Σχήμα 4.5: Οι πρώτες 6 πλευρικές συναρτήσεις βάσης για τη πλευρά (1). Για τη πλευρά (), έχουμε και παρομοίως ορίζουμε και τις N (, ) (1 ) ( ),,..., p () 1 N (, ), N (, ) για τις άλλες δύο πλευρές. (3) (4) Εσωτερικές συναρτήσεις βάσης: Αυτές εξαρτώνται από τον υπόχωρο. Για τον S p (ΩST) έχουμε ½(p )(p 3), p 4, τέτοιες συναρτήσεις: N (, ) ( ) ( ), N (, ) ( ) ( ), N (, ) ( ) ( ), (0) (0) (0) 1 3 3 3 N (, ) ( ) ( ), N (, ) ( ) ( ), N (, ) ( ) ( ),. (0) (0) (0) 4 4 5 3 3 3 4

5 Ο άνω δείκτης χρησιμοποιείται για να δείξει ότι μιλάμε για τις εσωτερικές συναρτήσεις βάσης οι οποίες μηδενίζονται στο σύνορο του ΩST (βλ. Σχήμα 4.6). (0) N1 (, ) (0) N (, ) Σχήμα 4.6: Κάποιες από τις εσωτερικές συναρτήσεις βάσης. (0) N5 (, ) 4. Ιεραρχικές συναρτήσεις βάσης για τρίγωνα Για τριγωνικά στοιχεία, ορίζουμε το στοιχείο αναφοράς Σχήματος 4.7: t ST ως το ισόπλευρο τρίγωνο του Οι χώροι πολυωνύμων στο Σχήμα 4.7: Το τριγωνικό στοιχείο αναφοράς t ST ορίζονται ως t ST. ST : 0,1,...,, 0,1,..., p t j S span p j p, ST :, 0,1,..., p, p t j S span j p. Για να απλοποιήσουμε το συμβολισμό, ορίζουμε τις βαρυκεντικές συναρτήσεις L 1 1 1(, ) 1, (, ) 1, 3(, ) 3 L 3 L 3

6 και παρατηρούμε ότι L1 (, ) L (, ) L3 (, ) 1 με L 1 στη κορυφή του t ST, ενώ L 0 στη πλευρά απέναντι από τη κορυφή. Κομβικές συναρτήσεις βάσης: Έχουμε 3 τέτοιες, τις L1 (, ), L (, ), L3 (, ). Πλευρικές συναρτήσεις βάσης: Για το χώρο p t S ST υπάρχουν 3(p 1) τέτοιες συναρτήσεις όταν p, οι οποίες συμπίπτουν με τις πλευρικές συναρτήσεις βάσης για τετράπλευρα σε κάθε πλευρά του τριγώνου αναφοράς (ενώ είναι μηδέν στις δύο άλλες πλευρές). Ορίζουμε τις συναρτήσεις j ( ), j,..., p έτσι ώστε 1 j( ) (1 ) j( ), j,..., p 4 j 1 όπου j( ) Pj 1( t) dt (με Ρj το βαθμού j πολυώνυμο Legedre όπως και πριν). Για 1 παράδειγμα, ( ) 6 (έτσι ώστε 1 ( ) (1 ) 6 ), 3 4 ( ) 10, 7 4( ) 5 1, κ.λ.π. Τότε, για τη πλευρά (1), οι συναρτήσεις βάσης είναι 8 (1) N (, ) L L L L,,..., p 1 1 όπου L(, ) L1(, ) (βλ. Άσκηση 4.1), άρα (1) 1 N (, ) L (, ) L (, ),,..., p. Για τη πλευρά () () N (, ) L L L L,,..., p 3 3 και ο ορισμός των N (3) (, ) είναι ανάλογος. Στο Σχήμα 4.8 δείχνουμε τη γραφική παράσταση των N (1) (, ),,...,5. Σχήμα 4.7: Οι πρώτες 4 πλευρικές συναρτήσεις βάσης για τη πλευρά (1).

7 Εσωτερικές συναρτήσεις βάσης: Για το χώρο p t S ST έχουμε ½(p 1)(p ), όταν p 3, τέτοιες συναρτήσεις. Η πρώτη είναι N (, ) L (, ) L (, ) L (, ). (0) Οι υπόλοιπες ορίζονται μέσω της σχέσης (, ) p 1 3 N (, ) L (, ) L (, ) L (, ) P L (, ) L (, ) P L (, ) L (, ) 1 3 1 3 1 για, 0,1,..., p 3 και p 3. Για παράδειγμα, αν p = 4, τότε = 0, 1, 0,1 και έχουμε N : N (, ) L (, ) L (, ) L (, ) P L (, ) L (, ) P L (, ) L (, ) (0) (0,0) 1 4 1 3 0 1 0 3 1 L (, ) L (, ) L (, ), 1 3 N : N (, ) L (, ) L (, ) L (, ) P L (, ) L (, ) P L (, ) L (, ) (0) (0,1) 4 1 3 1 1 0 3 1 L (, ) L (, ) L (, ), 1 3 N : N (, ) L (, ) L (, ) L (, ) P L (, ) L (, ) P L (, ) L (, ) (0) (1,0) 3 4 1 3 0 1 1 3 1 L (, ) L (, ) L (, ) L (, ) L (, ). 1 3 3 1 Στο Σχήμα 4.9 δείχνουμε τη γραφική παράσταση των N (0) (, ), 1,,3. Σχήμα 4.9: Οι πρώτες 3 εσωτερικές συναρτήσεις βάσης για τρίγωνα. 4.3 Στοιχειώδεις απεικονίσεις Στη 1-διάσταση το κάθε στοιχείο του πλέγματος απεικονίζεται από το στοιχείο αναφοράς (και πίσω) μέσω των απεικονίσεων (3.3), (3.4) (οι οποίες είναι γραμμικές μια και τα στοιχεία είναι υποδιαστήματα). Στις -διαστάσεις, τα στοιχεία είναι τρίγωνα ή τετράπλευρα και έτσι οι απεικονίσεις τους είναι πιο πολύπλοκες.

8 Έστω X, Y οι συντεταγμένες της κορυφής του τριγωνικού ή τετράπλευρου στοιχείου και έστω x Q (, ), y Q (, ), η απεικόνιση του από το στοιχείο αναφοράς, αν είναι τετράπλευρο, και η απεικόνιση του αν είναι τρίγωνο. x Q ( L, L, L ), y Q ( L, L, L ), 1 3 1 3 Αν όλες οι πλευρές του στοιχείου είναι ευθείες τότε οι απεικονίσεις θα είναι γραμμικές. Για τετράπλευρα, έχουμε ( x) 1 1 1 1 x Q (, ) (1 )(1 ) X1 (1 )(1 ) X (1 )(1 ) X 3 (1 )(1 ) X 4, 4 4 4 4 ( y) 1 1 1 1 y Q (, ) (1 )(1 ) Y1 (1 )(1 ) Y (1 )(1 ) Y3 (1 )(1 ) Y4, 4 4 4 4 και για τρίγωνα x Q ( L, L, L ) L X L X L X, ( x) ( y) 1 3 1 1 3 3 y Q ( L, L, L ) L Y L Y L Y. 1 3 1 1 3 3 Παράδειγμα 4.1: Έστω Ω ένα τετράπλευρο στοιχείο με κορυφές τα σημεία (0, 0), (3, 0), (3, 5) και (0, 3). Θα βρούμε τις απεικονίσεις x Q (, ), y Q (, ) οι οποίες μετατρέπουν το (τετραγωνικό) στοιχείο αναφοράς ΩST στο Ω, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Σχήμα 4.10: Η απεικόνιση του στοιχείου αναφοράς στο στοιχείο Ω.

9 Έχουμε X 0, Y 0, X 3, Y 0, X 3, Y 5, X 0, Y 3 1 1 3 3 4 4 άρα χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες παραστάσεις, βρίσκουμε ( x) 3 3 x Q (, ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 4 ( y) 5 3 y Q (, ) (1 )(1 ) (1 )(1 ). 4 4 Πράγματι, βάσει των πιο πάνω, το σημείο, π.χ., ξ = 1, η = 1 αντιστοιχεί στο x = 0, 3 y (1 ( 1))(1 1) 3. (Ελέγξτε και τα υπόλοιπα σημεία.) 4 Τι γίνεται όμως αν κάποια πλευρά του στοιχείου είναι καμπύλη; Η απάντηση είναι χρησιμοποιούμε τη εναρμονιστική μέθοδο (blendng map method). Για παράδειγμα, έστω ότι μια πλευρά είναι καμπύλη και οι υπόλοιπες είναι ευθείες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.11. Σχήμα 4.11: Το στοιχείο Ω με μια καμπύλη πλευρά που χαρακτηρίζεται από παραμετρικές εξισώσεις. Δίδονται, επίσης, οι εξισώσεις της διακεκομμένης γραμμής. Οι καμπύλη x x( ), y y( ) δίδεται σε παραμετρική μορφή έτσι ώστε x ( 1) X, x (1) X, Τότε έχουμε την απεικόνιση 3 y ( 1) Y, y (1) Y. 3 1 1 1 1 x (1 )(1 ) X (1 )(1 ) X (1 )(1 ) X (1 )(1 ) X 4 4 4 4 1 1 1 x( ) X X 3. 1 3 4 Παρατηρούμε ότι οι πρώτοι 4 όροι είναι οι ίδιοι με αυτούς της γραμμικής απεικόνισης. Ο πέμπτος όρος είναι το γινόμενο μεταξύ της διαφοράς της συνάρτησης x(η) και των x-

10 συντεταγμένων της γραμμής που ενώνει τα (X, Y), επί τη γραμμική συνάρτηση (1 + ξ)/ η οποία είναι ίση με 1 στη πλευρά () και με 0 στη πλευρά (4) (βλ. Σχ. 4.11). Μετά από απλοποιήσεις παίρνουμε 1 1 1 x (1 )(1 ) X1 (1 )(1 ) X 4 x( ). 4 4 Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε 1 1 1 y (1 )(1 ) Y1 (1 )(1 ) Y4 y( ). 4 4 Στη γενική περίπτωση που όλες οι πλευρές του στοιχείου είναι καμπύλες, έχουμε όπου Q 1 1 1 1 x x x x x Q 1 1 1 1 y y y y y Q ( x) (1 ) 1( ) (1 ) ( ) (1 ) 3( ) (1 ) 4( ) (, ) ( y) (1 ) 1( ) (1 ) ( ) (1 ) 3( ) (1 ) 4( ) (, ) (, ), Q (, ) οι γραμμικές απεικονίσεις και x ( ), y ( ), 1,3, x ( ), y ( ), j,4, οι παραμετρικές συναρτήσεις που ορίζουν τις καμπύλες/πλευρές του j στοιχείου. j ( ) ( ) Σημειώνουμε ότι η αντίστροφη απεικόνιση Q ( x, y), Q ( x, y) δεν μπορεί να υπολογιστεί εκ των προτέρων αναλυτικά. Μπορούμε, όμως, να υπολογίσουμε τα ξ, η για κάθε x, y χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Newton για την αριθμητική επίλυση μη-γραμμικών συστημάτων. Παράδειγμα 4.: Έστω Ω το στοιχείο του πιο κάτω σχήματος. Θα βρούμε τις απεικονίσεις που μετατρέπουν το στοιχείο αναφοράς στο Ω. Παραμετρικοποιούμε τις καμπύλες που ορίζουν τις πλευρές () και (4), ξεκινώντας με τη πλευρά (): x r cos, y r sn, [0, / 6]. o o

11 (1 ) Εστω έτσι ώστε 6 x ( ) r cos (1 ) /1, [ 1,1] o y ro 3 r ( ) sn (1 ) /1, [ 1,1] o και x (1), y (1) r,, x ( 1), y ( 1) r,0 o αντίστοιχα. Με τον ίδιο τρόπο, Οι κορυφές X, Y, = 1,, 4 είναι 4 I y4 ri x ( ) r cos (1 ) / 8, [ 1,1]. ( ) sn (1 ) / 8, [ 1,1] o αντιστοιχούν στις κορυφές 3 και, X r, X r, X cos( / 6) r r 3 /, X r / 1 I o 3 o o 4 I Y 0, Y 0, Y r /, Y r /. 1 3 o 4 Η απεικόνιση (για το x) δίδεται από I 1 1 1 1 x (1 )(1 ) X (1 )(1 ) X (1 )(1 ) X (1 )(1 ) X 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 x( ) X X 3 x4( ) X1 X 4. 1 3 4 Αντικαθιστούμε τα X, = 1,, 4 και μετά από απλοποιήσεις βρίσκουμε Με τον ίδιο τρόπο 1 1 x x x Q ( x) ( ) 4( ) (, ). 1 1 y y y Q ( y) ( ) 4( ) (, ). Παρατήρηση 4.1: Όταν υπολογίζουμε τα στοιχεία των πινάκων ακαμψίας και μάζας (όπως και τα στοιχεία του διανύσματος φορτίου) πρέπει να υπολογίσουμε ολοκληρώματα της μορφής I g( x, y) dxdy, όπου Ω το στοιχείο και g κάποια συνάρτηση (π.χ. το γινόμενο δύο συναρτήσεων βάσης). Χρησιμοποιώντας την αλλαγή μεταβλητών x Q (, ), y Q (, ), έχουμε

1 I g Q Q J dd, ST ( (, ), (, )) det όπου det J η απόλυτη τιμή της ορίζουσας του Ιακωβιανού πίνακα (Jacoban matrx) x/ y/ J x/ y/. Τα ολοκληρώματα I υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση. p 4.4 Ο χώρος S,, Q στις -διαστάσεις Εντελώς ανάλογα με τη 1-διάσταση, θα ορίσουμε το χώρο πεπερασμένων στοιχείων p S,, Q. Συμβολίζουμε με Ω το χωρίο, Δ το πλέγμα, p τους βαθμούς των πολυωνύνων βάσης και με Q Q (, ), Q (, ) τις απεικονίσεις των στοιχείων. Απαιτούμε ότι το πλέγμα Δ αποτελείται από Μ στοιχεία (τρίγωνα ή τετράπλευρα) με μόνο κανονικά κομβικά σημεία. Σχήμα 4.1: Πλέγμα με μή-κανονικά κομβικά σημεία (αριστερά) και κανονικό πλέγμα (δεξιά). Τότε, με Β(, ) τη διγραμμική μορφή του προβλήματος μας, έστω ο χώρος ενέργειας και έστω προηγούμενες ενότητες. Ορίζουμε E( ) u : B( u, u) p S ένας από τους χώρους πολυωνύμων που είδαμε στις S Q u E u Q Q S M. p p (,, ) ( ) : (, ), (, ), 1,..., p Το διακριτό πρόβλημα είναι: να βρεθεί η u S (,, Q) τέτοια ώστε FE p B( u, w) F( w) w S (,, Q) FE

13 όπου Β(, ), F( ) η διγραμμική μορφή και το γραμμικό συναρτησιακό, αντίστοιχα, του προβλήματός μας. Στη συνέχεια θα παραθέσουμε συνοπτικά (χωρίς αποδείξεις) την εκτίμηση σφάλματος για την εκδοχή hp της ΜΠΣ (στις -διαστάσεις), η οποία δείχνει το ρυθμό σύγκλισης και των δύο άλλων εκδοχών. Θα θεωρήσουμε μόνο τη περίπτωση που το πλέγμα είναι σχεδόν/οιονεί ομοιόμορφο (quas-unform), δηλ. hmax, 0, h j όπου hj το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς του στοιχείου j και hmax το μέγιστό τέτοιο μήκος. Επίσης, θα υποθέσουμε ότι οι βαθμοί των πολυωνύμων βάσης είναι οι ίδιοι για όλα τα στοιχεία, ας πούμε p. Τότε υπάρχει σταθερά C > 0 ανεξάρτητη των u, h, p τέτοια ώστε. Αν όπου mn p 1, εξής: u u u Ch p u, FE, C 1 ( 1) 1, max,, τότε η πιο πάνω εκτίμηση σφάλματος δείχνει τα Η εκδοχή h της ΜΠΣ συγκλίνει με αλγεβρικό ρυθμό. Η εκδοχή p της ΜΠΣ συγκλίνει με φασματικό ρυθμό. Όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 7, για πολλά πρακτικά προβλήματα η λύση δεν είναι τόσο ομαλή (π.χ. uh ( )) και η πιο πάνω εκτίμηση δεν ισχύει. Εν πάσει περιπτώση, έχουμε μια εκ-των-προτέρων εκτίμιση σφάλματος που δείχνει το ρυθμό σύγκλισης και των τριών εκδοχών.

14 Ασκήσεις: 4.1 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των βαρυκεντρικών συναρτήσεων L (, ), 1 L (, ), L (, ), όπου τα ξ, η παίρνουν τιμές στο τρίγωνο αναφοράς 3 t ST (βλ. Σχ. 4.7). 4. Να δείξετε ότι L(, ) L1(, ) και να βρείτε ανάλογες εκφράσεις για τα L (, ) L (, ) και L1(, ) L3(, ). Για παράδειγμα, η συνάρτηση L3(, ) L(, ) 3 δίνει τιμές από το 1 (στη κορυφή ) μέχρι το 1 (στη κορυφή 3) και μηδενίζεται στο μέσο της πλευράς απέναντι από την κορυφή 1. 4.3 Έστω Ω t το τριγωνικό στοιχείο με κορυφές τα σημεία (0,0), (, 3), (1, 4). Να βρείτε τις απεικονίσεις που μετατρέπουν το τρίγωνο αναφοράς στο Ω t. 4.4 Να βρείτε τις απεικονίσεις x Q (, ), y Q (, ) για το τετράπλευρο στοιχείο που φαίνεται πιο κάτω, χρησιμοποιώντας την εναρμονιστική μέθοδο. Η καμπύλη πλευρά δίνεται από τις εξισώσεις x x( ), y y( ), στις οποίες οι συναρτήσεις x( ), y( ) είναι δευτεροβάθμια πολυώνυμα τα οποία πρέπει να βρείτε. (Υπόδειξη: Με (, ) x τη γραμμική 1 1 1 απεικόνιση για το x, x x(, ) x( ) X X 3 και ανάλογα για το y.) 4.5 Με L (, ), 1 L(, ), L3(, ) τις βαρυκεντρικές συναρτήσεις, να δείξετε (Υπόδειξη: Μετατρέψτε το τρίγωνο αναφοράς j! j!! L1 LL3 dd 3. t ( j )! ST (0, 0), (1, 0), (0, 1) και ολοκληρώστε κατά μέρη επανειλημμένα.) t ST στο ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές