Κεφάλαιο ο Αόδειξη ότι ένα σώµα εκτελεί γ.α.τ. σε διάφορα συστήµατα ελατηρίων
* ΣΥΝΘΗΚΗ ΓIΑ ΤΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ Γ.Α.Τ. i. Σχεδιάζoυµε τις δυvάµεις oυ ασκoύvται στo σώµα (ή σύστηµα) στη θέση ισoρρoίας (Θ.I.) και γράφoυµε τη σχετική συvθήκη ισoρρoίας. ii. Αoµακρύvoυµε (εκτρέoυµε) τo σώµα κατά x αό τη Θ.I. και σχεδιάζoυµε άλι τις δυvάµεις σ' αυτό. Πρέει η συvισταµέvη αυτώv vα έχει: α) φoρέα τηv ευθεία oυ ρόκειται vα κιvηθεί αµέσως µετά τo σώµα, β) φoρά αvτίθετη αό τη φoρά εκτρoής τoυ σώµατoς (oυ τηv θεωρoύµε σαv θετική, oότε oι δυvάµεις έχoυv αvάλoγα ρόσηµα), γ) µέτρo αvάλoγo της αoµάκρυvσης x. Η συvισταµέvη αυτή δύvαµη αoτελεί τηv ααραίτητη δύvαµη εαvαφoράς. F ΕΠΑΝ = Σ F = ( Θ. ΕΚΤΡ. Θ. Ι.) ( ΑΞ. ΤΑΛΑΝ / ΣΗΣ ) ω = x D x Σηµείωση : Αv oι δυvάµεις oυ ασκoύvται στo σώµα στη Θ.I. δεv συµµετέχουν στηv δύvαµη εαvαφoράς, τότε δεv χρειάζεται η διαδικασία (i) και άµε αµέσως στη διαδικασία (ii). (.χ. για τo σώµα σε "oριζόvτιo ελατήριo", τo βάρoς τoυ και η αvτίδραση τoυ ειέδoυ στήριξης δεv "µετράvε" για την Γ.Α.Τ. oυ θα κάvει). Σηµείωση : Στo σύστηµα "σώµα-ελατήριo", όoυ o άξovας ταλάvτωσης είvαι: α) oριζόvτιoς, β) κατακόρυφoς, γ) σε κεκλιµέvo είεδo, η σταθερά εαvαφoράς είvαι: D=.
Παράδειγµα Σώµα, µάζας, ισoρρoεί σε oριζόvτιo λείo είεδo δεµέvo στη µία άκρη (oριζόvτιoυ) ελατηρίoυ, σταθερής Κ, η άλλη άκρη τoυ ooίoυ είvαι στερεωµέvη σε κατακόρυφo τoίχo. Αv εκτρέψoυµε τo σώµα κατά x αό τη θέση ισoρρoίας τoυ και τo αφήσoυµε ελεύθερo, vα δειχτεί ότι θα εκτελέσει γραµµική αρµovική ταλάvτωση και vα βρεθεί η ερίoδός της. Λύση ΑΡΧIΚΑ: Β = Α (δεv χρειάζεται). ΘΕΣΗ ΕΚΤΡΟΠΗΣ: F ΕΠΑΝ = ΣF (ΑΞ.ΤΑΛ.) = F = x 'Αρα τo σώµα εκτελεί Γ.Α.Τ. µε σταθερά εαvαφoράς D=. Η ερίoδoς υoλoγίζεται αό τη σχέση: T = T = { f(x) }. D Άσκηση για λύση (.) Σώµα, µάζας = g, είναι δεµένο στη δεξιά άκρη οριζόντιου ελατηρίου, σταθερής =00 N/, ενώ η αριστερή άκρη του ελατηρίου είναι στερεωµένη σε κατακόρυφο τοίχο. Εκτρέουµε το σώµα κατά x=0, αό τη θέση ισορροίας του και το αφήνουµε ελεύθερο (t o =0). Να βρεθούν: α) Οι εξισώσεις αοµάκρυνσης x=f(t) και ταχύτητας υ=f(t) για την γ.α.τ. ου θα ακολουθήσει. β) Ο χρόνος για να άει αό τη θέση µε x =(x o /) µέχρι τη θέση x =(-x o /), για ρώτη φορά. γ) Η ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή ου ερνάει αό τη θέση x=(x o ). δ) Η µεταβολή της ορµής του σώµατος, για τη µετατόισή του αό τη θέση µε x 3 =x o 3 (υ<0) µέχρι τη θέση µε x 4 =(-x o ) (υ<0). [ Α. α) x (t) = 0,.ηµ(0t ), υ(t) =.συν(0t ), β) t = 30 sec, γ) υ = /sec, δ) p = N sec ] 3
Παράδειγµα Σώµα, µάζας, είvαι δεµέvo στηv κάτω άκρη κατακόρυφoυ ελατηρίoυ, σταθερής, η άλλη (άvω) άκρη τoυ ooίoυ είvαι στερεωµέvη. Αv εκτρέψoυµε τo σώµα κατά x αό τη θέση ισoρρoίας τoυ και τo αφήσoυµε ελεύθερo, vα δειχτεί ότι θα εκτελέσει Γ.Α.Τ. και vα βρεθεί η ερίoδός της. Λύση ΑΡΧIΚΑ: B = F ΕΛ B = l () ( l =η αρχική αραµόρφωση (ειµήκυvση) τoυ ελατηρίoυ, εξαιτίας τoυ βάρoυς τoυ). ΘΕΣΗ ΕΚΤΡΟΠΗΣ: F ΕΠΑΝ = ΣF (ΑΞ.ΤΑΛ.) = B - F' ΕΛ () F ΕΠΑΝ =Β = l l F ( x) ΕΛ l l F ΕΠΑΝ = x 'Αρα τo σώµα εκτελεί Γ.Α.Τ. µε σταθερά εαvαφoράς D=. Η ερίoδoς υoλoγίζεται αό τη σχέση: T = { f(x) }. Σηµείωση: Η «ρόσθετη» δύναµη του ελατηρίου ήταν η F ΕΠΑΝ. Άσκηση για λύση (.) Σώµα, µάζας = g, είναι δεµένο στην κάτω άκρη κατακόρυφου ελατηρίου, σταθερής =00 N/, η εάνω άκρη του οοίου είναι στερεωµένη σε ακλόνητο ση- µείο. Μετακινούµε το σώµα αό τη θέση ισορροίας ρος τα εάνω κατά x=0, και το αφήνουµε ελεύθερο (t o =0). Να βρεθούν: α) Οι εξισώσεις x=f(t), F ΕΠΑΝ =f(t), F =F(t). (θετική φορά ρος τα εάνω). β) Ο χρόνος για τη µετατόιση αό τη θέση µε x =x o µέχρι τη θέση µε x =(x o /). γ) Το έργο του βάρους του σώµατος και της δύναµης του ελατηρίου, για τη µετατόιση αό τη θέση µε x 3 =(A ) µέχρι τη θέση µε x 4 =(- A ). δ) Η µεταβολή της ορµής του σώµατος για τη µετατόιση αό τη θέση µε x 5 =(A 3 ) 4
για ρώτη φορά µέχρι τη θέση µε x =0. [ ΑΠ. α) x (t) = 0, ηµ(0t ), FΕΠΑΝ = 40 ηµ(0t ), F = 040 ηµ(0t ), β) 30 sec, γ) W(B) = ( ) J, W( F ) = ( ) J, δ) p = (N s) 3 ] Παράδειγµα 3 Σώµα, µάζας =gr, ισoρρoεί στη διάταξη τoυ σχήµατoς, αvάµεσα στα δύo ελατήρια σταθερώv =00 N/ και =400 N/, αvτίστoιχα. Τα ελατήρια στη θέση ισoρρoίας έχουν το φυσικό τους µήκος. Αv εκτρέψoυµε τo σώµα αό τη θέση ισoρρoίας και τo αφήσoυµε ελεύθερo, α) vα δείξετε ότι αυτό θα εκτελέσει Γ.Α.Τ. και vα βρείτε τηv ερίoδo αυτής. β) αv η εκτρoή είvαι x=0,, µε όση ταχύτητα ερvάει αό τη Θ.I. τoυ; Λύση α) ΑΡΧIΚΑ: Β=Α () ΘΕΣΗ ΕΚΤΡΟΠΗΣ: F ΕΠΑΝ = ΣF (x) = F( ) F( ) = x x = ( ) x F ΕΠΑΝ = - ( ).x 'Aρα τo σώµα εκτελεί Γ.Α.Τ. µε σταθερά εαvαφoράς D =. 'Ετσι η ερίoδός της θα είvαι: 5
T = ( ) T = g T = 0, sec. (00 400)(N / ) β) Η ταχύτητα oυ έχει τo σώµα ερvώvτας αό τη Θ.I. τoυ είvαι: ( ) υ = υ ax = ω x = x (αό ω =D) υ = /s Άσκηση για λύση (3.) =============== Σώµα, µάζας M=3 g, ισορροεί ανάµεσα στα δύο οριζόντια ελατήρια της διάταξης του σχήµατος (Κ =00 N/, =00 N/). Εκτρέουµε το σώµα (Μ) αό τη θέση ισορροίας του κατά α=0, ρος τα δεξιά και το αφήνουµε ελεύθερο (t o =0). α) Να βρεθεί η εξίσωση της ταλάντωσης του (Μ). β) Να βρεθεί ο χρόνος ου χρειάζεται ώστε το (Μ) να φτάσει (για ρώτη φορά) σε σηµείο ου αέχει x =0, δεξιά της θέσης ισορροίας του. γ) Αν τη στιγµή (t o =0) ου αφήνουµε ελεύθερο το (Μ), αφήσουµε ελεύθερη σφαίρα µάζας = g αό ύψος h άνω αό τη θέση ισορροίας του (Μ), αυτό συσσωµατώνεται µε το (Μ) τη στιγµή ου το (Μ) ερνάει αό τη θέση ισορροίας του. Να βρεθεί: (i) η εξίσωση της νέας ταλάντωσης του συστήµατος (M) [(t o '=0) η θέση του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση], (ii) η ταχύτητα του συσσωµατώµατος τη στιγµή ου αυτό ερνάει αό τη θέση µε x =0,05 3 (δεξιά της θέσης ισορροίας), (iii) ο χρόνος ου χρειάζεται ώστε το συσσωµάτωµα να φτάσει για ρώτη φορά σε θέση µε x 3 =0,5 (δεξιά της θέσης ισορροίας, κινούµενο ρος τα δεξιά). (iv) το ύψος h. [ ΑΠ. α) x (t) = 0,. ηµ(0t ), β) t = sec, γ) (i) x'(t) = 0, 3.ηµ(5 3 t), 5 (ii) υ = 0,5 3 /sec, (iii) t = 3 45 sec, (iv) h = ] 80
Παράδειγµα 4 Σώµα, µάζας = g, είναι δεµένο στη µία άκρη οριζόντιου ελατηρίου, σταθεράς =00 N/, και ισορροεί στη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου. Εκτρέουµε το σώµα, ρος τα δεξιά, κατά x=0, και ταυτόχρονα (t o =0) του δίνουµε ταχύτητα µέτρου υ= 3 /s (ρος τα δεξιά). Να βρευ θούν: α) το λάτος της γ.α.τ. ου θα εκτελέσει το σώµα, β) η εξίσωση της αοµάκρυνσης x (t) της γ.α.τ., γ) το έργο της δύναµης του ελατηρίου αό τη στιγµή t o =0 µέχρι τη στιγµή όου το σώµα σταµατά στιγµιαία, για ρώτη φορά. Λύση α) Εφαρµόζοντας τη σχέση ου συνδέει τις ενέργειες σε µια γ.α.τ. βρίσκουµε: U = E T υ x = A ( ) υ 3 A = x A = 0, A= 0,. 00 β) Αφού για t o =0 είναι x=0, ροκύτει ότι υάρχει αρχική φάση. Έτσι η ζητού- µενη εξίσωση είναι: x( t) = A ηµ ( ω t φ ο ) () και υ (t) = ( ω A) συν ( ω t φ ο ) Για t o =0 0, = 0, ηµφ ο ηµφ ο = ηµφ ο =ηµ 5 φ ο = ή φ ο =. Αφού υ>0 φ ο =. 00 Είσης: D = = ω ω= = = 0(r / s). Έτσι η εξίσωση () γράφεται: x(t) = 0, ηµ 0 t () γ) Η µόνη δύναµη ου ασκείται στο σώµα στον άξονα της γ.α.τ. είναι η F. Άρα: F ΕΠΑΝ = F. 7
= = µε x ΕΠΑΝ =0, και x =A=0, Έτσι: W(F ) = W(F ) = ( x x) = W(F ) W(F ) = 00 ( 0, 0, ) =, 5(J). Σηµείωση: Αφού είναι ΣF=F µορούµε να εφαρµόσουµε το Θ.Μ.Κ.Ε. Έτσι: W =Σ W = (εειδή U = E T = U ) (F ) = W(F ) =, 5(J). = = U U = ( x x) W(F ) = ( x x) Άσκηση για λύση (4.) Στη διάταξη του σχήµατος στο αράδειγµα 4, αν δώσουµε στο σώµα ταχύτητα υ= 3 /s ρος τα αριστερά, µε θετική φορά ρος τα δεξιά, να βρεθούν: α) το λάτος της γ.α.τ. ου θα εκτελέσει το σώµα, β) η εξίσωση της αοµάκρυνσης x (t) της γ.α.τ., γ) το έργο της δύναµης του ελατηρίου αό τη στιγµή t o =0 µέχρι τη στιγµή όου το σώµα σταµατά στιγµιαία, για ρώτη φορά. 5 [ Α. α) Α=0,, β) x(t) = 0, ηµ 0 t, γ) W(F ) =, 5(J) ] Άσκηση για λύση (4.) Στη διάταξη του σχήµατος στο αράδειγµα 4, όση ταχύτητα ρέει να δώσουµε στο σώµα ρος τα δεξιά, ώστε αυτό στη συνέχεια να εκτελέσει γ.α.τ. µε εξίσωση αοµά- κρυνσης: x(t) = 0, 4 ηµ 0 t 4. Να άρετε x 0, = (δεν χρειάζεται). [ A. υ= /s ] 8
Άσκηση για λύση (4.3) Στη διάταξη του σχήµατος το σώµα, µάζας M= g, ισορροεί κρεµασµένο αό την κάτω άκρη του κατάκόρυφου ελατηρίου, σταθεράς =00 N/. Στη συνέχεια κρεµάµε αό το σώµα (Μ) ένα µικρότερο σώ- µα, µάζας = g. Να βρείτε: α) το λάτος της γ.α.τ. ου θα εκτελέσει το σύστηµα, β) την εξίσωση της αοµάκρυνσης x (t) ου εριγράφει την γ.α.τ. του συστήµατος (µε t o =0 τη στιγµή ου κρεµάσαµε το µικρό σώµα), γ) την ταχύτητα του σώµατος (Μ) τη στιγµή ου ερνά αό θέση κατά h=0,5 κάτω αό τη θέση ου κρεµάσαµε το µικρό σώµα (). ΘΦΜ... Α. ΘΙσ.. ( ) x ////////// i M 3 [ Α. α) A=0,, β) x(t) = 0, ηµ 5 t, γ) υ=0,4 /s ] Άσκηση για λύση (4.4) /////////////////////// Στη διάταξη του σχήµατος το ελατήριο, σταθεράς =00 N/, έχει φυσικό µήκος l o = 0,. Στη συνέχεια κρεµάσαµε στο l o κάτω µέρος του ελατηρίου ένα σώµα, µάζας = g, και µε τη βοήθεια νήµατος, στερεωµένο στο έδαφος, ειµηκύναµε το l ελατήριο σε µήκος l =. Τη στιγµή t o =0 κόβουµε το νήµα. Να βρείτε: α) το λάτος της γ.α.τ. ου θα εκτελέσει το σώµα, ( ) β) την εξίσωση της αοµάκρυνσης x (t) ου εριγράφει την γ.α.τ. του σώµατος, ν ή µα γ) την ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή ου φθάνει στη θέση ////// φυσικού µήκους του ελατηρίου, δ) την ειτάχυνση του σώµατος µετά αό χρόνο t= sec αό τη στιγµή ου κόψαµε το νήµα. 0 ίνεται g=0 /s. [ Α. α) Α=0,, β) x(t) = 0, ηµ 5 t, γ) υ=0, δ) α=0 /s ] 9
Άσκηση για λύση (4.5) Στη διάταξη του σχήµατος το ελατήριο, σταθεράς =00 N/, έχει φυσικό µήκος l o = 0,. Στη συνέχεια τοοθετήσαµε στο άνω µέρος του ελατηρίου ένα σώµα, µάζας = g, και µε τη βοή- () ( ) θεια νήµατος, στερεωµένο στο έδαφος,συσειρώσαµε το ελατήριο σε µήκος l = 0,4. Τη στιγµή l ο l t o =0 κόβουµε το νήµα. ( ν ή µα ) Να βρείτε: α) το λάτος της γ.α.τ. ου θα εκτελέσει το σώµα, ////////////////// ////////////////// β) την εξίσωση της αοµάκρυνσης x (t) ου εριγράφει την γ.α.τ. του σώµατος, γ) την ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή ου φθάνει, για ρώτη φορά, στη θέση στην οοία το ελατήριο είναι συσειρωµένο κατά l = 0,05, δ) την ειτάχυνση του σώµατος τη στιγµή ου το ελατήριο έχει δυναµική ενέργεια U= 0, 5(J). ίνεται g=0 /s. 3 [ Α. α) Α=0,, β) x( t) = 0, ηµ 0 t, γ) υ= /s,δ) α=0 ] Άσκηση για λύση (4.) Στη διάταξη του σχήµατος το ελατήριο έχει άγνωστη σταθερά. Το σώµα ου είναι στερεωµένο στο ελατήριο έχει µάζα M=4 g, ενώ το σώµα ου κρέµεται αό το νήµα έχει µάζα = g. Το σώµα () αέχει αό το έδαφος αόσταση h=( /5). Κάοια στιγµή (t o =0) κόβουµε το νήµα. Μέχρις ότου το σώµα () να φθάσει στο έδαφος το σώµα (M) έχει φθάσει, για ρώτη φορά, σε θέση όου έχει ταχύτητα µηδέν (µετά το κόψιµο του νήµατος). Να βρείτε: α) τη σταθερά Κ του ελατηρίου, β) την εξίσωση της αοµάκρυνσης x (t) ου εριγράφει την γ.α.τ. του σώµατος (Μ), γ) το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος (Μ), τη στιγµή ου το ε- λατήριο έχει ειµήκυνση l = 0, 3, δ) τη θέση του σώµατος (Μ) τη στιγµή ου το σώµα (), καθώς έφτει, αέχει αό το έδαφος αόσταση h =(3 /0). ίνεται g=0 /s. [ Α. α) =00 N/, β) x( t) = 0, ηµ 5 t, γ) 0,5 3 υ= M ///////// ν ή µα h ///////////// ( ) υ= /s, δ) x=0, υ<0 ] 0
Άσκηση για λύση (4.7) Στη διάταξη του σχήµατος τα δύο σώµατα είναι στερεωµένα στα άκρα του οριζόντιου ελατηρίου, το οοίο έχει το φυσικό του µήκος. Το σώµα (Μ) έχει µάζα 0 g, ενώ το σώµα () έχει µάζα g. Το ελατήριο έχει σταθερά =00 N/. Το σώµα (Μ) αρουσιάζει συντελεστή στα- τικής τριβής µε το δάεδο µ=0,5. Να βρεθεί το λάτος της γ.α.τ. ου µορεί να κάνει το σώµα () χωρίς το σώµα (Μ) να γλυστρά. [ Α. Α=0,5 ] Άσκηση για λύση (4.8) Στη διάταξη της άσκησης (4.7), την τριβή την αρουσιάζει µόνο το σώµα () ενώ στο σώµα (Μ) δίνουµε ταχύτητα υ ρος τ αριστερά. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της ταχύτητας υ ώστε το σώµα (Μ) να εκτελεί γ.α.τ. χωρίς το σώµα () να γλυστρά. Άσκηση για λύση (4.9) [ Α. υ= 0,05 0 /s ] Στη διάταξη της άσκησης (4.7), το σώµα (Μ) αρουσιάζει συντελεστή στατικής τριβής µε το δάεδο µ=0,5 ενώ το είεδο δεξιά του (Μ) είναι λείο. Αν δώσουµε στο σώµα () ταχύτητα µε µέτρο υ= /s ρος τ αριστερά (t o =0), να βρεθεί όσο θα αέχουν τα δύο σώµατα µεταξύ τους µετά αό χρόνο t=(/5) sec, µε την ροϋόθεση ότι τα δύο σώµατα αλά εφάτονται στο ελατήριο και δεν είναι στερεωµένα σ αυτό. ίνεται το φυσικό µήκος του ελατηρίουl 0,5 και =3,4. ο = M //////////////////////// //////////////////////// [ Α. s = 0, 5 =,8 5 ]
Παράδειγµα 5 Στη διάταξη του σχήµατος το σώµα, µάζας = x g, είναι στερεωµένο στην κάτω άκρη του κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς = y (N/). Το σώµα εκτελεί γ.α.τ., κατακόρυφα. Ο χρόνος «αρχίζει» να µετρά αό τη στιγµή ου το σώµα ερνά αό τη θέση ισορροίας του κινούµενο ρος τα κάτω (t o = 0). Η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου, σε συνάρτηση µε το χρόνο, δίνεται στο διάγραµµα U ελατ = f(t). Θετική φορά ρος τα κάτω. α) Να βρεθεί η µάζα x (g) του σώµατος. β) Να βρεθεί το λάτος της γ.α.τ. ου εκτελεί το σώµα. γ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου. δ) Να βρεθεί το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος, τη στιγµή ου η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι 3,5 J. ε) Να βρεθεί το ελάχιστο χρονικό διάστηµα, ου µεσολαβεί ώστε η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου να έ- χει δύο (διαδοχικές) φορές την τιµή,5 J. Λύση U 4,5 0 ελατ ///////// (J) θισ.. ( ) 5 t(s) α) Στη θέση ισορροίας του σώµατος (µε το ελατήριο) ισχύει: F ελατ = g l = g g l = () Αό το διάγραµµα U ελατ = f(t) ροκύτει ότι η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου, στη θέση ισορροίας είναι U ελατ = J. Για τη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου (στη θέση ισορροίας) ισχύει: U ελατ = l () U ελατ g = g U ελατ = = 0 4 = 00 () Αό το διάγραµµα είσης ροκύτει ότι η ερίοδος της γ.α.τ. είναι: T = (s). 5
Η ερίοδος δίνεται αό τη σχέση: = (3) 00 T = T = 4 Αό τις εξισώσεις () και (3) ροκύτει: = (g). Αό την εξίσωση (3), τώρα, ροκύτει: = 00(N / ). β) Αφού το σώµα τη στιγµή (t o = 0) κινείται ρος τα κάτω, αυτό σηµαίνει ότι αυξάνεται η ειµήκυνση (και η δυναµική ενέργεια) του ελατηρίου. Στην «κάτω άκρη» της γ.α.τ. η ειµήκυνση του ελατηρίου είναι: xax = l A. Η µέγιστη τιµή της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου, µε βάση το διάγραµµα, είναι ax U ελατ = 4,5(J) και ισχύει: ax U = ελατ xax ax U = ελατ ( A) l 9 ( l A) = 00 3 ( l A) = () A= 0,(). 0 Σηµείωση: Γενικά η εξίσωση της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι: U = ελατ ( x) ( A ( t) ) l = l ηµ ω (4) γ) Το λάτος Α της γ.α.τ. είναι µικρότερο αό την αρχική ειµήκυνση l του ελατηρίου (στη θέση ισορροίας του). Στην «άνω άκρη» της γ.α.τ. η αραµόρφωση (ακόµη ειµήκυνση) του ελατηρίου είναι: xin = l A. Αό την εξίσωση () ροκύτει: l = 0,. Άρα: xin = 0,(). Έτσι η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι: in U = ελατ xin U = ελατ 0, 5(J). in ελατ δ) Αφού η τιµή της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου (3,5 J) είναι µεγαλύτερη αό την αρχική τιµή ( J) της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου, αυτό σηµαίνει ότι το σώµα βρίσκεται «κάτω» αό τη θέση ισορροίας του ελατηρίου. Άρα η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου δίνεται αό τη σχέση: 3
U = ( x ) ελατ l 3,5 = 00 ( 0, x ) x= 0,05(). Χρησιµοοιώντας τώρα τη σχέση ου συνδέει τις ενέργειες σε γ.α.τ., ροκύτει: U = E T υ x = A (5) υ 00 0,05 = 00 0, υ =± ( / s). 4 ε) Με βάση τα ροηγούµενα η τιµή της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου (,5 J) δηλώνει ότι το σώµα βρίσκεται «άνω» αό τη θέση ισορροίας. Αφού ο χρόνος της γ.α.τ. αρχίζει να µετρά αό τη στιγµή ου το σώµα ερνά αό τη θέση ισορροίας του κινούµενο ρος τα κάτω (t o = 0), αυτό σηµαίνει ότι η εξίσωση ου εριγράφει την γ.α.τ. είναι: x(t) = A ηµ ( ω t) (µε φ ο = 0). Βρήκαµε ότι: A = 0, και ω= =... = 5 (rad / s). Οότε: x(t) = 0, ηµ (5 t) () Άρα η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου δίνεται αό τη σχέση: U = ( x ) ελατ l,5 = 00 ( 0, x ) (0, x ) =± 0,5 x = 0, 05(). (ψάξτε το «±») Εειδή όµως συµεράναµε ότι κινείται ρος τα «άνω», θα θεωρήσουµε: x = 0, 05(). Αό την εξίσωση () ροκύτει: 0,05 = 0, ηµ (5 t) ηµ (5 t) = Οι δυνατές λύσεις, για το ελάχιστο χρονικό διάστηµα, είναι: 5 t = (7) και 5 t = (8) 4 Αφαιρώντας κατά µέλη [(8) - (7)] 5 (t t ) =, [ t t = t ] t = (s). 5 ------------------------------------------------------------------ 4
Άσκηση για λύση (5.) Στη διάταξη του σχήµατος, του αραδείγµατος 5, να βρεθούν οι τιµές της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου, τη στιγµή ου το σώµα (στη γ.α.τ. ου εκτελεί) έχει τα- χύτητα µε µέτρο υ = /s. 4 Υόδειξη λύσης: Αό ροσαρµογή της εξίσωσης (5) θα βρεθούν «οι τιµές» της α- οµάκρυνσης x (κίνηση «άνω κάτω»). Στη συνέχεια αό την εξίσωση (4) θα υολογισθούν οι τιµές της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου. Σηµείωση: Αυτό το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος «υάρχει» σε δύο θέσεις της κίνησης (γ.α.τ.) (ρος τα άνω και ρος τα κάτω), αλλά τέσσερις χρονικές στιγµές («ήγαινε έλα»). [ Α. 4,07 J και 0,495 J ] ----------------------------------------------------------------------- 5