stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1
3 4 Χρονεξαρτημένη χαμιλτονιανή Στα προβλήματα τα οποία εξετάσαμε μέχρι τώρα η χαμιλτονιανή του φυσικού μας συστήματος ήταν πάντα ανεξάρτητη από το χρόνο. Όμως αυτός ο περιορισμός κάθε άλλο παρά ανταποκρίνεται σε όλες τις συνθήκες που εμφανίζονται στην πράξη. Σκεφτείτε, παραδείγματος χάριν, τη συνηθέστατη περίπτωση ενός ατόμου που εκτίθεται στην επίδραση ενός χρονομεταβαλλόμενου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. όπου H 0 η εσωτερική χαμιλτονιανή του ατόμου και V(t) το εξωτερικό χρονομεταβαλλόμενο δυναμικό. Η χρονεξαρτημένη εξίσωση Schrödinger σε αυτή την περίπτωση δεν μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών όπως συνέβαινε όταν η χαμιλτονιανή ήταν ανεξάρτητη από το χρόνο. Η χρονική και η χωρική εξάρτηση της κυματοσυνάρτησης θα πρέπει να βρεθούν ταυτόχρονα. Ένα τέτοιο μαθηματικό πρόβλημα μόνο προσεγγιστικά μπορεί να αντιμετωπισθεί. Η σχετική προσεγγιστική μέθοδος ακούει στο όνομα θεωρία των χρονεξαρτημένων διαταραχών και είναι εφαρμόσιμη μόνο στις περιπτώσεις εκείνες όπου το χρονομεταβαλλόμενο εξωτερικό δυναμικό μπορεί να θεωρηθεί ως μια μικρή διαταραχή στην εσωτερική χαμιλτονιανή του συστήματος. Συστήματα 2-επιπέδων Αν υποθέσουμε ότι το σύστημα μας έχει μόνο 2 επίπεδα ψ a και ψ b. Αυτές είναι ιδιοκαταστάσεις της αδιατάρακτης χαμιλτονιανής και αποτελούν ορθοκανονική βάση. Κάθε κατάσταση θα είναι γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω και η χρονική εξέλιξη σε απουσία εξωτερικού δυναμικού θα δίνεται αντίστοιχα από τις σχέσεις: Αν τώρα ενεργοποιήσουμε το χρονεξαρτημένο εξωτερικό δυναμικό τότε οι κυματοσυναρτήσεις μας θα δίνονται πάλι από την ίδια έκφραση μόνο που τώρα οι συντελεστές c θα είναι χρονεξαρτημένοι, και το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση αυτών των συναρτήσεων 2
5 6 Θα προχωρήσουμε λοιπόν στη λύση της χρονεξαρτημένης εξίσωσης Schrödinger με την επίσης χρονεξαρτημένη χαμιλτονιανή. Θα έχουμε: Από όπου φεύγουν οι δυο πρώτοι όροι από αριστερά με τους δυο δεύτερους από δεξιά και έχουμε: Για να απομονώσουμε τώρα τις παραγώγους των συντελεστών c παίρνουμε τα εσωτερικά γινόμενα με τις ψ a και ψ b αντίστοιχα και έχουμε: Από όπου: Και επειδή είναι συνήθως 3
7 8 Μικρές διαταραχές Μέχρι τώρα η περιγραφή του προβλήματος μας ήταν ακριβής αλλά δεν έχει αναλυτική λύση. Στην περίπτωση μικρής διαταραχής ωστόσο μπορούμε να λύσουμε τις προηγούμενες εξισώσεις με τη μέθοδο των διαταραχών. Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα μας ήταν αρχικά στην κατάσταση a Προσέγγιση μηδενικής τάξης: σημαίνει ότι δεν υπάρχει διαταραχή, οπότε το σύστημα μένει στην αρχική κατάσταση Προσέγγιση πρώτης τάξης: βάζουμε τις λύσεις της προηγούμενης τάξης (μηδενικής) στις εξισώσεις μας και ξανά-υπολογίζουμε τους συντελεστές Προσέγγιση νιοστής τάξης: συνεχίζουμε βάζοντας τις λύσεις της προηγούμενης τάξης (ν-1) στις εξισώσεις μας και ξανά-υπολογίζουμε τους συντελεστές. Ωστόσο εμείς δεν θα πάμε πάνω από την πρώτη τάξη. Ημιτονοειδείς διαταραχές Ας υποθέσουμε τώρα ότι η διαταραχή είναι ημιτονοειδής στο χρόνο τότε με Οι λύσεις μας της πρώτης τάξης θα είναι τότε: Αν τώρα ενδιαφερόμαστε για συχνότητες κοντά στη συχνότητα μετάβασης θα είναι αφού 4
9 10 Πιθανότητα κβαντικού άλματος Από τα προηγούμενα μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την πυκνότητα πιθανότητας μετάβασης από την χαμηλότερη στην υψηλότερη, ενεργειακά, στάθμη, δηλαδή την πιθανότητα κβαντικού άλματος, η οποία είναι: Αν θέλετε να έχετε καλύτερες πιθανότητες να επιτύχετε τη μετάβαση τότε καλύτερα το εξωτερικό δυναμικό να είναι παλμικό και να σβήνει μετά από Συντονισμός Είναι προφανές από τα προηγούμενα ότι η πιθανότητα μετάβασης μεγιστοποιείται στην περίπτωση συντονισμού, δηλαδή όταν ω ω 0 Προσοχή βέβαια διότι αυτή η προσέγγιση δεν είναι πλέον ακριβής για την περίπτωση του συντονισμού, όπου η διαταραχή κάθε άλλο παρά μικρή είναι. 5
12 11 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Στην περίπτωση συντονισμού οι αναλυτικές λύσεις των συντελεστών c δίνονται από τις σχέσεις (Rabi) όπου η συχνότητα μετάπτωσης Rabi. α) Υπολογίστε την πιθανότητα μετάβασης και δείξτε ότι δε γίνεται μεγαλύτερη της μονάδας. β) Ελέγξτε αν γ) Βρείτε την πιθανότητα μετάβασης στο όριο της μικρής διαταραχής. δ) Σε πόσο χρόνο επιστρέφει το σύστημα στην αρχική του κατάσταση; 6