ΟΙ ΙΑΤΑΚΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΙΑΤΑΚΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ιδάσκουσα : Αλλα Σιροκόφσκιχ Γιώργος Τζανάκης

1 Εισαγωγή Από τη σκοπιά των µαθηµατικών, ο 20ος αιώνας ήταν ιδιάιτερα σηµαντικός καθώς για πρώτη ϕορά έγινε µία έντονη και οργανωµένη προσπάθεια να α- ξιωµατικοποιηθούν και να τεθούν αυστηρά τα ϑεµελιά τους. Η ουσιαστική απαρχή αυτής της προσπάθειας έγινε το 1900 στο δεύτερο ιεθνές Συνέδριο Μαθηµατικών στο Παρίσι. Εκει, στις 8 αυγούστου, ο David Hilbert έθεσε τα περίφηµα 23 ερωτήµατα του, για τα οποία ισχυρίστηκε -και δεν έπεσε και πολύ έξω- πως ϑα απασχολούσαν τους µαθηµατικούς τον 20ο αιώνα. Μια- µια, έννοιες τις οποίες οι µαθηµατικοί χρησιµοποιούσαν για αιώνες χωρίς κανέναν σοβαρό προβληµατισµό για την πραγµατική τους υπόσταση, ορίστηκαν αυστηρά και αδιαµφισβήτητα. Φυσικά, απο τις έννοιες αυτές δεν ϑα µπορούσε να λείπει και µια από τις πιό εύθραυστες, η έννοια του απείρου. Αν και απο αρχαιοτάτων χρόνων οι εκάστοτε ϕιλόσοφοι δεν σταµάτησαν να διανοούνται πάνω στο αντικείµενο, οι µαθηµατικοί απο κάποιο σηµείο και µετά το χρησιµοποιούσαν χωρίς τον δέοντα σεβασµό. Θα τολµούσαµε να πούµε οτι το άπειρο -έννοια που ακόµη και οι ϑεολόγοι δεν άγγιζαν εύκολα- έγινε ένα απλό εργαλείο του µαθηµατικού λογισµού, ένα σύµβολο πάνω σε σειρές και ολοκληρώµατα. Με το κύµα αυτό της ϑεµελίωσης των Μαθηµατικών που αναφέραµε παραπάνω, το άπειρο έφτασε να αποτελεί το αντικείµενο ενος ολόκληρου κλάδου της Θεωρίας Συνόλων. Στην εργασία αυτή, ϑα προσπαθήσουµε να σκιαγραφήσουµε κάποια ϑεµελιώδη στοιχεία του κλάδου αυτού και να δώσουµε µια ιδέα για το πώς διαχειριζόµαστε αυστηρά την έννοια του απείρου. 2 ιατάξεις 2.1 Αρχικές έννοιες Στην ϱίζα της έννοιας του απέιρου, ϐρίσκεται η έννοια της διάταξης, πράγµα που ίσως δεν είναι τόσο ϕανερό σε όποιον δεν έχει µελετήσει Θεωρία Συνόλων. Η διάταξη στην Θεωρία Συνόλων είναι µία σχέση και κάθε σχέση είναι ενα υποσύνολο ενός καρτεσιανού γινοµένου µε συγκεκριµένες ιδιότητες. Ορισµός 2.1.1. Σε ενα σύνολο A, ορίζουµε ως µερική διάταξη (ή απλώς διάταξη) των στοιχείων του, ένα υποσύνολο R του A A µε τις ιδιότητες 1. x(xrx) (Ανακλαστική) 2. ( x A)( y A)(xRy yrx x = y) (Ασθενώς αντισυµµετρική) 3. ( x A)( y A)( z A)(xRy yrz xrz) (Μεταβατική) 1

Με τον ορισµό αυτό, παρατηρούµε οτι κάθε δυο στοιχεία δεν είναι απα- ϱαιτήτως συγκρίσιµα ως προς την διάταξη. Οταν ισχύει επιπλέον η συνθήκη ( x A)( y A)(xRy yrx) η µερική διάταξή λέγεται ολική. Μια ολική διάταξη µας ϑυµίζει την διάταξη των ϕυσικων αριθµών. Πράγµατι, η τελευταία είναι µια µερική ολική διάταξη. Ορισµός 2.1.2. Σε ενα σύνολο A, ορίζουµε ως γνήσια µερική διάταξη των στοιχείων του, ένα υποσύνολο R του A A µε τις ιδιότητες 1. ( x A)( xrx) (Αντιανακλαστική) 2. ( x A)( y A)(xRy yrx) (Αντισυµµετρική) 3. ( x A)( y A)( z A)(xRy yrz xrz) (Μεταβατική) Οταν ισχύει επιπλέον η συνθήκη 4 ( x A)( y A)(xRy yrx x = y) (Τριχοτοµική ιδιότητα) η διάταξή λέγεται γνησίως γραµµική διάταξη. Μια γνησίως γραµµική διάταξη µας ϑυµίζει την διάταξη < των ϕυσικων αριθµών. Πράγµατι, η τελευταία είναι µια τέτοια διάταξη. Οπως αναφέραµε προηγουµένως, µια διάταξη είναι υποσύνολο ενός καρτεσιανού γινοµένου. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, ακολουθεί ένα παράδειγµα. Παράδειγµα 2.1.3. Ορίζουµε R N N, R = {(n, n + k), n N, k N}. Το σύνολο αυτό είναι η σχέση των ϕυσικών. Εχοντας ορίσει την έννοια της διάταξης, µπορούµε να αρχίσουµε να µιλάµε για πράγµατα που µας ϕέρνουν πιο κοντά στην έννοια του απέιρου. Συγκεκριµένα, ϑα ορίσουµε την έννοια του ελάχιστου και µέγιστου στοιχείου και του άνω και κάτω ϕράγµατος ενός συνόλου. Ορισµός 2.1.4. Εστω A, < γνησίως διατεταγµένο σύνολο. Ενα a A ϑα λέγεται 1. ελλάσον (minimal), όταν δεν υπάρχει στο A στοιχείο προηγούµενο του a, δηλαδή όταν ( x A) (x < a). 2. µείζον (maximal), όταν δεν υπάρχει στο A στοιχείο επόµενο του a, δηλαδή όταν ( x A) (a < x). 2

3. ελάχιστο, όταν το a προηγείται όλων των άλλων στοιχείων του A, δηλαδή όταν ( x A)(a < x a = x). 4. µέγιστο, όταν το a έπεται όλων των άλλων στοιχείων του A, δηλαδή όταν ( x A)(x < a a = x). Ορισµός 2.1.5. Εστω A, < µερικώς διατεταγµένο σύνολο. Εστω X A και b A. Λέµε ότι το b είναι 1. άνω ϕράγµα του X αν ( x X)x b. 2. κάτω ϕράγµα του X αν ( x X)b x. 3. supremum του X αν είναι το ελάχιστο των άνω ϕραγµάτων. 4. infimum του X αν είναι το µέγιστο των κάτω ϕραγµάτων. 2.2 Καλές διατάξεις Σε αυτήν την υποενότητα ϑα παρουσιάσουµε πολύ συνοπτικά τις καλές διατάξεις, έννοια απαραίτητη στον ορισµό των διατακτικών αριθµών. Ορισµός 2.2.1. Εστω X, ρ, Y, σ µερικώς διατεταγµένα σύνολα. Λέµε οτι τα X, ρ, Y, σ είναι όµοια και γράφουµε X Y, όταν υπάρχει µια 1 1 και επί συνάρτηση f : X Y που να διατηρεί τις διατάξεις ρ, σ, δηλαδή ( a X)( b X)(aρb f(a)σf(b). Μια τέτοια συνάρτηση f λέγεται ισοµορφισµός των διατάξεων ρ και σ. διατάξεις ρ και σ λέγονται όµοιες. Οι Ο παραπάνω ορισµός χρησιµοποιείται επίσης και για τις γνήσιες διατάξεις. Ωστόσο, παρατηρούµε οτι απο τον τρόπο που ορίσαµε την γνήσια διάταξη, ένα διατεταγµένο σύνολο A, δεν µπορεί να είναι όµοιο µε κανένα γνησίως διατεταγµένο σύνολο B, <, διότι για κάθε a A έχουµε a a και (f(a) < f(a)). Ορισµός 2.2.2. Μια (γνήσια) γραµµική διάταξη R ενός συνολου A λέγεται καλή διάταξη του, όταν σε κάθε µη κενό υποσύνολο του B υπάρχει ελάχιστο (ως προς την διάταξη R ) στοιχείο, δηλαδή B A B ( x B)( y B)(y x xry). Το ελάχιστο στοιχείο στοιχείο ενός B A, B (που είναι µοναδικό) συµβολίζεται min R B. Το A, R λέγεται καλώς διατεταγµένο σύνολο αν η σχέση R είναι καλή διάταξη του A. 3

Παράδειγµα 2.2.3. Αντίθετα απ οτι ϑα περίµενε κανείς, δεν είναι όλες οι γνωστές διατάξεις καλές. Οι R,, Z,, Q, δεν είναι καλές διατάξεις. Η N, είναι καλή διάταξη. Ορισµός 2.2.4. Εστω A, R καλά διατεταγµένο σύνολο. Ενα υποσύνολο B του A λέγεται αρχικό τµήµα του A ως προς την διάταξη R αν για οποιαδήποτε x, y ισχύει x B y < x y B δηλαδή, µαζί µε κάθε στοιχείο του B ανήκουν και όλα τα προηγούµενά του. Ενα αρχικό τµήµα λέγεται γνήσιο εαν B A. Για κάθε a A, ορίζουµε ως αρχικό τµήµα που ορίζεται από το a το σύνολο O < (a) = {x A, x < a}. Ο ορισµός του αρχικού τµήµατος ϕαίνεται τετριµµένος, ωστόσο, µαζί µε τις καλές διατάξεις, είναι ο ϑεµέλιος λίθος της ϑεωρίας των διατακτικών αριθ- µών διότι, λαµβάνοντας υπ όψιν και τον ορισµό (2.2.1) των όµοιων διατάξεων, έχουµε έναν πολύ ωραίο τρόπο να συγκρίνουµε δυο καλές διατάξεις. Ορισµός 2.2.5. Εστω A, R, B, S καλώς διατεταγµένα σύνολα. Θα λέµε οτι η διάταξη R είναι µικρότερη από την S όταν το A, R είναι όµοιο µε κάποιο γνήσιο αρχικό τµήµα του B, S. Εδώ ϑα παρατηρήσουµε οτι δεν πρόκειται για µια σύγκριση των στοιχείων των συνόλων αλλά των ίδιων των διατάξεων. Φαίνεται περίεργο το να συγκρίνουµε διατάξεις αυτες καθ αυτές, όµως στην πραγµατικότητα αυτό δεν είναι κάτι που πρέπει να µας κάνει εντύπωση. Στην Θεωρία Συνόλων κάθε οντότητα (άρα και µια διάταξη) είναι ένα σύνολο, ανεξάρτητα µε τί το έχουµε συνδέσει στην καθηµερινή µαθηµατική µας Ϲωή. Ετσι και οι καλές διατάξεις είναι σύνολα και τίποτα παραπάνω και ϐρήκαµε έναν έξυπνο τρόπο να τα συγκρίνουµε. Το επόµενο ϑεώρηµα του οποίου η απόδειξη είναι αρκετά δύσκολη, είναι επίσης ϑεµελιώδους σηµασίας. Θεώρηµα 2.2.6. (Νόµος τριχοτοµίας του Cantor για τις καλές διατάξεις) Εστω A, R, B, S καλώς διατεταγµένα σύνολα. Τότε είτε A, R B, S, είτε A, R < B, S, είτε A, R > B, S. Εχοντας αναφέρει και τον νόµο της τριχοτοµίας, µπορούµε να προχωρήσουµε στην επόµενη ενότητα που είναι και η πιο σηµαντική. 4

3 Οι διατακτικοί αριθµοί 3.1 Εισαγωγικά σχόλια Πρώτος ο Cantor επιχείρησε να ορίσει την έννοια του διατακτικού αριθµού ως αυτό που διαισθητικά περιµένει κανείς µετά τις προηγούµενες ενότητες. Ορισε τους διατακτικούς ως διατακτικούς τύπους των καλώς διατεταγµένων συνόλων, δηλαδή ως αφηρηµένους αντιπροσώπους για τις κλάσεις όµοιων καλών διατάξεων. Ανέπτυξε µια πλούσια ϑεωρία των διατακτικών αριθµών η οποία χρησιµοποιείται ακόµη και σήµερα σε µαθηµατικές αποδείξεις και κατασκευές συνόλων. Υπήρχε ωστόσο ένα σοβαρό πρόβληµα µε τον ορισµό του Cantor για τους διατακτικούς αριθµούς, διότι δεν αποτελούσαν σύνολο. Οι κλάσεις, που αναφέραµε πρωτύτερα, είναι µια καθαρά διαισθητική έννοια που -αν και αρκετά σαφής- δεν µπορεί να οριστεί αυστηρά για έναν ϑεµελιωδώς ουσιαστικό λόγο : δεν µπορεί να οριστεί το σύνολο µιάς συλλογής στοιχείων µε µια συγκεκριµένη ιδιότητα, εαν αυτά δεν ανήκουν όλα σε ένα κοινό σύνολο. Για τους διατακτικούς αριθµούς δεν υπάρχει κανένα σύνολο που να τους περιέχει όλους. Το σύνολο των διατακτκών αριθµών απλώς δεν υπάρχει! Οπως ήταν ϕυσικό για µια ϑεωρία που, παρ ότι µεγαλοφυής, είχε ένα τόσο µεγάλο κενό, υπήρξαν αντιδράσεις από τους µαθηµατικούς της εποχής. εν ήταν λίγοι αυτοί που ϑεωρούσαν τον Cantor και τους ϑιασώτες της ϑεωρίας του τσαρλατάνους και παραεπιστήµονες. Μάλιστα ο Kronecker, σηµαντικός µαθηµατικός της εποχής, δεν σταµάτησε ποτέ να πολεµάει τον Cantor σε επίπεδο σχεδόν προσωπικό. Αυτές οι διαµάχες στοίχισαν πολλά στον Cantor που, όντας χαµηλών τόνων άνθρωπος, δεν µπορούσε να αντισταθεί µε το σθένος που απαιτούσαν οι επιθέσεις του Kronecker και των οµοιδεατών του. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο Hilbert υπήρξε σταθερός υποστηρικτής της Θεωρίας των Συνόλων. Σε µιά εκδήλωση που έγινε το πρώτο τέταρτο του 20ου αιώνα προς τιµήν του Weierstrass στο Munster, ο Hilbert έκανε µιά οµιλία για το άπειρο, από την οποία έιναι πολύ γνωστή η ϱήση Κανένας δεν ϑα µας οδηγήσει έξω από τον παράδεισο, που ο Cantor δηµιούργησε για µας. Οι επιφυλάξεις σταµάτησαν όταν ο J. Von Neumann έδωσε το 1929 έναν κοµψό πλην αυστηρό και έγκυρο ορισµό των διατακτικών αριθµών. Εδειξε ότι για κάθε καλώς διατεταγµένο σύνολο A, R υπάρχει µοναδικό µεταβατικό σύνολο σύνολο T (δηλαδή καλώς διατεταγµένο µε τη σχέση T του ανήκειν) ώστε A, R T, T. Ετσι, όρισε ως διατακτικό τύπο A, R του A, R το (µοναδικό αυτό) σύνολο T. Με το νέο αυτό ορισµό δεν προέκυπτε κάποιο πρόβληµα όπως αυτό που είχε ο Cantor, ενώ συνέπιπτε µε την ιδέα που είχε ο τελευταίος για τους διατακτικούς αριθµούς του. Συγκεκριµένα ικανοπούνταν 5

το αίτηµά του να ισχύει A, R = B, S A, R B, S. 3.2 Θεµελιώδη στοιχεία των διατακτικών αριθµών Παραθέτουµε τον ορισµό του J. Von Neumann για τους διατακτικούς αριθ- µούς. Ορισµός 3.2.1. Κάθε µεταβατικό σύνολο T, που είναι καλώς διατεταγµένο από την σχέση T = { x, y T T τ.ω. x y} λέγεται διατακτικός αριθµός. Παράδειγµα 3.2.2. Στη ϑεωρία των συνόλων, οι ϕυσικοί αριθµοί ορίζονται να είναι τα σύνολα των προηγουµένων τους. Συγκεκριµένα 0 =, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, 4 = {0, 1, 2, 3} κ.ο.κ. Σύµφωνα µε τον ορισµό (3.2.1), κάθε ϕυσικός είναι ένας διατακτικός αριθµός. Παράδειγµα 3.2.3. Στη ϑεωρία των συνόλων, συνήθως συµβολίζουµε µε ω το σύνολο N των ϕυσικών αριθµών. Το ω είναι ένας διατακτικός αριθµός. Αποδεικνύεται ότι αν α, β διατακτικοί αριθµοί, τότε το a, a είναι όµοιο µε γνήσιο αρχικό τµήµα του b, b αν και µόνον αν a b. Από τα παραπάνω, µπορούµε να ορίσουµε σύγκριση των διατακτικών α- ϱιθµών. Ορισµός 3.2.4. (Σύγκριση διατακτικών αριθµών) Λέµε οτι a < b αν a b και a b αν a b είτε a = b. Οπως και µε την περίπτωση των διατάξεων, αυτό είναι κάτι που δεν ξε- ϕεύγει από τα πλαίσια της λογικής της Θεωρίας των Συνόλων. Το πιο κοντινό µας παράδειγµα σύγκρισης διατακτικών αριθµών είναι και πάλι οι ϕυσικοί. Πριν κλείσουµε αυτήν την ενότητα ϑα πρέπει να αναφέρουµε οτι εαν δεχτούµε το αξίωµα της επιλογής, προκύπτει το επόµενο πολύ σηµαντικό ϑεώ- ϱηµα. Θεώρηµα 3.2.5. (Αρχή Καλής ιάταξης του Zermelo) Κάθε σύνολο δέχεται καλή διάταξη. 6

Στην πραγµατικότητα, η Αρχή της Καλής ιάταξης δεν είναι ενα απλό πόρισµα του Αξιώµατος της Επιλογής. Για κάθε σύνολο που δέχεται µια καλή διάταξη, µπορούµε να ορίσουµε µια συνάρτηση επιλογής για τα υποσύνολά του. Από την Αρχή Καλής ιάταξης έπεται ότι για κάθε σύνολο υπάρχει µια συνάρτηση επιλογής γιά τα υποσύνολά του. Το γεγονός αυτό είναι ισοδύναµο µε το Αξίωµα της Επιλογής, δηλαδή η Αρχή Καλής ιάταξης του Zermelo και το αξίωµα της επιλογής είναι ισοδύναµα. Οταν λοιπόν δεχτούµε το αξίωµα της επιλογής (συνεπώς και την Αρχή της Καλής ιάταξης), η ϑεωρία των διατακτικών αριθµών µας δίνει τα εφόδια για τον χειρισµό λεπτών εννοιών όπως αυτής της σύγκρισης συνόλων µε άπειρα στοιχεία. Στη Συνολοθεωρία χρησιµοποιούµε 1 1 και επί συναρτήσεις για να συγκρίνουµε τον πληθάριθµο τυχαίων συνόλων, όµως όταν αυτά είναι άπειρα, σκοντάφτουµε σε Ϲητήµατα που έχουν να κάνουν µε το είδος του απείρου. Με χρήση διατακτικών αριθµών µπορούµε αρχικά να κατηγοριοποιήσουµε το είδος του απείρου που προαναφέραµε και ακολούθως να συγκρίνουµε δυο σύνολα όχι µόνο ως προς το πλήθος τους αλλά και ως προς το είδος της διάταξής τους. 4 Επίλογος Στις µαθηµατικές κοινότητες υπάρχει η έννοια του crank. Αναφέρεται κυ- ϱίως σε ψευδοµαθηµατικούς που ισχυρίζονται πως έχουν καταφέρει κάποιο σηµαντικό επίτευγµα (π.χ. έχουν τετραγωνίσει τον κύκλο, έχουν αποδείξει την εικασία του Riemann κλπ) και δεν παραδέχονται κάποια προφανή λογικά σφάλµατα στα οποία έχουν υποπέσει. Πρόσφατα έπεσε στα χέρια µου το ϐιβλίο ενος crank ο οποίος ισχυριζόταν πως είχε αποδείξει το ανυπόστατο του απέιρου. Παρά το αστείο της υπόθεσης, είναι σηµαντικό να δούµε πώς αποκρούεται µια οποιαδήποτε άποψη που αντιτίθεται στο άπειρο ως µαθηµατική έννοια. Το άπειρο δεν είναι παρα µια έννοια που ϐασίζεται σε αξιώµατα, τα ο- ποία δεχόµαστε a priori, ως κανόνες του παιχνιδιού που λέγεται Μαθηµατικά. Εάν κάποιος δεν µπορεί να δεχτεί το άπειρο λόγω ϕιλοσοφικών πεποιθήσεων δεν έχει παρά να αφαιρέσει µερικούς κανόνες από το παιχνίδι. Στην καλύτερη περίπτωση το παιχνίδι δεν ϑα έχει ενδιαφέρον, στην χειρότερη µπορεί και να µην παίζεται. Ωστόσο δεν µπορεί να αρνηθεί το άπειρο όπως αυτό χρησιµοποιήται στα Μαθηµατικά, τουλάχιστον ως σύµβαση για να κάνουµε καλά (και όµορφα) την δουλειά µας. Στην εργασία αυτή που έγινε στα πλαίσια του µαθήµατος Ιστορία της Λογικής, ϑέλησα να δώσω µια ιδέα για τον τρόπο που χειρίζεται κανείς τα άπειρα σύνολα µε αµιγώς µαθηµατικό -οπότε και αδιαµφισβήτητο- τρόπο παρουσιά- Ϲοντας επιγραµµατικά κάποια στοιχεία της ϑεωρίας των διατακτικών αριθµών, 7

του κλάδου της Συνολοθεωρίας που ϐρίσκεται ίσως πιό κοντά από κάθε άλλον στην έννοια του απείρου. Για µια πιό λεπτοµερή µελέτη της ϑεωρίας αυτής, µπορεί κανείς να ανατρέξει σε οποιοδήποτε εισαγωγικό ϐιβλίο της Συνολοθεωρίας, όπως το κλασικό Naive Set Theory του Paul Halmos (The University series in Undergraduate Mathematics, Van Nostrand Reinhold, New York 1960). 8