Στοιχεία Μηχανών ΙΙ Α. Ασκήσεις άλυτες Άσκηση Α.1: Πλήρης υπολογισμός οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση Περιγραφή της κατασκευής: Σε μία αποθήκη υλικών σιδήρου χρησιμοποιείται μία γερανογέφυρα ανυψωτικής ικανότητας πέντε (5) τόννων. Tο σύστημα πορείας της γερανογέφυρας, το οποίο εξασφαλίζει ταχύτητα πορείας 31,5 m/min, αποτελείται από τα εξής μέρη: α) τον κινητήρα (Κ) (βλ. σχήμα παρακάτω), ισχύος 2,5 PS, ο οποίος λειτουργεί στις 940 στρ/min, β) τον μονοβάθμιο μειωτήρα (Μ) με μετωπικούς τροχούς με κεκλιμένη (πλάγια) οδόντωση με συνολική σχέση μετάδοσης i = 5,45 και γ) το ζεύγος οδοντοτροχών (2) και (3), με ευθεία (παράλληλη) οδόντωση, που είναι στερεωμένοι: ο πρώτος στην άτρακτο εξόδου του μειωτήρα και ο δεύτερος στον κινητήριο τροχό (Τ) του συστήματος πορείας. H διάμετρος των κινητήριων τροχών (Τ) της γερανογέφυρας είναι 250 mm και η αξονική απόσταση του ζεύγους οδοντοτροχών (2) (3) περιορίζεται για κατασκευαστικούς λόγους στα 200 mm. H διάμετρος της ατράκτου εισόδου του μειωτήρα είναι 20 mm. Zητούνται: α) Ο υπολογισμός μελέτης του ζεύγους οδοντοτροχών (2) (3) (στοιχείο (γ) της παραπάνω περιγραφής). β) Ο υπολογισμός ελέγχου της ίδιας οδόντωσης. Σημείωση: Nα μην ληφθούν υπόψη οι βαθμοί απόδο- Κ σης. Tα υλικά των οδοντωτών 1 Μ τροχών να επιλε- γούν με βάση οικονομικά κριτήρια (από τα υλικά που καλύπτουν τις απαιτήσεις αντοχής να επιλεγούν αυτά με το μικρότερο κόστος). 2 3 Τ Από την περιστροφική ταχύτητα (σε στρ/min) Ρ του κινητήρα και τη σχέση μετάδοσης του μειωτήρα, μπορεί να υπολογισθεί η περιστροφική ταχύτητα (σε στρ/min) του οδοντοτροχού (2), που βρίσκεται στην έξοδο του μειωτήρα. Ο τροχός (Τ) μοιράζεται το βάρος του γερανού με τους άλλους τροχούς του συστήματος πορείας. Το βάρος αυτό το μεταβιβάζει στην ακίνητη ράγα (Ρ). Η περιστροφική ταχύτητα (σε στρ/min) του τροχού (Τ) προσδιορίζεται με βάση την επιδιωκόμενη ταχύτητα πορείας (31,5 m/min) και τη διάμετρο του τροχού (Τ). Ακριβώς ίδια είναι και η περιστροφική ταχύ- 200 Φ250
τητα του οδοντοτροχού (3). Με γνωστές τις περιστροφικές ταχύτητες των τροχών (2) και (3) σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορεί να βρεθεί η σχέση μετάδοσης μεταξύ των τροχών (2) και (3). Άσκηση Α.2: Πλήρης υπολογισμός οδοντοτροχών με κεκλιμένη οδόντωση Για την κατασκευή που περιγράφηκε στην άσκηση Α.1, ζητούνται επιπλέον: α) Ο υπολογισμός μελέτης των μετωπικών τροχών με κεκλιμένη οδόντωση του μονοβάθμιου μειωτήρα (Μ) (στοιχείο (β) της περιγραφής που δίνει η ασκ. Α.1). β) Ο υπολογισμός ελέγχου της ίδιας οδόντωσης. Άσκηση Α.3: Υπολογισμός μελέτης οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση Μορφή υπολογισμού 1 Δύο άτρακτοι συνδέονται μεταξύ τους με ζεύγος οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση, που δημιουργούν σχέση μετάδοσης i = 2,4. Κινητήρια είναι η γρήγορη άτρακτος, η οποία έχει περιστροφική ταχύτητα n 1 =1430 Σ/min. Ο μικρός οδοντοτροχός είναι ολόσωμος με την άτρακτό του, η οποία έχει διάμετρο d=30mm (βλ. σχήμα). Η ποιότητα των οδοντοτροχών είναι η συνηθισμένη του εμπορίου. Η έδραση (σε κιβώτιο μειωτήρα) είναι καλή. Να βρεθούν οι αριθμοί δοντιών των οδοντοτροχών, οι διάμετροι των αρχικών κύκλων τους, το μέτρο οδοντώσεως (modul), τα πλάτη των τροχών και η περιστροφική ταχύτητα της κινούμενης ατράκτου. Άσκηση Α.4: Υπολογισμός μελέτης οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση Μορφή υπολογισμού 2 Δεδομένα όπως στην άσκηση A.3, αλλά δεν δίνεται το d=30mm. Δίνεται η ισχύς που μεταδίδεται από τον μικρό στον μεγάλο τροχό, ίση με Ν1 = 20 PS. Ζητούμενα όπως στην άσκηση Α.3
Άσκηση Α.5: Υπολογισμός μελέτης οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση Μορφή υπολογισμού 3 Δεδομένα όπως στην άσκηση A.3, αλλά δεν δίνεται το d=30mm, ούτε η ισχύς. Δίνεται όμως ότι: Η αξονική απόσταση των τροχών πρέπει να είναι a = 255 mm. Ζητούμενα όπως στην άσκηση Α.3 Άσκηση Α.6: Υπολογισμοί μελέτης οδοντοτροχών με κεκλιμένη οδόντωση Δεδομένα όπως στην άσκηση Α.3 ή Α.4 ή Α.5, με τη διαφορά ότι προδιαγράφεται κεκλιμένη οδόντωση. Ζητούμενα: Οι αριθμοί δοντιών των οδοντοτροχών, η γωνία κλίσεως δοντιών, το μέτρο οδοντώσεως (modul) σε κάθετη τομή, το μέτρο οδοντώσεως σε μετωπική τομή, οι διάμετροι των αρχικών κύκλων των τροχών, τα πλάτη των τροχών και η περιστροφική ταχύτητα της κινούμενης ατράκτου. Άσκηση Α.6: Υπολογισμοί ελέγχου οδοντοτροχών με κεκλιμένη οδόντωση, όταν δίνονται όλες οι διαστάσεις των τροχών Σε ζεύγος οδοντοτροχών με κεκλιμένη οδόντωση ισχύουν τα εξής: Αριθμοί δοντιών: z1=15, z2=37 Μέτρο οδοντώσεως (modul) σε τομή κάθετη προς το δόντι: mn=2,5mm Γωνία κλίσης δοντιών: β=22, συντελεστές μετατόπισης κατατομής: χ1=0,5, χ2=0,2, πλάτος οδοντοτροχών: b=20mm Με βάση τα παραπάνω, η αρχική διάμετρος του μικρού τροχού προκύπτει ίση με d1=40,445mm, ενώ οι φανταστικοί αριθμοί δοντιών προκύπτουν ίσοι με z 1n =18,5 και z 2n =45,6 Η περιστροφική ταχύτητα του μικρού τροχού είναι n 1 = 3000 Σ/min, άρα η περιφερειακή (γραμμική) ταχύτητα των δοντιών είναι υ=6,35 m/s Υλικό κατασκευής: χάλυβας St60, φόρτιση κυματοειδής. Ζητείται ο έλεγχος αντοχής των δοντιών σε θραύση, αν στην άτρακτο του μικρού τροχού ασκείται στρεπτική ροπή Mt1 = 140 Nm. Επίσης ζητείται ο έλεγχος αντοχής των δοντιών σε επιφανειακή πίεση. Β. Ασκήσεις λυμένες Άσκηση Β.1: Πλήρης υπολογισμός οδοντοτροχών με κεκλιμένη οδόντωση Δεδομένα: Ισχύς κινητήριας ατράκτου: Ν 1 = 50 kw Περιστροφική ταχύτητα κινητήριας ατράκτου: n 1 = 4000 Σ/min Επιθυμητή σχέση μετάδοσης: i = 2,5 (επιτρέπεται μία μικρή απόκλιση) Υλικό οδοντοτροχών: χάλυβας C15
Λύση: α) Άλλα μεγέθη λειτουργίας: Περιστροφική ταχύτητα κινητήριας ατράκτου, σε Σ/s=Hz: 4000 Σ/min ν 1 = = 66,7Σ/s = 66,7Hz 60s/min Γωνιακή ταχύτητα κινητήριας ατράκτου: ω 1 = 2 π ν = 2 * 3,14 * 66,7 rad/s = 418,9 rad/s (Β' τρόπος υπολογισμού της γων. ταχύτητας της κινητήριας ατράκτου ω 1 : 1 rad/s είναι 9,55 Σ/min x είναι 4000 Σ/min 4000 Σ/min Ισχύει x = ----------------- * 1 rad/s = 418,9 rad/s ) 9,55 Σ/min Στρεπτική ροπή κινητήριας ατράκτου: N 1 50.000W Μ t 1 = T 1 = = ω 1 418,9 rad/s = 119,4 Nm β) Μέγεθος οδοντοτροχού, προσεγγιστικά: Εάν τα d και do1 (που θα έχει την ίδια σημασία με το dos1) είναι αυτά που εξηγούνται στο σχήμα (α) παρακάτω, τότε μπορούμε να πάρουμε: ³ T 1 ³ 119.400 Nmm Διάμετρο κινητήριας ατράκτου: d ---------- = ---------------------- => 0,2 τεπ 0,2 * 25 N/mm² => d 28,8 mm d = 30 mm α) β) Εικόνα: (α) Οδοντοτροχός ολόσωμος με την άτρακτο (β) Οδοντοτροχός συνδεδεμένος με την άτρακτο με σφήνα Εκτιμούμε ότι do1 1,5 d = 1,5 * 30mm = 45mm Πρώτη εκτίμηση γραμμικής ταχύτητας: υ = π d 01 n 1 60 s/min = 3,14 0,045 m 4000 Σ/min 60s/min = 9,42 m/s
Επειδή υ > 5 m/s παίρνουμε z 1 = 25 Διάμετρος οδοντοτροχού (ακριβέστερος υπολογισμός): 1,1*d*z 1 1,1*30mm*25 d 01 = d 0s1 = ------------- = --------------------- = 36,7mm z 1 2,5 25 2,5 Μέτρο οδοντώσεως (modul) σε μετωπική τομή: d 0s1 36,7mm ms = ------- = ------------ = 1,468mm z 1 25 Υπολογισμός πλάτους: Πρέπει b 1 = ψ d d 0s1 (1) αλλά ταυτόχρονα b 1 ψ m m n (2) Δεχόμαστε περίπτωση (β) για το ψ d (μέση ποιότητα οδόντωσης και έδρασης) οπότε για i = 2,5 προκύπτει ψ d = 0,62 και b 1 = ψ d d 0s1 = 0,62 * 36,7mm 23mm Ο έλεγχος κατά τον τύπο (2) δεν μπορεί να εκτελεσθεί ακόμη. Υπολογισμός γωνίας κλίσεως: m s tanβ 0 3,5 ------- (3) b 1 Άρα 1,468mm tanβ 0 3,5 --------------- = 0,22339 => β 0 = 12,59 ο 23mm Μέτρο οδοντώσεως σε κάθετη τομή: mn,προσεγγιστικό = ms cosβ 0 = 1,468mm * cos12,59 o = 1,433mm Εκλέγεται η τυποποιημένη τιμή mn,τυπ = 1,50mm γ) Μέγεθος οδοντοτροχών, οριστικές τιμές: Αφού προσδιορίσθηκε η τυποποιημένη τιμή του μέτρου οδοντώσεως σε κάθετη τομή (δηλ. η mn,τυπ = 1,50mm), μπορούν να βρεθούν οι οριστικές τιμές και των υπόλοιπων διαστάσεων των δύο οδοντοτροχών του ζεύγους που μελετούμε. Η οριστική τιμή του μέτρου οδοντώσεως σε μετωπική τομή είναι mn,τυπ 1,50mm ms' = ---------- = --------------- = 1,537mm cosβ 0 cos12,59 o Διαλέγουμε z 2 = z 1 * i = 25 * 2,5 = 62,5 => z 2 = 63 Άρα η σχέση μετάδοσης γίνεται: i = z 2 / z 1 = 63 / 25 = 2,52 Οι διάμετροι των οδοντοτροχών θα είναι: του μικρού οδοντοτροχού: d 0s1 ' = m s ' * z 1 = 1,537mm * 25 = 38,425mm του μεγάλου οδοντοτροχού: d 0s2 ' = m s ' * z 2 = 1,537mm * 63 = 96,831mm Με βάση τη διάμετρο του μικτού οδοντοτροχού, η γραμμική ταχύτητα θα είναι:
υ = π d ' n 0s1 1 3,14 0,038425m 4000 Σ/min = = 8,05m/s 60s/min 60s/min Εξακολουθεί να ισχύει υ > 5 m/s, οπότε παραμένει η εκλογή z 1 = 25 Το πλάτος με βάση τις οριστικές τιμές των υπόλοιπων μεγεθών: Από τη σχέση του πλάτους με τον βαθμό πλάγιας επικαλύψεως ε sp (δηλ. από τύπο ανάλογο με τον (3) παραπάνω) προκύπτει: m s ' π b 2 = --------- ε sp (4) tanβ 0 Στον παραπάνω τύπο θα δεχθούμε τις τιμές ε sp = 1,1 (που είναι μία εύστοχη τιμή για τον βαθμό πλάγιας επικαλύψεως) και tanβ 0 = 0,22339 (όσο ακριβώς είχε βρεθεί νωρίτερα). Στον τύπο τοποθετείται το πλάτος b 2, επειδή ο βαθμός πλάγιας επικαλύψεως προκύπτει από το μικρότερο από τα δύο πλάτη τροχών, που είναι το b 2. Ισχύει: m s ' π 1,537mm * π b 2 = --------- ε sp = ------------------- * 1,1 = 23,8mm 24mm tanβ 0 0,22339 Αυτό είναι το πλάτος του μικρού τροχού. Για το πλάτος του μεγάλου τροχού θα δεχθούμε ότι b 2 = b 1 3mm άρα b 1 = b 2 + 3mm = 24mm + 3mm = 27mm Έλεγχος για το πλάτος: Αναφέρθηκε (βλ. τύπο (2) παραπάνω) ότι πρέπει b 1 ψ m m n Στην περίπτωσή μας ισχύει ψ m = 25, άρα πρέπει b 1 25 * 1,5mm = 37,5mm Παρατηρούμε ότι το πλάτος b 1 = 27mm δεν ξεπερνά την επιτρεπόμενη τιμή. ε) Δυνάμεις στα δόντια: P u = 2Τ 1 d 0s1 ' = 2 119400Nmm 38,425 mm = 6215N P r = P tanα n tan 20o u = 6215Ν = 2318N cosβ ο cos12,59 o (όπου α n = 20 από το κοπτικό εργαλείο). P a = P u tanβο = 6215N * tan12,59 = 1388N στ) Αντοχή του ποδιού σε δυναμική θραύση: P u Πρέπει b 1 m n φ q κ σ επ (5) Από τη σελ. 58α του βιβλίου του εργαστηρίου παίρνουμε β = 12,59 => φ = 1,305
Ο φανταστικός αριθμός δοντιών είναι z n1 = z 1 1 sin 2 β o cos 2 α n cosβ o = = 26,7 Με z n1 = 26,7 και χ 1 = 0, από το διάγραμμα της σελ. 45 του βιβλίου του εργαστηρίου παίρνουμε qκ = 2,7 Για υλικό C15, από τη σελ. 46 του βιβλίου του εργαστηρίου παίρνουμε σ ο = 22 kp/mm² 220 Ν/mm² Δεχόμαστε συντελεστή ασφάλειας ίσο με 1,5 οπότε η επιτρεπόμενη τάση γίνεται: 220 2 σ επ = = 146Ν /mm 1,5 Αντικαθιστούμε στην ανισότητα (5) τις αριθμητικές τιμές των μεγεθών και βλέπουμε αν επαληθεύεται: 6215Ν 27mm 1,5mm 1,305 * 2,7 146N/mm 2 => 317,5N/mm 2 146N/mm 2 Η ανισότητα δεν επαληθεύεται, άρα το πόδι του οδοντοτροχού δεν αντέχει σε θραύση. ζ) Αντοχή των δοντιών σε επιφανειακή πίεση: Πρέπει: P u b 2 d 0s1 ' * i 1 i y w y c y L p o y 1 y 2 S (6) (Χρησιμοποιείται το μικρότερο από τα δύο πλάτη, δηλ. το b 2, επειδή σε αυτό ασκείται η επιφανειακή πίεση) Από προηγούμενους υπολογισμούς γνωρίζουμε ότι: P u = 6215N 621,5 kp, b 2 = 24mm, d 0s1 ' = 38,425mm, i = 63/25 = 2,52 Για συνδυασμό υλικών χάλυβα και χάλυβα παίρνουμε y w = 86 και y 1 = 1 Βρέθηκε νωρίτερα ότι ο φανταστικός αριθμός δοντιών του μικρού οδοντοτροχού είναι z n1 = 26,7. Επομένως του μεγάλου οδοντοτροχού είναι z n2 = i z n1 = 2,52 * 26,7 = 67,3 και το άθροισμα των αριθμών δοντιών είναι z n1 + z n2 = 26,7 + 67,3 = 94 Δεχόμαστε ότι οι τροχοί δεν έχουν μετατόπιση κατατομής, άρα χ 1 + χ 2 = 0 Με βάση τα z n1 + z n2 = 94, χ 1 + χ 2 = 0 και β 0 = 12,59, από το σχήμα Α3 της σελίδας 49 παίρνουμε y c = 1,72 Για τον συντελεστή y L δεχόμαστε, χάριν απλοποίησης του υπολογισμού, την τιμή y L =1 Για υλικό C15, από τη σελ. 46 του βιβλίου του εργαστηρίου παίρνουμε p ο = 190 kp/mm² Για περιφερειακή ταχύτητα υ = 8,05m/s, από τον πίνακα Α9 της σελ. 50 εκλέγουμε ιξώδες λιπαντικού ίσο με 70cSt. Επομένως, σύμφωνα με το σχήμα Α5 της σελ. 51, ο παράγοντας λιπάνσεως είναι y 2 = 0,9 Εκλέγεται συντελεστής ασφάλειας S = 1,5
Αντικαθιστούμε στην ανισότητα (6) τις αριθμητικές τιμές των μεγεθών και βλέπουμε αν επαληθεύεται: 621,5 24 * 38,425 * 2,52 + 1 190 * 1 * 0,9 * 86 1,72 1,0 => 2,52 1,5 => 143 114 Παρατηρούμε ότι η ανισότητα δεν επαληθεύεται, άρα τα δόντια δεν αντέχουν σε επιφανειακή πίεση. η) Συμπέρασμα: Βρέθηκε ότι δεν επαληθεύεται κανένας από τους δύο ελέγχους αντοχής των οδοντοτροχών. Απαιτείται κάποια τροποποίηση (π.χ. αύξηση των αριθμών δοντιών με διατήρηση του ίδιου i, αύξηση του m n, καλύτερη έδραση ώστε να επιτρέπεται μεγαλύτερο ψ d άρα και μεγαλύτερο πλάτος) ώστε να επαληθεύονται οι ανισότητες που εξετάζουμε.