ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 359 5. 1 ΣΥΝΟΛΑ Η έννοια του συνόλου Ονομάζουμε σύνολο στα Μαθηματικά κάθε ομάδα αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους με απόλυτη σαφήνεια Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε ένα σύνολο ονομάζεται στοιχείο του συνόλου. Παράσταση συνόλου α) Με αναγραφή των στοιχείων του Γράφουμε μια μόνο φορά καθένα από τα στοιχεία του και με οποιαδήποτε σειρά τα τοποθετούμε ανάμεσα σε δύο άγκιστρα Για παράδειγμα το σύνολο των γραμμάτων της λέξης μαθηματικά είναι Α = { μ, α, θ, η, τ, ι, κ}. Μερικές φορές χρησιμοποιούμε συμβολισμό ίδιο με τον παραπάνω για να παραστήσουμε και ένα σύνολο που έχει πολλά ή άπειρα στοιχεία. Τότε γράφουμε μερικά στοιχεία του και για τα υπόλοιπα, που θα εννοούνται με σαφήνεια, χρησιμοποιούμε αποσιωπητικά(3) Για παράδειγμα το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν = { 0,1,2,3,...} Για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο α ανήκει ή δεν ανήκει σε ένα σύνολο Α γράφουμε α Α και α Α β) Με περιγραφή των στοιχείων του Αντί να γράψουμε αναλυτικά τα στοιχεία ενός συνόλου μπορούμε να τα παραστήσουμε περιγράφοντας αυτά,δηλαδή τα στοιχεία του συνόλου των περιττών αριθμών Α = { 1,3,5,7,...} μπορούμε να τα παραστήσουμε ως εξής: Α = { περιττοί αριθμοί} ή Α = { x N,όπου x περιττός αριθμός} γ) Με διάγραμμα Venn Ένα σύνολο μπορούμε να το παραστήσουμε εποπτικά και με το Α εσωτερικό μιας κλειστής γραμμής. Για παράδειγμα το σύνολο μ θ η των γραμμάτων της λέξης μαθηματικά όπως δείχνει το διπλανό τ ι α κ διάγραμμα, το οποίο ονομάζεται διάγραμμα Venn.
360 ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ Ίσα σύνολα Δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Για παράδειγμα τα σύνολα Α = { 1,2, 3} και Β = { τα ψηφία του αριθμού312} Συμβολισμός: Α=Β. Υποσύνολο συνόλου Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Για παράδειγμα τα σύνολα Α = { 5,3,6} και Β = { 1,2,3,4,5, 6} Συμβολισμός: Α Β Για κάθε σύνολο Α ισχύει Α Α. Αν Α Β και Β Γ, τότε Α Γ. Οι συμβολισμοί των γνωστών μας συνόλων είναι: Φυσικοί αριθμοί Ν = { 0, 1, 2, 3, 4,...} Ακέραιοι αριθμοί Ζ = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} α Ρητοί αριθμοί Q =, όπου α,β ακέραιοι, με β 0 β Πραγματικοί αριθμοί R = { ρητοί ή άρρητοιαριθμοί }. Είναι Ν Ζ Q R. Στο διπλανό σχήμα υπάρχει το διάγραμμα Venn για τα σύνολα αυτά Το ευρύτερο σύνολο του οποίου τα σύνολα που θα μας απασχολήσουν είναι υποσύνολα λέγεται βασικό σύνολο. Για παράδειγμα στο παραπάνω διάγραμμα το βασικό σύνολο είναι το R. Κενό σύνολο Κενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν έχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται. Για παράδειγμα το σύνολο Α = { τα άρτια ψηφία του αριθμού315}. το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου
ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 361 Πράξεις με σύνολα α) Ένωση συνόλων. Ένα σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά και μη κοινά στοιχεία δύο συνόλων Α και Β ονομάζεται ένωση των συνόλων Α, Β και συμβολίζεται Α U B. Α = { 7,8,9,11,13 και Β = { 5,6,8, 13 Τότε Α Β = { 5,6,7,8,9,11, 13} Για παράδειγμα αν πάρουμε τα σύνολα } } Στο διπλανό διάγραμμα του Venn φαίνεται η ένωση των συνόλων Α και Β με το πιο σκούρο χρώμα Α 9 7 8 11 13 6 Β 5 Ω Ένα στοιχείο ανήκει στην ένωση δύο συνόλων Α, Β, αν ανήκει στο σύνολο Α ή στο σύνολο Β, δηλαδή αν ανήκει σ ένα τουλάχιστον από αυτά. β) Τομή συνόλων. Ένα σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά στοιχεία δύο συνόλων Α και Β ονομάζεται τομή των συνόλων Α, Β και συμβολίζεται Α B. Α = { 7,8,9,11,13 και Β = { 5,6,8, 13 Τότε Α Β = { 8, 13}. Α Β Ω Στο διπλανό διάγραμμα του Venn φαίνεται η τομή των 7 5 συνόλων Α και Β με το 8 9 πράσινο χρώμα 11 13 6 Για παράδειγμα αν πάρουμε τα σύνολα } } Ένα στοιχείο ανήκει στην τομή δύο συνόλων Α, Β, αν ανήκει και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β.
362 ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ γ) Συμπλήρωμα συνόλου. Ένα σύνολο που έχει ως στοιχεία όλα τα στοιχεία του Ω (βασικό σύνολο) που δεν ανήκουν στο Α ονομάζεται συμπλήρωμα του Α ως προς το Ω και συμβολίζεται Α. Ω = { 7,8,9,11,13 και Α = { 5,6,8, 13 Τότε Α = { 7,9, 11}. Για παράδειγμα αν πάρουμε τα σύνολα } } Στο διπλανό διάγραμμα του Venn φαίνεται το συμπλήρωμα του συνόλου Α με πιο ανοικτό χρώμα Α U Α = Ω Α I Α =. 7 9 8 5 13 6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Τα σύνολα Α = { 1, 2, 3} και Β = { 3, 2, 1} είναι ίσα. β) Τα σύνολα Α = { 6, 7} και Β = { 67} είναι ίσα. γ) Αν Α = { α, β} και Β = { α, γ, δ, ε}, τότε Α Β. δ) Το σύνολο Α = { x R, όπου 0x = 2} είναι το κενό σύνολο. ε) Α U Α = Ω. στ) Α I Α =. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι σωστή (Σ) γιατί περιέχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Η β είναι λάθος (Λ) γιατί δεν περιέχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Η γ είναι λάθος (Λ) γιατί δεν ανήκουν όλα τα στοιχεία του Α στο Β. Η δ είναι σωστή (Σ) γιατί η εξίσωση είναι αδύνατη και το σύνολο δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Η ε είναι σωστή (Σ) γιατί το σύνολο Α είναι συμπλήρωμα του Α. Η στ είναι σωστή (Σ) γιατί το σύνολο Α είναι συμπλήρωμα του Α. 11 Α
ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 363 2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε σύνολο της στήλης Α, το ίσο του σύνολο από τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β α 3 α. { x R, όπου x 2 = 4} β. { x Ν, όπου x 2 = 4} γ. { x Ζ, όπου 3x = 4} δ. { x Ν, όπου x 2} 1. { 0, 1, 2} 2. 2, 2 3. { } 4. { 2 } 5. { 1, 2 } β 4 γ 2 δ 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στην α αντιστοιχεί η 3, γιατί x 2 = 4 ή x = ± 4 = ± 2 Στην β αντιστοιχεί η 4, γιατί x 2 = 4 ή x = ± 4 = ± 2 και απορρίπτουμε την αρνητική τιμή x=2 γιατί δεν είναι φυσικός αριθμός. 4 Στην γ αντιστοιχεί η 2, γιατί 3 x = 4 ή x = αλλά απορρίπτεται γιατί δεν 3 είναι ακέραιος αριθμός. Στην δ αντιστοιχεί η 1, γιατί οι φυσικοί που είναι μικρότεροι είτε ίσοι με το 2 είναι οι 1,2. Η εξίσωση x 2 = 6x γίνεται x 2-6x =0 x(x-6)=0 x=0 ή x=6 άρα το λάθος έγινε στην απλοποίηση και χάθηκε η ρίζα. 3. Από το διάγραμμα Venn του διπλανού σχήματος να προσδιορίσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα. Ω =. Α = Β=. Α = Β =.. Α U Β =.. Α I Β =.. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ω = { 1,2,3,4,5,6,7 } Α = { 1,2,3} Β = { 2,3,4,5 } Α = { 4,5,6,7} Β ={ 1,6,7 } Α U Β = {,2,3,4,5 } 1 Α I Β = { 2,3}
364 ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 4. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε σύνολο της στήλης Α, το συμπλήρωμά του ως προς Ω = { α, β, γ, δ, ε } από τη στήλη Β. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στήλη Α α. { β } β. { α, β, ε} γ. { α, β, γ, δ, ε } δ. γράμματα ε. { της λέξης δάδα } Στήλη Β 1. { α, β, γ, δ, ε } 2. 3. { β, γ, ε} 4. { α, δ } α, γ, δ, ε γ, δ 5. { } 6. { } α 5 β 6 γ 2 δ 3 ε 1 5. Με βάση το διπλανό διάγραμμα Venn να καθορίσετε το χρώμα ή τα χρώματα των παρακάτω συνόλων. α) Α U Β : β) Α I Β : γ) Α : δ) Β : ε) (Α U Β) : στ) (Α I Β) : ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Α U Β : ΚΑΦΕ, ΚΙΤΡΙΝΟ, ΜΠΛΕ β) Α I Β : ΚΙΤΡΙΝΟ γ) Α : ΘΑΛΑΣΣΙ,ΜΠΛΕ δ) Β : ΘΑΛΑΣΣΙ,ΚΑΦΕ ε) (Α U Β) : ΘΑΛΑΣΣΙ στ) (Α I Β) : ΘΑΛΑΣΣΙ, ΚΑΦΕ, ΜΠΛΕ
ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 365 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Nα παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα: α) Α = { x R, όπου x 2 = 25} β) Β = { x Ν, όπου x 2 = 25} γ) Γ = { x Ζ, όπου - 2 < x 4} δ) Δ = { x Ν, όπου x διαιρέτης του 12} α) Α = { 5,5}, γιατί οι λύσεις της εξίσωσης { x 2 = 25} που είναι πραγματικοί αριθμοί είναι οι τιμές -5, 5. β) Β = { 5 }, γιατί οι λύσεις της εξίσωσης { x 2 = 25} που είναι φυσικοί α- ριθμοί είναι η τιμή 5. γ) Γ = { 1,0,1,2,3,4 }, γιατί οι ακέραιοι αριθμοί που βρίσκονται μεταξύ του - 2 (μη συμπεριλαμβανομένου) και του 4 (συμπεριλαμβανομένου) είναι οι -1, 0,1,2,3,4. δ) Δ = { 1,2,3,4,6,12}, γιατί οι φυσικοί αριθμοί που είναι διαιρέτες του 12 είναι οι 1,2,3,4,6,12. ΑΣΚΗΣΗ 2 Ποιο από τα σύνολα Α = { 0, 2, 4}, Β = { 1, 0}, Γ = { 1, 2, 3}, Δ = {( 1, 2),( 4, 5) } είναι υποσύνολο του συνόλου Κ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} και ποιο είναι ίσο με το σύνολο Λ = { άρτιοι φυσικοί αριθμοί μικρότεροι του 6 } ή με το σύνολο Μ { x R, όπου x 2 = + x = 0}; Το σύνολο Λ = { 0,2, 4} και Μ = { 1, 0}, γιατί οι λύσεις της εξίσωσης x 2 +x=0 που είναι πραγματικοί αριθμοί είναι το -1 και το 0 x 2 + x = 0 ή x( x + 1) = 0 ή (x = 0 ή x + 1 = 0) ή (x = 0 ή x = -1) Τα σύνολα Α και Γ είναι υποσύνολα του Κ. Το σύνολο Α είναι ίσο με το σύνολο Λ. Το σύνολο Β είναι ίσο με το σύνολο Μ
366 ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ ΑΣΚΗΣΗ 3 Nα παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο Α = { ψηφία του αριθμού 2123} και να βρείτε όλα τα υποσύνολά του. Το σύνολο Α = { 1,2,3 } Τα υποσύνολα του είναι: Α 1 = { 1 }, Α 2 = { 2 }, Α 3 = { 3 }, Α 4 = {,2} { 1,3}, Α 6 ={ 2,3},Α 7 = Α={ 1,2, 3},Α 8 =. ΑΣΚΗΣΗ 4 Nα παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο Α = (x, y), όπου x, y Ν και x + y = 4 { } Το ζητούμενο σύνολο Α = {( 0,4), ( 1,3 ), ( 2,2),( 3,1 ), ( 4,0) } 1, Α 5 = Γιατί τα ζεύγη των φυσικών αριθμών που είναι λύσεις της εξίσωσης x+y=4 είναι (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0) Προσοχή το ζευγάρι (0,4) δεν είναι το ίδιο με το (4,0) γιατί το πρώτο ζευγάρι σημαίνει ότι x=0 και y=4 ενώ το δεύτερο ζευγάρι (4,0) σημαίνει ότι x=4 και y=0, το ίδιο ισχύει με τα ζευγάρια (1,3) και (3,1). ΑΣΚΗΣΗ 5 Nα παραστήσετε με περιγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα: α) { 1, 3, 5, 7, 9,...} β) Β = ι, σ, τ, ο, ρ, α γ) Γ = { 0, 2} Α = { } α) Α = { x N, όπου x περιττός}, β) Β={ x όπου x γράμμα της λέξης ιστορία}, γ) Γ = { x Ν, όπου x( x - 2) = 0} ή Γ = { ψηφία του αριθμού 20} ΑΣΚΗΣΗ 6 Με βασικό σύνολο Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, θεωρούμε τα σύνολα Α = { 1, 2, 4, 5} και Β = { 2, 4, 6}. Να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn και να προσδιορίσετε τα σύνολα α) Α U Β β) Α I Β γ) Α δ) Β.
ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 367 Είναι Α Β = { 1,2,4,5, 6} και Α Β = { 2, 4} Α = { 3, 6}, Β = { 1,3, 5} Α 1 5 2 4 3 Β 6 Ω. ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνονται τα σύνολα Α = { γράμματα της λέξης άλγ εβρα }, Β = { γράμματα της λέξης φρεγ άτα} και Γ = { γράμματα της λέξης ε λά φ ι }. α) Nα γράψετε τα σύνολα Α, Β, Γ με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn. β) Nα προσδιορίσετε τα σύνολα Β U Γ, Α I Β, Α I Γ. γ) Να επαληθεύσετε ότι Α I ( Β U Γ ) = (Α I Β) U (Α I Γ ). α) Τα ζητούμενα σύνολα είναι : α, β, γ,ε, λ,ρ γ,ε,ρ, τ, φ Α ={ }, Β ={ α, }, Γ = = { α, ε,λ,ι,φ} Α Β Ω β) Τα ζητούμενα σύνολα είναι: β τ ρ Β U Γ = { α, γ,ε,ι,λ,ρ, τ,φ}, Α I Β = γ C 1 α { α, γ,ε,ρ}, Α I Γ = { α, ε,λ} λ ε φ γ) Τα ζητούμενα σύνολα είναι: Α I ( Β U Γ ) = { α, γ,ε, λ,ρ}, ι (Α I Β) U (Α I Γ ) = { α, γ,ε, λ,ρ}, Γ Από τις σχέσεις (1) και (2) που έχουν τα δεύτερα μέλη τους ίσα προκύπτει ότι : Α I ( Β U Γ ) = (Α I Β) U (Α I Γ ). ΑΣΚΗΣΗ 8 Θεωρούμε τα σύνολα Α = { θεατές της τελετής έναρξης των Ολυμπιακών Αγώνων τ ου 2004}. Β = { θεατές της τελετής λήξης των Ολυμπιακών Αγώνων του 2004}. Σε ποιο σύνολο ανήκει εκείνος που : α) Παρακολούθησε και τις δύο τελετές.
368 ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ β) Παρακολούθησε μια τουλάχιστον τελετή. γ) Παρακολούθησε την τελετή έναρξης και όχι την τελετή λήξης. δ)δεν παρακολούθησε την τελετή έναρξης αλλά ούτε και την τελετή λήξης α) Αυτός που παρακολούθησε και τις δύο τελετές ανήκει στο σύνολο Α I Β αφού είναι κοινό στοιχείο και των δύο συνόλων. β) Αυτός που παρακολούθησε μια τουλάχιστον τελετή ανήκει στο σύνολο Α U Β, αφού ανήκει ή στο ένα σύνολο ή στο άλλο ή και στα δύο σύνολα μαζί, γιατί παρακολουθώντας μία τουλάχιστον τελετή δεν αποκλείεται να παρακολούθησε και τις δύο τελετές. γ) Αυτός που δεν παρακολούθησε την τελετή λήξης ανήκει στο σύνολο Β και φυσικά στο σύνολο Α, άρα και στο Α I Β δ) Αυτός που δεν παρακολούθησε την τελετή έναρξης αλλά ούτε και την τελετή λήξης ανήκει στο σύνολο Α και Β άρα και στο σύνολο Α I Β ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνονται τα σύνολα Α = { αθλητές στίβου} και Β = { φοιτητές Πανεπιστημ ίου} Τι συμπεραίνετε για εκείνον που ανήκει στο σύνολο α) Α U Β β) Α I Β γ) Α δ) Β ε) Α I Β στ) Α I Β ζ) Α I Β ; α) Αυτός που ανήκει στο σύνολο Α U Β είναι ή αθλητής στίβου ή φοιτητής Πανεπιστημίου, χωρίς φυσικά να αποκλείεται να έχει και τις δύο αυτές ιδιότητες. β) Αυτός που ανήκει στο σύνολο Α I Β είναι και αθλητής στίβου και φοιτητής Πανεπιστημίου. γ) Στο σύνολο Α ανήκει όποιος δεν είναι αθλητής στίβου. δ) Στο σύνολο Β ανήκει όποιος δεν είναι φοιτητής Πανεπιστημίου. ε) Αυτός που ανήκει στο σύνολο Α I Β είναι αθλητής στίβου και όχι φοιτητής του Πανεπιστημίου. ε) Αυτός που ανήκει στο σύνολο Α I Β δεν είναι αθλητής στίβου και είναι φοιτητής Πανεπιστημίου. στ) Αυτός που ανήκει στο σύνολο Α I Β δεν είναι αθλητής στίβου και δεν είναι φοιτητής Πανεπιστημίου.