Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης 2010-2011 kolako@ced.upatras.gr 10 Μαρτίου 2011 Πρόβημα 1 Ερώτημα ) Έστω W S και W B ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά του σταθμού S και B αντίστοιχα. Λαμβάνοντας υπόψιν και τις πιθανότητες δρομοόγησης των πεατών στους 2 σταθμούς παίρνουμε: W = p W S + (1 p) W B (1) Οπότε αρκεί να βρούμε τους επιμέρους μέσους χρόνους αναμονής W S και W B. Όμως W B = επτά από τα δεδομένα του προβήματος. Για τον μέσο χρόνο αναμονής στο σταθμό S σκεφτόμαστε ως εξής: Έστω ένας συγκεκριμένος επιβάτης που μόις φθάνει στο σταθμό S. O αριθμός των επιβατών που βρίσκει να περιμένουν στην ουρά του S είναι με πιθανότητα 1/7 για = 0, 1,..., 6. Αυτό προκύπτει από την παρατήρηση ότι, το πήθος των επιβατών στην ουρά του σταθμού S ορίζει Μαρκοβιανή αυσίδα με χώρο κατάστασης {0, 1,..., 6} η οποία δίνεται παρακάτω: 0 1 2 3 Άρα στις συνθήκες ισορροπίας (μόνιμη κατάσταση) όες οι καταστάσεις έχουν πιθανότητα q = 1/7, όπως φαίνεται κατευθείαν όγω συμμετρίας. Κατά συνέπεια, και δεδομένου ότι αν υπάρχουν επιβάτες στην ουρά η αναμενόμενη καθυστέρηση είναι 6, o μέσος χρόνος αναμονής γίνεται: 6 ( ) 6 W S = q = 3 4 Συνεπώς, αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε το ζητούμενο: =0 W =p 3 +(1 p) 6 1
Ερώτημα ) Θα προσεγγίσουμε πρόβημα από μία διαισθητική οπτική γωνία. Από τον τρόπο που διατυπώνεται το πρόβημα γίνεται προφανές πως αυτό που εέγχει την συμπεριφορά των πεατών είναι ο ρυθμός αφίξεων. Όσο μεγαύτερο είναι το τόσο μεγαύτερο είναι και το κίνητρο να επιεγεί ο σταθμός S.Θεωρούμε ξεχωριστές περιπτώσεις ανάογα με την παρατηρησιμότητα ή μη της ουράς. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΕΣ ΟΥΡΕΣ Κατ'αρχήν η παρατήρηση ή μη, της ουράς του σταθμού B δεν επηρεάζει την απόφαση των πεατών, καθώς πάντα ο αναμενόμενος χρόνος αναμονής για την περίπτωση του σταθμού B θα είναι, σύμφωνα με τα δεδομένα του προβήματός μας, ίσος με επτά. Υποθέτουμε οιπόν πως οι επιβάτες με το που φθάνουν στο σύστημα, παρατηρούν την ουρά του σταθμού S και έπειτα παίρνουν απόφαση ποιον σταθμό θα διαέξουν. Προφανώς, όσο περισσότεροι πεάτες περιμένουν στον σταθμό S τόσο ποιο συμφέρον είναι για ένα νέο πεάτη που φθάνει να ακοουθήσει και αυτός τον σταθμό. Έστω ένας συγκεκριμένος πεάτης Α, που φθάνει στο σύστημα όταν ο σταθμός S είναι άδειος. Τόσο ο Α, όσο και οι υπόοιποι πεάτες εξετάζουν αν ο ρυθμός αφίξεων είναι ικανός να τους προσφέρει χαμηότερο μέσο χρόνο αναμονής αν επιέξουν τον S. Επειδή όοι οι πεάτες επιέγουν με γνώμονα το συμφέρον τους είναι ογικό για τον Α να θεωρήσει την ευνοϊκότερη περίπτωση στην οποία όοι διαέγουν S. Ο μέσος χρόνος αναμονής του τότε 6 θα είναι. Αν κάτω από αυτές τις συνθήκες τον συμφέρει να ακοουθήσει τον σταθμό S (δηαδή αν 6 < ), τότε προφανώς θα συμφέρει και όους όσους βρίσκουν μεγαύτερη ουρά στον S. Από την άη, αν ο Α δεν επιέξει τον S τότε κανένας μετά από αυτόν δεν θα τον επιέξει (οι επόμενες αφίξεις θα βρίσκονται πάντα μπροστά στο ίδιο δίημμα με τον Α, και θα επιέγουν πάντα το ίδιο με τον Α), και συνεπώς ο S δεν θα χρησιμοποιείται από κανέναν.οπότε αν: < 6, όοι διαέγουν Β > 6, όοι διαέγουν S (2) ΜΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΕΣ ΟΥΡΕΣ Στην περίπτωση τώρα, που οι πεάτες δεν επιτρέπεται να παρατηρήσουν το μήκος των ουρών θα πρέπει να πάρουν απόφαση με βάση τον αναμενόμενο μέσο χρόνο αναμονής όπως τον υποογίσαμε στο ερώτημα, θέτοντας το p = 1. Επομένως ο αναμενόμενος χρόνος αναμονής θα είναι 3.Συνεπώς: < 3, όοι διαέγουν Β > 3, όοι διαέγουν S (3) Επομένως, οι ζητούμενοι μέσοι χρόνοι αναμονής και πήθους πεατών στις ουρές του συστήματος προκύπτουν κατευθείαν, με την βοήθεια του νόμου του Lttle.Για την παρατηρήσιμη περίπτωση: W = N Q =,< 6 & W =3 / N Q =3,> 6 2
Ενώ για την μή παρατηρήσιμη: W = N Q =,< 3 & W =3 / N Q =3,> 3 ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον να παρατηρήσει κανείς, το εξής παράδοξο. Για 3 < < 1 το να δώσουμε περισσότερη πηροφορία στους πεάτες (το να μπορούν να δουν την κατάσταση της ουράς πριν αποφασίσουν) τους οδηγεί σε μεγαύτερο μέσο χρόνο καθυστέρησης!! Ορισμένες φορές πράγματι η άγνοια είναι ευτυχία... Πρόβημα 2 Ερώτημα 1 Προφανώς ισχύει m k=0 p =1. Ο ρυθμός αφίξεων στη CPU είναι p 0 στην -οστή συσκευή Ι/Ο είναι p 0. Από το θεώρημα του Jackso έχουμε: P ( 0, 1,..., m )= m =0 ρ (1 ρ ) ρ 0 =, ρ = p, >0 µ 0 p 0 µ p 0 ενώ ο ρυθμός αφίξεων Επομένως ένα ισοδύναμο σύστημα με m + 1 ουρές σε σειρά που έχει την ίδια κατανομή με το σύστημά μας, είναι CP U 1 st I/O 2 d I/O m th I/O Ο ρυθμός αφίξεων είναι, ενώ οι ρυθμοί εξυπηρέτησης έχουν ως εξής: η CPU έχει ρυθμό εξυπηρέτησης µ 0 p 0 και η ουρά, ( > 0) µ p 0 p. Ερώτημα 2 Έστω 0 ο ρυθμός άφιξης στην CPU, και ο ρυθμός άφιξης στην -οστή συσκευή Ι/Ο. Έχουμε: = p 0, = 1, 2,..., m Έστω και 0 =1, =p, =1,2,...m ρ = µ, =1,2,...m 3
Σχήμα 1: Η ανοικτή(αριστερά) και η κειστή(δεξιά) εκδοχή του συστήματος Από το θεώρημα του Jackso η κατανομή των πεατών στο σύστημα δίνεται από: P ( 0, 1,..., m )= ρ 0 o ρ 1 1 ρ m m όπου η σταθερά κανονικοποίησης που αντιστοιχεί σε M πεάτες, = ρ o 0 ρ 1 1 ρ m m 0 + 1 + + m =M Έστω ο παράγοντας χρησιμοποίησης της CPU. Έχουμε: ρ o 0 ρ 1 1 ρ m m U 0 =P ( 0 1)= = 0 + 1 + + m =M /0 1 G(M 1) = =ρ 0 = 1 G(M 1) µ 0 Συνεπώς ο ρυθμός αφίξεων στην CPU θα είναι: Ερώτημα 3 0 = G(M 1) Έστω U s ο παράγοντας χρησιμοποίησης του σταθμού s. Έχουμε να αποδείξουμε ότι: lm U s (M) s(m)= lm =1 µ s 4
Αά από το θεώρημα του Jackso για τα κειστά δίκτυα έχουμε ότι: U s (M)=ρ s G(M 1) Για να αποδείξουμε το ζητούμενο θα χρησιμοποιήσουμε το αγεβρικό τέχνασμα που χρησιμοποίησε και ο Buze στην απόδειξη του αγόριθμου του. Έχουμε: = k =M ρ = k =M, s=0 ρ + Αφού όμως ρ s = max{ρ 0, ρ 1,..., ρ m } έχουμε: Συνεπώς, η (4) συνεπάγεται: lm lm k =M, s 0 ρ s A(M) lm B(M) =0 k =M 1 = lm U s(m)=1 ρ ρ k =M, s>0 =1= = lm ρ = A(M) + B(M) (4) ρ s G(M 1) =