Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0

Κεφάλαιο 5 Σειρές Fourier 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Σε αυτό το κεφάλαιο ϑεωρούµε συναρτήσεις µε µιγαδικές τιµές. Αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στη µορφή f = u + iv, όπου u(x) = Re(f(x)) και v(x) = Im(f(x)), x [a, b]. Λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη αν οι u, v είναι ολοκλη- ϱώσιµες, και ορίζουµε (5..) b a f(x) dλ(x) = b a u(x) dλ(x) + i b a v(x) dλ(x). Εύκολα ελέγχουµε ότι εξακολουθεί να ισχύει η γραµµικότητα : αν οι f, g : [a, b] C είναι ολοκληρώσιµες και αν, s C τότε (5..) b a (f(x) + sg(x)) dλ(x) = b a f(x) dλ(x) + s b a g(x) dλ(x). Θα χρησιµοποιούµε συχνά το εξήσ: αν η f : [a, b] C είναι ολοκληρώσιµη, τότε (5..3) b a b f(x) dλ(x) f(x) dλ(x). a Για την απόδειξη αυτού του ισχυρισµού, γράφουµε (5..4) b a f(x) dλ(x) = Re ix, όπου R = b a f(x) dλ(x) και x R, 47

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER και παρατηρούµε ότι b a f(x) dλ(x) = e ix = = b a b a b a f(x) dλ(x) = b Re(e ix f(x)) dλ(x) f(x) dλ(x). a e ix f(x) dλ(x) b a e ix f(x) dλ(x) Στην τρίτη ισότητα χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι αφού το ολοκλήρωµα της e ix f(x) είναι πραγµατικός αριθµός ϑα ισούται µε το ολοκλήρωµα της Re(e ix f(x)). Ορισµός 5.. (µιγαδικές συναρτήσεις στο µοναδιαίο κύκλο). Συµβολίζουµε µε το µοναδιαίο κύκλο (5..5) = {z C : z = } = {e ix : x R}. Αν F : C είναι συνάρτηση µε µιγαδικές τιµές, ορίζουµε f : R C µε (5..6) f(x) = F (e ix ). Παρατηρήστε ότι η f είναι -περιοδική. Αντίστροφα, αν f : R C είναι µια περιοδική συνάρτηση, τότε η F : C µε F (e ix ) = f(x) είναι καλά ορισµένη (πράγµατι, αν e ix = e ix για κάποιους x, x R τότε x = x + kπ για κάποιον ακέραιο k, άρα f(x ) = f(x ) από την -περιοδικότητα της f). Εχουµε λοιπόν µια αντιστοιχία ανάµεσα στις συναρτήσεις F : C και τις -περιοδικές συναρτήσεις f : R C. Με ϐάση αυτήν την αντιστοιχία, λέµε ότι η F είναι ολοκληρώσιµη αν η f είναι ο- λοκληρώσιµη σε κάποιο (άρα σε κάθε) διάστηµα µήκους, η F είναι συνεχής αν η f είναι συνεχής, η F είναι παραγωγίσιµη αν η f είναι παραγωγίσιµη, η F είναι συνεχώς παραγωγίσιµη αν η f είναι συνεχώς παραγωγίσιµη και ούτω καθεξής. Ορισµός 5.. (ο χώρος L p ()). Για κάθε p < ϑεωρούµε το χώρο L p () των -περιοδικών µετρήσιµων συναρτήσεων f : R C για τις οποίες (5..7) f(x) p dλ(x) <, ταυτίζοντας ως συνήθως συναρτήσεις που είναι ίσες σχεδόν παντού, εφοδιασµένο µε τη νόρµα (5..8) f p = ( /p f(x) dλ(x)) p.

5.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 49 Γράφοντας εννοούµε οποιοδήποτε διάστηµα µήκους, για παράδειγµα το (, π]. Ο (L p (), p ) είναι χώρος Banach (η απόδειξη είναι όµοια µε αυτήν που δόθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο). Θεωρούµε επίσης τον χώρο (L (), ) των «ουσιωδώς ϕραγµένων» -περιοδικών µετρήσιµων f, ο οποίος είναι χώρος Banach µε νόρµα την (5..9) f = min{β : λ({x : f(x) > β}) = } = lim p f p. Ορισµός 5..3 (τριγωνοµετρικά πολυώνυµα). Πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο είναι κάθε πεπερασµένος γραµµικός συνδυασµός των συναρτήσεων cos kx και sin kx. ηλαδή, κάθε συνάρτηση της µορφής (x) = a + (a k cos kx + b k sin kx), k= όπου n N και a k, b k R. Ο ϐαθµός του είναι ο µικρότερος n για τον οποίο το έχει µια αναπαράσταση αυτής της µορφής. Συµβολίζουµε µε n την κλάση όλων των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων που έχουν ϐαθµό µικρότερο ή ίσο από n. Παρατηρήστε ότι ο n είναι γραµµικός υπόχωρος του χώρου των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων f : R R. Μιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο είναι µια συνάρτηση της µορφής (5..) p(x) = k= n c k e ikx όπου n, c k C και c n + c n. Ο n είναι ο ϐαθµός του p. Θεωρούµε επίσης ότι η µηδενική συνάρτηση είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο µηδενικού ϐαθµού. Χρησιµοποιώντας την γραµµικότητα του ολοκληρώµατος και το γεγονός ότι, αν k Z, (5..) { e ik d =, αν k, αν k =, ελέγχουµε εύκολα ότι (5..) c k = p(x)e ikx dλ(x) για κάθε k n. Ορισµός 5..4 (τριγωνοµετρική σειρά). Τριγωνοµετρική σειρά είναι µια σειρά της µορφής (5..3) k= c k e ikx.

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Με τον όρο πραγµατική τριγωνοµετρική σειρά αναφερόµαστε σε µια σειρά της µορφής (5..4) a + (a k cos kx + b k sin kx), k= όπου a k, b k R. Το συµµετρικό n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς (5..3) είναι το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (5..5) s n (x) = c k e ikx, k= n ενώ το n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς (5..4) είναι το πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (5..6) a + (a k cos kx + b k sin kx). k= Ορισµός 5..5 (σειρά Fourier). Εστω f L (). Για κάθε k Z ορίζουµε τον k-οστό συντελεστή Fourier της f µέσω της (5..7) f(k) = Από την (5..3) έχουµε (5..8) f(k) = f(x)e ikx dλ(x). f(x)e ikx dλ(x) f(x) dλ(x) = f, χρησιµοποιώντας και το γεγονός ότι e ikx =. Συνεπώς, η ακολουθία { f(k)} k Z είναι ϕραγµένη. Η σειρά Fourier της f είναι η σειρά συναρτήσεων (5..9) S(f, x) = k= f(k)e ikx. Το n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier της f είναι το µιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (5..) s n (f, x) = k= n f(k)e ikx. Αν F : C είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση, ϑεωρούµε την f(x) = F (e ix ) και ορίζουµε τους συντελεστές Fourier της f µέσω του περιορισµού της f στο (, π], χρησιµοποιώντας την (5..7).

5.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 Παρατήρηση 5..6. Εστω f L (). Για κάθε k ορίζουµε (5..) a k (f) = π και για κάθε k ορίζουµε (5..) b k (f) = π f(x) cos kx dλ(x) f(x) sin kx dλ(x). Αν η f είναι άρτια, δηλαδή f( x) = f(x) για κάθε x, τότε όλοι οι συντελεστές b k µηδενί- Ϲονται, και (5..3) a k (f) = π f(x) cos kx dλ(x). Αν η f είναι περιττή, δηλαδή f( x) = f(x) για κάθε x, τότε όλοι οι συντελεστές a k µηδενίζονται, και (5..4) b k (f) = π Παρατηρήστε ότι : αν k Z \ {}, (5..5) και (5..6) Επίσης, f(k) = = a k(f) ib k (f), f(x) sin kx dλ(x). f(x) cos kx dλ(x) i f(x) sin kx dλ(x) f( k) = f(x) cos kx dλ(x) + i f(x) sin kx dλ(x) = a k(f) + ib k (f). (5..7) f() = Παίρνουµε έτσι την επόµενη πρόταση. f(x) dλ(x) = a (f). Πρόταση 5..7. Εστω f L (). Για κάθε k Z \ {} ισχύουν οι (5..8) a k (f) = f(k) + f( k) και b k (f) = i( f(k) f( k)). Επίσης, a (f) = f() και (5..9) s n (f, x) = k= n f(k)e ikx = a (f) + (a k (f) cos kx + b k (f) sin kx). k=

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Απόδειξη. Οι ισότητες a (f) = f(), a k (f) = f(k) + f( k) και b k (f) = i( f(k) f( k)) προκύπτουν άµεσα από τις (5..5), (5..6) και (5..7). Για την (5..3) γράφουµε s n (f, x) = f(k)e ikx k= n = a (f) = a (f) = a (f) = a (f) = a (f) + + + + + f(k)e ikx + k= k= n f(k)e ikx n f(k)e ikx + f( k)e ikx k= k= n f(k)(cos kx + i sin kx) + f( k)(cos kx i sin kx) k= ( f(k) + f( k)) cos kx + k= k= i( f(k) f( k)) sin kx k= (a k (f) cos kx + b k (f) sin kx), k= χρησιµοποιώντας την (5..8). Το ϐασικό πρόβληµα που ϑα µας απασχολήσει είναι το εξήσ: αν F : C είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση, ή ισοδύναµα, αν f : R C είναι µια -περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιµη σε κάθε διάστηµα µήκους, ϑα εξετάσουµε αν η ακολουθία s n (f, x) = n k= n f(k)e ikx «συγκλίνει» στην f. Σαν ένα πρώτο παράδειγµα, ϑεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = x στο [, π) και την επεκτείνουµε σε -περιοδική συνάρτηση στο R. Η f είναι προφανώς ολοκληρώσιµη στο [, π]. Θα υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier της f. Αφού η f είναι περιττή, έχουµε π (5..3) f() = x dλ(x) =. Για κάθε k γράφουµε f(k) = = = xe ikx dλ(x) = π ik + xe ikx = ( )k+. ik e ikπ πe ikπ ik = k x e ikx ik [ e ikx dλ(x) ik e ikπ + e ikπ i ] dλ(x)

5.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 53 e Χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι ikx ik dλ(x) =. Επεται ότι (5..3) S(f, x) = ( ) k+ e ikx ( ) k+ e ikx ( ) k+ e ikx = ik ik k k= k+ sin kx = ( ). k k= Θα µπορούσε κανείς, εναλλακτικά, να παρατηρήσει πρώτα ότι a k (f) = για κάθε k Z, διότι η f είναι περιττή. Αυτό σηµαίνει ότι (5..3) S(f, x) = k b k (f) sin kx. Χρησιµοποιώντας ολοκλήρωση κατά µέρη, ακριβώς όπως παραπάνω, µπορείτε να υπολογίσετε τους συντελεστές b k (f) και να καταλήξετε πάλι στην (5..3). 5. Τριγωνοµετρικά πολυώνυµα Σκοπός µας σε αυτήν την παράγραφο είναι να δείξουµε ότι η κλάση των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων είναι πυκνή στο χώρο (C(), ) των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων f : R C. Θεώρηµα 5... Εστω f : R C συνεχής -περιοδική συνάρτηση. Για κάθε ε > υπάρχει µιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p τέτοιο ώστε (5..) f p = max{ f(x) p(x) : x R} ε. Ισοδύναµα, υπάρχει ακολουθία {p m } τριγωνοµετρικών πολυωνύµων τέτοια ώστε f p m. Στη συνέχεια ϑα δούµε και άλλες αποδείξεις του Θεωρήµατος 5... ίνουµε όµως πρώτα µία απόδειξη που είναι «ανεξάρτητη» από την ϑεωρία των σειρών Fourier. Ξεκινάµε µε κάποιες παρατηρήσεις για τα πραγµατικά τριγωνοµετρικά πολυώνυµα. Πρόταση 5... Κάθε πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (x) ϐαθµού n είναι πολυώνυµο των cos x και sin x ϐαθµού n. ηλαδή, υπάρχει πολυώνυµο p(, s) ϐαθµού n ώστε (5..) (x) = p(cos x, sin x). Η Πρόταση 5.. είναι άµεση συνέπεια του ακόλουθου λήµµατος.

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Λήµµα 5..3. Για κάθε n, οι συναρτήσεις cos nx και (sin(n + )x)/ sin x είναι πολυώνυµα του cos x ϐαθµού n. Απόδειξη. είχνουµε µε επαγωγή ότι : για κάθε n υπάρχουν a,n,..., a n,n R ώστε n (5..3) cos nx = n cos n x + a j,n cos j x. Παρατηρήστε ότι η (5..3) ισχύει τετριµµένα για n =, ενώ για n = γνωρίζουµε ότι j= (5..4) cos x = cos x. Υποθέτουµε ότι η (5..3) ισχύει για το cos kx, k. Από την τριγωνοµετρική ταυτότητα (5..5) cos[(k + )x] + cos[(k )x] = cos kx cos x παίρνουµε cos(k + )x = cos kx cos x cos(k )x k k = cos x k cos k x + a j,k cos j x k cos k x a j,k cos j x = k cos k+ x + j= k a j,k+ cos j x j= για κατάλληλους a j,k+ R. Για τον δεύτερο ισχυρισµό του λήµµατος, χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα (5..6) sin[(k + )x] sin[(k )x] = cos kx sin x δείχνουµε επαγωγικά ότι, για κάθε n, j= (5..7) sin(n + )x sin x n = n cos n x + a j,n cos j x j= για κατάλληλους a j,n R (η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση). Παρατήρηση 5..4. Θεωρούµε το σύνολο (5..8) B n = {, cos x, cos x,..., cos n x, sin x, sin x cos x,..., sin x cos n x}. Από το Λήµµα 5..3 έχουµε (5..9) n span(b n ),

5.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 55 όπου span(b n ) είναι ο γραµµικός χώρος που παράγεται από το B. Ειδικότερα, η διάσταση dim( n ) του n είναι µικρότερη ή ίση από n+, κάτι που είναι ϕανερό και από το γεγονός ότι (5..) n = span(a n ), όπου (5..) A n = {, cos x, cos x,..., cos nx, sin x,..., sin nx}. Παρατηρήστε ότι card(a n ) = card(b n ) = n + (µε card(x) συµβολίζουµε το πλήθος των στοιχείων ενός πεπερασµένου συνόλου X). Πρόταση 5..5. Για κάθε n ισχύει (5..) n = span(b n ) = span(a n ). Για την απόδειξη της Πρότασης 5..5 ϑα δείξουµε πρώτα ότι το A n είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Θα χρειαστούµε την επόµενη πρόταση. Πρόταση 5..6 (σχέσεις ορθογωνιότητας). Ισχύουν τα παρακάτω : (i) Αν m, n =,,,... και m n τότε (5..3) (ii) Αν m, n =,,... και m n τότε (5..4) (iii) Αν m =,,,... και n =,,... τότε (5..5) (iv) Αν m, n =,,... τότε (5..6) cos mx cos nx dλ(x) =. sin mx sin nx dλ(x) =. cos mx sin nx dλ(x) =. cos mx dλ(x) = sin nx dλ(x) =. Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Χρησιµοποιήστε τις ταυτότητες cos θ cos φ = cos(θ φ) + cos(θ + φ), sin θ cos φ = sin(θ + φ) + sin(θ φ), sin θ sin φ = cos(θ φ) cos(θ + φ), και τις cos θ = cos θ +, sin θ = cos θ.

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Πρόταση 5..7. Το σύνολο A = {, cos x, cos x,..., cos nx, sin x,..., sin nx} είναι γραµ- µικά ανεξάρτητο (πάνω από το R). Απόδειξη. είχνουµε ότι αν (5..7) (x) = ν + για κάποιους ν k, µ k R, τότε (ν k cos kx + µ k sin kx), k= (5..8) ν = ν = = ν n = µ = = µ n =. Αυτό προκύπτει άµεσα από την Πρόταση 5..6. Για παράδειγµα, για κάθε m =,..., n έχουµε = (x) sin mxdλ(x) = ν sin mxdλ(x) + (ν k cos kx sin mxdλ(x) + µ k k= = µ m sin mx sin mxdλ(x) = µ m, ) sin kx sin mxdλ(x) διότι cos kx sin mxdλ(x) = για κάθε k n και π sin kx sin mxdλ(x) = για κάθε k n, k m. Οµοια δείχνουµε ότι ν m = για κάθε m =,,..., n. Απόδειξη της Πρότασης 5..5. Από την Πρόταση 5..7 γίνεται σαφές ότι dim( n ) = n+ : το A είναι µία ϐάση του n. Επιπλέον, αφού span(b) n και dim(span(b)) n+, συµπεραίνουµε ότι, τελικά, (5..9) n = span(b) = span(a). Ειδικότερα, κάθε πολυώνυµο του cos x, ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από n, ανήκει στην κλάση n. Θα χρησιµοποιήσουµε το προσεγγιστικό ϑεώρηµα του Weiersrass (µια απόδειξη δίνεται στο Παράρτηµα). Θεώρηµα 5..8. Εστω f : [a, b] R συνεχής συνάρτηση. πολυώνυµο p ώστε Για κάθε ε > υπάρχει (5..) f p = max{ f(x) p(x) : x [a, b]} ε. Ισοδύναµα, υπάρχει ακολουθία {p m } πολυωνύµων ώστε f p m.

5.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 57 Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 5..8 ϑα δείξουµε ότι η κλάση των πραγµατικών τριγωνοµετρικών πολυωνύµων είναι «πυκνή» στον χώρο των συνεχών -περιοδικών πραγ- µατικών συναρτήσεων : Θεώρηµα 5..9. Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση. Για κάθε ε > υπάρχει πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ώστε (5..) f = max{ f(x) (x) : x R} ε. Ισοδύναµα, υπάρχει ακολουθία { m } πραγµατικών τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ώστε f m. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα τον ισχυρισµό του ϑεωρήµατος, κάνοντας την επιπλέον υπόθεση ότι η f είναι άρτια : δηλαδή, f( x) = f(x) για κάθε x R. Ορίζουµε g : [, ] R µε (5..) g(y) = f(arccos y). Η g είναι καλά ορισµένη, διότι arccos y [, π] για κάθε y [, ], και συνεχής, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Από το Θεώρηµα 5..8 υπάρχει πολυώνυµο p ώστε g p < ε. ηλαδή, (5..3) f(arccos y) p(y) < ε για κάθε y [, ]. Ορίζουµε (x) = p(cos x). Το είναι πολυώνυµο του cos x, άρα. Παρατηρούµε ότι, για κάθε x [, π] υπάρχει y [, ] ώστε y = cos x, και τότε, (5..4) f(x) (x) = f(x) p(cos x) = f(arccos y) p(y) < ε. Αφού οι f και είναι άρτιες συναρτήσεις, έπεται ότι (5..5) f = max{ f(x) (x) : x π} < ε, το οποίο είναι το Ϲητούµενο. Για τη γενική περίπτωση, ϑεωρούµε τυχούσα συνεχή -περιοδική συνάρτηση f : R R και ορίζουµε (5..6) f (x) = f(x) + f( x) και f (x) = [f(x) f( x)] sin x. Παρατηρήστε ότι οι f και f είναι άρτιες, συνεχείς και -περιοδικές. Άρα, µπορούµε να ϐρούµε τριγωνοµετρικά πολυώνυµα και ώστε (5..7) f < ε και f < ε.

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Αν ϑέσουµε (5..8) 3 (x) = ( (x) sin x + (x) sin x), τότε 3 και, για κάθε x [, π], f(x) sin x 3 (x) = f (x) sin x + f (x) sin x (x) sin x (x) sin x (f (x) (x)) sin x + (f (x) (x)) sin x f (x) (x) + f (x) (x) < ε + ε = ε. Με άλλα λόγια, αν ορίσουµε f 3 (x) = f(x) sin x τότε (5..9) f 3 3 < ε. Θεωρούµε τώρα τη συνάρτηση g(x) := f ( x π ). Η g είναι συνεχής και -περιοδική. Συνεπώς, ο ίδιος συλλογισµός δείχνει ότι υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο 4 ώστε, για τη συνάρτηση f 4 (x) = g(x) sin x να ισχύει f 4 4 < ε. Αν ορίσουµε 5(x) = 4 (x + π/), τότε το 5 είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (εξηγήστε γιατί) και για κάθε x R, αν ϑέσουµε y = x + π/ έχουµε (5..3) f(x) cos x 5 (x) = f(x) cos x 4 (x + π/) = f(y π/) sin y 4 (y) < ε. Συνεπώς, (5..3) f 5 5 < ε, όπου f 5 (x) = f(x) cos x. Παρατηρήστε ότι f = f 3 + f 5, διότι f(x) = f(x) sin x + f(x) cos x. Ορίζουµε = 3 + 5. Τότε, και (5..3) f = (f 3 + f 5 ) ( 3 + 5 ) f 3 3 + f 5 5 < ε + ε = ε. Αυτό αποδεικνύει το ϑεώρηµα. Πόρισµα 5... Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση µε την ιδιότητα (5..33) a k (f) = b k (f) = για κάθε k. Τότε, f.

5.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 59 Απόδειξη. Από την υπόθεση και από τη γραµµικότητα του ολοκληρώµατος είναι ϕανερό ότι (5..34) f(x) (x) dλ(x) = για κάθε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. Από το Θεώρηµα 5..9 υπάρχει ακολουθία { m } τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ώστε f m. Τότε, για κάθε m έχουµε (5..35) f (x) dλ(x) = = f (x) dλ(x) f(x) m (x) dλ(x) f(x)(f(x) m (x)) dλ(x). Άρα, (5..36) f (x) dλ(x) f f m dλ(x) = f f m. Επεται ότι (5..37) f (x) dλ(x) =, και, αφού η f είναι συνεχής, συµπεραίνουµε ότι f. Απόδειξη του Θεωρήµατος 5... Εστω f : R C συνεχής -περιοδική συνάρτηση και έστω ε >. Γράφουµε f = u + iv και, χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 5..9. Εστω f : R R ϐρίσκουµε πραγµατικά τριγωνοµετρικά πολυώνυµα, τέτοια ώστε (5..38) u ε/ και v ε/. Παρατηρήστε ότι αν ορίσουµε p = u + iv τότε (5..39) f(x) p(x) = u(x) (x) + v(x) (x) u + v ε για κάθε x R, άρα (5..4) f p = max{ f(x) p(x) : x R} ε. Μένει να δείξουµε ότι η p = u + iv είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. τέτοιος ώστε τα, να γράφονται στη µορφή Υπάρχει n N (5..4) (x) = (a k cos kx + b k sin kx) και (x) = ( k cos kx + s k sin kx), k= k=

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER όπου a k, b k, k, s k R. Αν ορίσουµε c k = a k ib k και d k = k is k, τότε από τους υπολογισµούς της Παρατήρησης 5..6 ϐλέπουµε ότι (5..4) p(x) = (x) + i (x) = c k e ikx + i d k e ikx = (c k + id k )e ikx, k= n k= n k= n δηλαδή το p είναι (µιγαδικό) τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού το πολύ ίσου µε n. Πόρισµα 5... Αν η f : R C είναι συνεχής -περιοδική συνάρτηση µε (5..43) f(k) = για κάθε k Z, τότε f. Απόδειξη. Ακριβώς όπως στην απόδειξη του Πορίσµατος 5.., από την υπόθεση και από τη γραµµικότητα του ολοκληρώµατος είναι ϕανερό ότι (5..44) f(x)p(x) dλ(x) = για κάθε µιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p. Από το Θεώρηµα 5.. υπάρχει ακολου- ϑία {p m } µιγαδικών τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ώστε f p m. Τότε, για κάθε m έχουµε (5..45) Άρα, (5..46) f(x) dλ(x) = f(x) dλ(x) = f(x) dλ(x) f(x)p m (x) dλ(x) f(x) f(x) p m (x) dλ(x). f f p m dλ(x) = f f p m. Επεται ότι (5..47) f(x) dλ(x) =, και, αφού η f είναι συνεχής, συµπεραίνουµε ότι f, δηλαδή f. 5.3 Βασικές ιδιότητες των σειρών Fourier Σε αυτήν την παράγραφο συγκεντρώνουµε ϐασικές και χρήσιµες ιδιότητες των σειρών Fourier, τις οποίες ϑα χρησιµοποιούµε συχνά στα επόµενα. Κάποιες πολύ στοιχειώδεις ιδιότητες είναι οι εξήσ:

5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 6 (i) Αν f, g L () και α C τότε (5.3.) f + αg(k) = f(k) + α ĝ(k) για κάθε k Z. (ii) Αν g L () τότε (5.3.) ĝ(k) = ĝ( k) για κάθε k Z. (iii) Αν f L (), α R και f α () = f( + α), τότε (5.3.3) fα (k) = f( + α)e ik d = e ikα f(k) για κάθε k Z. (iv) Αν f L (), n Z και g n () = f()e in, τότε (5.3.4) ĝ n (k) = f()e in e ik d = f(k n) για κάθε k Z. Εστω f L (). Οπως είδαµε, για κάθε k Z, (5.3.5) f(k) = f(x)e ikx dλ(x) f(x) dλ(x) = f. Με άλλα λόγια, η { f(k)} k= είναι ϕραγµένη. Ισχύει όµως κάτι ισχυρότερο : Θεώρηµα 5.3. (Riemann-Lebesgue). Εστω f L (). Τότε, (5.3.6) lim k f(k) =. Απόδειξη. Εστω ε >. Θα χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι τα τριγωνοµετρικά πολυώνυ- µα είναι πυκνά στον L (): υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p ε ώστε (5.3.7) f p ε < ε. Πράγµατι, αυτό είναι άµεσο από το Θεώρηµα 4.. (οι συνεχείς συναρτήσεις είναι πυκνές στον L ()) και το Θεώρηµα 5.. (τα τριγωνοµετρικά πολύώνυµα είναι πυκνά στον

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER (C(), ), άρα και στον (C()), )). Εστω n = n (ε) ο ϐαθµός του p ε. Για κάθε k > n ισχύει (5.3.8) f(k) = (f(x) p ε (x))e ikx dλ(x) = f p ε (k) διότι p ε(x)e ikx dλ(x) =. Συνεπώς, (5.3.9) f(k) = f p ε (k) f p ε < ε για κάθε k > n. Επεται το Ϲητούµενο. Οι επόµενες προτάσεις δίνουν τους συντελεστές Fourier των συναρτήσεων που προκύπτουν αν ολοκληρώσουµε ή παραγωγίσουµε µια συνάρτηση. Πρόταση 5.3.. Εστω f L () και έστω F το αόριστο ολοκλήρωµα της f: (5.3.) F (x) = c + x Θεωρούµε τη συνάρτηση G(x) = F (x) f()x. Τότε, (5.3.) Ĝ(k) = f(k) ik για κάθε k Z \ {}. f() dλ(), x. Απόδειξη. Παρατηρήστε αρχικά ότι (5.3.) F (x + ) F (x) = x+ x f() dλ() = f() dλ() = f(). Άρα, αν f() τότε η F δεν είναι -περιοδίκή. Γι αυτό το λόγο ϑεωρούµε τη συνάρτηση G(x) = F (x) f()x. Η G είναι -περιοδική, απολύτως συνεχής, και G (x) = f(x) f() σχεδόν παντού στο. Για κάθε k έχουµε Ĝ(k) = G()e ik dλ() = G()e ik π ik + (f() (ik) f())e ik dλ() = (ik) f(k).

5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 63 Παρατήρηση 5.3.3. Εστω f : C συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση. Για κάθε k, ολοκληρώνοντας κατά µέρη γράφουµε f(k) = = ik f(x)e ikx dλ(x) = f(x) e ikx π ik + ik f (x)e ikx dλ(x), όπου χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι, αφού η f είναι -περιοδική, Με άλλα λόγια, (5.3.3) f(k) = ik f(x) e ikx ik π =. f (x)e ikx dλ(x) = ik f (k) για κάθε k. Από την περιοδικότητα της f είναι ϕανερό ότι (5.3.4) f () = f (x) = f(π) f() =. Συνεπώς, (5.3.5) f (k) = ik f(k), k Z. Οµοίως, αν η f : C είναι δύο ϕορές συνεχώς παραγωγίσιµη, τότε (5.3.6) f (k) = (ik) f (k) = (ik) f(k) για κάθε k Z, και επαγωγικά έχουµε την ακόλουθη πρόταση. f (x)e ikx dλ(x) Πρόταση 5.3.4. Εστω f C m (), δηλαδή η f είναι m ϕορές συνεχώς παραγωγίσιµη. Τότε, (5.3.7) f (m) (k) = (ik) m f(k) για κάθε k Z, και (5.3.8) lim k [km f(k)] =. Ειδικότερα, υπάρχει C > ώστε, για κάθε k, (5.3.9) f(k) C k m.

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Απόδειξη. Είναι άµεση συνέπεια της Πρότασης 5.3.5, την οποία εφαρµόζουµε, διαδοχικά, m ϕορές. Ο τελευταίος ισχυρισµός προκύπτει από το λήµµα Riemann-Lebesgue (Θεώρηµα 5.3.) το οποίο εφαρµόζουµε για την f (m). Γενικότερα, η (5.3.5) ισχύει για τις απολύτως συνεχείς συναρτήσεις. Πρόταση 5.3.5. Εστω f L (). Αν η f είναι απολύτως συνεχής, τότε (5.3.) f (k) = (ik) f(k) για κάθε k Z, και lim k [k f(k)] =. Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι x (5.3.) f(x) = f() + f () dλ() διότι η f είναι απολύτως συνεχής. Κατόπιν, εφαρµόζουµε την Πρόταση 5.3.. Για τον τελευταίο ισχυρισµό χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι f (k) όταν k, το οποίο έπεται από το λήµµα Riemann-Lebesgue αφού f L (). Η επόµενη πρόταση δείχνει ότι αν τα µερικά αθροίσµατα s n της τριγωνοµετρικής σειράς (5.3.) k= c k e ikx συγκλίνουν σε µια ολοκληρώσιµη συνάρτηση f ως προς την, τότε c k = f(k) για κάθε k. Πρόταση 5.3.6. Εστω k= c ke ik µια τριγωνοµετρική σειρά και έστω f L (). Αν s n f καθώς το n, τότε (5.3.3) c k = f(k) για κάθε k Z. Απόδειξη. Σταθεροποιούµε k Z και γράφουµε (5.3.4) f(k) = (f(x) s n (x))e ikx dλ(x) + Παρατηρούµε ότι, αν n k τότε (5.3.5) s n (x)e ikx dλ(x) = c k. s n (x)e ikx dλ(x).

5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 65 Άρα, για κάθε n k έχουµε f(k) c k = (f(x) s n (x))e ikx dλ(x) f(x) s n (x) dλ(x) = f s n καθώς το n. Επεται ότι c k = f(k). Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 5.3.6 και το ϑώρηµα µοναδικότητας (Πόρισµα 5..) µπορούµε να δώσουµε καταφατική απάντηση στο ερώτηµα της σηµειακής σύγκλισης της s n (f) στην f αν η f είναι συεχής και η σειρά των συντελεστών Fourier της f συγκλίνει απολύτως. Θεώρηµα 5.3.7. Εστω f : C συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι (5.3.6) k= f(k) < +. Τότε, η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. ηλαδή, (5.3.7) s n (f) οµ f. Απόδειξη. Από την υπόθεση ότι f(k) < + ϐλέπουµε ότι η ακολουθία συναρτήσεων k= (5.3.8) s n (f, x) = k= n f(k)e ikx είναι οµοιόµορφα ϐασική : πράγµατι, για κάθε m > n έχουµε (5.3.9) s m (f) s n (f) = max x s m(f)(x) s n (f, x) n< k m f(k) όταν m, n. Συνεπώς, η {s n (f)} συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια συνεχή συνάρτηση g : C. Ειδικότερα, (5.3.3) s n (f) g s n (f) g, οπότε η Πρόταση 5.3.6 µας εξασφαλίζει ότι (5.3.3) f(k) = ĝ(k)

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER για κάθε k Z. Αφού οι συνεχείς συναρτήσεις f και g έχουν τους ίδιους συντελεστές Fourier, από το Πόρισµα 5.. συµπεραίνουµε ότι g f. Συνεπώς, s n (f) οµ f. Η υπόθεση k= f(k) < εξασφαλίζεται, για παράδειγµα, αν η f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο. Αυτό προκύπτει από την Πρόταση 5.3.4, αφού υπάρχει C > ώστε, για κάθε k, (5.3.3) f(k) C k. Συνεπώς, έχουµε το εξήσ: Πρόταση 5.3.8. Εστω f : C δύο ϕορές παραγωγίσιµη συνάρτηση και έστω ότι η f είναι συνεχής. Τότε, η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. Παρατήρηση 5.3.9. Εστω f L (). Ενα ϕυσιολογικό ερώτηµα που προκύπτει από το Θεώρηµα 5.3.7 είναι να δοθούν ικανές συνθήκες ώστε η σειρά k= f(k) να συγκλίνει : αυτό εξασφαλίζει, όπως είδαµε, την οµοιόµορφη σύγκλιση της S(f) στην f. Είδαµε ότι αρκεί η συνέχεια της f. Οπως ϑα δούµε αργότερα, η σύγκλιση της σειράς f(k) εξασφαλίζεται και µε ασθενέστερες υποθέσεις για την f. k= Αρκεί να υποθέσουµε ότι η f είναι συνεχώς παραγωγίσιµη. Ακόµα ασθενέστερη συνθήκη για την f είναι να ικανοποιεί συνθήκη Holder τάξης α > /: δηλαδή, να υπάρχει M > ώστε (5.3.33) f(x) f(y) M x y α για κάθε x, y R. Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε κάποιες παρατηρήσεις για τους συντελεστές Fourier της συνέλιξης δύο ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Θεώρηµα 5.3.. Εστω f, g L (). Αν f g είναι η συνέλιξη των f και g, η οποία ορίζεται µέσω της (5.3.34) (f g)(x) = f(x )g() dλ(), τότε (5.3.35) f g(k) = f(k)ĝ(k) για κάθε k Z.

5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 67 Απόδειξη. Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι η f g ορίζεται καλά σχεδόν παντού στο, είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση, και f g f g. ϑεώρηµα Fubini γράφουµε f g(k) = = = = f(k)ĝ(k). ( ) f(x )g() dλ() e ikx dλ(x) ( ) g()e ik f(x )e k(x ) dλ(x) g()e ik f(k) dλ() Χρησιµοποιώντας το dλ() Πόρισµα 5.3.. Εστω f L (). Αν p(x) = N k= N c ke ikx είναι ένα τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού N τότε η συνέλιξη f p είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από N, το οποίο δίνεται από την (5.3.36) (f p)(x) = N k= N c k f(k)e ikx. Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι (f p)(x) = f()p(x ) dλ() = N f() c k e ik(x ) dλ() k= N N ( ) = c k f()e ik dλ() e ikx k= N N = c k f(k)e ikx, k= N άρα η f g είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από N. 5.3. Μοναδικότητα σειρών Fourier Είδαµε ότι αν µια συνεχής -περιοδική συνάρτηση f : R C έχει όλους τους συντελεστές Fourier f(k) ίσους µε µηδέν, τότε f. Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε το ακόλουθο ισχυρότερο ϑεώρηµα µοναδικότητας.

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεώρηµα 5.3.. Εστω f L () µε f(k) = για κάθε k Z. Αν η f είναι συνεχής στο σηµείο x τότε f(x ) =. Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι η f παίρνει πραγµατικές τιµές. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι η f ορίζεται στο [, π] και ότι x =. [Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση : αν η f είναι συνεχής στο x, τότε η g(x) = f(x + x ) είναι συνεχής στο υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της g.] Θα υποθέσουµε ότι f() > και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο (τελείως ανάλογα αποκλείουµε την περίπτωση f() < ). Η ιδέα είναι να ορίσουµε κατάλληλη ακολουθία {p m } τριγωνοµετρικών πολυωνύµων τα οποία παρουσιάζουν «κορυφή» στο σηµείο και από αυτή τους την ιδιότητα να συµπεράνουµε ότι (5.3.37) lim p m (θ)f(θ) dθ = +. k Αυτό είναι προφανώς άτοπο, αφού η υπόθεση ότι f(k) = για κάθε k Z δείχνει ότι όλα τα παραπάνω ολοκληρώµατα είναι ίσα µε. Αρχικά, εφαρµόζοντας τον ορισµό της συνέχειας για την f στο σηµείο, ϐρίσκουµε < δ < π/ ώστε f(x) > f()/ για κάθε x ( δ, δ). Παρατηρούµε ότι cos x cos δ < αν δ x π. Συνεπώς, υπάρχει ε > ώστε (5.3.38) ε + cos x < ε/ ( cos δ) για κάθε δ x π. Αρκεί να επιλέξουµε < ε < 3. Τότε, αν ε + cos x έχουµε ε + cos x = ε + cos x ε + cos δ < ε/ από την επιλογή του ε, ενώ αν ε + cos x < έχουµε ε + cos x = cos x ε ε < ε/. Ορίζουµε (5.3.39) p(x) = ε + cos x, x [, π]. Τότε, p() = + ε, συνεπώς υπάρχει < η < δ ώστε (5.3.4) p(x) + ε/, x ( η, η). Τώρα, για κάθε m =,,..., ορίζουµε (5.3.4) p m (x) = [p(x)] m = (ε + cos x) m. Παρατηρήστε ότι κάθε p m είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (εξηγήστε γιατί). Αφού f(k) = για κάθε k Z, συµπεραίνουµε ότι (5.3.4) p m (x)f(x) dλ(x) =, k =,,....

5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 69 Γράφουµε (5.3.43) και παρατηρούµε ότι : p m (x)f(x) dλ(x) = δ x π p m (x)f(x) dλ(x) + p m (x)f(x) dλ(x) + η x <δ x <η p m (x)f(x) dλ(x), (i) Για το πρώτο ολοκλήρωµα έχουµε p m (x)f(x) ( ε/) m f(x) f(x) και η f είναι ολοκληρώσιµη στο K δ := {x : δ x π}. Αφού p m (x)f(x) ( ε/) m f(x) σε κάθε x K δ για το οποίο f(x) <, έχουµε p m (x)f(x) σχεδόν παντού στο K δ, και εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης παίρνουµε (5.3.44) όταν m. δ x π p m (x)f(x) dλ(x) (ii) Για το δεύτερο ολοκλήρωµα έχουµε (5.3.45) p m (x)f(x) dλ(x) η x <δ διότι p(x) και f(x) στο {x : η x < δ}. (iii) Για το τρίτο ολοκλήρωµα ισχύει το κάτω ϕράγµα (5.3.46) p m (x)f(x) dλ(x) η f() x <η ( + ε/)m. Αφού (5.3.47) lim m ( + ε/)m = +, συνδυάζοντας τα παραπάνω ϐλέπουµε ότι (5.3.48) lim p m (x)f(x) dλ(x) = +. m Ετσι, οδηγούµαστε σε άτοπο στην περίπτωση που η f παίρνει πραγµατικές τιµές. Στη γενική περίπτωση που η f παίρνει τιµές στο C, γράφουµε f(x) = u(x) + iv(x), όπου οι u και v είναι ολοκληρώσιµες πραγµατικές συναρτήσεις. Αν ϑέσουµε g(x) = f(x), έχουµε (5.3.49) u(x) = f(x) + g(x) και v(x) = f(x) g(x). i

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Παρατηρούµε ότι (5.3.5) ĝ(k) = f(k) =, k Z. Επεται ότι (5.3.5) û(k) = f(k) + ĝ(k) = και v(k) = f(k) ĝ(k) i = για κάθε k Z. Εστω ότι η f είναι συνεχής στο x. Από τη συνέχεια των u και v στο x, από το γεγονός ότι οι συντελεστές Fourier των u και v µηδενίζονται και από το αποτέλεσµα στην πραγµατική περίπτωση, συµπεραίνουµε ότι u(x ) = v(x ) =. Άρα, f(x ) = u(x ) + iv(x ) =. 5.4 Ο πυρήνας του Dirichle Εστω f L (). Ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι s n (f, x) = k= n = δίνουµε τον παρακάτω ορισµό. f(k)e ikx = f() ( k= n ( ) f()e ik dλ() e ikx ) e ik(x ) dλ(), k= n Ορισµός 5.4.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichle είναι η συνάρτηση (5.4.) D n (y) = e iky, n. k= n Σύµφωνα µε αυτόν τον ορισµό, ο προηγούµενος υπολογισµός µας δίνει το εξής. Λήµµα 5.4.. Εστω f L (). Για κάθε n ισχύει (5.4.) s n (f, x) = f()d n (x ) dλ(). Παρατήρηση 5.4.3. Θα χρησιµοποιούµε συχνά τις παρακάτω ϐασικές ιδιότητες του πυ- ϱήνα D n.

5.4. Ο ΠΥΡΗΝΑΣ ΤΟΥ DIRICHLE 7 (i) Από τον Ορισµό 5.4. παίρνουµε : αν < y π τότε D n (y) = e iny k= n e i(k+n)y = e iny k= e iky = e iny ei(n+)y e iy = ei(n+)y e iny ( e iy ) e iy/ e i(n+ )y e i(n+ )y = e iy/ (e iy/ e iy/ ) = sin ( n + ) y sin y. (ii) Πάλι από τον ορισµό της D n, και από την γραµµικότητα του ολοκληρώµατος, έχουµε (5.4.3) D n (y) dλ(y) =, για κάθε n. Παρατηρήστε ότι η D n είναι άρτια συνάρτηση. Άρα, µπορούµε επίσης να γράψουµε την προηγούµενη ισότητα στη µορφή (5.4.4) π D n (y) dλ(y) =. (iii) Τα δύο ϐασικά άνω ϕράγµατα για την D n (y) είναι : (5.4.5) D n (y) e iky = n + k= n µε ισότητα όταν y =, και sin ( n + (5.4.6) D n (y) = ) y sin y sin y π y, < y < π, η οποία προκύπτει από το γεγονός ότι sin π είναι άρτια, συµπεραίνουµε ότι (5.4.7) D n (y) π, < y < π. y Ορισµός 5.4.4. Για κάθε n ορίζουµε (5.4.8) Dn(y) = D n (y) + D n (y), y. για κάθε (, π/). Αφού η D n

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Πρατηρήστε ότι (5.4.9) D n(y) = sin y ( sin ( n ) y + sin ( n + Αν f L (), για κάθε n και για κάθε ϑέτουµε (5.4.) s n(f, x) := f()d n(x ) dλ(). εδοµένου ότι (5.4.) D n (y) D n(y) = D n(y) D n (y) συµπεραίνουµε ότι (5.4.) s n (f, x) = s n(f, x) + Λήµµα 5.4.5. Εστω f L (). Για κάθε x ισχύει ) ) y = sin(ny) an y. = einy + e iny f() cos n(x ) dλ(). (5.4.3) s n (f, x) s n(f, x) καθώς το n. = cos(ny), Απόδειξη. Λόγω της (5.4.) αρκεί να ελέγξουµε ότι f() cos n(x ) dλ() = cos(nx) (5.4.4) f() cos(n) dλ() + sin(nx) f() sin(n) dλ(), το οποίο ισχύει από το λήµµα Riemann-Lebesgue. Παρατήρηση 5.4.6. Θεωρούµε την συνάρτηση (5.4.5) φ(y) = an y y. Εύκολα ελέγχουµε ότι το lim y φ(y) υπάρχει, άρα φ L (). Αν λοιπόν f L () τότε fφ L (), και από το λήµµα Riemann-Lebesgue έχουµε (5.4.6) f()φ(x ) sin n(x ) dλ(). Επεται ότι (5.4.7) s n(f, x) sin n(x ) f() dλ() = f()φ(x ) sin n(x ) dλ(). x Από το Λήµµα 5.4.5 καταλήγουµε στην (5.4.8) s n (f, x) sin n(x ) f() dλ(). π x

5.5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 73 Παρατήρηση 5.4.7. Αφού D n = (D n + D n ), οι ϐασικές ιδιότητες της D n προκύπτουν άµεσα από αυτές της D n. Εχουµε ότι η Dn είναι άρτια συνάρτηση, και (5.4.9) D n(y) dλ(y) = D π n(y) dλ(y) = για κάθε n. Τα δύο ϐασικά άνω ϕράγµατα για την D n(y) είναι : (5.4.) Dn(y) ( D n (y) + D n (y) ) ((n ) + (n + )) = n µε ισότητα όταν y =, και (5.4.) Dn(y) π, < y < π. y 5.5 Σειρές Fourier συνεχών συναρτήσεων Σκοπός µας σε αυτήν την παράγραφο είναι να δείξουµε ότι υπάρχουν συνεχείς -περιοδικές συναρτήσεις f : R C που η σειρά Fourier τους αποκλίνει σε κάποιο σηµείο. Θα δώσουµε δύο αποδείξεις. Η πρώτη είναι έµµεση και χρησιµοποιεί την αρχή οµοιόµορφου ϕράγµατος (ϑεώρηµα Banach-Seinhaus) ενώ η δεύτερη είναι κατασκευαστική. Ορισµός 5.5. (σταθερές Lebesgue). Για κάθε n, η n-οστή σταθερά Lebesgue L n ορίζεται ως εξήσ: (5.5.) L n = D n = D n (y) dλ(y). Στην επόµενη πρόταση υπολογίζουµε την τάξη µεγέθους της σταθεράς L n για µεγάλες τιµές του n. Πρόταση 5.5.. Ισχύει (5.5.) L n 4 ln n π καθώς το n. Σηµείωση. Ο συµβολισµός a n b n σηµαίνει ότι η ακολουθία {a n b n } είναι ϕραγµένη : υπάρχει σταθερά A > ώστε a n b n A για κάθε n. Ενας άλλος τρόπος για να περιγράψουµε την ίδια ιδιότητα είναι να γράψουµε a n b n = O(). Γράφοντας a n = b n + o() εννοούµε ότι a n b n καθώς το n.

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Απόδειξη. Αφού η D n είναι άρτια και sin > στο (, π), έχουµε L n = ( sin((n + /)) π sin ) dλ() + sin((n + /)) π dλ() = A n + B n. ( ) Ο πρώτος όρος είναι ϕραγµένοσ: αφού η φ() = sin είναι ϕραγµένη, έχουµε A n = O(). Για τον δεύτερο όρο, κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής s = ( n + ) παίρνουµε B n = π nπ+π/ = C n + O(), sin s dλ(s) s = π nπ π sin s dλ(s) s + O() αφού, λόγω της lim s + sin s s =, έχουµε (5.5.3) sin s s dλ(s) = O() και nπ+π/ nπ sin s s dλ(s) π nπ. Μένει λοιπόν να δείξουµε ότι (5.5.4) C n := π nπ π sin s dλ(s) s = 4 ln n + O(). π Εχουµε C n = π = π = π n (k+)π k= kπ n k= Παρατηρούµε ότι, για κάθε (, π), sin s s sin(kπ + ) kπ + n (sin ) k= dλ(s) dλ() kπ + dλ(). (5.5.5) (k + )π kπ + kπ, άρα (5.5.6) n π k= n k + k= kπ + n π k. k=

5.5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 75 Τα δύο αθροίσµατα n k= k+ και n k= k είναι ln n + O(). Αφού π sin dλ() =, καταλήγουµε στην (5.5.7) C n = 4 ln n + O() π και η απόδειξη είναι πλήρης. Πόρισµα 5.5.3. Για κάθε f L () και για κάθε x και n ισχύει (5.5.8) s n (f, x) C(ln n) f, όπου C > απόλυτη σταθερά. Απόδειξη. Εχουµε s n (f, x) = f(x ) D n () dλ() = D n f C ln n f διότι D n = L n C ln n από την Πρόταση 5.5.. f D n () dλ() Σκοπός µας είναι να δείξουµε ότι υπάρχει f C() για την οποία η ακολουθία s n (f, ) δεν είναι ϕραγµένη (άρα, δεν συγκλίνει). Η επόµενη πρόταση συνδέει το πρόβληµα µε την συµπεριφορά της ακολουθίας (L n ). Πρόταση 5.5.4. Για κάθε n N (5.5.9) sup s n (f, ) = L n. f C(), f Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι αν g : R είναι µια Riemann ολοκληρώσιµη συνάρτηση, τότε για κάθε δ > υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : R ώστε f(x) g για κάθε x και (5.5.) f(x) g(x) dλ(x) < δ. Η συνάρτηση g(x) = sign D n (x), όπου sign u είναι το πρόσηµο του u και sign =, είναι Riemann ολοκληρώσιµη (έχει πεπερασµένα το πλήθος σηµεία ασυνέχειας, όσα είναι τα σηµεία στα οποία αλλάζει πρόσηµο η D n ) και g =. Μπορούµε λοιπόν να ϐρούµε συνεχή συνάρτηση f : C ώστε f και (5.5.) f(x) sign D n (x) dλ(x) < ε n +.

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Τότε, s n (f, ) = f(y)d n ( y) dλ(y) sign D n (y)d n ( y) dλ(y) f(y) g(y) D n ( y) dλ(y) sign D n (y)d n (y) dλ(y) ε D n n + D n (y) dλ(y) ε, όπου χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι η D n, άρα και η sign D n, είναι άρτια, καθώς και την D n = n +. Από τα παραπάνω ϐλέπουµε ότι s n (f, ) L n ε. Από την άλλη πλευρά, για κάθε f C() µε f έχουµε (5.5.) s n (f, ) f(y) D n (y) dy D n f L n, και η απόδειξη είναι πλήρης. Από την Πρόταση 5.5.4 και την Πρόταση 5.5., για κάθε n υπάρχει f n C() ώστε (5.5.3) s n (f n, ) L n 4 ln n. π Θα δείξουµε ότι υπάρχει µία f C() ώστε (5.5.4) sup s n (f, ) = +. n Ειδικότερα, η f έχει σειρά Fourier η οποία αποκλίνει στο σηµείο. Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε το ϑεώρηµα Banach-Seinhaus. Για λόγους πληρότητας δίνουµε την (σχετικά απλή) απόδειξή του, η οποία ϐασίζεται στο ϑεώρηµα Baire. Πρόταση 5.5.5. Εστω X πλήρης µετρικός χώρος και έστω {f n } ακολουθία συνεχών συναρτήσεων f n : X R µε την εξής ιδιότητα : για κάθε x X ισχύει sup f n (x) <. n Τότε, υπάρχουν x X και r, M > ώστε f n (x) M για κάθε x B(x, r) και για κάθε n N. Απόδειξη. Για κάθε m N ορίζουµε (5.5.5) A m = {x X : για κάθε n N, f n (x) m}.

5.5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 77 Κάθε A m είναι κλειστό υποσύνολο του X: αυτό ϕαίνεται αµέσως αν γράψουµε A m = {x X : f n (x) m} = n= n= fn ([ m, m]) και ϑυµηθούµε ότι για κάθε n N η αντίστροφη εικόνα του [ m, m] µέσω της f n είναι κλειστό υποσύνολο του X και ότι η τοµή κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύολο. Παρατηρήστε ότι X = m= A m: Εστω x X. Από την υπόθεση, η ακολουθία {f n (x)} είναι ϕραγµένη, δηλαδή υπάρχει M x > ώστε, για κάθε n N, f n (x) M x. Υπάρχει m = m(x) N µε m M x. Τότε, x A m. Ο X είναι πλήρης µετρικός χώρος, οπότε το ϑεώρηµα Baire µας εξασφαλίζει ότι κάποιο A m έχει µη κενό εσωτερικό, δηλαδή υπάρχουν x X και r > ώστε B(x, r) A m. Οµως τότε, η {f n } είναι οµοιόµορφα ϕραγµένη στην B(x, r): για κάθε x B(x, r) και για κάθε n N ισχύει f n (x) m. Ορισµός 5.5.6. Εστω X, Y δύο χώροι µε νόρµα και έστω : X Y γραµµικός τελεστής (γραµµική απεικόνιση). Λέµε ότι ο είναι ϕραγµένος αν υπάρχει σταθερά M > τέτοια ώστε για κάθε x X. x Y M x X Η αρχή του οµοιόµορφου ϕράγµατος διατυπώνεται για µια ακολουθία { n } ϕραγµένων γραµµικών τελεστών n : X Y για τους οποίους ισχύει για κάθε x X. sup n (x) Y < n Αν ο X είναι πλήρης, η γραµµικότητα των n και η απλή ιδέα της απόδειξης της Πρότασης 5.5.5 µας δίνουν ότι n είναι οµοιόµορφα ϕραγµένοι. Η ακριβής διατύπωση είναι η εξήσ: Θεώρηµα 5.5.7 (αρχή οµοιόµορφου ϕράγµατος, Banach-Seinhaus). Εστω X χώρος Banach, Y χώρος µε νόρµα, και έστω { n } µια ακολουθία από ϕραγµένους γραµµικούς τελεστές : X Y µε την ιδιότητα : για κάθε x X, (5.5.6) sup x Y < +. n Τότε, υπάρχει M > ώστε : για κάθε n N και για κάθε x X, (5.5.7) x Y M x X.

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Απόδειξη. Για κάθε n N ορίζουµε f n : X R µε f n (x) = (x) Y. Κάθε f n είναι Lipschiz συνεχής συνάρτηση. Γνωρίζουµε ότι ο n είναι ϕραγµένος, άρα υπάρχει M n > τέτοιος ώστε n (x) Y M n x X για κάθε x X. Αν x, y X, τότε (5.5.8) f n (x) f n (y) = n (x) Y n (y) Y n (x) n (y) Y = n (x y) Y M n x y X. Από την υπόθεσή µας, για κάθε x X ισχύει (5.5.9) sup n f n (x) = sup n (x) Y < +. n Από την Πρόταση 5.5.5 υπάρχουν x X και r, M > ώστε για κάθε x B(x, r) και για κάθε n N, (5.5.) f n (x) = n (x) Y M. Εστω x X µε x X. Τότε, για κάθε n N έχουµε (x + (r/)x) Y (x ) Y M (γιατί x, x + (r/)x B(x, r)). Άρα, για κάθε n N M και n (x) Y = r n((r/)x) Y = r n(x + (r/)x) n (x ) Y r ( n(x + (r/)x) Y + n (x ) Y ) 4M r. Τώρα, για κάθε x ϑέτουµε x = x/ x X και παρατηρούµε ότι x X =, άρα (5.5.) n (x) Y = n ( x X x ) X = x X n (x ) Y 4M r x X για κάθε n N, οπότε το Ϲητούµενο έπεται µε M = 4M /r. Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα Banach-Seinhaus για τους γραµµικούς τελεστές f s n (f, ), f C(). Θεώρηµα 5.5.8. Υπάρχει f C() ώστε (5.5.) sup s n (f, ) = +. n Απόδειξη. Για κάθε n ϑεωρούµε τον τελεστή n : (C(), ) C µε (5.5.3) n (f) = s n (f, ). Κάθε n είναι ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδέσ: η γραµµικότητα ελέγχεται εύκολα, και (5.5.4) n = sup{ s n (f, ) : f C(), f } = L n.

5.5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 79 Ας υποθέσουµε ότι, για κάθε f C() ισχύει (5.5.5) sup n n (f) = sup s n (f, ) <. n Από το ϑεώρηµα Banach-Seinhaus υπάρχει M > ώστε s n (f, ) = n (f) M για κάθε f C() µε f. Από την Πρόταση 5.5.4 παίρνουµε (5.5.6) L n = sup s n (f, ) M f C(), f για κάθε n N, άρα η (L n ) είναι ϕραγµένη, το οποίο είναι άτοπο από την Πρόταση 5.5.. Συνεπώς, υπάρχει f C() τέτοια ώστε lim sup n s n (f, ) = +. Ειδικότερα, η σειρά Fourier της f αποκλίνει στο σηµείο. 5.5. Μια κατασκευή του Lebesgue Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε µια κατασκευαστική απόδειξη της ύπαρξης συνεχούς f : R για την οποία (5.5.7) lim sup s n (f, ) =. n Το επιχείρηµα οφείλεται στον Lebesgue. f L () και για κάθε, (5.5.8) s n (f, x) π Στην Παρατήρηση 5.4.6 είδαµε ότι, για κάθε sin n(x ) f() dλ(). x Θα ορίσουµε µια άρτια συνάρτηση f : R, ϑέτοντας (5.5.9) f() = c k sin(n k )χ Ik (), < < π, k= όπου {n k } k= είναι µια γνησίως αύξουσα ακολουθία ϕυσικών( που ϑα επιλεγεί κατάλληλα, χ Ik είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήµατος I k = π n, π k n ], και k {c k } είναι µια ϕθίνουσα µηδενική ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών που ϑα επιλεγεί κατάλληλα. Παρατηρήστε ότι αν ο n k είναι πολλαπλάσιο του n k τότε η f ϑα είναι συνεχής (και ίση µε ) σε όλα τα σηµεία π/n k και ότι η υπόθεση c k εξασφαλίζει ότι η f είναι συνεχής στο αν ϑέσουµε f() =. Κατόπιν, επεκτείνουµε την f στο [, ) ώστε να γίνει άρτια συνάρτηση, και τέλος, την επεκτείνουµε -περιοδικά στο R. Επειδή τα διαστήµατα I k έχουν ξένους ϕορείς, αυτό που περιµένουµε από την (5.5.8) είναι ότι, αν επιλέξουµε

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER κατάλληλα τις παραµέτρους, ο ϐασικός όρος στο µερικό άθροισµα s nk (f, ) ϑα είναι ο k-οστός, δηλαδή ο c k sin(n k )χ Ik (). Αρχικά ορίζουµε c =, n = και I = (π/, π]. Στο I έχουµε (5.5.3) f() = c sin(n ). Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ορίσει n < n < < n k, τους c,..., c k, και τα διαστή- µατα I j, j =,..., k. Ορίζουµε k (5.5.3) φ() = c j sin(n j )χ Ij () αν (π/n k, π] και φ() = αλλιώς. j= µηδενίζεται στο [, π/n k ], άρα Παρατηρούµε ότι η φ()/ είναι ϕραγµένη : πράγµατι, η φ (5.5.3) φ() c c n k. π Από το λήµµα Riemann-Lebesgue έχουµε (5.5.33) lim n φ() sin(n) dλ() =. Ορίζουµε n k = n k N k, όπου ο N k k είναι αρκετά µεγάλος ώστε να ισχύει (5.5.34) π φ() sin(n k ) dλ() π <. Στη συνέχεια, ϑέτουµε I k = (π/n k, π/n k ] και ορίζουµε f() = c k sin(n k ) στο I k, όπου < c k < c k < τον οποίο ϑα επιλέξουµε. Για να εκτιµήσουµε το µερικό άθροισµα s nk (f, ) αρκεί, από την (5.5.8), να εκτιµήσουµε το ( π f() sin(n k ) dλ() = + π π (,π/n k ] =: A k + B k + C k. (π/n k,π/n k ] ) + (π/n k,π] Από την (5.5.34) ϐλέπουµε ότι C k = O(): στο (π/n k, π] έχουµε f() = φ(), άρα (5.5.35) f() sin(n k ) dλ() π = φ() sin(n k ) dλ() < π. Επίσης, ανεξάρτητα από τον τρόπο επιλογής των c k, από την sin y y στο (, π) και την < c k έχουµε (5.5.36) A k (,π/n k ] sin(n k ) dλ() n k π n k = π.

5.6. ΘΕΩΡΗΜΑ DINI ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ MARCINKIEWICZ 8 Τέλος, B k = c k (sin n k ) dλ() cos(n k ) = c k dλ() I k I k = c k dλ() c k cos(n k ) dλ() I k I k =: B k B k. Για τον B k έχουµε (5.5.37) B k = c k dλ() I k = c ( ) k ln nk = c k n k (ln N k). Επιλέγοντας c k = (ln N k ) ɛ, όπου < ɛ <, έχουµε c k και (5.5.38) B k = (ln N k) ɛ καθώς το k. Το ολοκλήρωµα στον όρο B k ισούται µε (5.5.39) cos(n k ) dλ() = sin(n k) π/n k + I k n k π/n k sin(n k ) I k n k dλ(). Από την επιλογή των n k έχουµε ότι (5.5.4) sin(n k ) n k π/n k π/n k = sin() sin(n k) N k =. Επίσης, (5.5.4) sin(n k ) I k n k dλ() n k π/n k dλ() = n k n k π = = O(). Συγκεντρώνοντας όλες τις εκτιµήσεις µας, ϐλέπουµε ότι (5.5.4) s nk (f, ) = (ln N k) ɛ + O(), απ όπου έπεται ότι s nk (f, ). 5.6 Θεώρηµα Dini και ϑεώρηµα Marcinkiewicz Το ϑεώρηµα Dini µας δίνει µια ικανή συνθήκη για την σύγκλιση της σειράς Fourier µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης σε δεδοµένο σηµείο.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεώρηµα 5.6. (Dini). Εστω f L () και έστω x µε την εξής ιδιότητα : υπάρχει α C ώστε (5.6.) Τότε, f(x + ) + f(x ) α (5.6.) lim n s n(f, x) = α. dλ() Απόδειξη. Λόγω του Λήµµατος 5.4.5 αρκεί να δείξουµε ότι (5.6.3) s n(f, x) α. Αφού (5.6.4) και (5.6.5) α = π έχουµε s n(f, x) = = π (5.6.6) s n(f, x) α = π f(x ) sin(n) an dλ() <. f(x + ) + f(x ) sin(n) an dλ() αd n() dλ() = π α sin(n) an ( f(x + ) + f(x ) Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση ( f(x + ) + f(x ) (5.6.7) F x () := dλ(), ) sin(n) α an dλ(). ) α an γράφεται στη µορφή ( f(x + ) + f(x ) (5.6.8) F (x) = A (x) + B (x) := ( ) f(x + ) + f(x ) + α φ(), ) α όπου φ() = an. Εχουµε δει ότι φ L, άρα η B x είναι ολοκληρώσιµη (εξηγήστε γιατί). Από την υπόθεση, η A x είναι επίσης ολοκληρώσιµη. Συνεπώς, F x L και έπεται ότι (5.6.9) s n(f, x) α = π από το λήµµα Riemann-Lebesgue. F x () sin(n) dλ()

5.6. ΘΕΩΡΗΜΑ DINI ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ MARCINKIEWICZ 83 Παρατηρήσεις 5.6.. (α) Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν τα πλευρικά όρια (5.6.) f(x + ) = lim f() και f(x ) = lim f(). x + x Αν η (5.6.) ικανοποιείται για κάποιον α, τότε έχουµε αναγκαστικά f(x + ) + f(x ) (5.6.) α =. Πράγµατι, αν είχαµε f(x+)+f(x ) α = r >, τότε ϑα υπήρχε δ (, π) ώστε : αν < < δ τότε (5.6.) f(x + ) + f(x ) α r. Οµως τότε ϑα είχαµε δ (5.6.3) f(x + ) + f(x ) α dλ() δ r dλ() =, το οποίο είναι άτοπο. Ειδικότερα, αν η f είναι συνεχής στο x και αν ικανοποιείται η (5.6.) τότε έχουµε αναγκαστικά α = f(x). (ϐ) Ας υποθέσουµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο x. Τότε, η συνάρτηση (5.6.4) f(x + ) f(x) είναι ϕραγµένη σε µια περιοχή του. Άρα, υπάρχουν δ (, π) και M > ώστε : αν < < δ τότε f(x + ) f(x) M. ηλαδή, για κάθε < < δ, (5.6.5) f(x + ) + f(x ) f(x) [ f(x + ) f(x) + f(x ) f(x) ] M. Συνεπώς, (5.6.6) και (5.6.7) δ f(x + ) + f(x ) δ f(x) dλ() f(x + ) + f(x ) f(x) δ dλ() δ f(x + ) + f(x ) M dλ() = Mδ <, f(x) dλ() < (εξηγήστε γιατί), άρα η (5.6.) ικανοποιείται µε α = f(x). Ετσι έχουµε το εξήσ:

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεώρηµα 5.6.3. Εστω f L () και έστω x στο οποίο η f είναι παραγωγίσιµη. Τότε, (5.6.8) lim n s n(f, x) = f(x). Μια σηµαντική συνέπεια του Θεωρήµατος 5.6.3 είναι η αρχή τοπικότητας του Riemann: η σύγκλιση ή µη της ακολουθίας s n (f, x) εξαρτάται µόνο από τη συµπεριφορά της f σε µια περιοχή του x. Αυτό δεν είναι καθόλου προφανές αν σκεφτούµε ότι τα µερικά αθροίσµατα s n (f, x) ορίζονται µέσω των συντελεστών Fourier f(k), k n, της f και οι συντελεστές Fourier προκύπτουν µε ολοκλήρωση στο [, π], δηλαδή παίρνουν υπόψη τις τιµές της f σε ολόκληρο το [, π]. Θεώρηµα 5.6.4. Εστω f, g : C δύο ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. Υποθέτουµε ότι, για κάποιο x και για κάποιο ανοικτό διάστηµα I ώστε x I, ισχύει (5.6.9) f() = g() για κάθε I. Τότε, (5.6.) s n (f, x) s n (g, x). Ειδικότερα, η {s n (f, x)} συγκλίνει αν και µόνο αν η {s n (g, x)} συγκλίνει. Απόδειξη. Θεωρούµε την συνάρτηση h = f g : C. Η h είναι ολοκληρώσιµη και h() = για κάθε I. Αφού το x είναι εσωτερικό σηµείο του I, η h είναι παραγωγίσιµη στο x, µε h (x) =. Από το Θεώρηµα 5.6.3 ϐλέπουµε ότι (5.6.) s n (h, x) h(x) =. Οµως, (5.6.) s n (h, x) = s n (f g, x) = s n (f, x) s n (g, x). Επεται το Ϲητούµενο. Το επόµενο ϑεώρηµα µας δίνει ένα απλό κριτήριο που εξασφαλίζει ότι s n (f, x) f(x) σχεδόν παντού. Θεώρηµα 5.6.5 (Marcinkiewicz). Εστω f L (). Για καθε ορίζουµε (5.6.3) w (f, ) = f(x + ) f(x) dλ(x). Αν (5.6.4) τότε s n (f, x) f(x) σχεδόν παντου στο. w (f, ) dλ() <,

5.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 85 Απόδειξη. Από το ϑεώρηµα Fubini έχουµε ( π f(x + ) f(x) dλ() ) dλ(x) = Άρα, = ( ) dλ() f(x + ) f(x) dλ(x) w (f, ) dλ() <. (5.6.5) f(x + ) f(x) dλ() < σχεδόν για κάθε x. Παρατηρούµε ότι w (f, ) = f(x ) f(x) dλ(x) = = f(s + ) f(s) dλ(s) = = w (f, ). f(s) f(s + x) dλ(s) f(s + ) f(s) dλ(s) Επαναλαµβάνοντας τον αρχικό υπολογισµό ϐλέπουµε τώρα ότι ( π (5.6.6) f(x ) f(x) dλ() ) dλ(x) = w (f, ) dλ() <, άρα (5.6.7) f(x ) f(x) dλ() < σχεδόν για κάθε x. Τώρα, (5.6.8) f(x + ) + f(x ) f(x) dλ() < σχεδόν για κάθε x, και από το ϑεώρηµα Dini έπεται ότι s n (f, x) f(x) σχεδόν για κάθε x. 5.7 Ασκήσεις Οµάδα Α. Εστω (x) = λ + n k= (λ k cos kx + µ k sin kx) τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. είξτε ότι : (α) Αν το είναι περιττή συνάρτηση, τότε λ k = για κάθε k =,,..., n. (ϐ) Αν το είναι άρτια συνάρτηση, τότε µ k = για κάθε k =,..., n.

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. είξτε ότι : για κάθε k N υπάρχει πολυώνυµο p() ϐαθµού k ώστε sin k x = p(cos x) για κάθε x R. 3. (α) είξτε ότι το σύνολο {e ikx : k Z} είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητο. (ϐ) ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί < µ < µ < < µ n. είξτε ότι οι συναρτήσεις e iµx, e iµx,..., e iµnx είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητες. Χρειάζεται η υπόθεση ότι όλοι οι µ j είναι ϑετικοί ; 4. Εστω f L (). είξτε ότι : για κάθε a < b στο R, b f(x) dλ(x) = b+ f(x) dλ(x) = b a a+ a f(x) dλ(x), και f(x + a) dλ(x) = f(x) dλ(x) = +a +a f(x) dλ(x). 5. Εστω f L (). είξτε ότι lim f(x + ) f(x) dλ(x) =. 6. Εστω f L (). είξτε ότι : (α) Αν η f είναι άρτια, τότε f( k) = f(k) για κάθε k Z και η S(f) είναι σειρά συνηµιτόνων. (ϐ) Αν η f είναι περιττή, τότε f( k) = f(k) για κάθε k Z και η S(f) είναι σειρά ηµιτόνων. (γ) Αν f(x + π) = f(x) για κάθε x R τότε f(k) = για κάθε περιττό ακέραιο k. (δ) Αν η f παίρνει πραγµατικές τιµές τότε ˆf(k) = ˆf( k) για κάθε k Z. Αν, επιπλέον, υποθέσουµε ότι η f είναι συνεχής, τότε ισχύει και το αντίστροφο. 7. Εστω f L (). Για κάθε a R ορίζουµε τ a (x) = f(x a). Περιγράψτε το γράφηµα της τ a σε σχέση µε αυτό της f. Είναι η τ a περιοδική ; Εκφράστε τους συντελεστές Fourier της τ a συναρτήσει των συντελεστών Fourier της f. 8. Εστω f L (). Για κάθε m N ορίζουµε g m (x) = f(mx). Περιγράψτε το γράφηµα της g m σε σχέση µε αυτό της f. Είναι η g m περιοδική ; Εκφράστε τους συντελεστές Fourier της g m συναρτήσει των συντελεστών Fourier της f.

5.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 87 9. Εστω f, f n L () (n N) συναρτήσεις οι οποίες ικανοποιούν την lim f(x) f n (x) dλ(x) =. n είξτε ότι f n (k) f(k) όταν n, οµοιόµορφα ως προς k. ηλαδή, για κάθε ε > υπάρχει n N ώστε για κάθε n n και για κάθε k Z, f n (k) f(k) < ε.. Ορίζουµε f(x) = π x αν < x <, f() = f() =, και επεκτείνουµε την f σε µια -περιοδική συνάρτηση στο R. είξτε ότι η σειρά Fourier της f είναι η S(f, x) = k= sin kx. k. Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = (π x) στο [, ] και την επεκτείνουµε σε µια -περιοδική συνάρτηση ορισµένη στο R. είξτε ότι Χρησιµοποιώντας το παραπάνω, δείξτε ότι S(f, x) = π 3 + 4 k= k= k = π 6. cos kx k.. Εστω < α και έστω f : R R, -περιοδική συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι υπάρχει M > ώστε f(x) f(y) M x y α για κάθε x, y R. είξτε ότι : υπάρχει σταθερά C > ώστε, για κάθε k, a k (f) C k α και b k (f) C k α. 3. Θεωρούµε την περιττή -περιοδική συνάρτηση f : R R που στο [, π] ορίζεται από την f(x) = x(π x). Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της f, υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της f και δείξτε ότι f(x) = 8 π k= sin[(k + )x] (k + ) 3.

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 4. Εστω < δ < π. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : [, π] R µε { x f(x) = δ αν x δ αν δ x π Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f και δείξτε ότι f(x) = δ + k= cos kδ k πδ cos kx. 5. Θεωρούµε την -περιοδική συνάρτηση f : R R που στο [, π] ορίζεται από την f(x) = x. Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της f, υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της f και δείξτε ότι f() = π/ και + ( )k f(k) = πk, k. Γράψτε τη σειρά Fourier S(f) της f σαν σειρά συνηµιτόνων και ηµιτόνων. Θέτοντας x = δείξτε ότι k= (k + ) = π 8 και k= k = π 6. 6. Εστω f : R R µια -περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιµη στο [, ]. (α) είξτε ότι lim f(x + ) f(x) dλ(x) =. [Υπόδειξη: εξετάστε πρώτα την περίπτωση που η f είναι συνεχής.] (ϐ) (Λήµµα Riemann-Lebesgue). είξτε ότι, για κάθε n N, και συµπεράνατε ότι f(x) sin nx dλ(x) = lim n f ( x + π n) sin nx dλ(x). f(x) sin nx dλ(x) =. 7. (α) Θεωρώντας την περιττή επέκταση της cos x από το (, π) στο (, π) \ {} δείξτε ότι για κάθε < x < π. cos x = 8 π k= k sin(kx) 4k (ϐ) Θεωρώντας την άρτια επέκταση της sin x από το (, π) στο (, π) δείξτε ότι sin x = π 4 π k= cos(kx) 4k

5.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 89 για κάθε < x < π. Οµάδα Β 8. (α) Για κάθε k N ϑέτουµε είξτε ότι : αν k > m τότε A k (x) = k sin jx. j= A k (x) A m (x) sin(x/) για κάθε < x < π. (ϐ) Αν λ λ λ n, δείξτε ότι k j=m+ για κάθε n k > m και για κάθε < x < π. λ j sin jx λ m+ sin(x/) 9. Εστω n N και M >. Αν λ λ λ n και kλ k M για κάθε k =,..., n, δείξτε ότι λ k sin kx (π + )M k= για κάθε x R. [Υπόδειξη : Μπορείτε να υποθέσετε ότι < x < π. Γράψτε, αν ϑέλετε, m λ k sin kx = λ k sin kx + λ k sin kx, όπου m = min{n, π/x }.] k= k= k=m+. (Λήµµα του Sečkin). Εστω (x) = λ + n k= (λ k cos kx + µ k sin kx) τριγωνοµετρικό πολυώνυµο και έστω x R µε την ιδιότητα f(x ) = f = max{ f(x) : x R}. είξτε ότι : αν π n τότε f(x + ) f cos(n).. (Ανισότητα του Bernsein). Εστω (x) = λ + n k= (λ k cos kx + µ k sin kx) τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. είξτε ότι f n f.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Εστω [a, b] κλειστό διάστηµα που περιέχεται στο εσωτερικό του [, π]. Θεωρούµε την f(x) = χ [a,b] (x) που ορίζεται στο [, π] από τις f(x) = αν x [a, b] και f(x) = αλλιώς, και την επεκτείνουµε -περιοδικά στο R. είξτε ότι η σειρά Fourier της f είναι η S(f, x) = b a + e ika e ikb e ikx. ik k είξτε ότι η S(f) δεν συγκλίνει απολύτως για κανένα x R. Βρείτε τα x R για τα οποία η S(f, x) συγκλίνει. 3. Εστω (x) = n k= n c ke ikx τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. Υποθέτουµε ότι το παίρνει ϑετικές πραγµατικές τιµές. είξτε ότι υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο Q ώστε για κάθε x R. (x) = Q(x) 4. (α) Εστω < δ < π. είξτε ότι, για κάθε x [δ, δ], n + cos kx sin δ και sin kx sin δ. k= (ϐ) Εστω ( k ) ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε k. είξτε ότι οι σειρές k= k cos kx και k= k sin kx συγκλίνουν κατά σηµείο στο (, ) και οµοιόµορφα σε κάθε διάστηµα [δ, δ], όπου < δ < π. Συµπεράνατε ότι ορίζουν συνεχείς συναρτήσεις στο (, ). k= 5. Εστω f L () και g L (). είξτε ότι lim f(x)g(nx) dλ(x) = n f()ĝ().