Η διεργασία χύτευσης πολυµερικών φύλλων χρησιµοποιείται στη. βιοµηχανία πλαστικών για την παραγωγή λεπτών πλαστικών φύλλων.

8-1 8. ΧΥΤΕΥΣΗ ΦΥΛΛΩΝ 8.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διεργασία χύτευσης πολυµερικών φύλλων χρησιµοποιείται στη βιοµηχανία πλαστικών για την παραγωγή λεπτών πλαστικών φύλλων και φιλµ. Η διεργασία παρουσιάζεται σχηµατικά στο Σχήµα 8.1. Polymer melt H o Chill roll Tension F Σχήµα 8.1 Σχηµατική παράσταση της διεργασίας χύτευσης φύλλων. Το πολυµερικό τήγµα εκβάλλεται µέσα από επίπεδη ορθογώνια µήτρα και ελάσσεται µε κυλίνδρους στο κάτω µέρος. Έτσι υφίσταται επίπεδη παραµόρφωση λόγω των δυνάµεων έλασης των κυλίνδρων. Το πολυµερικό τήγµα εκβάλλεται συνεχώς µέσα από µια λεπτή σχισµή ή επίπεδη ορθογώνια µήτρα εκβολής και ελάσσεται πιο κάτω από κυλίνδρους ψύξης µε µεγαλύτερη ταχύτητα απ ό,τι η ταχύτητα εκβολής. Ο λόγος της ταχύτητας έλασης προς την ταχύτητα εκβολής λέγεται λόγος έλασης (draw ratio, D R ). Κατόπιν το φιλµ υπόκειται σε πρόσθετες επεξεργασίες, όπως διαξονικός εφελκυσµός ή θερµοµόρφωση, προκειµένου να βελτιωθούν οι ιδιότητές του (π.χ., η αντοχή του φιλµ και η ικανότητα τεντώµατος). Στη βιοµηχανική

8-2 πρακτική, προσφυσάται εγκάρσια στο φιλµ αέρας µε σκοπό να ψύξει το φιλµ και να µειώσει την αστάθειά του. Χυτευµένα φύλλα και φιλµ χρησιµοποιούνται κυρίως στη βιοµηχανία συσκευασίας τροφίµων ή άλλων καταναλωτικών προϊόντων, γίνεται όµως και χρήση τους στην παραγωγή µαγνητικών υποστρωµάτων για οπτικο-ακουστικά µέσα. Στην τελευταία περίπτωση το φιλµ που εκβάλλεται από τη µήτρα ελάσσεται πρώτα από τον κύλινδρο ψύξης, τεντώνεται και στις δύο κατευθύνσεις, εγκάρσια (y) και αξονική (x), και επιτυγχάνεται πάχος γύρω στα 12 µm. Τελικά, το φιλµ σταθεροποιείται γύρω στους 100 0 C, ψύχεται και περιτυλίσσεται [D HAL 90]. w o h o y x=0 z x w(x) u(x) h(x) Chill Roll x=l y z Σχήµα 8.2 y Σχηµατική παράσταση των διαφόρων προβληµάτων που x παρουσιάζονται στη διεργασία χύτευσης πολυµερικών φύλλων. (α) Ορισµός συντεταγµένων και µεγεθών στον τρισδιάστατο χώρο. (β) Το φαινόµενο σχηµατισµού χαντρών (edge-bead effect) που αυξάνει το πάχος στις άκρες του φύλλου. (γ) Το φαινόµενο σχηµατισµού λαιµού (neck-in effect) που µειώνει το πλάτος του φύλλου.

8-3 Ένα κοινό πρόβληµα που παρατηρείται σε αυτή τη διεργασία έχει να κάνει µε το στράβωµα των άκρων του φιλµ, που θυµίζει κατσάρωµα (curling) και αναφέρεται σαν φαινόµενο σχηµατισµού χαντρών (edge-bead effect). Το φαινόµενο αυτό παρουσιάζεται στο Σχήµα 8.2(β). Στην πραγµατικότητα το φιλµ γίνεται παχύτερο στα άκρα απ ό,τι στο κέντρο, το δε πάχος των άκρων παρουσιάζει ηµιτονοειδή αυξοµείωση στην κατεύθυνση της έλασης. Για το λόγο αυτό αποκόπτονται τα άκρα του φιλµ πριν από οποιαδήποτε περαιτέρω επεξεργασία. Άλλο πρόβληµα που παρατηρείται στη διεργασία χύτευσης πολυµερικών φύλλων αναφέρεται σαν φαινόµενο σχηµατισµού λαιµού (neck-in effect), όπου το πλάτος του φιλµ µειώνεται λόγω αύξησης της ταχύτητάς του στην κατεύθυνση έλασης. Το φαινόµενο αυτό παρουσιάζεται στο Σχήµα 8.2(γ). Οι κύριες ιδιότητες των φύλλων και φιλµ είναι διαφάνεια, αντοχή, ευκαµψία, και πολύ µεγάλος λόγος πλάτους (πλάτος ή µήκος προς πάχος του φιλµ) που να φθάνει περίπου το 1000. Για µη επεξεργασµένα φιλµ, οι ταχύτητες λειτουργίας κυµαίνονται από 120 m/min έως 400 m/min, ενώ αν το φιλµ υπόκειται σε διαξονικό προσανατολισµό, οι ταχύτητες κυµαίνονται από 280 m/min έως 350 m/min. Ο όρος φιλµ αναφέρεται σε πάχη φύλλου µικρότερα από 250 µm, ενώ ο όρος φύλλο αναφέρεται για µεγαλύτερα πάχη. Τυπικές τιµές πάχους κυµαίνονται από 10 µm έως 2500 µm, ενώ οι πλευρικές διαστάσεις κυµαίνονται από 40 έως 320 cm [ΒΑΙ 95]. Η παραγωγή γενικά των πολυµερικών φύλλων διέπεται από τρία στάδια: (α) εκβολή, (β) χύτευση, και (γ) σταθεροποίηση. Λαµβάνοντας υπόψη το πάχος του φιλµ, διαχωρίζουµε τρεις µεγάλες κατηγορίες: 1. Λεπτό φιλµ, πάχους 10 έως 50 µm. 2. Παχύτερο χυτευµένο φιλµ ή φύλλο, πάχους 100 έως 400 µm. 3. Φύλλο για θερµοµόρφωση, πάχους 200 έως 2500 µm.

8-4 Οι πρώτες δύο κατηγορίες παράγονται µε κύλινδρο ψύξης που είναι επιχρισµένος µε χρώµιο ή σε υδατόλουτρο, ενώ η τρίτη κατηγορία παράγεται µε ειδικό κύλινδρο ψύξης. Τυπικά πολυµερή που χρησιµοποιούνται στη χύτευση φύλλων είναι το πολυπροπυλένιο (ΡΡ), πολυαιθυλένιο (ΡΕ), πολυεστέρας (ΡΕΤ), και πολυαµίδιο (νάυλον). Οι τυπικοί βιοµηχανικοί στόχοι της διεργασίας είναι: Μείωση του σχηµατισµού χαντρών για να επιτευχθεί αντίστοιχη µείωση της αποκοπής τους και εποµένως του χαµένου υλικού. Αύξηση της ταχύτητας έλασης χωρίς να αυξηθεί η αστάθεια του φιλµ. Η βιοµηχανία χρησιµοποιεί για την επίτευξη του σκοπού αυτού αεροκοπτήρα (αir-knife) ή, όπως λέγεται, συσκευή εξαφάνισης συντονισµού έλασης (draw-resonance eliminator). Ο αεροκοπτήρας είναι πίδακας αέρα υψηλής ταχύτητας, που προσφυσάται µε δύναµη στο µέσο της απόστασης µεταξύ µήτρας εκβολής και κυλίνδρων έλασης. Αυτό προκαλεί απόσβεση του συντονισµού έλασης και οδηγεί σε µείωση της αστάθειας της διεργασίας. Επειδή η διεργασία φυλλοποίησης (όπως και η προηγούµενη διεργασία ινοποίησης) αφορά την παραγωγή πολύ λεπτών φύλλων, ένα µεγάλο πρόβληµα αφορά την ευστάθεια της διεργασίας, την παραγωγή δηλ. φύλλων ή φιλµ που δεν «σχίζονται» κατά τη διάρκεια της έλασης. Με τον όρο «σχίση» νοείται η παραγωγή ασταθούς πολυµερικού φύλλου που εµφανίζεται είτε σαν ένα ασυνεχές υλικό είτε κυρίως σαν υλικό µε αυξοµειώσεις στο πάχος και στο πλάτος του. Εποµένως ένα µεγάλο πρόβληµα της διεργασίας που δεν έχει ακόµα επιλυθεί ικανοποιητικά είναι το πρόβληµα της ευστάθειας, δηλ. της ανάπτυξης κριτηρίων λειτουργίας για την ευσταθή παραγωγή φύλλων. Όταν το πολυµερικό τήγµα εκβάλλεται προς φυλλοποίηση στον αέρα και ψύχεται όταν έρχεται σε επαφή µε τον κύλινδρο έλασης, τότε

8-5 η διεργασία λέγεται χύτευση µε κυλίνδρους ψύξης (chill-roll casting) (βλ. Σχήµα 8.3α). Όταν το πολυµερικό τήγµα εισέρχεται σε λουτρό νερού ψύξης όπου είναι βυθισµένος ο κύλινδρος έλασης, τότε η διεργασία λέγεται χύτευση µε υδατόλουτρο (waterbath casting) (βλ. Σχήµα 8.3β). Και στις 2 περιπτώσεις, η ψύξη επέρχεται σε συγκεκριµένο σηµείο µε γνωστή ταχύτητα, την ταχύτητα έλασης. Σχήµα 8.3 Σχηµατική παράσταση των διαφόρων τρόπων χύτευσης πολυµερικών φύλλων. (α) Χύτευση µε κυλίνδρους ψύξης (chill-roll casting). (β) Χύτευση µε υδατόλουτρο (waterbath casting). Σε αντίθεση µε τη διεργασία εκβολής ινών, έχουν γίνει σχετικά λίγες προσπάθειες για τη µαθηµατική µοντελοποίηση και ανάλυση της διεργασίας χύτευσης φύλλων, οι οποίες ακόµα δεν έχουν αποδώσει πλήρη δυνατότητα πρόβλεψης για όλες τις περιπτώσεις. Για τη µοντελοποίηση, χρειάζεται κατάλληλη ρεολογική καταστατική εξίσωση που να περιγράφει τη συµπεριφορά του πολυµερούς σε όλες τις περιπτώσεις παραµόρφωσης, µαζί µε τις εξισώσεις διατήρησης της µάζας, ορµής, και ενέργειας. Ο Middleman [MID 77], ακολουθώντας την ανάλυση της εκβολής ινών του προηγούµενου κεφαλαίου, δίνει πολύ σύντοµα τις αντίστοιχες σχέσεις για την πρόβλεψη των χαρακτηριστικών µεγεθών του παραγόµενου φιλµ, κάνοντας χρήση της προσεγγιστικής µεθόδου λεπτού φιλµ και θεωρώντας το ρευστό

8-6 ως Νευτωνικό. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται σαν αρχή για τις περαιτέρω αναλύσεις της διεργασίας και παρατίθεται και εδώ. Η προς ανάλυση διεργασία φαίνεται στο Σχήµα 8.2(α), όπου πολυµερικό τήγµα εκβάλλεται µέσα από επίπεδη µήτρα, όπου µε την επιβολή αξονικής έλασης επέρχεται µονοαξονική επιµήκυνση στα άκρα αλλά επίπεδη επιµήκυνση στο κέντρο του εκβαλλόµενου φύλλου. Αµέσως µετά την έξοδο από τη µήτρα παρατηρείται συνήθως το φαινόµενο της διόγκωσης του πολυµερικού ρευστού λόγω χαλάρωσης των κάθετων τάσεων. Η περιοχή της διόγκωσης είναι όµως σχετικά µικρή και φθάνει το πολύ σε απόσταση 2-3 φορές το άνοιγµα 2h 0 της µήτρας, µε αποτέλεσµα να µην λαµβάνεται υπόψη στις αναλύσεις της διεργασίας. Οι διαστάσεις του φύλλου καθορίζονται από τα µεγέθη του λόγου έλασης (draw ratio), και της µείωσης πάχους (thickness reduction). Ο λόγος έλασης (D R = u L / u 0 ) ορίζεται ως ο λόγος της ταχύτητας στον κύλινδρο έλασης προς τη µέση ταχύτητα εκβολής στη µήτρα, και έχει τυπικές τιµές µεταξύ 2 και 20. Η µείωση πάχους (Τ R = h 0 / h L ) ορίζεται ως ο λόγος ανοίγµατος της σχισµής της µήτρας εκβολής προς το πάχος του φύλλου στον κύλινδρο έλασης, και έχει τυπικές τιµές µεταξύ 20 και 2000. Τα φύλλα ακολούθως υπόκεινται σε περαιτέρω διεργασίες εφελκυσµού και τελειώµατος περνώντας από άλλο σύνολο µικρότερων ρολών. Τελικά, περιτυλίγονται σε µποµπίνες και πωλούνται στο εµπόριο. Καθώς το φύλλο ελάσσεται, υφίσταται µη-οµοιόµορφη επίπεδη παραµόρφωση. Ο τύπος αυτός της παραµόρφωσης είναι το κατ εξοχήν χαρακτηριστικό της διεργασίας χύτευσης φύλλων, η οποία αυξάνει την αντοχή του φύλλου στην κατεύθυνση έλασης και

8-7 επιτρέπει τον ακριβή έλεγχο των µηχανικών και λοιπών ιδιοτήτων του τελικού προϊόντος. 8.2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ 8.2.1. Ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική Χύτευση Φύλλων Η ανάλυση της διεργασίας χύτευσης φύλλων ακολουθεί την ανάλυση που δίνεται από τον Middleman [MID 77], όπου το φιλµ θεωρείται σαν λεπτό φύλλο υπό επίπεδο εφελκυσµό. Για ρευστά πολυµερικά τήγµατα µεγάλου ιξώδους, οι ιξώδεις δυνάµεις υπερισχύουν των δυνάµεων αδράνειας, βαρύτητας και επιφανειακής τάσης, που θεωρούνται αµελητέες. Η γεωµετρία της διεργασίας αντιστοιχεί στη διεργασία εκβολής ινών αλλά επιβάλλει την τοποθέτηση του προβλήµατος σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, που ορίζεται από την κατεύθυνση πάχους y, την αξονική κατεύθυνση έλασης x, και την εγκάρσια κατεύθυνση πλάτους z, ενώ n είναι το κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια του φύλλου (βλ. Σχήµα 8.4). Σχήµα 8.4 Σχηµατική παράσταση της διεργασίας χύτευσης φύλλων. (α) Πρόσοψη της διεργασίας, (β) Πλάγια όψη της διεργασίας.

8-8 Αρχίζουµε την ανάλυση θεωρώντας ότι το προφίλ της ταχύτητας u δεν µεταβάλλεται κατά το πάχος του φιλµ, έτσι ώστε να είναι µόνο συνάρτηση του µήκους έλασης x. Για ασυµπίεστα υλικά, η εξίσωση διατήρησης της µάζας (ή εξίσωση συνέχειας) γράφεται u υ + = 0 x y (8.1) Ολοκλήρωση της παραπάνω εξίσωσης δίνει du υ = y (8.2) dx Στην επιφάνεια του φύλλου όπου y=½η, παρατηρείται η µέγιστη τιµή στην συνιστώσα υ της ταχύτητας στην κατεύθυνση πάχους y, η οποία δίνεται από 1 du υ H = H (8.3) 2 dx Η ογκοµετρική παροχή Q/W (ανά µονάδα πλάτους) δίνεται από Q W H / 2 = 2 udy = uh (8.4) 0 και σε µόνιµη κατάσταση Q=σταθερά. Εποµένως έχουµε dq dx du dh = 0 = H + u (8.5) dx dx ή dh dx H du = (8.6) u dx Η εξίσωση διατήρησης της ορµής (ισορροπία δυνάµεων) δίνει σ xy σ + xx y x = 0 (8.7) όπου σ xx και σ xy είναι οι ολικές τάσεις στην κατεύθυνση έλασης και στην διατµητική κατεύθυνση, αντίστοιχα. Όπως και στην ανάλυση της εκβολής ινών (αρκεί να αντικαταστήσει κανείς την ακτινική

8-9 µεταβλητή r µε y και την αξονική µεταβλητή z µε x), ο όρος της διατµητικής τάσης µπορεί να βρεθεί από τις σχέσεις καµπυλότητας της ελεύθερης επιφάνειας (βλ. Σχήµα 7.3), όπου ισχύει ότι δεν υπάρχει κάθετη ροή ούτε υπάρχουν διατµητικές ή κάθετες τάσεις στην ελεύθερη επιφάνεια. Ολοκληρώνοντας την Εξ. (8.7) ως προς y (από το 0 µέχρι το ½Η) προκύπτει η ολοκληρωµένη εξίσωση ισορροπίας δυνάµεων d dx ( H ) = 0 σ (8.8) xx ή Hσ xx = F (8.9) όπου F είναι η αξονική δύναµη έλασης ανά µονάδα πλάτους W του φιλµ. Στο σηµείο αυτό είναι απαραίτητη η εισαγωγή ρεολογικής καταστατικής εξίσωσης για τη συσχέτιση των τάσεων µε τις ταχύτητες και τις παραγώγους τους. Θεωρώντας Νευτωνικό ρευστό, έχουµε σ = p I + τ = pi + µγ (8.10) όπου p είναι η ισοτροπική πίεση, I είναι ο µοναδιαίος τανυστής, και τ είναι ο τανυστής των πρόσθετων τάσεων. Από την παραπάνω γενική σχέση παίρνουµε u σ xx = p + 2 µ (8.11) x υ u σ yy = p + 2 µ = p 2µ (8.12) y x w σ zz = p + 2 µ = p (8.13) z Η Εξ. (8.12) προκύπτει από την εφαρµογή της εξίσωσης συνέχειας (8.1), ενώ η Εξ. (8.13) προκύπτει από την παραδοχή διδιάστατης ροής. Η πρώτη διαφορά κάθετων τάσεων Ν 1 δίνεται από τη σχέση

8-10 du σ xx σ yy = 4µ (8.14) dx Η παραπάνω σχέση δίνει τον ορισµό του ιξώδους επίπεδου εφελκυσµού (planar extensional viscosity), ήτοι N σ σ 1 xx yy ηp = = = 4µ ε du dx (8.15) και δείχνει ότι για Νευτωνικά ρευστά το η P =4µ. Η διεργασία χύτευσης αποτελεί εποµένως την κλασική διεργασία όπου παρατηρείται παραµόρφωση επίπεδου εφελκυσµού, όπως η εκβολή ινών αποτελεί την κλασική διεργασία µονοαξονικού εφλεκυσµού, και η εκβολή µε εµφύσηση αποτελεί την κλασική διεργασία διαξονικού εφελκυσµού. Παρατηρείται από την Εξ. (8.14) ότι το Ν 1 είναι ανεξάρτητο του y. Όµως, στην επιφάνεια του φύλλου όπου y=½η, έχουµε κάνει την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν κάθετες τάσεις, και σαν προσέγγιση ισχύει ότι 1 σ yy = 0 στο y = H (8.16) 2 και γενικότερα για όλα τα y. Εποµένως έχουµε και du p = 2µ (8.17) dx du σ xx = 4µ (8.18) dx βρίσκουµε 1 H Συνδυάζοντας τις Εξ. (8.4), (8.6), και (8.18) µε την Εξ. (8.9) dh dx 1 du σ xx F F = = = = (8.19) u dx 4µ u 4µ uh 4µ Q Ολοκλήρωση δίνει για το πάχος

8-11 H H 0 Fx = exp 4µ Q (8.20) και για την αξονική ταχύτητα u u 0 Fx = exp 4µ Q (8.21) Από την Εξ. (8.2) βρίσκουµε την κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας υ u F Fx υ = 0 y exp 4µ Q 4µ Q (8.22) Στις παραπάνω περιπτώσεις για την εύρεση των σταθερών της ολοκλήρωσης έχουµε θέσει κατάλληλες οριακές συνθήκες. Κάνοντας χρήση του Σχήµατος 8.2, και επειδή η παρούσα ανάλυση δεν λαµβάνει υπόψη την περιοχή της διόγκωσης, ορίζουµε αυθαίρετα την αρχή του πεδίου ανάλυσης x = 0 στο σηµείο όπου παρατηρείται η µέγιστη διόγκωση. Στις περισσότερες περιπτώσεις η απόσταση από την έξοδο της µήτρας µέχρι το σηµείο της µέγιστης διόγκωσης είναι µικρή σε σχέση µε το πάχος του φύλλου, όπου εφαρµόζεται η δύναµη έλασης F και όπου επιτυγχάνεται το τελικό πάχος του φύλλου h L σε απόσταση x=l. Εποµένως, ισχύουν οι εξής οριακές συνθήκες: H = H o L στο x = 0, στο x =, { u = ul (8.23) u = uo H o Αν λάβουµε υπόψη µας τον ορισµό του λόγου έλασης D R D R u = L FL = exp u 4µ Q 0 (8.24) οι παραπάνω εξισώσεις γράφονται H D / R H 0 x L ( ) = (8.25) u D / R u 0 x L ( ) = (8.26)

8-12 u 0F / y D R x L ( ) υ = (8.27) 4µ Q Με τις τρεις εξισώσεις (8.25), (8.26) και (8.27) είναι δυνατό να υπολογιστούν τα διάφορα µεγέθη της διεργασίας χύτευσης φύλλων, θεωρώντας το ρευστό ως Νευτωνικό. Σύγκριση µε τις εξισώσεις της διεργασίας εκβολής ινών του προηγούµενου κεφαλαίου δείχνει ότι οι εξισώσεις για τη χύτευση φύλλων είναι ακριβώς οι αντίστοιχες στο καρτεσιανό διδιάστατο σύστηµα συντεταγµένων. 8.2.2. Γενική Θεώρηση Μονοδιάστατου Μοντέλου για Χύτευση Φύλλων Σε ό,τι ακολουθεί παρουσιάζουµε ένα γενικό µονοδιάστατο µοντέλο για τη χύτευση φύλλων βασισµένο στην ανάλυση των Silagy et al. [SIL 96] και Beaulne [BEA 99]. Το πεδίο ροής δίνεται στο Σχήµα 8.2(α) και γίνεται χρήση καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων (x,y,z) µε σηµείο αναφοράς το κέντρο συµµετρίας στην έξοδο της µήτρας εκβολής. Στην παρούσα ανάλυση δίνεται επίσης ο τρόπος υπολογισµού µεταβολής του πλάτους του φιλµ στην αξονική κατεύθυνση x, µαζί µε την ταχύτητα. Για ροή µε ελεύθερη επιφάνεια όπως εδώ, οι τάσεις µεταβάλλονται µόνο µε την αξονική κατεύθυνση x, αλλά η ταχύτητα στην κατεύθυνση y είναι µη µηδενική. Λαµβάνοντας υπόψη ότι οι ολικές τάσεις σ = p I + τ, και θέτοντας σ zz =0, οι σχέσεις µεταξύ των ολικών τάσεων και των πρόσθετων τάσεων γράφεται σ σ σ xx yy zz = τ = τ = 0 xx yy τ τ zz zz (8.28)

8-13 Οι γενικές εξισώσεις διατήρησης της µάζας, ορµής, και ενέργειας µπορούν να γραφούν για κάθε διατοµή και να δώσουν τις εξισώσεις που διέπουν τη διεργασία ως προς την κατεύθυνση x. Η εξίσωση διατήρησης της µάζας δίνει ( wh) u = ρq σταθερά ρ 4 = (8.29) όπου w είναι το πλάτος του φιλµ, h είναι το πάχος του, u είναι η αξονική ταχύτητα, Q είναι η ογκοµετρική παροχή, και ο όρος µέσα στην παρένθεση αντιστοιχεί στο εµβαδό της διατοµής. Η γεωµετρία του Σχήµατος 8.2(α) δίνει εµβαδό διατοµής του φιλµ ( 4 wh), ενώ η περίµετρος ισούται µε ( 4 w + 4h). Η εξίσωση διατήρησης της ορµής, στη γενική της µορφή θεωρώντας δυνάµεις από τις τάσεις, την αδράνεια, τη βαρύτητα, και την τριβή του προσφυσούµενου αέρα (air drag), γράφεται ως d dx du dx u f a 2 (8.30) [( 4wh)( τ τ )] ( 4wh) ρu + ( 4wh) ρg ( 4w + 4h) C ρ = 0 xx zz 2 όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, C f ο συντελεστής τριβής του αέρα, και ρ α η πυκνότητα του αέρα. Υποθέτοντας οµοιόµορφη θερµοκρασιακή κατανοµή στη διατοµή του φιλµ και αµελητέα αξονική θερµική αγωγή και ενέργεια λόγω ιξώδους τριβής (έλλειψη τοιχωµάτων), η εξίσωση διατήρησης της ενέργειας για τη θερµοκρασία απλοποιείται στην εξής µορφή ρ c p Q dt dx 4 4 ( 4w + 4h) h ( T T ) + ( 4w + 4h) σ ε ( T T ) = 0 + c SB (8.31) όπου T είναι η θερµοκρασία του περιβάλλοντος αέρα, c P η ειδική θερµική χωρητικότητα του πολυµερούς, h c ο συντελεστής µεταφοράς θερµότητας, ε ο συντελεστής ακτινοβολίας, σ SB η σταθερά

8-14 ακτινοβολίας Stefan-Boltzmann, και Q η ογκοµετρική παροχή στη δακτυλική µήτρα εκβολής. Η πυκνότητα, ρ, και η ειδική θερµική χωρητικότητα, c P, µεταβάλλονται µε την απόσταση κατά µήκος του φιλµ, µιας και είναι συναρτήσεις της θερµοκρασίας. Για την θερµική χωρητικότητα των πολυµερών ισχύει η παρακάτω σχέση, όπως προτάθηκε από τον Haw [HAW 84] c P o k1 + k2t ( T ) = cp (8.32) k1 + k2to όπου c o P είναι η θερµική χωρητικότητα σε θερµοκρασία αναφοράς T o, και k 1 και k 2 είναι εµπειρικές σταθερές. Η πυκνότητα ρ δίνεται από ρo ρ ( T ) = (8.33) 1+ c ( T T ) ρ o όπου ρ o είναι η πυκνότητα σε θερµοκρασία T o, και c ρ είναι η σταθερά διαστολής. Το ιξώδες µ σε θερµοκρασία Τ είναι µια εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση της θερµοκρασίας και δίνεται από τη σχέση του Arrhenius E 0 1 1 µ = µ 0 exp (8.34) R T T0 όπου µ 0 είναι το ιξώδες σε θερµοκρασία αναφοράς Τ 0, Ε 0 είναι η ενέργεια ενεργοποίησης, και R η σταθερά των ιδανικών αερίων. Ο συντελεστής µεταφοράς θερµότητας, h c, δίνεται από σχέση που χρησιµοποιείται στη συναγωγή θερµότητας σε επίπεδες επιφάνειες κατά τους Churchill and Chu [CHU 75], αφού η γεωµετρία του φιλµ µοιάζει µε εκείνη των επίπεδων πλακών. h c k a = L 0.387Ra 0.825 + 0.492 1 + Pr 1/ 6 9 /16 8 / 27 2 (8.35)

8-15 Στην παραπάνω σχέση, k a είναι η θερµική αγωγιµότητα του αέρα και L είναι το µήκος του φιλµ από την έξοδο της µήτρας εκβολής µέχρι τον κύλινδρο ψύξης. Ο αριθµός Rayleigh number, Ra, δίνεται από ( T T ) a g air L 3 c p ρ 2 a Ra =. (8.36) T k µ f a a Στην παραπάνω σχέση, g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, T air είναι η θερµοκρασία του αέρα, a c p είναι η θερµική χωρητικότητα του αέρα, ρ a είναι η πυκνότητα του αέρα, µ a είναι το ιξώδες του αέρα, και T f είναι η θερµοκρασία οριακού στρώµατος δίνεται από T f T + Tair =. (8.37) 2 Τελικά, ο αριθµός Prandtl, Pr, δίνεται από a c pµ a Pr =. (8.38) k a Πρέπει να σηµειωθεί ότι σ όλες τις παραπάνω σχέσεις οι θερµοφυσικές ιδιότητες του αέρα υπολογίζονται στη θερµοκρασία οριακού στρώµατος, T f. Τυπικές τιµές των παραπάνω παραµέτρων για την περίπτωση µη-ισοθερµοκρασιακής χύτευσης φύλλων για πολυπροπυλένιο (ΡΡ) δίνονται στον Πίνακα 8.1. Οι Εξισώσεις (8.29) και (8.30) συνδυάζονται και δίνουν d τ dx xx τ ρu zz du dx + g C u f ρ a wu 1 u 2 + = 0 ρ Q 2w (8.39) και οι Εξισώσεις (8.29) και (8.31) συνδυάζονται και δίνουν ρ c p Q dt dx Q 4w + h wu Q wu 4 4 ( T T ) + 4w + σ ε ( T T ) = 0 + c SB (8.40)

8-16 Πίνακας 8.1. Τιµές των παραµέτρων για µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις για το πολυπροπυλένιο (ΡΡ) [ΚΑS 74]. Ιδιότητα (Μονάδες) σ SB (erg s -1 cm -2 K 4 ) Eξ. (8.40) ε στην Eξ. (8.40) ρ o (g cm -3 ) στην Eξ. (8.33) c ρ στην Eξ. (8.32) c o p (erg g -1 K -1 ) στην Eξ. (8.32) k 1 στην Eξ. (8.32) k 2 (K -1 ) στην Eξ. (8.32) T ( o C, K) στην Eξ. (8.40) E 0 (J mol -1 ) στην Eξ. (8.34) R (J mol -1 K -1 ) στην Eξ. (8.34) T ref (K) PP 5.67 10-5 0.5 1.0 0.00069 2.0 10 7 0.3243 0.000565 25 (298) 50000.0 8.314 200 (473) Μέχρι τώρα, υπάρχουν δύο διαφορικές εξισώσεις και τρεις µεταβλητές: η ταχύτητα, u, το πλάτος, w, και η θερµοκρασία, T. Εποµένως, απαιτείται µια πρόσθετη εξίσωση για την επίλυση της τρίτης µεταβλητής (το πλάτος). Η επιπλέον εξίσωση προκύπτει από την έλλειψη τάσεων στην ελεύθερη επιφάνεια. Σε διανυσµατική µορφή, η εξίσωση γράφεται σ n = 0 (8.41) όπου n είναι το εξωτερικό µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στην ελεύθερη επιφάνεια xy. Κάνοντας τις κατάλληλες πράξεις και λύνοντας για το πλάτος προκύπτει η απαιτούµενη τρίτη διαφορική εξίσωση: 2 dw dx σ = σ yy xx τ = τ yy xx τ τ zz zz (8.42) Οι Εξισώσεις (8.29), (8.39), (8.40), και (8.42) αποτελούν τις τελικές µονοδιάστατες διαφορικές εξισώσεις προς επίλυση για την εύρεση του πάχους, h, της αξονικής ταχύτητας, u, του πλάτους, w, και της θερµοκρασίας, T. Το πάχος, h, υπολογίζεται εύκολα από την Εξ.

8-17 (8.29), µετά την επίλυση των Εξισώσεων (8.39) και (8.42) για την ταχύτητα, u, και το πλάτος, w. Απλές οριακές συνθήκες απαιτούνται για τις εξισώσεις (8.39), (8.40), και (8.42) αφού αποτελούν απλές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Αυτές είναι: 1. Η ταχύτητα στο x = 0 είναι η ταχύτητα στην έξοδο της µήτρας εκβολής, u o : u = uo στο x = 0 (8.43) 2. Η θερµοκρασία στο x = 0 είναι η θερµοκρασία στην έξοδο της µήτρας εκβολής, T o : T = To στο x = 0 (8.44) 3. Το πλάτος στο x = 0 είναι το πλάτος στην έξοδο της µήτρας εκβολής, w o : w = wo στο x = 0 (8.45) 4. Οι τάσεις ( τ xx τ zz ) στην Εξ. (8.39) δεν είναι γνωστές a priori, και εποµένως δεν υπάρχει µοναδική λύση (όπως και στην περίπτωση της εκβολής ινών). Εποµένως, απαιτείται µια πρόσθετη οριακή συνθήκη για να κάνει τη λύση µοναδική. Αυτό γίνεται µε την επιβολή της ταχύτητας στη θέση του κυλίνδρου ψύξης, όπου οι τάσεις εξαρτώνται από την ταχύτητα (µέσω της ρεολογικής καταστατικής εξίσωσης): u = ul στο x = L (8.46) 8.3. ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων που διέπουν τη διεργασία µπορεί να γίνει είτε µε την αριθµητική µέθοδο Runge-Kutta 4ης τάξης για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είτε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM), που είναι πιο γενική και ισχύει και για συνήθεις και για µερικές διαφορικές εξισώσεις. Η επίλυση µε τη FEM ακολουθεί όσα παρουσιάστηκαν

8-18 στην περίπτωση εκβολής ινών, και δεν θα επαναληφθεί εδώ. Γενικά αναφέρεται όµως, ότι η διεργασία χύτευσης φύλλων είναι υπολογιστικά λίγο πιο δύσκολη από την προηγούµενη περίπτωση εκβολής ινών αλλά πιο εύκολη από την περίπτωση εκβολής µε εµφύσηση. Οι άγνωστοι του προβλήµατος είναι η αξονική ταχύτητα u, το πλάτος w, και η θερµοκρασία T, κατά µήκος του φιλµ. Η εφαρµογή της µεθόδου επίλυσης γίνεται µε λογισµικό κώδικα πεπερασµένων στοιχείων (F-CAST), γραµµένο ειδικά για προσοµοιώσεις της διεργασίας χύτευσης φύλλων [BEA 99]. Το πρόγραµµα είναι γενικό και ισχύει τόσο για Νευτωνικά όσο και για µη-νευτωνικά ιξωδοελαστικά ρευστά. Για ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις, γίνεται πρώτα η Νευτωνική επίλυση για χαµηλές παροχές (χαµηλά επίπεδα ιξωδοελαστικότητας) και κατόπιν αυξάνεται η παροχή (αυξάνοντας εποµένως και το επίπεδο ιξωδοελαστικότητας) κάνοντας χρήση συνέχειας της λύσης των µεταβλητών. Ένα παράδειγµα της όλης διεργασίας της επαναληπτικής επίλυσης δίνεται στον Πίνακα 8.2. Πίνακας 8.2. ιεργασία σύγκλισης αριθµητικού σχήµατος για το λογισµικό F-CAST [BEA 99] που χρησιµοποιείται σε προσοµοιώσεις χύτευσης φύλλων. Περίπτωση µη-ισοθερµοκρασιακών προσοµοιώσεων πολυπροπυλενίου (PΡ) [KAS 74]. Ο χρόνος CPU δίνεται για υπολογισµούς σε PC (Intel Pentium στα 200 MHz). # στοιχείων # κόµβων # µεταβλητών # επαναλήψεων Χρόνος CPU (s/επανάληψη) Ολικός χρόνος CPU (min) 51 103 3 5 34 14 8.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ 8.4.1. Ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική Χύτευση Φύλλων

8-19 Για την αξιοπιστία των αριθµητικών επιλύσεων υπάρχει η αναλυτική λύση της Εξ. (8.26) που δίνει την ταχύτητα του φιλµ σαν συνάρτηση του µήκους για διαφορετικούς λόγους έλασης D R. Η επίλυση του γενικευµένου µοντέλου της παραγράφου 8.2.2 ισοδυναµεί µε την απλούστερη θεώρηση της παραγράφου 8.2.1 µε το να θέσουµε πολύ µεγάλο πλάτος W, ή αντίστοιχα λόγο πλάτους W/h 0 (>100). Το πρόβληµα έχει επιλυθεί αριθµητικά και µε τη µέθοδο Runge-Kutta (R- K) 4ης τάξης και µε τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων (FEM), κάνοντας χρήση του λογισµικού πακέτου F-CAST [BEA 99]. Για συγκεκριµένα δεδοµένα γραµµής λειτουργίας υπάρχει πρότυπη λύση στη βιβλιογραφία. Στην περίπτωση αυτή τα αποτελέσµατα δίνονται 1.0 1.0 Dimensionless Width, w / w o 0.8 0.6 0.4 0.2 h / h o w / w o Newtonian Silagy et al. (1996) K - BKZ ( Ws = 0.001 ) 0.8 0.6 0.4 0.2 Dimensionless Thickness, h / h o 0.0 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Dimensionless Distance, x / L Σχήµα 8.5 Προβλέψεις της µεταβολής πάχους και πλάτους του φιλµ για την ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική χύτευση φύλλων. Σύγκριση επιλύσεων µε τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων (FEM) (συνεχής γραµµή) και τη λύση των Silagy et al. [SIL 96] (διακεκοµµένη γραµµή) για λόγο έλασης D R =10 και λόγο γεωµετρίας Α=L/w 0 =8. στο Σχήµα 8.5 για τις διαστάσεις του φιλµ κατά µήκος της γραµµής χύτευσης για λόγο έλασης D R =10 και λόγο γεωµετρίας Α=L/w 0 =8.

8-20 Όπως αναµένεται επέρχεται µείωση και του πλάτους και του πάχους του φύλλου, αλλά οι µεταβολές είναι µεγαλύτερες στη µείωση πάχους. Στο σηµείο αυτό είναι ενδιαφέρον να συγκρίνουµε τις προβλέψεις του απλού µονοδιάστατου µοντέλου µε την πλήρη τρισδιάστατη επίλυση που έχει γίνει πρόσφατα από τους Sakaki et al. [SAK 96]. Αυτό γίνεται στο Σχήµα 8.6 για διαφορετικές τιµές του λόγου έλασης D R και για δύο τιµές του µήκους L του φιλµ. 1.00 Dimensionless Width at Take-Up, w L / w o 0.95 0.90 0.85 L = 10 cm L = 5 cm 1D this work 3D Sakaki et al. (1996) 0.80 0 10 20 30 40 50 Draw Ratio, D R Σχήµα 8.6 Προβλέψεις του πλάτους του φιλµ για την ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική χύτευση φύλλων. Σύγκριση επιλύσεων µε τη µονοδιάστατη θεώρηση (συνεχής γραµµή) και την τρισδιάστατη θεώρηση (διακεκοµµένη γραµµή) για διαφορετικούς λόγους έλασης D R. Είναι φανερό ότι υπάρχουν διαφορές µεταξύ των δύο επιλύσεων όσον αφορά το τελικό πλάτος του φιλµ (neck-in effect). Η προσεγγιστική µονοδιάστατη επίλυση προβλέπει µικρότερο τελικό πλάτος, wl ( 1D) < wl (3D), σε µικρούς λόγους έλασης, και µεγαλύτερο τελικό πλάτος, wl ( 1D) > wl (3D), σε µεγαλύτερους λόγους έλασης, και για τις δύο περιπτώσεις µήκους του φιλµ. Από διαίσθηση, η µονοδιάστατη ανάλυση θα έπρεπε να προβλέπει

8-21 µεγαλύτερα τελικά πλάτη, wl ( 1D) > wl (3D), για όλους τους λόγους έλασης, µιας και η τρισδιάστατη ανάλυση έχει και τη δυνατότητα να προβλέπει το φαινόµενο σχηµατισµού χαντρών (edge-bead effect). Όµως, η τρισδιάστατη ανάλυση έχει 3 ταχύτητες στις κατευθύνσεις x, y, και z, αντίστοιχα, γεγονός που εξηγεί τα αντίθετα από τα αναµενόµενα αποτελέσµατα για το φαινόµενο σχηµατισµού λαιµού (neck-in effect). 8.4.2. Ισοθερµοκρασιακή Χύτευση Φύλλων µε το Μοντέλο Maxwell Για ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις, χρειάζεται η χρήση κατάλληλου ρεολογικού µοντέλου. Το πιο απλό ιξωδοελαστικό µοντέλο είναι το µοντέλο Maxwell άνω συναγωγής (upper-convected Maxwell ή UCM), το οποίο γράφεται σε γενική µορφή ως τ + λτ = µγ (8.47) όπου λ είναι ο χρόνος χαλάρωσης και τ δίνεται από τον τύπο τ t T T τ = + v τ v τ τ v (8.48) και καλείται παράγωγος άνω συναγωγής, που επιτρέπει την περιγραφή µετατόπισης, περιστροφής, και παραµόρφωσης ενός ειδικού όγκου ελέγχου του υλικού στον τρισδιάστατο χώρο. Η ιξωδοελαστικότητα του υλικού χαρακτηρίζεται από τον αδιάστατο αριθµό Weissenberg, Ws, που δίνεται από τη σχέση u0 Ws = λ (8.49) L Προφανώς, Ws=0 αντιστοιχεί στο Νευτωνικό ρευστό (ανελαστικό, πλήρως ιξώδες), ενώ µη-µηδενικές τιµές του Ws αντιστοιχούν σε

8-22 διαφορετικούς βαθµούς ιξωδοελαστικότητας, που αυξάνονται µε την αύξηση του Ws. Η επίλυση του µοντέλου αυτού έχει επίσης γίνει µε το λογισµικό πακέτο F-CAST [BEA 99]. Τα αποτελέσµατα δίνονται στο Σχήµα 8.7 για τις διαστάσεις του φιλµ (πάχος και πλάτος) κατά µήκος της γραµµής χύτευσης για τις ίδιες συνθήκες λειτουργίας όπως στην Νευτωνική περίπτωση του Σχήµατος 8.5, αλλά για τιµή του αριθµού Weissenberg Ws=0.04. Όπως και στην περίπτωση της εκβολής ινών, όσο αυξάνει η ιξωδοελαστικότητα του πολυµερούς τόσο µειώνεται η καµπυλότητα του φύλλου, και κατά συνέπεια της ταχύτητας, η οποία στο όριο χύτευσης στερεού φιλµ µεταβάλλεται γραµµικά. 1.0 1.0 w / w o Dimensionless Width, w / w o 0.8 0.6 0.4 0.2 Maxwell ( UCM ) ( Ws=0.04 ) Silagy et al. (1996) ( Ws = 0.04 ) K - BKZ ( Ws=0.04 ) h / h o 0.8 0.6 0.4 0.2 Dimensionless Thickness, h / h o 0.0 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Dimensionless Distance, x / L Σχήµα 8.7 Προβλέψεις από τις ισοθερµοκρασιακές ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις µε το µοντέλο Maxwell άνω συναγωγής (Upper- Convected Maxwell, UCM) για Ws=0.04, D R =10, Α=L/w 0 =8. Σύγκριση αποτελεσµάτων από το λογισµικό F-CAST [BEA 99] (συνεχής γραµµή) µε τα αποτελέσµατα των Silagy et al. [SIL 96] (διακεκοµµένη γραµµή). Σύγκριση µε διδιάστατες προσοµοιώσεις

8-23 Ισοθερµοκρασιακές διδιάστατες προσοµοιώσεις για τη διεργασία χύτευσης φύλλων έχουν γίνει από τους Debbaut et al. [DEB 95] µε το Νευτωνικό µοντέλο και το µοντέλο Maxwell (UCM). Η διδιάστατη αυτή ανάλυση λαµβάνει υπόψη της και το φαινόµενο σχηµατισµού χαντρών (edge-bead effect) µε µια επιπλέον εξίσωση που επιτρέπει µεταβολές στο πάχος του φύλλου τόσο στην κατεύθυνση y όσο και στην κατεύθυνση x. Το Σχήµα 8.8 παρουσιάζει το φαινόµενο σχηµατισµού λαιµού (neck-in effect) για τη µείωση πλάτους ( w / w ) σαν συνάρτηση του λόγου έλασης (D R ) για τα δύο µοντέλα (Νευτωνικό και Maxwell) µε τις δύο θεωρήσεις προσοµοίωσης (µονοδιάστατη και διδιάστατη θεώρηση). Οι συνθήκες λειτουργίας δίνονται στον Πίνακα 8.3. Ο χρόνος χαλάρωσης που απαιτείται για ένα δεδοµένο αριθµό Weissenberg (Ws) είναι λ=5ws. L o Πίνακας 8.3 Συνθήκες λειτουργίας γραµµής χύτευσης φύλλων που χρησιµοποιήθηκαν στις ισοθερµοκρασιακές διδιάστατες προσοµοιώσεις για το Νευτωνικό µοντέλο και το µοντέλο Maxwell [DEB 95]. Ιδιότητα (Μονάδες) Τιµή Πάχος µήτρας εκβολής, h 0 (cm) 0.05 Πλάτος µήτρας εκβολής, w 0 (cm) 50 Μήκος γραµµής χύτευσης, L (cm) 50 Ταχύτητα τήγµατος στη µήτρα εκβολής, u 0 (cm/s) 10 Φαίνεται και πάλι ότι συµφωνία για το Νευτωνικό µοντέλο είναι καλή για µικρούς λόγους έλασης (D R <3), αλλά οι διαφορές γίνονται µεγαλύτερες για µεγαλύτερους λόγους έλασης (3<D R <40). Αυτό αναµένεται από τη χρήση του µονοδιάστατου µοντέλου, που δεν λαµβάνει υπόψη του τα φαινόµενα σχηµατισµού των χαντρών στα άκρα. Σχετικά όµως µε το µοντέλο UCM φαίνεται ότι τα µονοδιάστατα αποτελέσµατα συµφωνούν αρκετά καλά µε τις διδιάστατες προσοµοιώσεις των Debbaut et al. [DEB 95]. Η συµφωνία

8-24 αυτή εξηγείται από το γεγονός ότι η ιξωδοελαστικότητα προκαλεί έντονες χάντρες στα άκρα σε αντίθεση µε το σχηµατισµό πιο οµαλών χαντρών στις περιπτώσεις καθαρά ιξώδους Νευτωνικού ρευστού, όπως φαίνεται σχηµατικά στο Σχήµα 8.9 από τις διδιάστατες προσοµοιώσεις των Debbaut et al. [DEB 95]. Ο σχηµατισµός χαντρών σε Νευτωνικό φύλλο καταλαµβάνει µεγαλύτερο εµβαδό και έτσι µεταβάλλει και τις άλλες διαστάσεις (δηλ., το πάχος στη γραµµή συµµετρίας και το πλάτος). Αντίθετα ο σχηµατισµός χαντρών σε ιξωδοελαστικό φύλλο Maxwell καταλαµβάνει λιγότερο εµβαδό µε αποτέλεσµα µικρότερες µεταβολές στις άλλες διαστάσεις. Εποµένως, για το ιξωδοελαστικό µοντέλο Maxwell, µονοδιάστατες και διδιάστατες προσοµοιώσεις δίνουν παρόµοιες προβλέψεις για το σχηµατισµό λαιµού (neck-in effect). 1.0 Dimensionless Width at Take-up, w L / w o 0.8 0.6 0.4 0.2 1D this work 2D Debbaut et al. (1995) UCM Newtonian z z y y Ws = 0 Ws = 0.0245 0.0 0 10 20 30 40 Draw Ratio, D R (α) (β) Σχήµα 8.8 (α) Προβλέψεις από τις ισοθερµοκρασιακές ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις µε το Νευτωνικό µοντέλο και το µοντέλο Maxwell (UCM) για διαφορετικούς λόγους έλασης D R. Σύγκριση αποτελεσµάτων από το λογισµικό F-CAST [BEA 99] (συνεχής γραµµή) µε τα αποτελέσµατα των Debbaut et al. [DEB 95] (διακεκοµµένη γραµµή). (β) Σχηµατισµός χαντρών στα άκρα για Νευτωνικό φύλλο (Ws=0) και ιξωδοελαστικό φύλλο Maxwell (Ws=0.0245).

8-25 Το Σχήµα 8.9 δίνει το αδιάστατο πάχος (h/h o ) σαν συνάρτηση του αδιάστατου µήκους (x/l) για διαφορετικούς αριθµούς Weissenberg (Ws) και λόγο έλασης D = 40. Με το µονοδιάστατο µοντέλο, το πάχος του φιλµ είναι σταθερό στην κατεύθυνση y (δηλ., δεν υπάρχει σχηµατισµός χαντρών), γεγονός που δεν συµβαίνει µε τη διδιάστατη ανάλυση των Debbaut et al. [DEB 95]. Στο Σχήµα 8.9 γίνεται σύγκριση των αποτελεσµάτων από τη µονοδιάστατη ανάλυση και τη διδιάστατη ανάλυση όπου το πάχος δίνεται στη γραµµή συµµε- R 1.0 Dimensionless Thickness, h / h o 0.8 0.6 0.4 0.2 0.02 0.01 1D this work 2D Debbaut et al. (1995) ( centerline ) Ws 0 0.0245 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Dimensionless Distance, x / L Σχήµα 8.9 Προβλέψεις πάχους του φιλµ στη γραµµή συµµετρίας από τις ισοθερµοκρασιακές ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις µε το µοντέλο Maxwell (UCM) για διαφορετικά επίπεδα ιξωδοελαστικότητας (αριθµοί Ws) και λόγο έλασης D R =40. Σύγκριση αποτελεσµάτων από το λογισµικό F-CAST [BEA 99] (συνεχής γραµµή) µε τα διδιάστατα αποτελέσµατα των Debbaut et al. [DEB 95] (διακεκοµµένη γραµµή). τρίας. Είναι προφανές ότι η συµφωνία µεταξύ των δύο αναλύσεων είναι αρκετά καλή ακόµα και για ελαφρώς ιξωδοελαστικά υλικά, δηλ. για χαµηλούς αριθµούς Weissenberg ( Ws 0 και Ws = 0. 01), και γίνεται πολύ καλύτερη για ισχυρώς ιξωδοελαστικά υλικά, δηλ. για υψηλούς αριθµούς Weissenberg ( Ws = 0. 02 και Ws = 0. 0245 ).

8-26 Εποµένως, ο σχηµατισµός χαντρών στα άκρα για ιξωδοελαστικά υλικά είναι πιο έντονος και έχει λιγότερη επίδραση στο πάχος και το πλάτος του φιλµ. Στη βιοµηχανία, οι χάντρες αποκόπτονται για την παραγωγή φιλµ µε οµοιόµορφο πάχος. Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι και η µονοδιάστατη και η διδιάστατη ανάλυση δίνουν παρόµοιες ιξωδοελαστικές προβλέψεις και για το πλάτος (σχηµατισµός λαιµού, neck-in effect) και για το πάχος στο κέντρο συµµετρίας του φιλµ, τα οποία µεγέθη είναι τα πιο σπουδαία στη βιοµηχανική παραγωγή των πολυµερικών φύλλων. 8.4.3. Μη-Ισοθερµοκρασιακή Χύτευση Φύλλων µε το Μοντέλο Παπ-Ζαπ - Σύγκριση µε Πειράµατα Ο Kase [KAS 74] εκτέλεσε πειράµατα χύτευσης φύλλων από τήγµα πολυπροπυλενίου (PP) στους 215 o C κάτω από µηισοθερµοκρασιακές συνθήκες. Έχουν δοθεί µετρήσεις για το πάχος του φιλµ και της θερµοκρασίας του κατά µήκος της γραµµής χύτευσης για δύο λόγους έλασης (D R ). Οι συνθήκες λειτουργίας δίνονται στον Πίνακα 8.4. Σηµειωτέον ότι οι παραπάνω τιµές δίνουν γεωµετρικό λόγο / L = 12. 5, που είναι µέσα στα όρια που χρησιµοποιούνται στη w o βιοµηχανία ( w o / L 10 20). Σύγκριση των αριθµητικών προσοµοιώσεων κάνοντας χρήση του ιξωδοελαστικού µοντέλου Παπ-Ζαπ µε τα πειράµατα του Kase [KAS 74] (βλ. δεδοµένα στον Πίνακα 8.1 και 8.4) παρουσιάζεται στο Σχήµα 8.10α,β για το πάχος και τη θερµοκρασία, αντίστοιχα. 10-1 220 Exp. Kase (1974) D R =33.0 This work D R =33.0 210 200 Exp. Kase (1974) D R =33.0 This work D R =33.0 Thickness (cm) 10-2 Temperature ( o C) 190 180 170 160 150 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Distance (cm) 140 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Distance (cm)

8-27 Σχήµα 8.10 Σύγκριση προσοµοιώσεων µε πειράµατα για τη χύτευση φύλλων πολυπροπυλενίου (ΡΡ). Τα πειράµατα έχουν γίνει από τον Kase [KAS 74], ενώ οι προσοµοιώσεις από τον Beaulne [BEA 99]. Τα διάφορα δεδοµένα ιδιοτήτων του υλικού δίνονται στον Πίνακα 8.1, ενώ οι συνθήκες λειτουργίας της γραµµής δίνονται στον Πίνακα 8.4. Φαίνεται ότι λαµβάνεται καλή συµφωνία µεταξύ θεωρίας και πειραµατικών δεδοµένων. Οι προβλέψεις για το τελικό πάχος του φιλµ (3.16 µm) είναι λίγο υψηλότερες απ ό,τι µετρήθηκε πειραµατικά (3.0 µm) δίνοντας διαφορές σφάλµατος στα 5.7%. Όπως προαναφέρθηκε, το τελικό οµοιόµορφο πάχος του φιλµ αποτελεί ένα από τους στόχους της βιοµηχανίας παραγωγής φύλλων µε χύτευση. Με την δυνατότητα πρόβλεψης που δίνει το παρόν µονοδιάστατο µοντέλο σε σύγκριση µε τα πειραµατικά δεδοµένα του Kase, φαίνεται ότι σε ορισµένες περιπτώσεις λεπτών φιλµ µε µεγάλο λόγο γεωµετρίας όπου η µονοδιάστατη θεώρηση είναι επαρκής, υπάρχει επιτυχία στις προβλέψεις. Με αυτή την έννοια, το λογισµικό πακέτο F-CAST µπορεί να χρησιµεύσει σαν ένα χρήσιµο εργαλείο για ποσοτικές προβλέψεις του πάχους, της θερµοκρασίας, και των λοιπών µεγεθών που διέπουν τη διεργασία χύτευσης φύλλων. Πίνακας 8.4 Συνθήκες λειτουργίας γραµµής χύτευσης φύλλων που χρησιµοποιήθηκαν στα µη-ισοθερµοκρασιακά πειράµατα µε πολυπροπυλένιο (ΡΡ) του Kase [KAS 74]. Ιδιότητα (Μονάδες) Πάχος µήτρας εκβολής, h 0 (cm) Πλάτος µήτρας εκβολής, w 0 (cm) Τιµή 0.1 1000

8-28 Μήκος γραµµής χύτευσης, L (cm) Ταχύτητα τήγµατος στη µήτρα εκβολής, u 0 (cm/s) Θερµοκρασία εκβολής, T 0 ( o C, K) Θερµοκρασία αέρα, T air ( o C, K) Λόγος έλασης, D R 80 1.04 215 (488) 30 (303) 33 8.5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το µοντέλο ανάλυσης της διεργασίας χύτευσης φύλλων που παρουσιάστηκε εδώ έχει αρκετές αδυναµίες, µε πιο σπουδαία την θεώρηση µονοδιάστατης ροής. Η ανάλυση τρισδιάστατης ροής κάνει πιο δύσκολο το πρόβληµα αλλά δεν εισάγει απλουστευτικές παραδοχές στην ανάπτυξη του µοντέλου. Η κύρια δυσκολία δεν είναι τόσο η επέκταση της θεωρίας όσο η εφαρµογή της. Η µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση πρέπει να κάνει χρήση κάποιου κατάλληλου µοντέλου που να συσχετίζει τη θερµοκρασία του φιλµ µε το ρυθµό απώλειας θερµότητας προς τον περιβάλλοντα αέρα. Αυτό εισάγει το συντελεστή µεταφοράς θερµότητας, όπως δείχθηκε στην παραπάνω ανάλυση. Γίνονται προσπάθειες ώστε οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται σήµερα για την εκτίµηση τέτοιων παραµέτρων να βελτιώνονται πειραµατικά, κάτι το οποίο είναι πιο εύκολο στη διεργασία αυτή απ ό,τι στη διεργασία εκβολής µε εµφύσηση (κάθετη ροή αέρα προς το ελασσόµενο φύλλο). Το πεδίο ροής στη διεργασία αυτή διέπεται από επίπεδο εφελκυσµό. Η εισαγωγή µη-νευτωνικής συµπεριφοράς πρέπει απαραίτητα να γίνει µε κατάλληλο ρεολογικό µοντέλο (καταστατική εξίσωση) που να περιγράφει µε ακρίβεια τη συµπεριφορά του πραγµατικού πολυµερικού τήγµατος σε επίπεδο εφελκυσµό. Τέτοιες µετρήσεις γίνονται σήµερα για ορισµένα πολυµερικά τήγµατα. Είναι

8-29 όµως πιο δύσκολες από τις µετρήσεις για τη µονοαξονική παραµόρφωση που προκαλείται στην εκβολή ινών και πιο εύκολες από τις µετρήσεις για τη διαξονική παραµόρφωση που προκαλείται στην εκβολή µε εµφύσηση. Παρ όλα αυτά κοστίζουν πολύ ακριβά και παραµένουν δύσκολες πειραµατικά. Εποµένως, εν κατακλείδι, πρέπει να θεωρήσουµε ότι το µοντέλο που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο αυτό αποτελεί µια αρκετά σωστή προσπάθεια κατανόησης της δύσκολης αυτής διεργασίας, και είναι κυρίως ποιοτικό, αλλά και ποσοτικό, όπως έδειξαν οι τελευταίες µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις µε πολύπλοκα ρεολογικά µηγραµµικά ολοκληρωτικά µοντέλα του τύπου Παπ-Ζαπ. Αποτελεί τη βάση εκκίνησης για πιο πολύπλοκα µοντέλα [ΒΕΑ 99], που θα πρέπει να λαµβάνουν υπόψη τους και την κρυστάλλωση των τηγµάτων (ιδίως για µεγάλες ταχύτητες έλασης) και πιο ρεαλιστικές συνθήκες προσοµοίωσης (διδιάστατες και τρισδιάστατες προσοµοιώσεις), εποµένως αποτελεί πρόσφορο έδαφος για περαιτέρω έρευνα στον τοµέα της µορφοποίησης πολυµερών.

8-30 Βιβλιογραφία [ALA 91] ALAIE, S.M., PAPANASTASIOU, T.C.: Film Casting of Viscoelastic Liquid, Polym. Eng. Sci., 31, p. 67, 1991. [BAI 95] BAIRD, D.G., COLLIAS, D.I.: Polymer Processing: Principles and Design, Butterworth-Heinemann, Newton, MA, 1995. [BEA 99] BEAULNE, M.: Rheological Characterization of Complex Materials and Modeling of Shear-Free Flows, M.A.Sc. Thesis, Dept. Chem. Eng., Univ. Ottawa, Ottawa, Ontario, Canada, 1999. [CHU 75] CHURCHILL, S.W., CHU, H.H.S.: Correlating Equations for Laminar and Turbulent Free Convection from a Vertical Plate, Int. J. Heat Mass Transfer, 18, p. 1323, 1975. [DEB 95] DEBBAUT, B., MARCHAL, J.M., CROCHET, M.J.: Viscoelastic Effects in Film Casting, Z. angew. Math. Phys., 46, p. S679, 1995. [D HAL 90] D HALEWYN, S., AGASSANT, J.F., DEMAY, Y.: Numerical Simulation of the Cast Film Process, Polym. Eng. Sci., 30, p. 335, 1990. [HAW 84] HAW, J.: A Study of Tubular Film Blowing Process, Ph.D. Thesis, Dept. Chem. Eng., Polytech. Inst. New York, NY, USA, 1984. [KAS 74] KASE, S.: Studies on Melt Spinning. IV. On the Stability of Melt Spinning, J. Appl. Polym. Sci., 18, p. 3279, 1974. [MID 77] MIDDLEMAN, S.: Fundamentals of Polymer Processing, McGraw-Hill, New York, 1977.

8-31 [SAK 96] SAKAKI, K., KATSUMOTO, R., KAJIWARA, T., FUNATSU, K.: Three-Dimensional Flow Simulation of a Film- Casting Process, Polym. Eng. Sci., 36, p. 1821, 1996. [SIL 96] SILAGY, D., DEMAY, Y., AGASSANT, J.F.: Study of the Stability of the Film Casting Process, Polym. Eng. Sci., 36, p. 2614, 1996.