2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας. Επειδή στα περισσότερα θέματα η εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου είναι είτε το ζητούμενο είτε κάτι αναγκαίο, χρήσιμο είναι να έχουμε πάντα υπόψη μας την εξής διαπίστωση: Ένα σημείο προσδιορίζεται από την τομή δύο γραμμών. 5.1 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) και η γωνία ω που σχηματίζει αυτή με τον άξονα x x, όταν: i) η (ε) ορίζεται από τα σημεία Α(,-1) και Β(5,) ii) η (ε) ορίζεται από τα σημεία Δ(-,7) και Ε(3,) iii) η (ε) είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( 1, 3). 5. Να βρεθούν οι τιμές των α, β R, ώστε οι ευθείες (ε): y=(a -a+7 )x+5 και (ζ): y = (+4β-β )x+6 να είναι παράλληλες. 5.3 Να βρεθούν οι τιμές του μ R, ώστε οι ευθείες (ε): y = (μ-3 )x+1 και (η): y = (-μ/ )x+μ να είναι κάθετες. Μέθοδος Όταν ζητάμε την εξίσωση μιας ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από γνωστό σημείο Α(x o,y o ) και έχει κάποια ιδιότητα, τότε η (ε) θα έχει εξίσωση της μορφής: y y o = λ ( x x o ), όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε), αν ορίζεται, ή x = x o, αν δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. Τονίζουμε ότι είναι απαραίτητη η αναζήτηση της (ε) σε καθεμία από τις παραπάνω μορφές, διαφορετικά υπάρχει ο κίνδυνος να μην προσδιορίσουμε όλες τις ζητούμενες ευθείες. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 33

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.4 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ζ) που διέρχεται από το σημείο Α(,3) και η οποία: i) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε): y = 4x 3, ii) είναι κάθετη στην ευθεία (η): x + 4y 3 = 0, iii) είναι παράλληλη στον άξονα yý, iv) είναι παράλληλη στον άξονα x x. 5.5 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(-3,3), Β(1,5), Γ(3,3). Να βρεθούν: i) οι εξισώσεις των πλευρών του, ii) οι εξισώσεις των υψών του, iii) οι εξισώσεις των διαμέσων του, iv) οι εξισώσεις των μεσοκαθέτων των πλευρών του, v) το περίκεντρό του. 5.6 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(,1) και δύο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις y = -3x + 11 και y = x + 3.Να βρεθούν: i) οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ καθώς και η εξίσωση της πλευράς ΒΓ, ii) η εξίσωση του τρίτου ύψους. 5.7 Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι Α(1,4) και δύο από τις πλευρές του έχουν εξισώσεις y = -x + 1 και y = x + 7. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του ορθογωνίου. 5.8 Δίνονται οι ευθείες (ε): y = x 1 και (η): y = x + 1. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων και τέμνουν τις ευθείες (ε) και (η) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΒ =. Μέθοδος Εύρεση του συμμετρικού ενός σημείου Στο σχόλιο αυτό θα περιγράψουμε τον τρόπο εύρεσης του συμμετρικού ενός σημείου Α ως προς μια ευθεία (ε) (η οποία δεν περιέχει το Α). Αν (ε)//yý, τότε η εύρεση του συμμετρικού Β του Α είναι απλή. Πράγματι, αν (ε): x = x o, τότε πρέπει xb xo xo xa yb ya xb xo xa yb ya 34 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ευθεία Επομένως είναι Β(x O - x A, y A ). Έστω τώρα (ε)//yý.από την εξίσωση της (ε) βρίσκουμε τον 1 συντελεστή λ ε, οπότε. Έτσι (ΑΒ): y-y A =λ ΑΒ (x-x A ) Η λύση του συστήματος των εξισώσεων των (ε) και (ΑΒ) δίνει τις συντεταγμένες του σημείου τομής Ρ των (ε) και ΑΒ. Είναι όμως: xa xb y A yb x p και yp. Οι σχέσεις αυτές δίνουν τις συντεταγμένες του σημείου Β(x B, y B ). 5.9 Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Α(-1,3) ως προς την ευθεία (ε) με εξίσωση y = x + 6. Σχόλιο Σε μια μεγάλη κατηγορία ασκήσεων δίνονται ορισμένα στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ και ζητούνται κάποια από τα υπόλοιπα. Για την αντιμετώπιση αυτών των θεμάτων χρήσιμες είναι οι επόμενες επισημάνσεις. Αν υ α είναι το ύψος του τριγώνου προς την πλευρά α, τότε 1, αν φυσικά ορίζεται ο λ α και είναι διάφορος του μηδενός. Αν ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου και Μ(x O,y O ), τότε xb x yb y ισχύει Μ(, ) και το Μ ικανοποιεί τις εξισώσεις των ΑΜ και ΒΓ. Αν ΒΔ είναι η διχοτόμος του τριγώνου προς την πλευρά β, τότε το συμμετρικό του Α ως προς τη ΒΔ είναι σημείο της ΒΓ. Η τελευταία παρατήρηση είναι Μια ιδιότητα της διχοτόμου και μπορεί να είναι το κλειδί για τη λύση ορισμένων ασκήσεων. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 35

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.10 Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν Α(,3) και δύο διάμεσοι του τριγώνου έχουν εξισώσεις x -4y -4 = 0 και 4x +5y 9 = 0. Μέθοδος Ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο Αρκετό ενδιαφέρον παρουσιάζουν στη Γεωμετρία ασκήσεις στις οποίες ζητείται να αποδειχθεί ότι μια μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο. Η αντιμετώπιση τέτοιων θεμάτων γίνεται ως εξής. Προσδιορίζουμε την εξίσωση της μεταβλητής ευθείας (ε). Αν αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε είναι κάποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, επιλέγουμε πρώτα σύστημα συντεταγμένων. Η μεταβλητή ευθεία θα περιέχει στην εξίσωσή της μία ή περισσότερες παραμέτρους. Προσδιορίζουμε ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την εξίσωση της μεταβλητής ευθείας για κάθε τιμή των παραμέτρων. Αυτό γίνεται με διάφορους τρόπους, οι οποίοι γίνονται αμέσως αντιληπτοί στην άσκηση που ακολουθεί, αλλά και σε άλλες στη συνέχεια. Αξίζει όμως να επισημάνουμε ότι αν μια πολυωνυμική εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, τότε το πολυώνυμο αυτό είναι το μηδενικό. 5.11 Ν.α.ο. οι ευθείες (ε λ ) : ( λ +3λ )x +( λ +3λ 1 )y 7λ 1λ+ 5 = 0 διέρχονται από σταθερό σημείο, για κάθε λ R. 5.1 Αν οι ευθείες (ε) : (λ-)x +(λ-3)y + =0 και (ζ) : (λ+1)x +(λ-5)y -8=0 τέμνονται, ν.α.ο. το σημείο τομής του κινείται σε μια σταθερή ευθεία. 5.13 Δίνεται η ευθεία (ε) : y = (λ λ + 3)x λ.να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η (ε) διέρχεται από το σημείο Α(1,4). 5.14 Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όταν Α(3,-5) και Β(-1,3). 5.15 Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι Α(-1,6) και οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι x + y 1= 0 και x y + 1 = 0. Να βρεθούν οι κορυφές του ορθογωνίου. 36 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ευθεία 5.16 Να βρεθεί το συμμετρικό Σ του σημείου Α(,1) ως προς την ευθεία (ε) με εξίσωση y = x + 1. 5.17 Να βρεθούν οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Ρ(0,) και τέμνουν τις ευθείες (ε) : y = x + και (η) : y = x - στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΒ = 4. 5.18 Να βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε οι ευθείες (ε) και (ζ) με εξισώσεις (λ-1)x + (λ+1)y 3 = 0 και (λ-3)x + 3y + 7 = 0 αντίστοιχα να είναι παράλληλες. 5.19 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(,0), ενώ οι εξισώσεις μιας διαμέσου και ενός ύψους του που άγονται από διαφορετικές κορυφές είναι x-y+=0 και 3x+y+=0 αντίστοιχα. Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ. 5.0 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(7,-4). Οι εξισώσεις μιας διχοτόμου και μιας διαμέσου του που άγονται από την ίδια κορυφή είναι 3x+y-7=0 και 11x+6y-35=0 αντίστοιχα. Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ και οι συντεταγμένες της κορυφής Γ. 5.1 Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Ρ(,3) και τέμνουν τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε ΟΑ=ΟΒ. 5. Δίνονται οι ευθείες (ε) : x-3y+10=0, (ζ) : x+y-8=0 και το σημείο Ρ(0,1). Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες σχηματίζουν με τις (ε) και (ζ) παραλληλόγραμμο με κέντρο το σημείο Ρ, καθώς και οι κορυφές του παραλληλογράμμου αυτού. 5.3 Ν.α.ο. όλες οι ευθείες (ε λ ) : ( λ + λ + 1 )x - ( λ -λ +1 )y λ λ = 0 διέρχονται από το ίδιο (σταθερό) σημείο. 5.4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει x 5xy+4y +x+y-=0 Συμπληρωματική ομάδα. 5.5 Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τους άξονες και την ευθεία (ε) : 3x + 4y 1 = 0. 5.6 Να βρεθούν οι τιμές του θ (0,π), ώστε η ευθεία (ε) : y = (ημθ)x +3 να είναι παράλληλη στην ευθεία (η): y=x + 5. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 37

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.7 Η προβολή της αρχής των αξόνων σε μια ευθεία (ε) είναι το σημείο Α(4,5). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας αυτής. 5.8 Δίνονται τα σημεία Α(,1), Β(4,) και Γ(1,3). i) να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ ii) ν.α.ο. οι ευθείες ΑΒ, ΒΓ, και ΑΓ σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. 5.9 Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Α(5,-1) ως προς την ευθεία (ε) : x - y - = 0. 5.30 Δίνονται τα σημεία Α(-1,) και Β(1,1). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑ - ΜΒ = 19. O 5.31 * Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με Aˆ 90. Αν ΑΔ ΒΓ, ΔΕ ΑΒ, ΔΖ ΑΓ και Μ είναι το μέσο της ΒΓ, ν.α.ο. ΑΜ ΖΕ. 5.3 Ν.α.ο. όλες οι ευθείες (ε) : αx + βy + γ = 0 με a + β + γ = 0 διέρχονται από σταθερό σημείο. 5.33 Γνωρίζουμε ότι το νερό παγώνει στους 0 Ο C ή 3 O F (C = Κελσίου και F = Φαρενάιτ), ενώ βράζει στους 100 Ο C ή 1 O F. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας σε βαθμούς Κελσίου και σε βαθμούς Φαρενάιτ. β. Αν σ έναν τόπο η θερμοκρασία είναι 10 Ο C,πόση είναι η θερμοκρασία σε βαθμούς F; γ. Η ελάχιστη και η μέγιστη θερμοκρασία ενός τόπου είναι 5 O F και 3 O F αντίστοιχα. Να βρείτε τις θερμοκρασίες αυτές σε βαθμούς Κελσίου. δ. Να χαράξετε την ευθεία του ερωτήματος (α) σ ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. 5.34 Θεωρούμε στο επίπεδο ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy. Μια φωτεινή ακτίνα διέρχεται από τα σημεία Α(-1,3), Β(1,1) και ανακλάται στον άξονα x x. Να βρείτε: α. Την εξίσωση της ευθείας ε στην οποία κινείται η φωτεινή ακτίνα. β. Τη γωνία της ευθείας ε με τον άξονα x x. γ. Το συντελεστή διεύθυνσης της ανακλώμενης ακτίνας. δ. Την εξίσωση της ανακλώμενης ακτίνας. 38 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ευθεία Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 5.35 Αν η εξίσωση με δύο αγνώστους f (x, y) = 0 (1) είναι εξίσωση μιας γραμμής C, τότε Α.οι συντεταγμένες μόνο μερικών σημείων της C επαληθεύουν την (1) Β. οι συντεταγμένες των σημείων της C δεν επαληθεύουν την (1) Γ. το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την (1) δεν ανήκει στην C Δ. όλα τα σημεία που επαληθεύουν την (1) ανήκουν στην C Ε. υπάρχουν σημεία της C των οποίων οι συντεταγμένες δεν επαληθεύουν την (1) 5.36 Δίνεται ένα σημείο M μιας ευθείας, η οποία είναι παράλληλη με το διάνυσμα ν = (3, - 4). Ξεκινώντας από το σημείο Μ θα ξαναβρεθούμε σε σημείο της ευθείας, όταν Α. κινηθούμε 3 μονάδες αριστερά και 4 μονάδες κάτω Β. κινηθούμε 3 μονάδες αριστερά και 4 μονάδες πάνω Γ. κινηθούμε 3 μονάδες κάτω και 4 μονάδες δεξιά Δ. κινηθούμε 3 μονάδες κάτω και 4 μονάδες αριστερά Ε. κινηθούμε 3 μονάδες δεξιά και 4 μονάδες πάνω 5.37. Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) ισούται Α. με το συνημίτονο της γωνίας φ που σχηματίζει η (ε) με τον x x Β. με την εφαπτομένη της συμπληρωματικής γωνίας που σχηματίζει η (ε) με τον x x Γ. με το συντελεστή διεύθυνσης ενός δια/τος κάθετου στην (ε) Δ. με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η (ε) με τον x x Ε. με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η (ε) με το θετικό ημιάξονα Οy 5.38. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας 7 + 3y = - 4x είναι Α. - 4 Β. 7 Γ. - 3 4 Δ. - 3 7 Ε. - 4 3 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 39

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.39 Η ευθεία (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης - 3. Μια άλλη ευθεία (ε ), που Α. - 3 είναι κάθετη στην (ε), έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 Β. - Γ. Δ. Ε. 1 3 3 5.40 Μια ευθεία (ε) έχει συντελεστή 1 και διέρχεται από το σημείο (- 1, 3). Η εξίσωσή της είναι Α. y + 1 = 1 (x - 3) Β. y - 3 = 1 (x + 1) Γ. x + 1 = 1 (y - 3) Δ. x - 3 = 1 (y + ) Ε. καμία από τις παραπάνω 5.41 Στο διπλανό σχήμα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΓ είναι 6 5 4 Α. Β. Γ. 5 4 5 y 6 Γ 1 A 0 1 5 x Δ. 3 Ε. 6 5 5.4 Στο διπλανό σχήμα η εξίσωση της y ευθείας ΟΑ είναι y = 3 x. Η γωνία ΟΑΒ ισούται με Α. 30 Β. 60 Γ. 45 Δ. 90 Ε. 135 0 α A α B x 5.43 Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που είναι παράλληλη με τον y y ισούται με Α. 1 Β. - 1 Γ. 0 π Δ. εφ 4 Ε. δεν ορίζεται 5.44 Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε), που διέρχεται από τα σημεία Α (x 1, y 1 ) και Β (x, y ) ορίζεται πάντα όταν Α. y 1 y Β. x 1 = x και y 1 y 40 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ευθεία Γ. x 1 - x και y 1 y Δ. y 1 = y και x 1 = x Ε. x 1 x 5.45 Στο διπλανό σχήμα η γωνία ΟΑΒ y είναι ορθή. Η εξίσωση της ευθείας ΟΑ είναι α β Α. y = x Β. y = x β α Γ. y = α x Δ. y = αβx 0 α A α B x Ε. y = x 5.46 Το κοινό σημείο του άξονα x x και της ευθείας ΑΒ με Α (0,4) και Β (1,5) είναι Α. (4, 0) Β.(0, 0) Γ.(5, 0) Δ. (- 4, 0) Ε. (0, - 3) 5.47 Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (1, - 1) και είναι παράλληλη στην ευθεία x + 6y = 1 είναι Α. y - 1 = - 3 1 (x + 1) Β. y + 1 = - 3 1 (x - 1) Γ. y - 1 = 3 1 (x - 1) Δ. y + 1 = - 3 1 (x + 1) Ε. y + 1 = 3 1 (x + 1) 5.48 Αν Α (1, 3) και Β (-, 4), τότε η εξίσωση ΑΒ έχει εξίσωση Α. y + 3 = - 3 1 (x - 1) Β. y - 4 = - 3 1 (x + ) Γ. y - 1 = - 3 1 (x - 3) Δ. y = - 3 1 x + 4 Ε. 3y + x - 10 = 0 5.49 Η ευθεία y = λx + 3 Α. είναι κάθετη στον x x για κάποια τιμή του λ R Β. είναι κάθετη στον y y για κάποια τιμή του λ R 1 Γ. για λ 0 περνάει από το σημείο (, 5) λ Δ. περνάει από την αρχή των αξόνων Ε. για λ = 1 είναι κάθετη στην y = x Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 41

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.50 Οι ευθείες x + y + 1 = 0 και x + λy - = 0 Α. τέμνονται για κάθε λ R Β. είναι και οι δύο κάθετες στην y = - x Γ. είναι κάθετες μεταξύ τους για λ = - 1 Δ. είναι παράλληλες για λ = Ε. τέμνονται στο σημείο (- 1, 0) για λ = 5.51 Η ευθεία που περνά από το σημείο (- 1, 5) και είναι κάθετη στην 1 ευθεία y = x - 7 έχει εξίσωση: 3 Α. y = - 3x + 7 Β. y + 1 = - 3 (x - 5) Γ. y - 5 = - 3 (x + 1) Δ. y - 5 = 3 (x + 1) Ε. y + 1 = 3 (x + 5) 5.5 Η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα x x αμβλεία γωνία είναι Α. y = λ x - Β. y = Γ. y = 3x + Δ. y = λ x + β με λ < 0 Ε. η κάθετη στην x - 3y + = 0 5.53 Αν η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες x x, y y στα Α (α, 0), Β (0, β) αντίστοιχα με α = β. Τότε Α. η (ε) σχηματίζει γωνία 60 με τον x x Β. η (ε) σχηματίζει γωνία 90 με τον x x Γ. η (ε) σχηματίζει γωνία οξεία με τον x x Δ. η (ε) σχηματίζει γωνία αμβλεία με τον x x 1 Ε. ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι 5.54 Στο διπλανό σχήμα η ευθεία (ε) έχει εξίσωση 3 Α. y = 3 3 x + 1 Β. y = 3 x - 1 1 Γ. y = x + 1 1 Δ. y = x 1 Ε. y = 3 x + 1 y 0 60-1 (ε) x 4 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ευθεία x -1 5.55 Αν το σημείο (3, κ) ανήκει στην ευθεία (ε) + y - 3 Α. κ = 0 Β. κ = Γ. κ = 3 Δ. κ = 5 Ε. κ = 1 = 1, τότε 5.56 Στο καρτεσιανό επίπεδο η εξίσωση y = x παριστάνει Α. μια ευθεία κάθετη στον x x, Β. τη διχοτόμο της γωνίας xοy Γ. τη διχοτόμο της γωνίας yox, Δ. τις διχοτόμους των γωνιών xοy και yox Ε. μια ευθεία κάθετη στον y y 5.57 Δίνονται τα σημεία Α (8, 1), Β (7, 3), Γ (4, 5). Η εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ είναι: Α. y - 5 = - 1 (x + 4) Β. y - 5 = (x + 4) Γ. y - 5 = - (x 4 ) Δ. y - 5 = 1 (x - 4) Ε. καμία από τις προηγούμενες 5.58 Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α (- 8, 4) και Β (- 6, - ) είναι: Α. (1, - 7) Β. (3,- 1) Γ. (- 5, - 1) Δ. (- 7, 1) Ε. (- 1, - 3) 5.59 Στο διπλανό σχήμα το μέσο Μ του ΚΛ έχει προβολή στον άξονα x x το σημείο β - δ Α. (0, ) Β. ( α - γ β - δ, ) β δ y Κ Μ Λ α γ α - γ Γ. (, 0) Δ. (, 0) 0 γ α x α γ β δ Ε. (, ) 5.60 Αν Α (1, 3) και Β (5, 3), το συμμετρικό του μέσου του ΑΒ ως προς τον άξονα x x είναι το Α. (, 3) Β. (,-3) Γ. (3,-3) Δ. (-3,3) Ε. (-3,-3) Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 43

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5.61 Δίνονται τα σημεία Α (0, 4) και Β (4, 0). Ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΟΑΒ είναι (Ο το σημείο τομής των x x, y y) Α. 4 Β. Γ. 0 Δ. - Ε. 4 5.6 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α (0, 0), Β (3, 1), Γ (5,3) και Δ (κ, κ). Η τιμή του κ είναι Α. 3 Β. Γ. 1 Δ. - Ε. 3 5.63 Τα σημεία Α (1, 1), Β (3, 3) και Γ (5, κ) είναι συνευθειακά. Η τιμή του κ είναι Α. - 4 Β. 3 Γ. 1 Δ. 5 Ε. 1 5.64 Το σημείο Μ (0, - 9 ) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α (- 1, - 5). Το σημείο Β είναι το 19 Α. (0, - 5) Β. (- 1, - ) Γ. (- 1, 4) 1 19 Δ. (1, - 4) Ε. (-, - ) 5.65 Τα σημεία Α (α, α + 1), Β (α + 1, α + ) και Γ (α +, α + 3) είναι Α. συνευθειακά, Β. κορυφές τυχαίου ορθογωνίου τριγώνου Γ. κορυφές ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, Δ. κορυφές ισόπλευρου ορθογωνίου τριγώνου Ε. κορυφές ισοσκελούς οξυγωνίου τριγώνου 5.66 Το συμμετρικό του σημείου (4, 1) ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων είναι Α. (- 4, 1) Β. (4, - 1) Γ. (- 4, - 1) Δ. (, 1 ) Ε. (1, 4) 5.67 Οι ευθείες y = και y = 3 x - 1 σχηματίζουν μεταξύ τους οξεία γωνία ίση με Α. 30 Β. 60 Γ. 45 Δ. 75 Ε. 15 44 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ευθεία 5.68 Δυο ευθείες (ε 1 ) και (ε ) τέμνονται. Τότε το σύστημα των εξισώσεων τους Α. έχει άπειρες λύσεις Β. έχει μοναδική λύση, Γ. δεν έχει λύση Δ. έχει δύο λύσεις Ε. έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x, x) 5.69 Μια ευθεία δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης όταν Α. η εξίσωσή της είναι της μορφής y = c, Β. έχει συντελεστή διεύθυνσης 0 Γ. είναι παράλληλη με τον x x, Δ. δεν ορίζεται ο συντελεστής της Ε. έχει εξίσωση y = λx Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 45

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 46 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ευθεία Ενότητα 6. Η εξίσωση Αx+Βy+Γ=0 διάνυσμα παράλληλο σε ευθεία διάνυσμα κάθετο σε ευθεία εφαρμογές 6.1 Ν.α.ο. η εξίσωση ( λ λ )x +( λ +λ -3)y +λ 9 = 0 παριστάνει ευθεία για λ R. Για ποιες τιμές του λ η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 6. Δίνεται η εξίσωση (x +y -5) + λ(x + y 7 ) = 0,όπου λ R. Ν.α.ο.: i) η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία, για κάθε λ R. ii) η ευθεία με εξίσωση τη δοσμένη διέρχεται από σταθερό σημείο, για κάθε λ R. 6.3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,3), Β(5,7) και Γ (3λ-1,4λ-1), λ R. Ν.α.ο. λ. Μέθοδος Δίνονται δύο ευθείες: (ε 1 ) : Α 1 x+ Β 1 y +Γ 1 = 0 και (ε ) : Α x +Β y +Γ = 0 θεωρούμε τα διανύσματα n 1 ( A1, B1 ) ( 1) n A, B ) ( ). ( Επομένως : 1 1 1 n1 // n 0 A B 1 n1n n1 n 0 A1 A B1 B ( )// A 0 B Η μελέτη λοιπόν θεμάτων παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών (κυρίως με εξισώσεις που περιέχουν παραμέτρους) είναι προτιμότερο να γίνεται με τον παραπάνω τρόπο, αφού έτσι αποφεύγονται οι διερευνήσεις σχετικά με την ύπαρξη ή όχι των συντελεστών διεύθυνσης των ευθειών. και 6.4 Δίνονται οι ευθείες (ε) και (ζ) με εξισώσεις (μ 3)x +(μ +1)y + = 0 και (μ -1)x -(μ -1)y +μ = 0 αντίστοιχα. i) ν.α.ο. οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του μ R. ii) Να βρεθούν οι τιμές του μ R, ώστε οι (ε) και (ζ) να είναι παράλληλες. 6.5 Δίνονται οι εξισώσεις (μ- 1)x +(μ -4)y +3 = 0 και (μ -)x +(3μ 7) +μ = 0, μ R. ί)ν.α.ο.οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 47

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου μr. ii) Να βρεθούν οι τιμές του μ, ώστε οι ευθείες αυτές να είναι κάθετες. 6.6 Να υπολογιστεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) : 5x-y+3=0 και (ζ) : 3x+y-5=0 Μέθοδος Εύρεση γεωμετρικών τόπων Μια από τις μεγαλύτερες κατηγορίες ασκήσεων στη Γεωμετρία είναι η εύρεση γεωμετρικών τόπων. Στα θέματα αυτά υπάρχουν στο σχήμα ορισμένα μεταβλητά στοιχεία και ζητείται ο γεωμετρικός τόπος ενός σημείου, ώστε να ικανοποιείται κάποια ιδιότητα. Η αντιμετώπιση τέτοιων ασκήσεων γίνεται ορισμένες φορές ευκολότερα με τη χρήση συντεταγμένων. Ξεκινώντας από τη βασική αρχή ότι σημείο προσδιορίζεται από την τομή δύο γραμμών, εισάγουμε στο πρόβλημα το ελάχιστο δυνατό πλήθος παραμέτρων και προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ, του οποίου ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο, ως συναρτήσεις των παραμέτρων αυτών. Αυτό που απομένει και είναι συνήθως το δυσκολότερο στάδιο είναι η απαλοιφή των παραμέτρων. Η εξίσωση που προκύπτει ( και η οποία δεν πρέπει να έχει παράμετρο (μεταβλητή)) δίνει τη γραμμή στην οποία κινείται το μεταβλητό σημείο Μ. 6.7 Δίνονται τα σημεία Α(1,) και Β(,1). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι ΜΑ 1 - ΜΒ = 8. 6.8 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία ισχύει: x + y xy 3x + 3y + = 0. 6.9 Στις πλευρές μιας ορθής γωνίας xo ˆ y θεωρούμε τα μεταβλητά σημεία Α και Β, έτσι ώστε ΟΑ + ΟΒ = 9. Αν Μ είναι σημείο της ΑΒ τέτοιο, ώστε ΜΑ=ΜΒ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ. 6.10 Δίνεται η εξίσωση (λ - 1)x + (λ +5λ +6)y λ +3 = 0, λ R. i) Ν.α.ο. η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία για κάθε λ R. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι παράλληλη στον άξονα y y. iii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι κάθετη στην ευθεία (ζ) : x+y-3=0. 48 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ευθεία 6.11 Δίνεται η εξίσωση (λ -3λ +)x + (λ -4λ -5)y + λ 9 = 0 i) Ν.α.ο. για κάθε λ R η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι παράλληλη στον άξονα y y. iii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να είναι παράλληλη στον άξονα x x. iv) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η ευθεία αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. v) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε να ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της παραπάνω ευθείας, ο οποίος και να βρεθεί. 6.1 Να βρεθούν οι τιμές των α, β R για τις οποίες η εξίσωση (α +α +β +1)x + (β +β +α +1)y +α +β +1 = 0 δεν παριστάνει ευθεία. 6.13 Δίνεται η εξίσωση (λ -3λ +)x + (λ -4λ+ 3)y +1 -λ = 0 i) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η (ε) να παριστάνει ευθεία. ii) Αν η (ε) παριστάνει ευθεία, ν.α.ο. αυτή διέρχεται από σταθερό σημείο. 6.14 Δίνονται οι εξισώσεις ( λ + 1 )x + ( 3 λ )y + 4 = 0 και ( λ )x + (λ - 1)y + 3 = 0, λ R. i) Ν.α.ο. οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθεία για κάθε λr. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε οι ευθείες αυτές να είναι παράλληλες. 6.15 Να βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε οι ευθείες (ε) : λx +(λ-1)y +3=0 και (ζ) : (5 -λ)x - (λ -3)y +5 = 0 να είναι κάθετες. 6.16 Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) : x 5y + 7 = 0 και (ζ) : x + 3y - 5 = 0 6.17 * Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην ευθεία (ε): x y +1 = 0 και ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε=4. 6.18 Αν Κ(-3,4), Λ(1,-4) και Μ(7,) είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του καθώς και οι κορυφές του. (με τη χρήση γνωστού θεωρήματος από την Ευκλείδειο Γεωμετρία). Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 49

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 6.19 Η ευθεία (ε) : x+3y-7=0 τέμνει την ευθεία ΑΒ η οποία ορίζεται από τα σημεία Α(1,1) και Β(7,-) στο σημείο Μ. Ν.α.ο. ΑΒ=3ΒΜ. O 6.0 *Στο εξωτερικό ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ Aˆ 90 κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Ν.α.ο. οι ΒΖ και ΓΔ τέμνονται επί του ύψους υ α του τριγώνου. Συμπληρωματική ομάδα. 6.1 Αν η εξίσωση (λ -1)x + (λ -5λ +4)y +7 = 0 δεν παριστάνει ευθεία, να βρεθούν οι τιμές του λ R. 6. Δίνονται οι εξισώσεις (λ-1)x+y+7=0 και (5-λ)x+(λ-1)y+3=0 i) Ν.α.ο. οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθείες. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε οι ευθείες αυτές να είναι παράλληλες. 6.3 Να βρεθούν οι τιμές του μ R, ώστε οι ευθείες (ε) : (μ -)x +3y +9=0 και (ζ) : (μ -4)x +(μ -6)y + = 0 να είναι κάθετες. 6.4 Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν Α(1,) και δύο ύψη του έχουν εξισώσεις x -3y +1 = 0 και x +y = 0. 6.5 Δίνονται οι ευθείες (ε) : 3x+y-5α=0 και (ζ) : x-3y+5α=0. Ν.α.ο. το σημείο τομής των ευθειών (ε) και (ζ) κινείται σε σταθερή ευθεία. 6.6 Αν λ ½, ν.α.ο. οι ευθείες (ε) : ( λ )x + ( λ + 1)y = 0 και (ζ) : (λ - 1)x + λy 1 = 0 τέμνονται και ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή ευθεία. 6.7 Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε): x+y-3=0 και (ζ): (- 3 )x+( 3 +1)y-5=0. 6.8 Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία (ε): x-y+5=0 και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε=. 50 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ευθεία Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 6.9 Η εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0 παριστάνει πάντα ευθεία με Α. Α = 0 και Β = 0 Β. Α = 0 ή Γ 0 Γ. Α + Β 0 Δ. + > 0 Ε. + < 0 6.30 Το διάνυσμα δ (-, 3) είναι κάθετο στην ευθεία Α. x - 3y + 1 = 0 Β. x + 3y + 1 = 0 Γ. 3x + y + 1=0 Δ. 3x - y + 1 = 0 Ε. 3x - y - 1 = 0 6.31 Έστω (ε): Ax + By + Γ = 0 (με Α 0 ή Β 0), τότε: Α. το διάνυσμα ν = (Β, Α) είναι κάθετο στην (ε) Β. το διάνυσμα ν = (Α, - Β) είναι παράλληλο στην (ε) Γ. το διάνυσμα ν = (- Β, Α) είναι παράλληλο στην (ε) Δ. το διάνυσμα ν = (Α, Β) είναι παράλληλο στην (ε) Ε. το διάνυσμα ν = (- Α, Β) είναι κάθετο στην (ε) 6.3 Στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων δίνονται τα σημεία Α (3, 5) και Β (- 1, 8). Η προβολή του ΑΒ στον άξονα x x έχει μήκος Α. 3 Β. 5 Γ. - 1 Δ. 8 Ε. 4 6.33 Έστω ευθεία (ε) που διέρχεται από το Α (x 0, y 0 ) και είναι παράλληλη με το διάνυσμα ν = (α, β) με αβ 0. Τότε η εξίσωση της ευθείας είναι Α. y - y 0 β = x - x0 α Β. y - y 0 =β(x - x 0 ) Γ. Δ. y = α β (x - x0 ) Ε. y - y 0 = - α β (x - x0 ) x - x y - y 0 0 = α β Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 51

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος