ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων γίνεται με προφορικό ή γραπτό λόγο. Ο προφορικός και ο γραπτός λόγος δομούνται από προτάσεις. Πρόταση στη Γραμματική ή το Συντακτικό είναι «σύντομος λόγος με απλό περιεχόμενο». Στη Μαθηματική Λογική και στα Μαθηματικά με τον όρο «πρόταση» ή «Λογική πρόταση» εννοούμε κάθε έκφραση που μπορεί να χαρακτηρισθεί ως αληθής ή ψευδής. Για να χαρακτηρισθεί μια πρόταση ως αληθής ή ψευδής θα πρέπει να εκφράζει ή να αρνείται μια φυσική αναγκαιότητα ή μια νομοτέλεια (μέσα σε χρόνο και τόπο) και να μην απορρέει από βούληση ή θυμική κατάσταση. Έτσι η πρόταση «κάθε βράδυ διαβάζω» δεν μπορεί να θεωρηθεί λογική πρόταση, γιατί δεν εκφράζει μια νομοτέλεια αλλά μια επιθυμία. Έχει την έννοια του «συνήθως» διαβάζω, οπότε είναι πιθανόν να μη διαβάσω. Όμως οι προτάσεις «η Γη είναι σώμα κινούμενο» και «η Γη είναι σώμα ακίνητο» είναι λογικές προτάσεις, γιατί η πρώτη εκφράζει μια νομοτέλεια (είναι αληθής), ενώ η δεύτερη αρνείται μια νομοτέλεια (οπότε είναι ψευδής). Επίσης: H πρόταση «ο αριθμός 10 είναι άρτιος», είναι μια λογική πρόταση, διότι αυτό που εκφράζει είναι αληθές. H πρόταση «ο αριθμός 10 είναι περιττός», είναι μια λογική πρόταση (1), διότι αυτό που εκφράζει είναι ψευδές. Οι δύο προηγούμενες προτάσεις λέγονται απλές, διότι δεν μπορούν να χωρισθούν σε δύο ή περισσότερες άλλες προτάσεις. (1) Στη συνέχεια η Λογική πρόταση θα αναφέρεται απλά ως πρόταση ή ισχυρισμός. 11

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Α ΤΟΜΟΣ Αντίθετα η πρόταση: «ο αριθμός 10 είναι πολλαπλάσιο του 2 και του 5» λέγεται σύνθετη, διότι μπορεί να χωρισθεί σε δύο άλλες απλές που συνδέονται μεταξύ τους με το σύνδεσμο «και». Οι απλές προτάσεις που μπορεί να χωρισθεί η προηγούμενη πρόταση είναι: «ο αριθμός 10 είναι πολλαπλάσιο του 2» και «ο αριθμός 10 είναι πολλαπλάσιο του 5». Στη καθημερινή συζήτηση και στα Μαθηματικά δεν χρησιμοποιούμε μόνο απλές προτάσεις αλλά και σύνθετες. Δηλαδή προτάσεις που συνδέονται μεταξύ τους με τις λέξεις «ή», «και», «αν,..., τότε» κλπ. Στη συνέχεια θα καθορίσουμε την ακριβή σημασία που έχουν στα Μαθηματικά οι λέξεις «ή», «και», «αν,..., τότε», όταν χρησιμοποιούνται για τον σχηματισμό νέων σύνθετων προτάσεων. Η ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε τις προτάσεις: «έξω βρέχει» και «ο ουρανός έχει σύννεφα», τις οποίες ονομάζουμε P και Q αντιστοίχως. Γνωρίσουμε ότι, αν η πρόταση Ρ είναι αληθής, τότε και η πρόταση Q θα είναι αληθής, οπότε η πρόταση: «Αν έξω βρέχει, τότε ο ουρανός έχει σύννεφα», είναι αληθής. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η πρόταση P συνεπάγεται την πρόταση Q και γράφουμε P Q. Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β. Γνωρίζουμε ότι: «Αν οι αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα». Δηλαδή: Αν ο ισχυρισμός «α = β» είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός «α 2 = β 2» θα είναι αληθής. Γι αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός «α = β» συνεπάγεται τον ισχυρισμό «α 2 = β 2» και γράφουμε: α = β α 2 = β 2 Γενικά: Aν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P Q. O ισχυρισμός «P Q» λέγεται συνεπαγωγή και διαβάζεται «αν P, τότε Q». O P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής. 12

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Επισήμανση H συνεπαγωγή «P Q» θεωρείται ψευδής μόνο όταν η υπόθεση Ρ είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές, διότι αν από αληθή υπόθεση οδηγηθούμε σε ψευδές συμπέρασμα, τότε είναι βέβαιο ότι έχουμε κάνει λάθος στο συλλογισμό. Σε κάθε άλλη περίπτωση θεωρούμε ότι η συνεπαγωγή «P Q» είναι αληθής. Η ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ή ΔΙΠΛΗ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε τη προηγούμενη συνεπαγωγή «P Q» με: Ρ : «έξω βρέχει» και Q : «ο ουρανός έχει σύννεφα» Γνωρίζουμε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή ο ισχυρισμός: «Αν ο ουρανός έχει σύννεφα, τότε έξω βρέχει», δεν είναι αληθής, αφού μπορεί ο ουρανός να έχει σύννεφα αλλά έξω να μη βρέχει. Επομένως η συνεπαγωγή «Q P» είναι ψευδής (1). Επίσης και για την προηγούμενη συνεπαγωγή: α = β α 2 = β 2 δεν ισχύει το αντίστροφο, δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή «α 2 = β 2 α = β» για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β, αφού για παράδειγμα είναι ( 2) 2 = 2 2, ενώ 2 2. Όμως υπάρχουν συνεπαγωγές για τις οποίες ισχύει και το αντίστροφο. Για παράδειγμα: Από το Γυμνάσιο γνωρίζουμε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει η συνεπαγωγή: α = β α + γ = β + γ Επίσης γνωρίζουμε ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει και η συνεπαγωγή: α + γ = β + γ α = β Γι αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε: α = β α + γ = β + γ Γενικά Aν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο Ρ, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως, ή αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q και γράφουμε Ρ Q. O ισχυρισμός «P Q» λέγεται ισοδυναμία και διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q». (1) H συνεπαγωγή «Q P» έχει αληθή υπόθεση Q και ψευδές συμπέρασμα P, οπότε είναι ψευδής. 13

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Α ΤΟΜΟΣ Επισήμανση Σύμφωνα με τον ορισμό της συνεπαγωγής, αν οι ισχυρισμοί Ρ και Q είναι ψευδείς, τότε οι ισχυρισμοί «P Q» και «Q P» είναι αληθείς, οπότε η ισοδυναμία «P Q» θα είναι αληθής. Επομένως η ισοδυναμία «P Q» είναι αληθής όταν και οι δύο ισχυρισμοί Ρ και Q είναι αληθείς ή και οι δύο είναι ψευδείς. Ο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ «ή» Αν η Αγροτική τράπεζα ζητά να προσλάβει υπαλλήλους, οι οποίοι: «γνωρίζουν Αγγλικά ή Γαλλικά» σημαίνει ότι γίνονται δεκτοί εκείνοι που γνωρίζουν ή μόνο Αγγλικά ή μόνο Γαλλικά ή και τις δύο γλώσσες. Δηλαδή η Αγροτική τράπεζα ζητά να προσλάβει υπαλλήλους, οι οποίοι γνωρίζουν μια τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες. Με αυτή λοιπόν την σημασία χρησιμοποιείται και στα Μαθηματικά ο σύνδεσμος «ή» όταν συνδέει δύο ισχυρισμούς. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι: «Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β είναι ίσος με το μηδέν». Για να δηλώσουμε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β είναι ίσος με το μηδέν, γράφουμε: α = 0 ή β = 0 Έτσι έχουμε την ισοδυναμία: α. β = 0 α = 0 ή β = 0 Γενικά Aν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει. Ο ισχυρισμός «P ή Q» (1) λέγεται διάζευξη των Ρ και Q. Επισήμανση Ομοίως ορίζεται η διάζευξη «Ρ 1 ή Ρ 2 ή... ή Ρ Κ» και είναι αληθής στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς Ρ 1, Ρ 2,..., Ρ Κ είναι αληθής. Προφανώς η διάζευξη «Ρ 1 ή Ρ 2 ή... ή Ρ Κ» είναι ψευδής μόνο όταν όλοι οι ισχυρισμοί Ρ 1, Ρ 2,..., Ρ Κ είναι ψευδείς. (1) Στην καθημερινή ομιλία ο σύνδεσμος «ή» μπορεί να έχει και διαφορετική σημασία από αυτή που αναφέραμε προηγουμένως. Για παράδειγμα η πρόταση: «Η Άννα το βράδυ θα πάει θέατρο ή θα μείνει στο σπίτι», σημαίνει ότι η Άννα το βράδυ θα κάνει ένα από τα δύο: ή θα πάει θέατρο ή θα μείνει στο σπίτι. 14

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ «και» Αν η Αγροτική τράπεζα ζητά να προσλάβει υπαλλήλους οι οποίοι: «γνωρίζουν Αγγλικά και Γαλλικά» σημαίνει ότι γίνονται δεκτοί μόνο εκείνοι που γνωρίζουν και τις δύο γλώσσες. Με αυτή τη σημασία χρησιμοποιείται και στα Μαθηματικά ο σύνδεσμος «και» όταν συνδέει δύο ισχυρισμούς. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι: «το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνο αν και οι δύο αριθμοί α και β είναι διάφοροι του μηδενός». Για να δηλώσουμε ότι και οι δύο αριθμοί α και β είναι διάφοροι του μηδενός γράφουμε: α 0 και β 0 Έτσι έχουμε την ισοδυναμία: αβ 0 α 0 και β 0 Γενικά Aν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν. Ο ισχυρισμός «P και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q. Για παράδειγμα ο ισχυρισμός: (x 1)(x 2) = 0 και (x + 1)(x 2) = 0 αληθεύει για εκείνα τα x για τα οποία αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, δηλαδή για x = 2. Επισήμανση Ομοίως ορίζεται η σύζευξη «Ρ 1 και Ρ 2 και... και Ρ Κ» και είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που όλοι οι ισχυρισμοί Ρ 1, Ρ 2,..., Ρ Κ είναι αληθείς. Αν ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς Ρ 1, Ρ 2,..., Ρ Κ είναι ψευδής, τότε και η σύζευξη «Ρ 1 και Ρ 2 και... και Ρ Κ» είναι ψευδής. Η ΑΡΝΗΣΗ Με την πρόταση «Ο Λουκάς είναι Μαθηματικός» αποδίδουμε στον Λουκά μια ιδιότητα, ενώ με την πρόταση «ο Λουκάς δεν είναι Μαθηματικός» εκφράζουμε ότι ο Λουκάς δεν έχει την ιδιότητα που του δώσαμε με την πρώτη πρόταση. Έτσι, αν η μία πρόταση είναι αληθής, τότε η άλλη είναι ψευδής. 15

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Α ΤΟΜΟΣ Γενικά Αν Ρ είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός «όχι Ρ» ονομάζεται άρνηση του Ρ, συμβολίζεται P και χαρακτηρίζεται ως: αληθής αν ο Ρ είναι ψευδής ψευδής αν ο Ρ είναι αληθής Επισήμανση Είναι φανερό ότι η σύζευξη «Ρ και ισχυρισμούς Ρ, P είναι ψευδής. P» είναι πάντα ψευδής, αφού ένας από τους Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Να χαρακτηρίσετε τους ισχυρισμούς που ακολουθούν, σημειώνοντας x στην ένδειξη Σ (Σωστός), αν ο ισχυρισμός είναι Σωστός (για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β). Διαφορετικά να σημειώσετε x στην ένδειξη Λ (Λάθος). 1. α = 4 α 2 = 16 Σ Λ 2. α 2 = 16 α = 4 Σ Λ 3. α 2 = 16 α = 4 Σ Λ 4. α 2 = 25 α = 5 ή α = 5 Σ Λ 5. 3α = 15 α = 5 Σ Λ 6. α 1 α 2 1 Σ Λ 7. α 2 1 α 1 Σ Λ 8. α 2 1 α 1 Σ Λ 9. α 2 4 α 2 ή α 2 Σ Λ 10. α 2 9 α 3 και α 3 Σ Λ 11. α. β = 0 α = 0 και β = 0 Σ Λ 12. α. β 0 α 0 και β 0 Σ Λ 13. α β > 0 α > β Σ Λ 14. α < 1 α 2 > 1 Σ Λ 15. α 2 > 1 α > 1 Σ Λ 16

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 16. Ο αριθμός 5 είναι περιττός και ο αριθμός 8 είναι άρτιος. Σ Λ 2 17. Ο αριθμός είναι ρητός και ο αριθμός 4 είναι διαιρέτης 3 του 27. Σ Λ 18. Ο αριθμός 7 είναι άρτιος ή είναι διαιρέτης του 49. Σ Λ 3 4 19. Ο αριθμός είναι ακέραιος ή φυσικός Σ Λ Β. AΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ 1. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα ώστε κάθε ισχυρισμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στον ισοδύναμό του, που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β 1. (x 1)(x 5) = 0 α. x = 1 ή x = 5 2. ( x + 1)( x + 5) 0 β. x = 1 ή x = 5 3. ( x 1)( x 5) 0 γ. x 1 και x 5 4. (x + 1)(x + 5) = 0 δ. x = 1 ή x = 5 ε. x 1 και x 5 1 2 3 4 2. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα ώστε κάθε ισχυρισμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στον ισοδύναμό του, που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β 1. (x 3)(x + 1) = 0 και x < 0 α. x = 5 2. (x 4)(x + 2) = 0 και x(x + 2) = 0 β. x = 3 3. (x 3)(x + 1) = 0 και x > 0 γ. x = 0 4. x(x 5) = 0 και x > 0 δ. x = 1 ε. x = 2 1 2 3 4 17

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Α ΤΟΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ 1.1 Να γράψετε με λόγια τη σύζευξη «P και Q» και τη διάζευξη «Ρ ή Q» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς, όταν: i) Ρ : Το έτος έχει 12 μήνες, Q : Η εβδομάδα έχει 7 ημέρες ii) Ρ : Ο Δεκέμβριος έχει 30 ημέρες, Q : Κάθε 25η Δεκεμβρίου έχουμε Χριστούγεννα iii) Ρ : Τo Παρίσι βρίσκεται στην Αγγλία Q : To Λονδίνο βρίσκεται στη Γαλλία Λύση i) Έχουμε: P και Q: Το έτος έχει 12 μήνες και η εβδομάδα 7 ημέρες. P ή Q: Το έτος έχει 12 μήνες ή η εβδομάδα έχει 7 ημέρες. Η σύζευξη «Ρ και Q» και η διάζευξη «Ρ ή Q» είναι αληθείς, αφού οι Ρ και Q είναι αληθείς. ii) Έχουμε: P και Q: O Δεκέμβριος έχει 30 ημέρες και κάθε 25η Δεκεμβρίου έχουμε Χριστούγεννα. P ή Q: O Δεκέμβριος έχει 30 ημέρες ή κάθε 25η Δεκεμβρίου έχουμε Χριστούγεννα. Η σύζευξη «Ρ και Q» είναι ψευδής, ενώ η διάζευξη «Ρ ή Q» είναι αληθής, αφού η Ρ είναι ψευδής και η Q αληθής. iii) Έχουμε: P και Q: Το Παρίσι βρίσκεται στην Αγγλία και το Λονδίνο στη Γαλλία P ή Q: Το Παρίσι βρίσκεται στην Αγγλία ή το Λονδίνο βρίσκεται στη Γαλλία Η σύζευξη «Ρ και Q» και η διάζευξη «Ρ ή Q» είναι ψευδείς, αφού οι Ρ και Q είναι ψευδείς. 1.2 Έστω οι προτάσεις: Ρ : Η Βασιλική κατοικεί στο Παγκράτι, Q : H Βασιλική κατοικεί στην Αθήνα. Να γράψετε με λόγια: i) τις αρνήσεις των Ρ και Q ii) τις συνεπαγωγές «P Q», «Q P» και «Q P» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς. Λύση i) Oι αρνήσεις των Ρ, Q αντιστοίχως είναι: P : H Bασιλική δεν κατοικεί στο Παγκράτι 18

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Q : H Bασιλική δεν κατοικεί στην Αθήνα ii) Έχουμε: P Q : Αν η Βασιλική κατοικεί στο Παγκράτι, τότε κατοικεί στην Αθήνα Q Ρ : Αν η Βασιλική κατοικεί στην Αθήνα, τότε κατοικεί στο Παγκράτι Q Ρ : Αν η Βασιλική δεν κατοικεί στην Αθήνα, τότε δεν κατοικεί στο Παγκράτι Η συνεπαγωγή Ρ Q είναι αληθής, ενώ η Σχόλιο συνεπαγωγή Q Ρ είναι ψευδής, διότι αν Αν η συνεπαγωγή «P Q» η Βασιλική κατοικεί στην Αθήνα, τότε δεν είναι αληθής, τότε και η σημαίνει ότι θα κατοικεί οπωσδήποτε στο συνεπαγωγή «Q Ρ» είναι Παγκράτι. Τέλος η συνεπαγωγή Q Ρ είναι αληθής, διότι αν η Βασιλική δεν κατοικεί στην Αθήνα, τότε οπωσδήποτε δεν θα κατοικεί στο Παγκράτι. αληθής και αντιστρόφως. Δηλαδή, ισχύει η ισοδυναμία: ( P Q) ( Q Ρ) που ονομάζεται νόμος της αντιθετοαντιστροφής. 1.3 Να γράψετε με λόγια τις ισοδυναμίες «P Q» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς η ψευδείς, όταν: i) Ρ : Ένα σημείο Μ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ Q : Ένα σημείο Μ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ΑΒ ii) Ρ : Δύο ευθείες ενός επιπέδου είναι παράλληλες, Q : Δύο ευθείες ενός επιπέδου δεν έχουν κανένα κοινό σημείο iii) Ρ : Δύο τρίγωνα είναι ίσα Q : Δύο τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά Λύση i) Έχουμε: P Q: Ένα σημείο Μ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ αν και μόνο αν ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ΑΒ Η ισοδυναμία είναι αληθής, αφού οι συνεπαγωγές «Ρ Q» και «Q P» είναι αληθείς. ii) Έχουμε: P Q: Δύο ευθείες ενός επιπέδου είναι παράλληλες, αν και μόνο αν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο Η ισοδυναμία είναι αληθής, αφού οι συνεπαγωγές «Ρ Q» και «Q P» είναι αληθείς. 19

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Α ΤΟΜΟΣ iii) Έχουμε: P Q: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν ίσα εμβαδά. Η ισοδυναμία είναι ψευδής αφού η συνεπαγωγή «Q P» είναι ψευδής. 1.4 Να βρείτε για ποιες τιμές του x αληθεύουν συγχρόνως οι ισχυρισμοί: (x 2)(x + 3) = 0 και x(x 2) = 0 Λύση Έχουμε: ( x 2)( x + 3) = 0 x 2 = 0 ή x + 3 = 0 x = 2 ή x = 3 και και και xx ( ) = 2 0 x = 0 ή x 2 = 0 x = ή x = 0 2 x = 2 Άρα, οι ισχυρισμοί αληθεύουν συγχρόνως μόνο για x = 2. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Α Oμάδα 1.5 Να γράψετε με λόγια τη σύζευξη «P και Q» και τη διάζευξη «P ή Q», όταν: i) P : O Γιώργος είναι γιατρός, Q : Ο Δημήτρης είναι δικηγόρος ii) P : O Nίκος αρίστευσε στα Μαθηματικά, Q : Η Έλλη αρίστευσε στη Φυσική iii) P : Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, Q : Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές iv) P : Το σημείο Α ανήκει στον άξονα x x Q : Το σημείο Β ανήκει στον άξονα x x v) P : Οι διαγώνιες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι ίσες Q : Οι διαγώνιες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι κάθετες 1.6 Να γράψετε με λόγια τη σύζευξη «P και Q» και τη διάζευξη «P ή Q» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς, όταν: i) P : Ο αριθμός 24 είναι ακέραιος, Q : Ο αριθμός 24 είναι πολλαπλάσιο του 3 ii) P : Ο αριθμός 7 είναι μικρότερος του 8 Q : Ο αριθμός 8 είναι μικρότερος του 7 20

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ iii) P : Ο αριθμός 4 είναι φυσικός Q : Ο αριθμός 4 είναι μεγαλύτερος του 3. 1.7 Έστω οι προτάσεις: P : Η Άννα γεννήθηκε στην Αθήνα Q : Η Άννα έχει Ελληνική ιθαγένεια Να γράψετε με λόγια: i) τις αρνήσεις των P, Q ii) τις συνεπαγωγές «P Q», «Q P» και «Q Ρ» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς. 1.8 Έστω οι προτάσεις: P : Ο Γιάννης τηρεί τις διατάξεις του κώδικά οδικής κυκλοφορίας Q : Ο Γιάννης δεν θα πάρει κλήση από τροχονόμο Να γράψετε με λόγια: i) τις αρνήσεις των P, Q ii) τις συνεπαγωγές «P Q», «Q P» και «Q Ρ» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς. 1.9 Έστω οι προτάσεις: P : Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο Q : Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές Να γράψετε με λόγια: i) τις αρνήσεις των P, Q ii) τις συνεπαγωγές «P Q», «Q P» και «Q Ρ» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς. 1.10 Να γράψετε με λόγια τις ισοδυναμίες «P Q» και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς, όταν: i) P : Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Q : Οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι παράλληλες ii) P : Δύο τρίγωνα είναι ίσα Q : Δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες iii) P : Το σημείο Μ ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας xoy Q : Το σημείο Μ ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας xoy 21

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Α ΤΟΜΟΣ 1.11 Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες είναι αληθείς οι ισχυρισμοί: i) (x + 1)(x + 7) = 0 ii) ( x 5 1 ) x + 0 2 iii) 7x(5 x)(x + 8) = 0 iv) 4(x + 4)( 3 x)( 8 + 4x) 0 1.12 Να βρείτε για ποιες τιμές του αληθεύουν συγχρόνως οι ισχυρισμοί: i) ( x + )( x 5 ) x 0 3 και 2x( 2x 6 )( x 1) = 0 ii) xx ( + 2)( x 1)( x 5) = 0 και ( 2+ x)( x + 4)( x + 5) 0 22