ΚΤΚΛΩΜΑ RLC Ε ΕΙΡΑ (Απόκριςη ςε ημιτονοειδή είςοδο) χήμα Κφκλωμα RLC ςε ςειρά χήμα 2 Διανυςματικι παράςταςθ τάςεων και ρεφματοσ Ζςτω ότι ςτο κφκλωμα του ςχιματοσ που περιλαμβάνει ωμικι, επαγωγικι και χωρθτικι αντίςταςθ ςε ςειρά εφαρμόηεται θμιτονοειδισ τάςθ με πλάτοσ και κυκλικι ςυχνότθτα ω (rad/sec):. Οι πτϊςεισ τάςθσ ςτα άκρα τθσ ωμικισ αντίςταςθσ ( ), του πθνίου ( ) και του πυκνωτι ( ) ζχουν και αυτζσ θμιτονειδι εξάρτθςθ από το χρόνο με τθν ίδια κυκλικι ςυχνότθτα, ω:,, () Η ςχζςθ μεταξφ των φάςεων, και, των τριϊν τάςεων, και παρουςιάηεται ςτο διανυςματικό διάγραμμα τάςεων του ςχιματοσ 2. Η πτϊςθ τάςθσ ςτο πθνίο προθγείται τθσ κατά π/2 ενϊ θ πτϊςθ τάςθσ ςτον πυκνωτι υςτερεί τθσ κατά π/2. Στο ίδιο ςχιμα παρουςιάηεται και το διάνυςμα τθσ ζνταςθσ του ρεφματοσ που διαρρζει το κφκλωμα. Επειδι τα ςτοιχεία RLC βρίςκονται ςε ςειρά διαρρζονται από το ίδιο ρεφμα, το οποίο ζχει τθν ακόλουκθ μορφι: Παρατθριςτε ότι το ρεφμα ζχει τθν ίδια φάςθ ( ) με τθν πτϊςθ τάςθσ ςτθν ωμικι αντίςταςθ. Για το λόγο αυτό, τα διανφςματα του ρεφματοσ και τθσ πτϊςθσ τάςθσ ςτθν αντίςταςθ παρουςιάηονται ςτο ςχιμα 2 ωσ ομόρροπα διανφςματα. Τα πλάτθ των πτϊςεων τάςθσ ςτα τρία ςτοιχεία του κυκλϊματοσ (που εικονίηονται ςτο ςχιμα 2) ςυνδζονται με το πλάτοσ τθσ ζνταςθσ ρεφματοσ ωσ εξισ:,, (3) (2) ETY-24 C. C. Katsidis 2 Σελίδα
χήμα 3 Το διάνυςμα τθσ εφαρμοηόμενθσ τάςθσ διανυςμάτων των τάςεων, και. είναι θ ςυνιςταμζνθ των Στο ςχιμα 3 παρουςιάηεται θ ςχζςθ τθσ εφαρμοηόμενθσ τάςθσ ςτο κφκλωμα RLC με τισ πτϊςεισ τάςθσ ςτθν ωμικι αντίςταςθ, το πθνίο και τον πυκνωτι. Το πλάτοσ τθσ εφαρμοηόμενθσ τάςθσ ςχετίηεται με τα πλάτθ των πτϊςεων τάςθσ ςτα τρία ςτοιχεία του κυκλϊματοσ ωσ εξισ (εφαρμογι πυκαγορείου κεωριματοσ με βάςθ το ςχιμα 3): (4) Λαμβάνοντασ υπόψθ τισ εξιςϊςεισ (3), από τθν εξίςωςθ (4) προκφπτει: (5) Κατά ςυνζπεια, θ ςφνκετθ αντίςταςθ του κυκλϊματοσ είναι ςυνάρτθςθ τθσ ςυχνότθτασ: (6) Η διαφορά φάςθσ, κ, μεταξφ του ρεφματοσ και τθσ εφαρμοηόμενθσ τάςθσ δίδεται από τθν ακόλουκθ ζκφραςθ (ςχιμα 3): (7) Η διαφορά φάςθσ, φ, που εςείσ μετράτε ςτο εργαςτιριο είναι αυτι μεταξφ τθσ πτϊςθσ τάςθσ ςτον πυκνωτι και τθσ εφαρμοηόμενθσ τάςθσ και δίδεται από τθν ζκφραςθ: (8) ETY-24 C. C. Katsidis 2 Σελίδα 2
ΤΝΣΟΝΙΜΟ Το πλάτοσ του ρεφματοσ που διαρρζει το κφκλωμα RLC είναι ςυνάρτθςθ τθσ ςυχνότθτασ : Στο ςυντονιςμό ιςχφει, και το πλάτοσ του ρεφματοσ αποκτά ζτςι τθ μζγιςτθ δυνατι τιμι. Στο ςχιμα 4 παρουςιάηεται ο ρόλοσ τθσ ωμικισ αντίςταςθσ του κυκλϊματοσ ςτθν οξφτθτα και τθ ςυμμετρία τθσ καμπφλθσ ςυντονιςμοφ για το πλάτοσ του ρεφματοσ. Η αφξθςθ τθσ ωμικισ αντίςταςθσ μειϊνει τθν οξφτθτα του ςυντονιςμοφ και αυξάνει τθν αςυμμετρία τθσ καμπφλθσ μεταβολισ του ρεφματοσ ςυναρτιςει τθσ ςυχνότθτασ. Σε κάκε περίπτωςθ, θ μζγιςτθ τιμι του ρεφματοσ παρουςιάηεται ςε ςυχνότθτα ίςθ με τθ ςυχνότθτα ςυντονιςμοφ:.9.9.8.8.7.7.6.6 I / I max.5 I / I max.5.4.4.3.3.2.2.. R=2 Ω R=2 Ω.9.9.8.8.7.7.6.6 I / I max.5 I / I max.5.4.4.3.3.2.2.. R=2 Ω R= 8 Ω χήμα 4 Μεταβολι του πλάτουσ του ρεφματοσ ςυναρτιςει τθσ ςυχνότθτασ f (=ω/2π) για τζςςερισ διαφορετικζσ τιμζσ τθσ ωμικισ αντίςταςθσ. ETY-24 C. C. Katsidis 2 Σελίδα 3
25 V Lo 2 V Ro, V Lo, V R o 5 5 R=2 Ω 2.5 V Lo 2 V Ro, V Lo, V R o.5.5 R=2 Ω.9.8.7, V Lo, V R o.6.5.4.3.2. V Lo V Ro R=8 Ω χήμα 5 Μεταβολι του πλάτουσ τθσ τάςθσ ςτα τρία ςτοιχεία του κυκλϊματοσ RLC ςα ςυνάρτθςθ τθσ ςυχνότθτασ ETY-24 C. C. Katsidis 2 Σελίδα 4
Στο ςχιμα 5 παρουςιάηονται οι μεταβολζσ του πλάτουσ τθσ τάςθσ ςτα τρία ςτοιχεία του κυκλϊματοσ RLC ςα ςυνάρτθςθ τθσ ςυχνότθτασ για τρεισ διαφορετικζσ τιμζσ τθσ ωμικισ αντίςταςθσ R. Σε αντίκεςθ με τα πλάτθ του ρεφματοσ και τθσ πτϊςθσ τάςθσ πάνω ςτθν ωμικι αντίςταςθ που παρουςιάηουν μζγιςτο ακριβϊσ ςτθ ςυχνότθτα ςυντονιςμοφ, θ πτϊςθ τάςθσ ςτον πυκνωτι και θ πτϊςθ τάςθσ ςτο πθνίο παρουςιάηουν μζγιςτο πλάτοσ ςε ςυχνότθτεσ οι οποίεσ αποκλίνουν (προσ αντίκετεσ μεταξφ τουσ κατευκφνςεισ) από τθν όςο θ ωμικι αντίςταςθ του κυκλϊματοσ γίνεται μεγαλφτερθ. Όταν θ ωμικι αντίςταςθ είναι αρκετά μεγάλθ (όπωσ ςτο τρίτο διάγραμμα του ςχιματοσ 5) το πλάτοσ δεν παρουςιάηει κάποια κορυφι αλλά γίνεται αφξουςα ςυνάρτθςθ τθσ ςυχνότθτασ. Ομοίωσ, το παφει να παρουςιάηει κορυφι και μετατρζπεται ςε φκίνουςα ςυνάρτθςθ τθσ ςυχνότθτασ (δείτε και ερϊτθςθ 3 του βιβλίου για το φορτίο Q του πυκνωτι). Όπωσ φαίνεται και ςτο ςχιμα 5, ςτο ςυντονιςμό το διάνυςμα τθσ πτϊςθσ τάςθσ ςτο πθνίο αποκτά ίςο μζτρο με αυτό τθσ πτϊςθσ τάςθσ ςτον πυκνωτι. Με δεδομζνο ότι τα δφο διανφςματα ζχουν αντίκετθ φορά θ ςφνκετθ αντίςταςθ του κυκλϊματοσ ζχει κακαρά ωμικι ςυμπεριφορά ( ). Το ρεφμα βρίςκεται πια ςε φάςθ με τθν εφαρμοηόμενθ τάςθ οπότε θ γωνία κ (όπωσ φαίνεται και ςτο ςχιμα 3) γίνεται ίςθ με ο. Με βάςθ λοιπόν και τθν εξίςωςθ 8 δικαιολογείται γιατί ςτο εργαςτιριο μετράτε ςε ςυνκικεσ ςυντονιςμοφ διαφορά φάςθσ μεταξφ πτϊςθσ τάςθσ ςτον πυκνωτι και εφαρμοηόμενθσ τάςθσ ίςθ με. Στα ςχιματα 6- παρουςιάηονται το πλάτοσ τθσ τάςθσ ςτα άκρα του πυκνωτι και θ διαφορά φάςθσ μεταξφ τθσ τάςθσ ςτον πυκνωτι και τθσ εφαρμοηόμενθσ τάςθσ ςα ςυναρτιςεισ τθσ ςυχνότθτασ για ζξι διαφορετικζσ τιμζσ (2, 2, 8, 2, 4 και 8 Ω) τθσ ωμικισ αντίςταςθσ R. Παρατθριςτε: τθ μετατόπιςθ του μεγίςτου τθσ τάςθσ ςε ςυχνότθτεσ μικρότερεσ τθσ ςυχνότθτασ ςυντονιςμοφ όςο θ ωμικι αντίςταςθ αυξάνει, πόςο απότομα αλλάηει θ διαφορά φάςθσ από τισ μοίρεσ ςτισ -8 όταν θ ωμικι αντίςταςθ είναι πολφ μικρι. (Βζβαια όςο απότομθ κι αν είναι θ μετάβαςθ, ςτθ ςυχνότθτα ςυντονιςμοφ θ διαφορά φάςθσ μεταξφ τθσ τάςθσ ςτον πυκνωτι και τθσ εφαρμοηόμενθσ τάςθσ είναι ίςθ με π/2). ότι θ μετάβαςθ από τισ ςτισ -8 μοίρεσ γίνεται περιςςότερο ομαλι όςο θ ωμικι αντίςταςθ του κυκλϊματοσ γίνεται μεγαλφτερθ. Παρατηρήςατε αυτά τα χαρακτηριςτικά και ςτισ μετρήςεισ ςασ; ΕΡΩΣΗΗ ΑΤΣΟΑΞΙΟΛΟΓΗΗ Οι υπολογιςμοί ςτα ςχιματα 4-, ζγιναν κεωρϊντασ ότι το πλάτοσ,, τθσ εφαρμοηόμενθσ τάςθσ είναι ίςο με V. Συνδζεται αυτι θ τιμι με το γεγονόσ ότι ςτισ προςομοιϊςεισ που παρουςιάηονται ςτα ςχιματα 5- το πλάτοσ τθσ τάςθσ ςτα άκρα του πυκνωτι ςε μθδενικι ςυχνότθτα είναι V; ETY-24 C. C. Katsidis 2 Σελίδα 5
διαφορά φάζης (μοίρες) διαφορά φάζης (μοίρες) 3 2-5 - -5-2 χήμα 6 Το πλάτοσ τθσ τάςθσ ςτα άκρα του πυκνωτι και θ διαφορά φάςθσ μεταξφ τθσ R=2 Ω 3 2-5 - -5-2 χήμα 7 Το πλάτοσ τθσ τάςθσ ςτα άκρα του πυκνωτι και θ διαφορά φάςθσ μεταξφ τθσ R=2 Ω ETY-24 C. C. Katsidis 2 Σελίδα 6
διαφορά φάζης (μοίρες) διαφορά φάζης (μοίρες) 6 4 2-5 - -5-2 χήμα 8 Το πλάτοσ τθσ τάςθσ ςτα άκρα του πυκνωτι και θ διαφορά φάςθσ μεταξφ τθσ R=8Ω 3 2-5 - -5-2 χήμα 9 Το πλάτοσ τθσ τάςθσ ςτα άκρα του πυκνωτι και θ διαφορά φάςθσ μεταξφ τθσ R=2 Ω ETY-24 C. C. Katsidis 2 Σελίδα 7
διαφορά φάζης (μοίρες) διαφορά φάζης (μοίρες).5.5-5 - -5-2 χήμα Το πλάτοσ τθσ τάςθσ ςτα άκρα του πυκνωτι και θ διαφορά φάςθσ μεταξφ τθσ R=4 Ω.8.6.4.2-5 - -5 χήμα Το πλάτοσ τθσ τάςθσ ςτα άκρα του πυκνωτι και θ διαφορά φάςθσ μεταξφ τθσ R=8 Ω ETY-24 C. C. Katsidis 2 Σελίδα 8