Λεοντσ ίνης Στέφανος Ηλεκτομαγνητισ μός 3 η Σειά Ασ κήσ εων 3 Tο δυναμικό λόγω αζιμουθιακής σ υμμετίας θα έχει τη μοφή φ r, θ [ Al + B l r l+] l cosθ Λόγω l Φ οιακών σ υνθηκών έχω: Φ in r R Φ out r R και out r rr Φin r rr σ ε Απαιτώντας ομαλή σ υμπειφοά του δυναμικού σ το και σ το άπειο έχω για μέσ α σ τη σ φαία B l Φ in A l l cosθ και έξω A l Φ out B l r l+ l cosθ Από σ υνέχεια του δυναμικού σ το rr έχω A l l cosθ rr B l R l+ B l r l+ l cosθ A l rr Φ in A l l cosθ A l R l r R l l cosθ l r R l l cosθ 3 Φ out B l r l+ l cosθ A l R l+ r l+ l cosθ l R l R l+ r l+ l cosθ l R l+ r l+ l cosθ 4 Από τη δεύτεη σ υνθήκη ισ οπίας έχω σ l+ε l R l cosθ Λόγω οθογωνιότητας των πολυωνύμων egendre έχω l R ε έχω l Q 8πε R l cosθ d cosθ σ l cosθ d cosθ, όπου σ σ cosθ Q 4πR για cosθ < cosα και αλλού Ετσ ι Χησ ιμοποιώντας την ταυτότητα l x d l+ dx [ l+x l x] Άα l Q 8πRε l+ [ l+cosθ l cosθ] cos Q 8πRε l+ [ l+cos l cos] και σ υνεπώς απ τις 3 και 4 το δυναμικό δίδεται απ το τύπο Φ in r, θ Q 8πε l+ [ r l+cos l cos] l R l+ l cosθ και l Φ out r, θ Q l+ [ R l+cos l cos] l + l cosθ b 8πε l Λόγω σ υμμετίας το ηλεκτικό πεδίο σ την αχή των αξόνων θε πέπει να είναι παάλληλο με το z άξονα E r r φ, σ το εσ ωτεικό της σ φαίας είναι rl και βλέπουμε πως μόνο ο l όος επιζεί Άα για r, θ c E r r, θ R Q 8πε R 3 [ cos cos] Q [ 6πε R cos ] Qsin 6πε R Στην πείπτωσ η που η σ φαία γίνει πολύ μική,, ισ χύει cos, άα l cos l l l δ l, l Ετσ ι l+ cos l cos δ l, [ l+ l ], χησ ιμοποιώντας τώα τη σ χέσ η απ τον ποηγούμενο εώτημα, l x d l+ dx [ l+x l x], έχω l+ cos l cos δ l, l+ l δ l, l+ Αντικαθισ τώντας την έκφασ η αυτή σ τη σ χέσ η
που βήκα σ το έχω φ όπου cosγ ˆrˆr, έχω φ Q 6πε R ẑ Q 4πε r > Q 6πε Q 4πε r > R l+ l cosθ Χησ ιμοποιώντας το r r R l+ l cosγ, l Q 6πε r Rẑ Χησ ιμοποιώντας το αποτέλεσ μα του b έχω E Στην πείπτωσ η που η σ φαία γίνει πολύ μεγάλη, π, θεωώ απ-β, όπου β η γωνία του νότιου πόλου Ομοίως με το l cos l cos π β l cosβ l + β l + β l Άα l+ cos l cos [ β l+ l ] l+ β l l+ β l Αντικαθισ τώντας την έκφασ η αυτή σ το αποτέλεσ μα του έχω φ r, θ Qβ l rl R l+ l cosθ Qβ R l+ l cosθ 6πε l Qβ 6πε r +Rẑ Αντίσ τοιχα για το ηλεκτικό πεδίο E Qβ 6πε ẑr 35 6πε l Από το δεύτεο κεφάλαιο ξέω ότι η πώτη έκφασ η για το δυναμικό ποέχεται από τη G r, r r r r r Ετσ ι, θα ξεκινήσ ω απ τη σ υνάτησ η αυτή και θα αποδείξω τη δεύτεη Θα εκφάσ ω τη G x, x r r σ ε σ φαιικές σ υντεταγμένες 37 G x, x 4π 4π l+ Y lm l l+ Y lm l lm θ, φ Y lm θ, φ lm θ, φ Y lm θ, φ r l+ κάθετη παάγωγο της Green ως πος r σ το r Gr,r r r 4π l+ Y lm θ, φ Y lm θ, φ lm l 4π lm θ, φ Y lm θ, φ 4π l+ Y lm l Ylm lm l θ, φ Y lm θ, φ lm lm l r l+ r l+ r r r l l+ Για να βω το δυναμικό πέπει να υπολογίσ ω την l + l + rl l rl l+ l+ l r l r l+ 4π Άα υπολογίζω το δυναμικό από τη σ χέσ η 36 φ r, θ, φ 4π φ θ, φ Gr,r r r dω 4π φ θ, φ 4π φ θ, φ Y θ, φ Y lm θ, φ dω Y lm θ, φ r 36 Άα φ r, θ, φ lm l A lm r l Ylm θ, φ lm l l+ r l+ Y lm lm l Ylm lm l l θ, φ Y lm θ, φ l + θ, φ Y lm θ, φ dω l φ θ, φ Y lm θ, φ dω Χησ ιμοποιώντας το ολοκλήωμα του ipschitz έχω J m k dk και k J m kd Άα kj m kj m k dkd Ισ χύει όμως Άα καταλήγω σ τη σ χέσ η δ kj m kj m k d δ d
3 b Ξεκινώ από τη σ υνάτησ η Green σ ε κυλινδικές σ υντεταγμένες xg x, x 4π δ δ φ φ δ z z και χησ ιμοποιώντας της ταυτότητα του, έχω G x, x + e im φ φ kj m k J m k g m z, z dk Η g m θα πέπει να σ υμπειφέεται σ ωσ τά σ ε όλο το χώο g z g m kg 4πδ z z g m z, z z z Ae k Από τη σ υνθήκη ασ υνέχειας της πώτης πααγώγου θα έχω: dz dgm dz 4π Άα g m dg m z,z z,z z, z z< z> k e kz> z< Ετσ ι η σ υνάτησ η Green γίνεται G x, x J m k J m k φ φ e im e kz> z< dk c Άα έχω x x + J m k J m k e im φ φ e kz> z< dk Σε κυλινδικές σ υντεταγμένες μποούμε να γάψουμε x x αποτέλεσ μα του b και παίνοντας το όιο για, φ και z, lim + lim + cosφ φ +z z Από με το + cosφ φ +z z J m k J m k e im φ φ e kz z dk +z Με αλλαγή μεταβλητής μποώ να έχω lim e imφ φ lim φ m eimφ e imφ lim φ και επειδή lim J m eim m m k : lim e im m φ J m k e kz z dk Ολοκληώνοντας και τα δύο μέλη ως πος φ από +z έως και διαιώντας με έχω: lim [ dφ] φ e im m +z lim m [δ mm ] m J m k J m k e kz z dk Αφού όμως J, +z Ξέω πως x x e kz J k dk 5 + cosφ φ +z z + J m k J m k e kz z dk + δ m J m k J m e kz dk J k J e kz dk J m k J m k e im φ φ e kz> z< 4 Αν αντικατασ τήσ ω το σ την 5 με R + cosφ θα έχω το x x με z και φ, δηλαδή την 4 με z και φ Εχω e kz J k + cosφ dk + cosφ+z { + } e kz e imφ J m k J m k dk Άα, από τις πααπάνω εξισ ώσ εις έχω: J k + cosφ e imφ J m k J m k Θεωώ την έκφασ η Σειά urent: e kq t t + καταλήγω σ το d e ikcosφ ie iφ m Jm k 6 Από την 6 παίνω την έκφασ η t m J m k Αντικαθισ τώντας το t ie iφ,
4 J m x i m και διαιώντας με έχω: e ikcosφ e imφ dφ έχω 3 e ikcosφ imφ dφ J m x e ixcosφ imφ dφ Πολλαπλασ ιάζοντας την 6 με e imφ, ολοκληώνοντας ως πος φ από έως i m i m e imφ e imφ dφ e ixcosφ imφ dφ, όπου x k Από την εξίσ ωσ η της 37b και για έχω lim sinh[k z >] sinhk J m k Αφού ισ χύει το i m δ mm J m k i m J m k Άα καταλήγω σ το e lim k e kz > e kz > e k e lim K kz > e k e k e k e kz> Φ x 4πε G x, x σ x dα z, z για zz d d, d e kd sinh kd e kd e kd e kd e kd C V e σ d, Φ, φ kd 4πε e imφ e imφ dφ σ J m k d J m k dk e imφ dφ δ m άα Φ σ J k d J k dk 33 V < Φ > Άα 4πε C σ Φd σ d dk e kd e kd ε 4πε 4πε C σ Φd ε σ Φd " # σ d σ d σ d " # J kσ d " # σ d e im m φ dφ δ mm, i Γάφω τη plce της Green με δ σ ε κυλινδικές σ υντεταγμένες G x, x 4πδ x x 4π δ δ φ φ δ z z + Χησ ιμοποιώντας τις ταυτότητες δφ φ e imφ e imφ και δ Jm x καταλήγω σ το G x, x G x, x G x, x πως [ z m n n [ n + n Jm+ J m { } 4 J Jm+ m x e imφ δ z z e imφ J m e imφ J m A z, z, φ και εφαμόζοντας τη λαπλασ ιανή z m ] J m {[ d dz + Jm ] e imφ J m A z, z, φ Ξέω όμως για τις Bessel ] A z, z, φ και άα } G x, x x e imφ J m Από και n [ d dz x ] g z, z δ z z, με g z, z J m+ Az,z,φ 4e imφ J Η σ υνάτησ η Green για να σ υμπειφέεται σ ωσ τά σ το z, z, επειδή είναι σ υμμετική ως πος z και z και να είναι σ υνεχής σ το zz πέπει να έχει τη μοφή g x, x Csinh x z < sinh z >
5 Ολοκληώνοντας τη g z, z από z -ε έως z +ε βίσ κω το C d dz g z, z zz +ε d dz g z, z zz ε Άα C x sinh Ετσ ι καταλήγω σ το G x, x 4 + n e imφ e imφ J m Jm x Για δυναμικό σ ημειακού φοτίου σ το x έχω x δ x x και φx, x ii 4πε V φx, x δ x x G x, x d 3 x 4πε G x, x Άα καταλήγω σ το + πε n e imφ e imφ J m Jm x sinh x Jm+ sinh z<sinh z> x Jm+ sinh 4πε x G x, x d 3 x V z<sinh z> sinh Γάφω τη Green με δ σ ε σ φαιικές σ υντεταγμένες G x, x 4πδ x x 4π δ δ φ φ δ z z + Χησ ιμοποιώντας τις ταυτότητες δφ φ e imφ e imφ και δ z z sin sin έχω G x, x G x, x n n { 4 sin e imφ {[ d d d d nπ } δ ] A z, z, φ n e imφ sin } e imφ sin n e imφ sin A z, z, φ Από τις πααπάνω εξισ ώσ εις έχω [ d d d d ] nπ g, δ, g, Az,z,φ 4e imφ sin H g είναι σ υμμετική ως πος,, είναι σ υνεχής και εξαφανίζεται σ το Άα είναι της μοφής g, CI nπ m [ < I nπ m I m > nπ K m nπ K nπ m > ] Ολοκληώνοντας τη g, από -ε έως +ε βίσ κω το C d d g, d d g, +ε ε iii Άα έχω και με χήσ η της 347 C nπ I m nπ K m nπ [I mxk mx I mxk nπ Km m x] x nπ και C Ετσ ι καταλήγω σ το I m nπ { + G x, x 4 e imφ e imφ sin sin nπ < [ nπ nπ> I n m nπ Km nπ Km Για δυναμικό σ ημειακού φοτίου σ το x φx, x 4πε G x, x { + Άα φx, x πε e imφ e imφ sin sin nπ < [ nπ nπ> I m nπ Km n Km nπ Γάφω το δυναμικό σ τη μοφή χωιζομένων μεταβλητών φ R Q φ Z z Ψάχνω τις ιδιοτιμές και ιδιοσ υνατήσ εις του R φ + λ R + R R + Q Q + Z Z + λ Με σ υνοιακές σ υνθήκες z και z: Z z sin [ kπ z, k,, και έτσ ι έχω R R + R R + Q Q + λ ] Οι ιδιοσ υνατήσ εις πέπει [ να είναι σ υνατήσ εις του φ άα Q φ e imφ, m,, Άα R + R + λ ] + m R η οποία είναι διαφοική κανονικής σ υνάτησ ης Bessel με k λ Για να είναι κανονική η ιδιοσ υνάτησ η για και α η ακτινικική σ υνάτησ η πέπει να είναι J m λ με λ κατάλληλο ώσ τε λ Ετσ ι λ k x + με ιδιοσ υνατήσ εις φk Ce imφ sin kπz Jm Χησ ιμοποιώντας τις διαφοικές Bessel και την ιδιοσ υνάτησ η αυτή nπ> ] } nπ> ] }
6 φ k x kπ G x, x 8 + φ + z φ k kπ φ k λ k φ k Χησ ιμοποιώντας της 36 και για λ έχω + e imφ φ sin kπz nk πε nk sin kπz Jm Jm + kπ Jm+ Για δυναμικό σ ημειακού φοτίου σ το x έχω φx, x 4πε G x, x, άα + φ x, x e imφ φ sin kπz sin kπz Jm Jm «+ kπ Jm+ m φ k x «φ k