1 E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΗ-Ι-04/07/2008 ΘΕΜΑ 1 ο Οριζόντια απαραμόρφωτη ρϊβδοσ ΟΟ' (θεωρεύται αβαρόσ) ςτηρύζεται με ϊρθρωςη ςτο ςημεύο Ο και κρϋμεται όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα από δύο ςύρματα ΑΒ, ΓΔ, από υλικό με διατομό αντύςτοιχα Α 1=1cm 2, Α 2=2cm 2 και μόκη l 1=40cm και l 2=80cm. Η τϊςη διαρροόσ-θραύςησ του υλικού εύναι ς Δ=1500N/cm 2. το ςημεύο Ο' εφαρμόζεται ϋνα φορτύο P το οπούο αυξϊνει ςταδιακϊ την τιμό από μηδενικό τιμό. Να υπολογύςετε την τιμό του φορτύου τη ςτιγμό που θα ϋχουμε ολικό θραύςη (θραύςη και ςτα δύο ςύρματα). Λύςη: Καταςκευϊζω την παραμορφωμϋνη κατϊςταςη του ςύςτηματοσ. Έςτω ότι ο κόμβοσ Β μετακινεύται κατακόρυφα προσ τα κϊτω κατϊ y Β και ο κόμβοσ Δ ομούωσ κατϊ y Δ. Ρϊβδοσ (1) Ρϊβδοσ (2) Δl 1= 1 Δl 2= 2 Λόγω όμοιων τριγώνων ιςχύει: Δl 1=y Β 3 Δl 2=y Δ 4 3,4 = = y B=0,5y Δ Δl 1=0,5Δl 2 5 Με την προυπόθεςη ότι βριςκόμαςτε ςτην ελαςτικό περιοχό η 5 γύνεται: Η 5 1,2 0,5 =, =,, S 1=0,5S 2 6
2 Καταςκευϊζω Δ.Ε.. τησ δοκού ΟΟ' Μ Ο 0 0,2S 1+ 0,4S 2 =0,7P 7 Η 7 6 0,2*0,5S 2+0,4S 2 0,7P S 2=1,4P και S 1=0,7P Βρύςκω τισ τϊςεισ των ρϊβδων: ς 1= =, =, =0,7*10 4 P N/m 2 ς 2=ς 1 ϊρα διαρρϋουν ςυγχρόνωσ ς 2= =, =, =0,7*10 4 P N/m 2 Εφόςον διαρρϋουν ςυγχρόνωσ από υπερςτατικό μύα φορϊ γύνεται κινητό ϊρα το φορτύο διαρροόσ του ςυςτόματοσ ταυτύζεται με το φορτύο κατϊρρευςησ. Βρύςκω τισ δυνϊμεισ διαρροόσ των ρϊβδων: ( ) ς = 1500 S =1500Ν ( ) ς = 1500= S =3000Ν ΕΤΡΕΗ ΥΟΡΣΙΟΤ KATAΡΡΕΤΗ ΤΣΗΜΑΣΟ Κϊνω εκ νϋου Δ.Ε.. τησ δοκού ΟΟ'. Μ Ο 0 1500*0,2+3000*0,4 = 0,7P Δ P Δ=2.142,85N=2,143kN
3 ΘΕΜΑ 2 ο -ΜΗΦΑΝΙΚΗ I-04/07/2008-E.M.Π.-ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Η εντατικό κατϊςταςη ςε ϋνα ςημεύο P καταπονούμενου ςώματοσ καθορύζεται από τισ τϊςεισ που εφαρμόζονται ςτα τρύα, ανϊ δύο κϊθετα, επύπεδα Π 1, Π 2, Π 3 που διϋρχονται από το P, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Οι φορϋσ των τϊςεων φαύνονται ςτο ςχόμα και τα μϋτρα τουσ εύναι ς 1=60MPa, τ 1=30MPa ςτο επύπεδο Π 1, ς 2=90MPa ςτο επύπεδο Π 2 και ς 3=30MPa ςτο επύπεδο Π 3. i. χεδιϊςτε ςτα επύπεδα Π 1,Π 2,Π 3 όλεσ τισ εφαρμοζόμενεσ τϊςεισ ( που πιθανόν ϋχουν παραληφθεύ ςτο ςχόμα). ii. Δώςτε τισ ςυνιςτώςεσ του τανυςτό των τϊςεων ςτο P ωσ προσ το ςύςτημα Αxyz. iii. Τπολογύςτε τισ κύριεσ τϊςεισ και το κύριο ςύςτημα αξόνων. iv. Τπολογύςτε τισ μϋγιςτεσ διατμητικϋσ τϊςεισ και τα επύπεδα ςτα οπούα εμφανύζονται. v. Γνωρύζοντασ ότι ΑΒ:ΑΔ:ΑΕ 1:2:2 να υπολογύςετε την ορθό και τη διατμητικό τϊςη που εφαρμόζονται ςτο επύπεδο που εύναι κϊθετο ςτην διαγώνιο ΑP. Λύςη: i. Η μόνη τϊςη που πρϋπει να ςχεδιαςτεύ εύναι η διατμητικό τϊςη ςτο επύπεδο Π 2 και η οπούα ϋχει διεύθυνςη ςτον ϊξονα των x(ς yx). το διπλανό ςχόμα φαύνεται η ςχεδύαςη όλων των τϊςεων που αςκούνται ςτο ςημεύο P. ii. Με βϊςη τα δεδομϋνα τησ εκφώνηςησ ο τανυςτόσ των τϊςεων ςτο ςύςτημα Oxyz θα εύναι: ς Οxyz=[ ] =[ 60 30 0 30 90 0 ]MPa 0 0 30 iii. Παρατηρώ από τον παραπϊνω τανυςτό ότι ο ϊξονασ z εύναι κύριοσ ϊξονασ αφού ς xz=ς yz=0 και αρα το επύπεδο ZEHP εύναι κύριο. Άρα ςτην ουςύα πρϋπει να βρω τουσ ϊλλουσ δύο κύριουσ ϊξονεσ. Έτςι το πρόβλημα μου μεταςχηματύζεται από πρόβλημα τριαξονικόσ ϋνταςησ ςε πρόβλημα διαξονικόσ.
4 Για το επύπεδο Οyx ιςχύει: tan2θ ο= 2θ ο=-21,801 0 θ ο=-10,90 0 ς max,min= ± ( ) 30 ς max=65,777mpa ς min=-95,777mpa Άρα οι κύριεσ τϊςεισ θα εύναι: ς Ι=65,777MPa<ς II=30MPa<ς III=-95,777MPa H διϋυθυνςη των κύριων αξόνων φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα: iv. Οι μϋγιςτεσ διατμητικϋσ τϊςεισ εμφανύζονται ςε επύπεδα που διχοτομούν τισ ορθϋσ γωνύεσ που ςχηματύζουν ανϊ δύο τα κύρια επύπεδα. Οι τιμϋσ τουσ εύναι: τ Ι=+ =+, (, ) 80,777ΜPa τ II=+ =+ (, ) =+62,889ΜPa τ III=+ =+, =+17,889ΜPa v. ε πρώτη φϊςη πρϋπει να βρω το μοναδιαύο διϊνυςμα που βρύςκεται πϊνω ςτην διεύθυνςη τησ ευθεύασ ΑΡ. Από την εκφώνηςη ϋνα τυχαύο διϊνυςμα πϊνω ςτην διεύθυνςη τησ ΑΡ εύναι: α=1e x+2e y+2e z το μϋτρο του διανύςματοσ α εύναι = 1 2 2 = 9=3m.
5 Άρα ϋνα μοναδιαύο διϊνυςμα πϊνω ςτην διεύθυνςη τησ ΑΡ θα εύναι: α=n n= n= n=0,333e x+0,667e y+0,667e z Oι ςυνιςτώςεσ του διανύςματοσ τησ τϊςησ t που αςκεύται ςτο επύπεδο που ϋχει κϊθετο μοναδιαύο διϊνυςμα n εύναι: [ ] =[ ] [ ] [ ]=[ 60 30 0 0,333 40 30 90 0 ] [ 0,667]=[ 50]MPa 0 0 30 0,667 20 προβ Τπολογιςμόσ ορθόσ τϊςησ =40*0,333-50*0,667+20*0,667=-6,667MPa (ϊρα θλιπτικό) Άρα το διϊνυςμα τησ ορθόσ τϊςησ θα εύναι: ς=-6,667(0,333e x+0,667e y+0,667e z) ς=-2,22e x+4,45e y+4,45e z Τπολογιςμόσ διατμητικόσ τϊςησ Η διατμητικό τϊςη θα εύναι τ= t- ς τ=(40+2,22) +(-50-4,45) +(20-4,45) τ=42,22-54,45 +15,55 Σο μϋτρο τησ θα εύναι: 42,22 ( 54,45) 15,55 =70,63 MPa
6 ΘΕΜΑ 3 ο -ΜΗΦΑΝΙΚΗ I-04/07/2008-E.M.Π.-ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ ε μύα επύπεδη εντατικό κατϊςταςη οι τϊςεισ ϋχουν τισ εξόσ τιμϋσ: ς xx=3,75at, ς xy=1,25at και ς yy=2,165at i. Nα καταςκευϊςετε τον κύκλο του Mohr ii. Nα υπολογύςετε γραφικϊ τισ κύριεσ τϊςεισ και το κύριο ςύςτημα. Ποια γνωςτό καταπόνηςη παριςτϊνει ο ςυγκεκριμϋνοσ κύκλοσ του Mohr; Λύςη: 3,75 1,25 i. Δύνεται ότι ο τανυςτόσ των τϊςεων εύναι: ς oxy=[ 1,25 2,165 ] [at] Ξεκινϊμε με τα ςημεύα Α και Β που ϋχουν ςυντεταγμϋνεσ: Α(3,75, -1,25) Β(2,165, 1,25) Υϋρνω την ευθεύα ΑΒ. Αυτό τϋμνει τον ϊξονα των ορθών τϊςεων ςτο Κ, το οπούο εύναι και το κϋντρο του κύκλου. χεδιϊζω κύκλο με ακτύνα ΚΒ. Ο κύκλοσ τϋμνει τον ϊξονα των ορθών τϊςεων ςε δύο ςημεύα (Γ,Δ). Σα ςημεύα αυτϊ αντιςτοιχούν ςτισ τϊςεισ των κύριων επιπϋδων. Μετρώντασ τισ αποςτϊςεισ ΟΓ και ΟΔ ϋχουμε τισ ς ΙΙ και ς Ι αντύςτοιχα. ς ΙΙ 1,45at και ς Ι 4,40at Η διεύθυνςη των κύριων τϊςεων βρύςκεται αν ςτρϋψουμε δεξιόςτροφα το αρχικό ςύςτημα Οxy κατϊ 0,5φ 0 (όπου φ 0 βλϋπε ϊνωθεν ςχόμα η οπούα μετριϋται με μοιρογνωμόνιο εύτε υπολογύζεται από τα αποτελϋςματα που ϋχουμε εξϊγει. ii. Ο παραπϊνω κύκλοσ παριςτϊνει τον διαξονικό εφελκυςμό.